《二次函数的图象和性质》教案5 (2)
人教版九年级上册数学二次函数的图象和性质-22.1.1二次函数(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛射运动的情况？”（如抛篮球）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的图象和性质的奥秘。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了二次函数的图象和性质，我发现学生们对于这个新概念的理解程度各有不同。有的同学能迅速抓住二次函数的定义，通过图象直观地看出它的性质，但也有一些同学在理解对称轴和顶点坐标的计算上遇到了困难。
我意识到，在讲解对称轴和顶点坐标的计算时，需要更具体、更直观的例子来说明。可能的话，我可以借助一些教具，比如坐标系模型，让学生们亲手操作，感受二次函数图象的变化，从而更深刻地理解这些性质的计算过程。
人教版九年级上册数学二次函数的图象和性质-22.1.1二次函数（教案）
一、教学内容
人教版九年级上册数学第22章第一节“二次函数”的第一课时，主要内容包括：
1.二次函数的定义：y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）；
2.二次函数的图象：抛物线，探讨a、b、c对图象的影响；
3.二次函数的性质：
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象特征和性质这两个重点。对于难点部分，如对称轴和顶点坐标的计算，我会通过具体例子和图象来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的最高点计算。
部优：《二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k的图象与性质》教学设计
《二次函数2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的图象与性质》教学设计 一、 教学内容分析在学习了二次函数y=2ax ，y=2ax +k 的图象及性质基础上，本节课进一步研究二次函数2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的图象与性质. 对于二次函数2y=a x-h k +（），令h=0，k=0，就可以得到y=2ax ；令h=0就可以得到y=2ax +k ；令k=0时，就可以得到2y=a x-h （），.由上节课可知抛物线y=2ax +k 是由抛物线y=2ax 向上（或下）平移|k|个单位长度得到的，所以本节课的教学内容完全可以类比上节课的内容展开研究.首先研究二次函数y=2ax 与2y=a x-h （），的图象之间的关系，然后再研究二次函数2y=a x-h （），与2y=a x-h k +（）的图象之间的关系，结合图象就可得到函数的性质.这样循序渐进的安排，力图使学生不仅学到二次函数的知识，而且在学习知识的过程中不断提高学习的能力. 二、 学情分析学生前面已经学习过二次函数y=2ax ，y=2ax +k 的图象及性质，掌握了二次函数的研究流程，本节课继续研究二次函数2y=a x-h （），与2y=a x-h k +（）的图象及性质.二次函数2y=a x-h （），的图象及性质学生接受起来难一些，这是学生的思维难点.三、 教学目标1.能用描点法画出二次函数2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的图象. 2.理解二次函数y=2ax ，y=2ax +k ，2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的图象之间的关系.3.能根据图象分析出二次函数2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的性质并应用性质解决问题.4.经历将新问题转化为已经解决的问题的过程，并体会类比以及数形结合的思想.重点难点ax向左（右）平移|h|个单位长度得到理解抛物线2y=a x-h（），是由抛物线y=2的.四、评价设计学习评价量表五、教学活动设计画出二次函数y=2x ，y=2x+1（）和y=2x-1（）的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点以及三个图象的区别与联系.提示学生观察图象中对称轴的变化，抛物线y=2x+1（）的对称轴是经过点（-1，0）且与x 轴垂直的直线，这条直线上所有点的横坐标为-1，因而记作x=-1.同理可得抛物线y=2x+1（）的对称轴为x=1问题2 二次函数y=2-x ，y=2x+2-（）和y=2x-2-（）在同一直角坐标系中的图象如图所示，三者之间有何关系？问題3抛物线2y=a x-h k +（）与y=2ax 有什么关系？六、板书设计二次函数2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的图象与性质1.顶点式：2y=a x-h k +（）（1）令h=0，k=0，就可以得到y=2ax ； （2）令h=0，就可以得到y=2ax +k ；（3）令k=0，就可以得到2y=a x-h （）.2.3.二次函数2y=a x-h k +（）的性质 4.解：方法一：对称轴为直线x=2，三点（0，1y ），（2，2y ），（3，3y ）中，只有（3，3y ）在对称轴的右侧，（3，3y ）关于直线x=2的对称点为（1，3y ）.0<1<2<2且a>0，∴1y >3y >2y .方法二：二次函数2y=a x-2c +（）（a>0） 的顶点为（2，c ），对称轴为x=2.在x 轴上分别确定x=0，x=2，x=3的位置，在函数2y=a x-2c +（）（a>0）的图象上找到对应的点，并确定这些点的纵坐标1y ，2y ，3y 在y 轴上的位置.观察图象可得1y >3y ＞2y . 七、达标检测与作业A 级1. 二次函数y=2x-1（）图象的顶点坐标是 ，对称轴是 .2.已知二次函数y=2x+1（），当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大.3.（1）把抛物线y=2-x 向左平移1个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式为 ；（2）把抛物线y=22x 向右平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式为 ；（3）将抛物线y=2x +1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线对应的函数解析式为 ；（4）将抛物线y=2x+12--3（）先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得的抛物线对应的函数解析式为 .4.抛物线y=2x+23-（）可以由抛物线y=2x 平移得到，写出平移过程.5.把抛物线y=23-x 2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，写出所得抛物线对应的函数解析式.6.画出下列二次函数的图象，并写出图象的开口方向、对称轴、顶点及增减性.（1）y=2x-35+2（）；（2）y=2x-31+2（）；（3）y=2x+1-4（）； （4）y=2x+23--（）；（5） y=2-3x 5+； （6）y=2x 3+.7.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴，且经过点（0，1）的是（ ）A.y=2x-21+（） B.y=2x 21++（） C. y=2x-23-（） D.y=2x 23+-（） 8.如图，在直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系中正确的 A.m-n, k ＞h B. m=n ，k<h C. m>n ，k=h D. m<n, k=h9.把二次函数y=2a x-h k +（）的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y=21x 112+-（）的图象. （1）试确定a ，h ，k 的值；（2）指出二次函数y=2a x-h k +（）图象的开口方向、对称轴和顶点.10.若二次函数y=22m x 22m m +--（+1）（m 为常数）图象的顶点坐标为（0，1），求m 的值.B 级11.已知抛物线y=2ax bx c ++（a<0）经过A （-2，0），O （0，0），B （-3，1y ），C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 .12，已知二次函数y=2x m 1-（-），当x<1时，y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围.13.如图，抛物线y=2a x 4+（-1）与x 轴交于A B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点D ，连接BD ，已知点A 的坐标为（-1，0）. （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）求四边形COBD 的面积.八、教学反思本节课研究解析式为2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的二次函数的图象和性质，可类比上节课的方法展开.先画出两个具体的函数2y=x+1（）和2y=x-1（）的图象，与y=2x 的图象对比，通过列表、描点引导学生发现：y=2x 图象上的每点向左平移一个单位长度就可以得到2y=x+1（）的图象，每一点向右平移一个单位长度就可以得到2y=x-1（）的图象.让学生通过直观感受，归纳出抛物线2y=a x-h （），与y=2ax 的关系.通过前面的研究水到渠成地得出顶点式二次函数2y=a x-h k +（）的图象及性质，让学生体会从特殊到一般的研究方法.学生自行归纳二次函数2y=a x-h k +（）的性质，并深入体会抛物线y=2ax 与2y=a x-h k +（）的关系.本节课仍然渗透研究问题的方法.比如，通过研究特殊的二次函数2y=x+1（）和2y=x-1（）的图象得出2y=a x-h （），的图象，这种从特殊到一般的研究问题的方法，对于培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力很有帮助.整个教学过程向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，渗透二次函数图象的对称美，渗透二次函数y= 2ax ，2y=a x-h k +（）的图象可互相转化的数学美.二次函数图象的左右平移只影响二次函数2y=a x-h k +（）中h 的值，上下平移只影响k 的值，平移过程中图象的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的变化，确定平移前后的函数关系式及平移的路径.此外图象的平移与平移的顺序无关.本节课让学生自己动手画函数图象，独立探究二次函数的图象及性质，有利于培养学生的自主学习能力.学生作为课堂的主人，类比上节课的学习自行解决本节课的要探讨的问题.通过自主探究，对所学知识由感性认识上升到理性认识，大大提高了课堂效率.对于函数图象间的平移关系可以引导学生充分讨论，得出结论.。
6.2二次函数的图象和性质(2)教案
§6.2二次函数的图象和性质 （2）---( 教案)备课时间: 主备人:教学目标:1．经历探索二次函数y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型． 教学重点:二次函数y=ax 2、y=ax 2＋c 的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象和性质的基础．我们在教学时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析． 教学难点:由函数图象概括出y=ax 2、y=ax 2＋c 的性质．根据函数图象联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置． 教学方法:类比教学法。
教学过程: 一、复习：二次函数y=x 2 与y=-x 2的性质：二、问题引入：你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？ 刹车距离与什么因素有关？有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式： 晴天时：21001v s =；雨天时：2501v s =，请分别画出这两个函数的图像： 三、动手操作、探究：1.在同一平面内画出函数y=2x 2与y=2x 2+1的图象。
2.在同一平面内画出函数y=3x 2与y=3x 2-1的图象。
比较它们的性质，你可以得到什么结论？ 四、例题：【例1】 已知抛物线y=（m ＋1）x mm +2开口向下，求m 的值． 【例2】k 为何值时，y=（k ＋2）x622--k k 是关于x 的二次函数？【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x 2，②y=3x 2，③y=21x 2，④y=－21x 2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=21x 2比y=3x 2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－21x 2比y=－3x 2大（或小）多少？【例4】已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．（1）求a 、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小； （4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．【例5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为k 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．五、小结你有哪些收获？六、作业。
二次函数的图像和性质(教案)
教案：二次函数的图像和性质一、二次函数y＝ax 2的图像和性质1、图像是( )2、当a＞0时，开口向（）；当a＜0时，开口向（）3、顶点坐标是（）4、对称轴是（）5、增减性：①当a＞0，X（）时，y 随X的增大而（）；当X（）时，y随X的增大而（）；②当a＜0，X（）时，y 随X的增大而（）；当X（）时，y随X的增大而（）；6、极值：①当a＞0，X=（）时，y 有（）=（），②当a＜0，X=（）时，y有（）=（）。
7、｜a｜越大，抛物线的开口越（），反之，｜a｜越小，抛物线的开口越（）。
变式练习：说出下列函数的性质：(1) y ＝23 x 2 ，（2) y ＝－8x 2 ，(3) y ＝－x 2，（4）y ＝－12 x 2， （5）y ＝12 x 2， （6）y ＝x 2，（7）y ＝2x 2 ，（8）y ＝－2x 2 二、二次函数y ＝ax 2+K 的图像和性质1、图像是( )2、当a ＞0时，开口向（ ）；当a ＜0时，开口向（ ）3、顶点坐标是（ ）4、对称轴是（ ）5、增减性：①当a ＞0，X （ ）时，y 随X 的增大而（ ）；当X （ ）时，y 随X 的增大而（ ）； ②当a ＜0，X （ ）时，y 随X 的增大而（ ）；当X （ ）时，y 随X 的增大而（ ）；6、极值：①当a ＞0，X=（ ）时，y 有（ ）=（ ），②当a ＜0，X=（ ）时，y 有（ ）=（ ）。
7、｜a ｜ 越大，抛物线的开口越（ ），反之，｜a ｜ 越小，抛物线的开口越（ ）。
8、二次函数y ＝ax 2+K 的图像是由（ ）的图像（ ）平移（ ）个单位得到的，平移法则是:( ). 变式练习：说出下列函数的性质：(1) y ＝23 x 2 +5，（2) y ＝－8x 2 - 6，(3) y ＝－x 2 －12 ，（ 4）y ＝－12 x 2+23 ， （5）y ＝12 x 2 －12 （6）y ＝x 2+15（7）y ＝2x 2 - 8，（8）y ＝－2x 2+12 三、二次函数y ＝a （x+h ）2的图像和性质1、图像是( )2、当a ＞0时，开口向（ ）；当a ＜0时，开口向（ ）3、顶点坐标是（ ）4、对称轴是（ ）5、增减性：①当a ＞0，X （ ）时，y 随X 的增大而（ ）；当X （ ）时，y 随X 的增大而（ ）； ②当a ＜0，X （ ）时，y 随X 的增大而（ ）；当X （ ）时，y 随X 的增大而（ ）；6、极值：①当a ＞0，X=（ ）时，y 有（ ）=（ ），②当a ＜0，X=（ ）时，y 有（ ）=（ ）。
《 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章二次函数二次函数的图像和性质教学设计第 3 课时二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。
它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。
因此，本节课的内容十分重要。
1.使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2.会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
【教学重点】理解函数y=a(x－h)2＋k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系。
【教学难点】正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质。
多媒体课件等。
◆教学目标◆教材分析◆教学重难点◆◆教学过程◆课前准备◆一、复习回顾。
1. 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:1）y = ax22）y = ax2+c3）y = a（x - h）2我们已经学习了形如y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2的函数,知道了它们可以经过互相平移得到.二次函数y=a(x-h)2+k又是一条怎样的抛物线呢?它与这三条抛物线之间有什么关系?知识点一:y=a(x-h)2+k的图象和性质。
二、合作交流，探究新知。
1. 在同一坐标系内,画出二次函数y=2x²,y=2(x-1)²,y=2(x-1)²+1的图象。
6[1].2二次函数的图象和性质(2)教案(九下)
![6[1].2二次函数的图象和性质(2)教案(九下)](https://img.taocdn.com/s3/m/a6afa847fe4733687e21aabd.png)
§6.2二次函数的图象和性质（2）龙冈初中数学教研组教学目标:知识与技能：经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步体验数形结合的思想方法。
过程与方法：会作出y=ax2＋c的图象，理解a与c对二次函数图象的影响．能说出y=ax2＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．情感、态度与价值观：体会二次函数是某些实际问题的数学模型．教学重点:二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，教学时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．教学难点:由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．根据函数图象联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．教学方法:类比教学法。
教学过程:一、温故知新：二、操作、探究：操作1.在同一平面内画出函数y=x2与y=x2+1的图象。
探究：1、函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?2、函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?3、函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象怎样平移得到？操作2. 在同一平面内画出函数y=x2与y=x2-2的图象。
探究：1. 函数x 2-2的图象与y=x 2的图象的位置有什么关系?2. 函数x 2-2的图象与y=x 2的图象的形状相同吗? 3函数x 2-2的图象可由y=x 2的图象怎样平移得到？ 小结：函数y=a x 2 (a ≠0)和函数y= a x 2 +c (a ≠0)的图象形状 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=a x 2+c 的图象可由y=a x 2的图象向 平移 个单位得到，当c 〈0时，函数y=a x 2+c 的图象可由y=a x 2的图象向 平移 个单位得到。
三、例题教学运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m 。
求：1、球空中运行最大高度是多少米？2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ， 则他离篮筐中心的水平距离AB 是多少？5.3512+-=x y四、课堂检测(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图向平移个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向平移个单位得到。
二次函数的图象与性质优秀教案(5课时)
2．2 二次函数的图象与性质第5课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质教学目标1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．教学重点用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点．教学难点理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标是教学的难点． 教学过程一、创设情景 复习引入1．你能说出函数y ＝a(x －h)2＋k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 当a>0时,当a<0时， 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性变化 最值2. 指出一些典型二次函数的顶点坐标、最值、对称轴 二、自主学习 讲授新课活动1：我们已经知道y=a(x -h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？你知道怎样去配方？想一想：配方法及步骤是什么？ 演示配方过程（详见课件） (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 三、合作探究 达成目标探究点 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质活动2：让学生动手操作，据列表，描点，连线画出函数y ＝12（x -6）2+3的对称轴及顶点坐标．答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.活动3：二次函数y ＝12（x -6）2+3可以看作是由y ＝12x 2怎样平移得到的？ 答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 活动4：如何用描点法画二次函数y ＝12x 2 -6x+21的图象？ 解: 先利用图形的对称性列表然后描点画图，得到图象 如右图.活动5： 结合二次函数y ＝12x 2 -6x+21的图象，说出其增减性. 如右图当x<6时，y 随x 的增大而减小； 当x>6时，y 随x 的增大而增大.试一试你能用上面的方法讨论二次函数y ＝2x 2 -8x+7的图象和性质吗？针对训练：典例精析．例1：求二次函数y=2 x 2-8x+7图象的对称轴、顶点坐标和增减性. 答案（详见课件） 做一做确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和增减性(1)y=3x2-6x+7 (2)y=2x2-12x+8 答案（详见课件）例2：求二次函数y=ax 2+bx+c 图象的对称轴、顶点坐标 答案（详见课件） 总结：因此，二次函数y =ax 2+bx +c 图象的顶点坐标是：（−b 2a,4ac−b 24a）对称轴是：直线x=−b2a要点归纳二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质一般地，二次函数y =ax 2+bx +c 的可以通过配方化成y =a (x -h )2+k 的形式，即因此，二次函数y =ax 2+bx +c 图象的顶点坐标是：（−b 2a ,4ac−b 24a）对称轴是：直线x=−b2a活动2：以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质．那么，对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x 2＋b a x)＋c ＝a[x 2＋b a x ＋(b 2a )2]＋c －b 24a ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下． 对称轴是x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a)展示点评：对于函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 分析的它的图象与性质，首先通过配方法，把它写成顶点式的形式y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a，可以根据a 的符号写出有关性质．反思小结：a>0a<0向上 向下 四、总结梳理 内化目标 1．用配方法把二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c写成顶点式y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a2．利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质解决实际中遇到的问题，例如求最大值或最小值问题．作业布置 详见（课件）教材第41页习题1(1)(2)(3)．。
新苏科版九年级数学下册《5章 二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 y=ax^2+bx+c的图像》课件_31
值看，函数
y=(x+3)2的函 y=(x-3)2 数值与y=x2
的函数值相
等时，它们
所对应的自
变量的值有
5
x
思考：从对应点的位置看函数y=(x+3)2 图像 与函 数y=x2的 图像的位置有什么关系？
10 y 8
6
4 2
-5 - -3
35
x
-6
函数y=(x+3)2 图像可以由函数y=x2的 图像沿x轴向 左平移3个单位长度得到，所以它是抛物线.这条 抛物线的对称轴是过点（-3，0）且与y轴平行的 直线，顶点坐标是（-3，0）.
-2
4
y y=-x2+3
2
-5
O
5
x
10
-2 y=-x2
-4
-6 y=-x2-2
-8
y=ax2+c (a≠0)
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0 ,c)
(0 ,c)
对称轴
y轴所在的直线
y轴所在的直线
增减性
Байду номын сангаас
当x<0时,y随着x的增大而减小 当x>0时,y随着x的增大而增大
当x<0时,y随着x的增大而增大 当x>0时,y随着x的增大而减小
-5
-1 0 1 2 …
1 0 14
2125 … y y=x2+1 8
6
你能说说这 函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
4
个图象有哪
些性质吗？ 函数y=x2+1的图
象与y=x2的图象
二次函数的图像与性质(教案)
二次函数的图像与性质（教案）教学目标：一. 知识与技能：1. 通过对二次函数性质习题的讲评，使学生熟练掌握二次函数的图像与性质2. 懂得从图像中获取有关的性质信息。
3. 使学生会通过图像求二次函数的解析式。
二. 过程与方法：通过数形结合理解二次函数的性质。
三. 情感态度与价值观：培养数形结合思想，体验函数具体解决现实问题的功能。
教学重点：如何在图像中获取有用的信息。
教学难点：性质的综合应用教学过程：一. 引入：华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”要真正的研究数学就应该数形结合，研究函数就是用数形结合的思想二次函数是函数问题中的主要内容，中考试题中年年考查，可以出简单题、中档题甚至于综合性难题，但实际上有相当一部分的题型都跟二次函数的图像与性质有关，本节课通过对我们做过的习题进行讲评，使同学们熟练掌握二次函数的图像与性质二.讲评：一. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的性质：1.图像位置一题.5. 在同一坐标系中，函数y=-x-1和y=x²+2x+1）总结抛物线()20yax bx c a=++≠的性质：b同号b=0b异号=40ac40ac=抛物线与最小值。
0时，顶点纵坐标最大值。
当0y =时，即轴的【练习】 已知反比例函数xy =的图像如下右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图像大致为（ ）【总结】灵活运用二次函数中24ab c b ac -、、、的性质在图像中解题，也就是根据抛物线确定二次函数解析式中字母系数的取值范围，很好地体现了数形结合的数学思想，这就需要大家对于二次函数的性质与图像要比较熟悉，并能在图像中从这些性质来思考解决问题的思路。
2.图像对称性二题4. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于(-1, 0)和(5, 0)两点, 则该抛物线的对称轴是【总结】二次函数的对称性：二次函数的图像是一个关于对称轴2bx a=-对称的轴对称图形，当抛物线上两点的纵坐标相同，即()()12,,,x y x y 时，1222x x ba+=-。
初中数学人教九年级上册第二十二章 二次函数2二次函数一般式的图像及性质教案
二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质第1课时教学目标：知识与技能：能熟练地将二次函数一般式化为顶点式，并能求出它的顶点坐标，对称轴. 过程与方法：经历一般式化为顶点式的过程，进一步体会转化的数学思想.情感态度与价值观：在学生探究问题的过程中，发展学生合作意识，培养刻苦钻研的精神. 教学重难点：重点：会熟练求出二次函数一般式c bx ax y ++=2的顶点坐标、对称轴.难点：会用配方法或公式法将一般式c bx ax y ++=2化成顶点式()k h x a y +-=2教学过程：一、温故知新：填空：回顾()k h x a y +-=2的性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性 二、探究新知：我们已经知道()k h x a y +-=2的图像和性质，能否利用这些知识来讨论26212+-=x x y 的图像和性质呢？问题1 怎样将26212+-=x x y 化成()k h x a y +-=2的形式？（学生思考回答，教师引导完成配方）.问题2 怎么去画出26212+-=x x y 的函数图象？ 学生思考回答：1.平移及过程，教师演示平移动画（几何画板）；2.直接作图：列表、描点、连线，教师演示画图过程.归纳：1.26212+-=x x y 的图象的性质 开口方向： 对称轴： 定点坐标： 增减性： 图象： 2.二次函数26212+-=x x y 图象的画法：①化：化为顶点式；②定：开口方向、对称轴、顶点坐标；③画：列表、描点、连线. 问题3 你能把c bx ax y ++=2配成()k h x a y +-=2的形式吗？ 学生活动，教师指导，集体订正.结论：c bx ax y ++=2→a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=对比顶点式，你能说出c bx ax y ++=2的对称轴、顶点坐标吗？归纳：c bx ax y ++=2的图象和性质观看趣味视频：从一般式到顶点式三、例题解析： 写出抛物线c bx ax y ++=2的开口方向、对称轴、顶点坐标练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标开口方向 对称轴顶点坐标（1）x x y 232+=（2）x x y 22--=+2四、课堂小结：1.同学们，这节课的学习你有哪些收获呢？学生自行归纳总结2.知识框架图五、提升训练：练习册28页例3及变式训练六、教学反思：教学流程设计合理，教学过程学生反馈较好，但是未能及时对部分学困生进行辅导，学生动手操作的时间较少，应对部分环节进行处理，突出学生学习的主体性。
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二次函数y＝ax2的图象和性质
一、阅读课本：
二、学习目标：
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．
三、探索新知：
画二次函数y＝x2的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标
平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3
…
y＝x2 … …
描点，并连线
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2的图象是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．
3．自变量x的取值范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________
对称，从而图象关于___________对称．
5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y＝x2的_________．
因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．
6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”） ．
四、例题分析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝12 x2，y＝x2，y＝2x2的图象．
解：列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
…
y＝x2 … …
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
…
y＝12 x2
… …
x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
…
y＝2x2 … …
描点、连线
归纳：抛物线y＝12 x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；
对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－12 x2， y＝－2x2的图象．
列表：
x … －4 -3 －2 －1 0 1 2 3 4
…
y＝
-x2
… …
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
…
y=－12 x2
… …
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
…
y＝－2x2 … …
归纳：抛物线y＝－x2，y＝－12 x2， y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，对称
轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”） ．
五、理一理
1．抛物线y＝ax2的性质
图象（草图） 开口 方向 顶点 对称轴 有最高或最低点 最值
a＞0 当x＝____时，y有最_______
值，是______．
a＜0 当x＝____时，y有最_______
值，是______．
2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜ 越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜ 越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练
1．填表：
开口方向 顶点 对称轴 有最高或最低点 最值
y＝23 x2
当x＝____时，y有最
_______值，是______．
y＝－8x2
2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________．
3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________．
4．如图， ① y＝ax2
② y＝bx2
③ y＝cx2
④ y＝dx2
比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接．
___________________________________
七、目标检测
1．函数y＝37 x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y＝mx22m有最低点，则m＝___________．
3．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值
范围为___________．
4．写出一个过点（1，2）的函数解析式_________________．