3-2第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
2025年高考数学总复习课件30第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平 方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值 的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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(2)已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( )
√A．2215
B．2251
C．45
D．54
A
解析：
sin
α(sin
α － cosຫໍສະໝຸດ α) ＝ sin2α － sinαcos
α
＝
sin2 α－sinα cos sin2 α+ cos2 α
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母 同时除以一个余弦的最高次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就 可以求出这个分式的值．
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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【常用结论】
1．sin α＝± 1－ cos2 α；cos α＝± 1－ sin2 α； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos
α.
2
．sin2α
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值 例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3： 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4： 已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角， 则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。
2025年高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系与诱导公式【课件】
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
【例3】 （多选）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos
论正确的是（
A.
π
θ∈（ ，π）
2
C. tan
3
θ＝－
4
）
B. cos
3
θ＝－
5
D. sin θ－ cos
7
θ＝－
＋2＝
＋2＝
＋2
1
2
2
2
2
+1
si ＋
（2） +1
si2
13
＝ .
5
2
诱导公式的应用
【例4】 （1）已知α为锐角，且 cos
3π
）＝（
4
A.
1
－
2
C. －
3
2
）
1
B.
2
D.
3
2
π
1
（α＋ ）＝－ ，则
4
2
cos （α＋
π
π
3π
解析：由α为锐角得 ＜α＋ ＜ ，所以
2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋ cos α， sin α cos α，
sin α－ cos α这三个式子，利用（ sin α±cos α）2＝1±2 sin α cos α，
可以知一求二.
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
5
A.
6
17
B.
18
8
C.
9
2
D.
3
3-2第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式练习题(2015年高考总复习)
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．tan 8π3的值为( ) A.33 B ．－33 C. 3D ．－ 3解析 tan 8π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3.答案 D2．已知α是第四象限角，且sin α＝－35，则tan α＝( ) A.34 B ．－34 C.43D ．－43解析 ∵α是第四象限角，且sin α＝－35，∴cos α＝45，tan α＝－34. 答案 B3．(2014·玉溪一中月考)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析 ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－43. 答案 D4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1解析 方法1：由sin α－cos α＝2， 得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1，∵0＜α＜π，∴－π4＜α－π4＜34π. ∴α＝34π，∴tan α＝－1.方法2：由sin α－cos α＝2，两边平方得sin2α＝－1. ∵α∈(0，π)，∴2α＝32π，α＝34π，∴tan α＝－1. 答案 A5．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )A.916 B ．－916 C ．－34D.34解析 ∵方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－35，由题知sin α＝－35，∴cos α＝－45，tan α＝34，∴原式＝cos α·(－sin α)tan 2αsin αcos α＝－tan 2α＝－916. 答案 B6．(2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析 由sin α＋2cos α＝102， 再结合sin 2α＋cos 2α＝1得⎩⎨⎧sin α＝－110，cos α＝310，或⎩⎨⎧sin α＝310，cos α＝110，所以tan α＝－13或tan α＝3， 代入tan2α＝2tan α1－tan 2α得tan2α＝－34. 答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案 08．(2014·天津一中模拟)已知sin x cos x ＝38，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos x－sin x ＝________.解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin x >cos x ，即cos x －sin x <0，∴(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝14，∴cos x －sin x ＝－12. 答案 －129．(2013·四川卷)设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．解析 由sin2α＝－sin α得2sin αcos α＝－sin α，由α∈(π2，π)，所以sin α≠0，从而cos α＝－12，所以α＝23π，tan2α＝tan 43π＝ 3.答案3三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13. ∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18. 11．(2013·广东卷)已知函数f (x )＝2cos(x －π12)，x ∈R . (1)求f (－π6)的值；(2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (2θ＋π3)． 解 (1)f (－π6)＝2cos(－π6－π12) ＝2cos(－π4)＝2cos π4＝1. (2)f (2θ＋π3)＝2cos(2θ＋π3－π12) ＝2cos(2θ＋π4) ＝cos2θ－sin2θ.因为cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，所以sin θ＝－45.所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725. 所以f (2θ＋π3)＝cos2θ－sin2θ＝－725－(－2425)＝1725.12．已知sin θ，cos θ是方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个根，3π2＜θ＜2π，求θ.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝m ，sin θ·cos θ＝2m －14，Δ＝16(m 2－2m ＋1)≥0，代入(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ， 得m ＝1±32，又3π2＜θ＜2π，∴sin θ·cos θ＝2m －14＜0， 即m ＝1－32.∴sin θ＋cos θ＝m ＝1－32， sin θ·cos θ＝－34. 又∵3π2＜θ＜2π，∴sin θ＝－32，cos θ＝12.∴θ＝5π3.。
3-2第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式(2015年高考总复习)
1 B. 2 3 D．± 2
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第三章
第二节
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解析
1 1 ∵sin(π＋α)＝－sinα＝ ，∴sinα＝－ . 2 2
2
3 ∴cosα＝± 1－sin α＝± . 2
答案 D
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【规律方法】
熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相
应三角函数值的符号是解题成败的关键．观察已知角与所求角之 间的关系，合理选用诱导公式，将不同名的化为同名，将不同角 的化为同角．
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第三章
第二节
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解析
5π π 1 ＋ α ＋ α (1)sin 2 ＝sin 2 ＝cosα＝ ，∴选 5
C.
sinθ＋cosθ＝ 2， (2)由 2 2 sin θ＋cos θ＝1，
2 解得 sinθ＝cosθ＝ ，所以 tanθ＝ 2
π tanθ＋tan3 1＋ 3 π sinθ θ＋ ＝ 3 cosθ＝1.所以 tan π＝1－1× 3＝－2－ 3. 1－tanθtan 3
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第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形
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第二节 ►►同角三角函数的基本关系与诱导公式
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拓思维· 培能力
π sin(π－α)＝sinα，sin2＋α＝cosα
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点同角三角函数的基本关系与诱导公式是解决三角函数之间的相互关系的重要工具。
它们包含了三角函数的定义、性质和相互之间的关联，通过这些关联可以简化三角函数的计算和推导，提供了解决三角函数问题的便捷方法。
在学习和应用三角函数时，掌握这些知识点非常重要。
基本关系：sinθ = 角对边 / 斜边cosθ = 邻边 / 斜边tanθ = 角对边 / 邻边这些定义描述了角度和三角函数之间的基本关系。
通过这些基本关系，可以推导出其他三角函数之间的关系。
诱导公式：诱导公式是通过基本关系推导得到的，它们描述了不同角度的三角函数之间的关系。
常用的诱导公式有：1.正弦的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(2π - θ) = -sinθ2.余弦的诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π -θ) = -cosθcos(2π - θ) = cosθ3.正切的诱导公式：tan(π/2 - θ) = cotθtan(π/2 + θ) = -cotθtan(π - θ) = -tanθtan(2π - θ) = tanθ4.余切的诱导公式：cot(π/2 - θ) = tanθcot(π/2 + θ) = -tanθcot(π- θ) = -cotθcot(2π - θ) = cotθ通过这些诱导公式，可以将一个三角函数的值转化为与之相关的其他三角函数的值，从而简化计算和推导的过程。
这些基本关系和诱导公式在解决各种三角函数问题时是非常有用的。
通过掌握这些知识点，我们可以灵活运用三角函数的定义和性质，快速推导出需要的结果。
在解决具体问题时，可以利用诱导公式将所给角度转化为更简单的角度，从而获得更便捷的计算方法。
此外，这些基本关系和诱导公式还可以用于推导其他三角函数的性质和公式，扩展和深入了解三角函数的知识，为进一步研究和应用三角函数打下坚实基础。
第二节-同角三角函数基本关系式与诱导公式
∴sin2α+144 sin2α=169 sin2α=1,
25
25
又由α为第二象限角知sin α>0,
∴sin α= 5 ,故选C.
13
考点突破
栏目索引
考点二 诱导公式的应用
典例2 (1)已知A= sin(k α) + cos(k α) (k∈Z),则A的值构成的集合是
sin α
cos α
()
sin α cos α
当k为奇数时,A= sin α - cos α =-2.
sin α cos α
∴A的值构成的集合是{2,-2}.
(2)f(x)= sin x sin x =-tan2x,
cos x (cos x)
f
21
4
=-tan2
21
4
=-tan2
3 4
π=-1.
考点突破
栏目索引
考点突破
栏目索引
易错警示
1.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可 直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.
由①得cos α= 1 -sin α,
5
将其代入②,整理得
25sin2α-5sin α-12=0.
∵α是三角形的内角,
∴sin α= 4 ,∴cos α=- 3 ,
5
5
∴tan α=- 4 .
3
(2)
cos2α
1
sin2α
=
sin2α cos2α cos2α sin2α
高考数学(理)总复习课件：同角三角函数的基本关系与诱导公式
D. 1＋k2
[解析] 由cos α＝k，k∈R，α∈ π2，π ，可知k＜0，设
角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，|OP|＝1，所以 k2＋y2＝1，得
y＝ 1－k2，由三角函数定义可知sin α＝ 1－k2.
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1 (2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝___4_4_2___. [解析] 因为sin 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝ cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋ sin246°＝1，而sin245°＝12，故原式＝44＋12＝4412.
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考点二 诱导公式的应用[师生共研过关]
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[典例精析]
(1)设f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α 1＋sin2α＋cos32π＋α－sin2π2＋α
(1＋2sin
α≠0)，则f－236π＝____3____.
[解析] 因为f(α)＝
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (2)sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1. (3)若α∈R，则tan α＝csions αα恒成立． (4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (5)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2＝
sin2α＋sin αcos α sin2α＋cos2α
＋2＝
tan2α＋tan tan2α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
考法(三) “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系的应用 返回
同角三角函数的基本关系与诱导公式 (共32张PPT)
[题组练透]
1．已知
5π 1 sin 2 ＋α＝ ，那么 5
cos α＝ 1 B．－ 5 2 D． 5
(
)
＋α＝sin2＋α＝cos
1 α＝ . 5
sinkπ＋α coskπ＋α 2．已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是 sin α cos α ( A．{1，－1,2，－2} C．{2，－2} B．{－1,1} D．{1，－1,0,2，－2} )
第二节
同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础盘查一
同角三角函数的基本关系
(一)循纲忆知
sin α 理解同角三角函数的基本关系式： sin α＋cos α＝1， ＝tan α. cos α
2 2
同角三角函数的基本关系：
sin α + cos α = 1
2
2
sinα = tanα cosα π (当α ≠ kπ + (k∈ Z)时） 2
用文字叙述：
同一个角α的正弦、余弦的平方 和等于１，商等于角α的正切；同一 个角的正切、余切之积等于１（即同 一个角的正切、余切互为倒数）。
为了加深对关系式的认识，注意以下几 点 ： 1、同角的理解：
sin 4 cos 4 1
2 2
2 2
sin ( ) cos ( ) 1
3 . 3
5．化简：
3π tanπ－αcos2π－αsin－α＋ 2
cos－α－πsin－π－α
.
－tan α· cos α· －cos α 解：原式＝ cosπ＋α· －sinπ＋α sin α · cos α tan α· cos α· cos α cos α ＝ ＝ －cos α· sin α －sin α ＝－1.
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第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．tan 8π
3的值为( ) A.33 B ．－3
3 C. 3
D ．－ 3
解析 tan 8π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π3＝tan 2π
3＝－ 3.
答案 D
2．已知α是第四象限角，且sin α＝－3
5，则tan α＝( ) A.34 B ．－3
4 C.43
D ．－4
3
解析 ∵α是第四象限角，且sin α＝－35，∴cos α＝45，tan α＝－3
4. 答案 B
3．(2014·玉溪一中月考)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1
5x ，则tan α＝( )
A.43
B.34 C ．－34
D ．－43
解析 ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝1
5x ＝
x x 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－4
3. 答案 D
4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－2
2 C.22
D ．1
解析 方法1：由sin α－cos α＝2， 得2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝2， 即sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫α－π4＝1，∵0＜α＜π，∴－π4＜α－π4＜3
4π.
∴α＝3
4π，∴tan α＝－1.
方法2：由sin α－cos α＝2，两边平方得sin2α＝－1. ∵α∈(0，π)，∴2α＝32π，α＝3
4π，∴tan α＝－1. 答案 A
5．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2
(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2＋α＝( )
A.9
16 B ．－916 C ．－34
D.34
解析 ∵方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－3
5，由题知sin α
＝－35，∴cos α＝－45，tan α＝34，
∴原式＝cos α·(－sin α)tan 2αsin αcos α＝－tan 2
α＝－916. 答案 B
6．(2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34
D ．－43
解析 由sin α＋2cos α＝10
2， 再结合sin 2α＋cos 2α＝1
得⎩⎨⎧
sin α＝－1
10
，
cos α＝
310
，或⎩⎨⎧
sin α＝3
10
，
cos α＝
110
，
所以tan α＝－1
3或tan α＝3， 代入tan2α＝2tan α
1－tan α
得tan2α＝－3
4. 答案 C
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2
α＋sin α1＋1tan 2α＝
________.
解析 原式＝cos α
sin 2α＋cos 2α
cos 2α
＋sin αsin 2α＋cos 2α
sin 2α
＝cos α1|cos α|＋sin α1
|sin α|，∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α1|cos α|＋sin α1
|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.
答案 0
8．(2014·天津一中模拟)已知sin x cos x ＝3
8，且x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2，则cos x
－sin x ＝________.
解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，π2，∴sin x >cos x ，即cos x －sin x <0，∴(cos x －sin x )2
＝1－2sin x cos x ＝1
4，
∴cos x －sin x ＝－1
2. 答案 －1
2
9．(2013·四川卷)设sin2α＝－sin α，α∈(π
2，π)，则tan2α的值是________．
解析 由sin2α＝－sin α得2sin αcos α＝－sin α，由α∈(π
2，π)，所以sin α≠0，从而cos α＝－12，所以α＝23π，tan2α＝tan 4
3π＝ 3.
答案
3
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知sin(3π＋θ)＝1
3，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]
＋
cos (θ－2π)
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2＋θ的值．
解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13. ∴原式＝
－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ
cos θ·(－cos θ)＋cos θ
＝
11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋1
1－cos θ
＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫－132
＝18. 11．(2013·广东卷)已知函数f (x )＝2cos(x －π
12)，x ∈R . (1)求f (－π
6)的值；
(2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (2θ＋π
3)． 解 (1)f (－π6)＝2cos(－π6－π
12) ＝2cos(－π4)＝2cos π
4＝1. (2)f (2θ＋π3)＝2cos(2θ＋π3－π
12) ＝2cos(2θ＋π
4) ＝cos2θ－sin2θ.
因为cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，所以sin θ＝－4
5.
所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－7
25.
所以f (2θ＋π3)＝cos2θ－sin2θ＝－725－(－2425)＝17
25.
12．已知sin θ，cos θ是方程4x 2
－4mx ＋2m －1＝0的两个根，3π
2＜
θ＜2π，求θ.
解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＋cos θ＝m ，
sin θ·cos θ＝2m －14，
Δ＝16(m 2
－2m ＋1)≥0，
代入(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ， 得m ＝1±32，
又3π
2＜θ＜2π，∴sin θ·cos θ＝2m －14＜0， 即m ＝1－32. ∴sin θ＋cos θ＝m ＝1－32，
sin θ·cos θ＝－3
4. 又∵3π
2＜θ＜2π，
∴sin θ＝－32，cos θ＝12.∴θ＝5π
3.。