1.3三角函数的诱导公式(二)
1.3.1三角函数的诱导公式2
玛纳斯县一中
温故知新
任意角三角函数的定义
定 义
图
单 位 圆 中
y P(x,y) 。 α
一 般 地
P(x,y)
sin
cos
y
x
y x
tan
| OP | r(r 0) y r x r y x
想一想，记一记
角度a 弧度a sina 0°
6
2. 填写下表：
45° 60° 90° 180° 270°
cosa tana
归纳总结
y α 的终边
P(x,y)
．
x
诱导公式（一）：
o
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos t an( k 2 ) t an (k z )
α的终边
角终边关于y轴对称
x
o
x
归纳总结
sin( 2k ) sin
公式一：
公式二：
cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π －α ）=－sinα 等.
课本P29
1，4. 1
再见！
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
的三角函数
锐角三 角函数
学以致用 例２.化简
cos(180 ) sin( 360) sin( 180) cos(180 )
1.3三角函数的诱导公式2课件人教新课标
11
2
sin
9
2
.
原式=
sin
cos
sin
cos
5
2
=
cos sin
sin2 cos
cos
sin
2
=
sin 4 sin
2
tan
cos
sin
sin
sin
2
cos
填表:
α
4
5
5
7
8
11
3
4
3
4
3
4
sinα
3
2
3
2
2
2
cosα
1 2
2 2
1 2
2 3 2
填在题中横线上
1 cos 13 __co_s_94__;
9
2sin 1 __s_i_n_1_;
3
sin
5
sin
_____5_;
4 cos 70 6 c_o_s_7_0_1_6.
利用公式一～四把任意角的三角函数转 化为锐角函数,一般可按下面或一
α P(y,x)
2
O
x
y=x
2
2
由公式四同公式五得
公式六
sin
2
cos ,
cos
2
sin .
公式五 公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin.
sin
2
cos ,
cos
2
sin .
的正弦
2
(余弦)函数值,分 别等于α的余弦 (正弦)函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原函 数值的符号.
1.3.2 三角函数的诱导公式(二)教案
湖 南 省 娄 底 市 双 峰 县 第 五 中 学 集 体 备 课 教 案高 一 年 级 数 学 组- 1 -教学环节设计 知识点解析、师生互动 教学后记课题：1.3.2 三角函数的诱导公式(二) 教学目标：1.进一步理解和掌握六组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2.通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力.教学重点：诱导公式及诱导公式的综合运用.教学难点：公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 教学过程：（导入→自学→展示→探讨→展示→讲解点拨→评价小结→练习总结） 一、导入新课 角2π-α与角α终边之间有怎样的对称关系，能否从任意角三角函数的定义出发利用这一对称关系探求角2π-α与角α的三角函数值之间的关系呢？ 二、自主学习 自学任务：课本P26—P27，独立完成导学案。
三、展示评价 (学生展示导学案答案、教师评价解析) 四、小组探讨 （分组讨论、解答探究案） 五、展示评价 （分组展示探究案答案、教师评价解析） 六、课堂小结 七、检测反馈 （学生独立完成练习案、教师巡查点拨） 一、导学案答案解析二、探究案答案解析例1 13. 例2 略例3 5716. 三、检测案答案解析1．A 2．A 3．C 4．C 5．－13 6.892 7．2 8．解 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θ·cos θ＋cos θ ＝1cos θ＋1＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ. ∵sin θ＝33，∴原式＝6. 9．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
1.2.3三角函数的诱导公式2
小结
诱导公式
2 k 2 "偶" " 奇 " 3 2 2 不 变 变 n n 2 符号看 " 象限 " 2 n为奇数 n为偶数
函数名不变， 符号看象限
（将α看成锐角）
诱导公式 四：
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan .
公式五
• 复习初中知识
sin 30
cos60 sin45 cos45 sin60 cos30
y
P( x, y)
p4 ( y, x )
cos(
2
O
A(1,0)
2
公式六
2
• 用公式五证明下式成立
) cos ) sin
p5 ( y, x )
2
sin(
cos(
2
y
P( x, y)
O
A(1,0)
诱导公式五： 诱导公式六： sin( ) cos , sin( ) cos , 2 2 cos( ) sin . cos( ) sin . 2 2 函数名改变，符号看象限
0
) 3, 例3. 已. 4cos( ) sin(2 )
综合练习
求值或化简 1.sin 1 sin 2 sin 3
2 2 2
sin 89
2
sin cos sin cos 2 2 2 . 2. cos sin
高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 三角函数的诱导公式(2)课后习题 新人教A版必修4-新人教A
诱导公式（2）一、A组1.已知sin(π-α)=,则cos等于()A. B. C.- D.-解析:∵sin(π-α)=,∴sin α=.∴cos=-sin α=-.答案:C2.若α∈,则=()A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α解析:∵α∈,∴sin α<0,∴=-sin α.答案:B3.若sin>0,cos>0,则角α的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵sin>0,cos>0,∴cos α>0,sin α<0.∴角α的终边在第四象限.答案:D4.sin(π-2)-cos化简的结果是()A.0B.-1C.2sin 2D.-2sin 2解析:sin(π-2)-cos=sin 2-sin 2=0.答案:A5.=()A.-cos αB.cos αC.sin αD.-sin α解析:原式===-cos α.答案:A6.求值:sin2+sin2=.解析:∵-α++α=,∴sin2=sin2=cos2.∴sin2+sin2=sin2+cos2=1.答案:17.若α是三角形内角,且sin=-sin,则α=.解析:∵sin=-sin,∴cos α=-.∵0<α<π,∴α=.答案:8.若sin,则cos2=.解析:sin=cos θ=,则cos2=sin2θ=1-cos2θ=1-.答案:9.已知sin,求cos sin的值.解:cos sin=cos sin=sin sin.10.已知f(α)=.(1)证明:f(α)=sin α.(2)若f=-,且α是第二象限角,求tan α.(1)证明:因为f(α)====sin α.(2)解:由sin=-,得cos α=-.又α是第二象限角,所以sin α=,则tan α==-.二、B组1.若sin(3π+α)=-,则cos等于()A.-B.C.D.-解析:∵sin(3π+α)=sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=.∴cos=cos=cos=-sin α=-.答案:A2.A,B,C为△ABC的三个内角,下列关系式中不成立的是()①cos(A+B)=cos C②cos=sin③tan(A+B)=-tan C④sin(2A+B+C)=sin AA.①②B.③④C.①④D.②③解析:因为cos(A+B)=-cos C,所以①错;cos=cos=sin,所以②正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,所以③正确;sin(2A+B+C)=sin(π+A)=-sin A,所以④错,故选C.答案:C3.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为()A.-B.-C.D.解析:由已知得,-sin α-sin α=-a,即sin α=.故cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=- a.答案:B4.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,则=.解析:由已知得sin α=-.因为α是第三象限角,所以cos α=-,tan α=.所以原式=.答案:5.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=.解析:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+…+cos 21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+.答案:6.导学号08720020已知α是第二象限角,若cos=-,则是第象限角.解析:∵cos=-=-=-=-,∴cos<0.又α为第二象限角,∴为第一或第三象限角,∴必为第三象限角.答案:三7.已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=.(1)求tan α的值;(2)求的值.解:(1)由故tan α=-.(2)原式==tan α=-.8.导学号08720021若.(1)求tan(x+π)的值;(2)求的值.解:(1)∵=,∴10(sin x-cos x)=3sin x+4cos x,即sin x=2cos x,∴tan x=2.∴tan(x+π)=tan x=2.(2)∵sin2x+cos2x=1,∴原式===-.。
第一章 1.3(二) 三角函数的诱导公式(二)
§1.3 三角函数的诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题. 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．知识点一 诱导公式五 诱导公式五知识点二 诱导公式六 诱导公式六知识点三 诱导公式的推广与规律1．sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α. 2．诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．1．诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( × ) 提示 诱导公式五、六中的角α是任意角．2．诱导公式五、六与诱导公式一～四的主要区别在于函数名称要改变．( √ ) 提示 由诱导公式一～六可知其正确． 3．sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝±cos α.( × )提示 当k ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝sin(π－α)＝sin α.4．口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．( × ) 提示 应看原三角函数值的符号.题型一 利用诱导公式求值例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 反思感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．跟踪训练1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值等于( ) A.23 B ．－23 C.53 D ．±53 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 A解析 因为⎝⎛⎭⎫α＋π4＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23. 题型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α ＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．反思感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)整合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．跟踪训练2 证明：sin (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αcos (π－α)tan (α－3π)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫7π6－2α＝－cos α. 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明证明 因为左边＝sin (－α)cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α(－cos α)tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝sin αcos αcos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αsin αcos αcos α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos α＝右边，所以等式成立．诱导公式的综合应用典例 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简与求值 解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.[素养评析] (1)解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．(2)掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果，通过运算促进数学思维的发展，提升数学运算的数学核心素养.1．已知sin α＝513，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( ) A.513 B.1213 C ．－513 D ．－1213 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－513. 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α等于( ) A ．－13 B.13 C.233 D ．－233考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 B解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13. 3．(2018·泰安高一检测)若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 A4．(2018·江西赣州联考)设tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－1 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 答案 B 解析sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝－tan α－11－tan α＝－3－11－3＝2.5．求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、证明 证明 右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边， 所以原等式成立．1．诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成⎝⎛⎭⎫0，π2内的三角函数值”这种方式求解． 用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：一、选择题1．已知cos α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2等于( ) A.14 B ．－14 C.154 D ．－154 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝14. 2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A.15B ．－15C ．－265D.265.考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 B解析 cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的结果是( ) A ．1 B ．sin 2α C ．－cos 2α D ．－1 考点 异名诱导公式的综合 题点 异名诱导公式的综合应用 答案 C解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α， cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α， tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α， 所以原式＝cos α(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，故选C.4．已知sin(π＋α)＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫α－32π的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－22考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 A解析 由sin(π＋α)＝12，得sin α＝－12，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α＝12. 故选A.5．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α等于( ) A.355B.377C.31010D.13考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，sin 2α＋cos 2α＝1， 可得sin α＝31010.6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cosA ＋C2＝sin B D ．sinB ＋C 2＝cos A2考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明 答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 项正确． 7．计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°等于( ) A ．89 B ．90 C.892D ．45考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 C解析 ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…，∴sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝44＋12＝892.二、填空题8．(2018·锦州高一检测)已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝ . 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 －223解析 因为－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13>0. 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 由⎝⎛⎭⎫π12－α＋⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 9．(2018·吉林长春外国语学校)化简sin (－x )cos (π－x )sin (π＋x )cos (2π－x )－sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos (－x )＝ .考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简 答案 0 解析sin (－x )cos (π－x )sin (π＋x )cos (2π－x )－sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos (－x )＝(－sin x )(－cos x )(－sin x )cos x －sin x (－cos x )sin x cos x＝－1＋1＝0.10．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝ . 考点 题点答案 1解析 原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)]＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1.11．给出下列三个结论，其中正确结论的序号是 ． ①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角； ②若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13；③若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－1tan α. 考点 综合应用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明 答案 ③解析 由诱导公式二，知α∈R 时，sin(π＋α)＝－sin α，所以①错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos [(2k ＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以②错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α－sin α＝－1tan α，所以③正确．三、解答题12．(2018·银川高一检测)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35， 求⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫α＋32π·sin ⎝⎛⎭⎫32π－α·tan 2()2π－α·tan ()π－α÷⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 解 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35， 所以cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝(－cos α)(－cos α)tan 2α(－tan α)sin α(－sin α)＝tan α＝±34. 13．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值题点 综合运用诱导公式求值解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α，∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.14．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)等于() A ．2 B ．－2 C ．0 D.23考点题点答案 B15．(2018·湖北孝感八校联考)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－sin (－α)的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值题点 综合运用诱导公式化简、求值解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α，且cos α≠0.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.。
高二数学三角函数的诱导公式3
主讲老师：
复习回顾
诱导公式(一)
sin(2k ) sin (k Z) cos(2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)
复习回顾
诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan
2
)sin(
2
)sin( 9
)
.
2
讲授新课
例3. 已知tan( ) 3, 求：2cos( ) 3sin( ) 的值.
4cos( ) sin(2 )
讲授新课
例4. 已知sin( ) 4 ,且 sin cos 0,
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间
角的三 或三 角的三 二或四 角的三角
角函数
角函数
函数
0o~90o间 角的三角 函数
查表 求值
讲授新课 小结
②三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了.
讲授新课
练习3. 教材P.28练习第7题. 化简:
5
求 2sin( ) 3 tan( 3 ) 的值. 4cos( 3 )
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正
角的三 或三 角的三
角函数
角函数
讲授新课
小结
三角函数的诱导公式(2)
课前预习案
【自主学习】---大胆试
1.sin(2kπ+ )=______ cos(2kπ+ )=______ tan(2kπ+ )=_______
2.sin(π+ )=______ cos(π+ )=_________ tan(π+ )=_______
3.sin(－ )=____________cos(－ )=____________ tan(－ )=__________
4.sin(π－ )=_____ cos(π－ )=_________ tan(π－ ))=_______
5.sin( － )=________ cos( － )=_________
6.sin( + )=________ cos( + )=________
【展示点评】--------我自信
具体要求①看规范（书写、格式）②看对错，找出关键词补充、完善③点评内容，讲方法规律④面带微笑，全面展示自我⑤用最大最美的普通话。⑥不重复别人已经评价和质疑的。
课堂探究案
图1
探究一、
问题1.结合图1角 的终边与角 — 的终边有什么关系？
那么角 与角 — 的正弦、余弦函数值之间有什么关系？
问题2.ห้องสมุดไป่ตู้ — 的与角 + 有什么关系？
那么角 与角 + 的正弦、余弦函数值之间有什么关系？
问题3.观察诱导公式五、六的函数名称和符号规律，你能总结出它们的记忆规律吗？
问题4.观察诱导公式一，二，三，四、五、六的函数名称和符号规律，你能总结出它们的记忆规律吗
3用“±”或“ ±α”公式化为锐角的三角函数
【整合提升】-------我能做
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1．3诱导公式（二）教学目标（一）知识与技能目标
⑴理解正弦、余弦的诱导公式．
⑵培养学生化归、转化的能力．
（二）过程与能力目标
（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．
（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
（三）情感与态度目标
通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．
教学重点
掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点
运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
教学过程
一、复习：
诱导公式（一）
tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）
tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(ααα
ααα=+︒-=+︒-=+︒
诱导公式（三） tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααα
ααα-=-=--=-
诱导公式（四） sin(－)=sin cos( －)=－cos tan (－)=－tan 诱导公式(五)
sin )2
cos( cos )2sin(ααπ
ααπ=-=- 诱导公式（六） sin )2
cos( cos )2sin(ααπ
ααπ-=+=+ 二、新课讲授： 练习1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：
).3
17sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan
)1(πππ-︒ 练习2：求下列函数值： ).580tan )4( ,670sin )3( ),4
31sin()2( ,665cos
)1(︒︒-ππ 例1．证明：（1）ααπcos )23sin(-=- （2）ααπsin )23cos(-=- 例2．化简：.)2
9sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++- 的值。
求：已知例)
sin(2)4cos()3sin()2cos( ,3)tan( .3απααπαπαπ-+-+--=+
解：.3tan ,3)tan(=∴=+ααπ
.73
4332tan 4tan 32sin 4cos 3sin 2cos
=-⨯+-=-+-=-+-=αααααα原式 例4. .)3cos(4)3tan(3)sin(2,0cos sin ,54)sin(的值求且已知πααππαααπα--+-<=+
小结：
①三角函数的简化过程图：
②三角函数的简化过程口诀：
负化正，正化小，化到锐角就行了.
练习3：教材P28页7．
化简: );2cos()2sin(25sin 2cos )1(αππααππα-⋅-⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛- .)
sin()360tan()(cos )2(o 2ααα-+--
例5. .273021cos ,sin 2παπαα<<=+-的两根，且的方程是关于已知ax x x .)
900sin()180cos()6cos()2sin()6tan(的值求
αααπαπαπ-︒︒--+-- 三．课堂小结 四 三
①熟记诱导公式五、六；
②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；
③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数．四．课后作业：
①阅读教材；
②《学案》P.16-P.17的双基训练.。