甘肃省兰州市2018届高三一诊数学(文)试题(含答案)
2018年高三最新 甘肃省兰州市第一中学2018第一学期高三测试题 精品
甘肃省兰州市第一中学2018—2018第一学期末高三测试题数 学一、选择题（每小题5分，共60分）1．满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A 的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．命题P ：点M 和N 都在直线l 上，则命题“非P ”是（ ） A ．点M 和点N 都不在直线l 上B ．点M 在l 上，但点N 不在l 上C ．点M 和N 可以在l 上，也可以不在l 上D ．点M 和N 中至少有一个不在直线l 上3．（文）给定公比为q （q ≠1）的等比数列{}n a ，n n n n a a a b 31323++=--，则数列{}n b （ ） A ．是等差数列B ．是公比为q 的等比数列C ．是公比为q 3的等比数列D ．既非等比数列，又非等差数列（理）i i i i i i (2005432+++++ 是虚数单位）等于 （ ）A ．0B ．1C ．iD ．－i 4．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的值域是（ ）A ．[－1，2]B ．]1,21[- C ．[－2，2]D ．[－1，1]5．已知函数m m x x x f (62)(23+-=为常数）在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为 （ ）A ．－37B ．－29C ．－5D ．－116．若函数)sin(3)(ϕω+=x x f 对任意x ∈R ，都有)4(),4()4(πππf x f x f 则-=+为（ ）A ．0B ．3或－3C ．－3D ．37．已知数列{}n a 满足*)(2,011N n n a a a n n ∈=-=+，那么a 2018的值是 （ ）A ．2018×2018B ．2018×2018C ．20182D ．2018×2018 8．函数)10)(124(log 2<<+--=a x x y a 的单调递减区间是（ ）A ．（－2，－∞）B ．（－6，－2）C ．（－2，2）D ．]2,(--∞9．已知)4tan(,5tan 1tan 1A A A +=+-π则的值为（ ）A ．－5B ．5C ．55-D ．55 10．在P （1，1），Q （1，2），M （2，3），和)41,21(N 四点中，函数x a y =的图象与其反函数图象的公共点只可能是点 （ ）A ．NB ．QC ．MD ．P11．已知)(x f 是定义在（－3，3）上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，那么 不等式0cos )(<x x f 的解集是（ ） A ．)3,2()1,0()2,3(ππ⋃⋃-- B ．)3,2()1,0()1,2(ππ⋃⋃--C ．)3,1()1,0()1,3(⋃⋃--D ．)3,1()1,0()2,3(⋃⋃--π12．若关于x 的方程a x +=--2)22(2||有实根，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．2-≥aB ．20≤≤aC ．21<≤-aD ．22<≤-a二、填空题（只填结果，每小题4分，共16分） 13．化简4sin 1-的结果是 . 14．设=+++∈=1221*,,6sina a a N n n a n 则π. 15．已知函数q f p f b f a f ab f x f ==+=)3(,)2(),()()()(且满足，则)36(f = . 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10=S 20，则S 30的值是 . 三、解答题（共74分）17．（本小题12分）已知函数.21)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-+=πf f x x b x a x f 且 （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的单调增区间；（3）函数)(x f 的图象经过怎样的平移才能使得图象对应的函数成为奇函数？18．（本小题12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且.33,1112==S a （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n an b )21(=，且数列{}n b 的前n 项和为T n ，求证：{}n b 是等比数列，并求n n T ∞→lim 的值.19．（本小题12分）设函数).,1(1)(b a x xabx x f >≠--= （1）求)(x f 的反函数);(1x f -（2）判断)(1x f -在),(+∞-b 上的单调性，并用函数单调性定义加以证明.20．（本小题12分）已知,093109≤+⋅-xx 求函数2)21(4)41(1+⋅-=-x x y 的最大值和最小值.21．（本小题12分）已知函数)(],1,0[),,()(23x f x R b a b ax x x f ∈∈++-=若图象上任意一点处切线的斜率为k ，当|k|≤1时，求a 的范围.22．（本小题14分）设a 是实数，试讨论关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数.高三数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.D2.D3.C4.A5.A6.B7.B8.B9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题（每小题4分，共16分）13．2cos 2sin - 14．0 15．2p+2q 16．0 三、解答题（共74分） 17．（本小题12分）解：（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==21)4(23)0(πf f 得⎪⎩⎪⎨⎧==123b a …………1分)32sin(2sin 212cos 2323cos sin cos 3)(2π+=+=-+=x x x x x x x f ……3分 故最小正周期π=T （2）由)(223222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得 )(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 故)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ …………8分 （3）将)32si n ()(π+=x x f 的图象向右平移6π个单位，得xx 2sin )3)6(2sin[=+-ππ才能使图象对应的函数为奇函数.18．（本小题12分）解：（1）∵d a d a d a ==∴⎩⎨⎧=+=+213355111111 ∴ 2)1(1nd n a a n =-+= ………………4分 （2）∵q b b n n a a nn ===++22)21()21(11 ∴{}n b 是等比数列 …………8分而 22)21(11==a b ∴221)22(221)1(11--=--=+n nn q q b T∴12221)22(22lim lim 1+=--=+∞→∞→n n n n T …………12分 19．（本小题12分）解：（1）令by a y x xabx y ++=∴--=1 ∴)()(1b x b x a x x f -≠++=- ……4分 （2）),()(1∞--b x f在上是减函数 …………6分令))(())(()()(2112211121b x b x b a x x x f x f x x b ++--=-<<---则 ……8分∵ b a x x b x b x x x b >>->+>+∴<<-而0,0,0122121 …………10分∴0)()(2111>---x f x f 即)()(2111x f x f -->故),()(1∞--b x f是上的减函数.20．（本小题12分）解：由已知得09310)3(2≤+⋅-x x 得0)13)(93(≤--x x∴931≤≤x故20≤≤x …………4分而2)21(4)21(42)21(4)41(21+⋅-⋅=+⋅-=-x x x x y …………6分 令 )141()21(≤≤=t t x ，则1)21(4244)(22+-=+-==t t t t f y …………8分当1,121min ===y x t 时即 …………10分当t=1即x =0时，y max =2 …………12分 21．（本小题12分）解：∵ax x x f 23)(2+-=' …………2分 ∴ax x x f k 23)(2+-='= 由)10(1|23|1||2≤≤≤+-≤x ax x k 知即 ]1,0[1|3)3(3|22∈≤+--x a a x 在上恒成立 …………5分 又,0)0(='f ①当1123,003≥-≥+-<<a a a a即时即故无解. ……7分②当,30130时即≤≤≤≤a a ⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-≤123132a a 得31≤≤a …………9分③当313>>a a即时，123≤+-a 得2≤a 此时无解 …………11分 综上可知31≤≤a ………………12分22．（本小题14分）解：原方程可化为⎪⎩⎪⎨⎧-=-->->-x a x x x x )3)(1(0301 ………2分即 ⎩⎨⎧=-+-<<a x x x 35312………………4分 作出 )31(352<<-+-=x x x y 及y=a 的图象如右. ……6分 当x =1时y=1，当x =3时y=3，当.41325max ==y x 时 …………8分 由图象知①当1413≤>a a 或时，两曲线无公共点，故原方程无实根. …………10分 ②当41331=≤<a a 或时，两曲线有一个公共点，故原方程有一个实根. ……12分③当4133<<a 时，两曲线有两个公共点，故原方程组有两个实根.…………14分y=－x 2+5x －3。
兰州一中2018届高三月考数学文理科试卷（2）
兰州一中2018届高三月考数学文理科试卷(2)兰州一中2018届高三理科数学试卷一、选择题(本题共12个小题,每小题只有一个正确答案, 每小题5分,共60分)1. 已知集合，，则( ).A. B. C. D.2. 若，且，，则的值为( )A. B. C. D.3.已知是等差数列，,则 ( )A.190B.95 C .170 D.854.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第2天走了( ) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里5.设变量x、y满足约束条件，则的最大值为( )A. 22B. 20C.18D. 166我校秋季田径运动会举行期间需要若干学生志愿者. 若将6名志愿者每2人一组，分派到3个不同的场地，则甲、乙两人必须分在同组的概率是 ( )A. B. C. D.7.有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16B.20C.24D.328.在△中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足,则的最大值是( )A. B. C. D. 29.,函数f(x)=的零点所在的区间是( )A. (-2,-1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (1,2)10.过双曲线的右焦点作圆的切线(切点为)，交轴于点,若为线段的中点，则双曲线的离心率是( )A . 2 B. C. D.11.已知函数在定义域R内可导，若且>0，记，则a、b、c的大小关系是( )A. B. C. D.12.函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数;②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则t的取值范围为( )A. (0，1)B.C.D. (0，)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.右图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是 ;14.已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为-,其中i=-1，则展开式中常数项是 ;15.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想为：;16. 在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为_______________.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在中，角、、的对边分别为、、，.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若，，求的值.18.(本小题满分12分)2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型(“小绿车”、“小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算);“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”.(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;(Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.(Ⅰ)求证：;(Ⅱ)若，求二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆：(a>b>0)的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线：与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求的值.21.(本小题满分12分)已知函数为自然对数的底数).(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值;(2)是否存在正常数，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线?若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程;若不存在，请说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)《选修4-4：坐标系与参数方程》在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点.写出直线的参数方程;(2) 求的取值范围.23.(本小题满分10分)《选修4—5：不等式选讲》已知a+b=1，对，b∈(0，+∞)，+≥|2x-1|-|x+1|恒成立，(1)求+的最小值;(2)求的取值范围。
甘肃省兰州市2018届高三一诊数学(理)试题有答案AlUHlH (2)
兰州市2018年高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12i C ．复数z 的共轭复数为512i + D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）A 3．3-．3．34.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．54D 55.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（ ） A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i ib a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．20171009B ．20172018C ．20182019 D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ） A ．11π-B ．21π-C ．31π-D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．3π B ．3π C ．3π D ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．1008B ．2017C ．2018D ．302510.设p ：实数x ，y 满足22(1)[(22)]x y -+-322≤-；q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p 是q的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件11.已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[2,6]-B ．[3,5]-C ．[2,6]D ．[3,5] 12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ⋅+⋅<成立，则有（ ） A ．()2()64f ππ>B 3()()63f ππ>C ．()3()63f ππ>D ．()3()64f ππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =⋅⋅⋅，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为．15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r.（1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C o）的相关数据，如下表：x119 8 5 2y7881012（1）试求y 与x 的回归方程y bxa =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C o，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X N μσ:，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据$1122211()()()nni i iii i nni ii i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$3.2≈1.8≈，若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值. 21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1，②1x e x ->；（2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集； （2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市2018年高三诊断考试 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25-14. 2 15. 3π16. 10 三、解答题17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =m ⋅+2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=. （2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈.所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为m .又∵()f x 的最小值为5，∴5m =，即5m =18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥， 又//BC AD ，所以BC AE ⊥. 因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥， 又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅33226==-⋅⋅. ∴平面BCE 与平面CDE 3. 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n u r ，平面CDE 的法向量为2n u u r ，易知1(0,1,0)n =u r，令2(,,)n x y z =u u r ，则2200n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-u u r ， 于是，12cos ,n n <>u r u u r 121213n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r 33=此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值. 19.（1）由题意，7x =，9y =，1ni ii x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-，221nii x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-$，$a y bx =-$9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为$0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b=-<$知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得， $0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg .（3）由（1）知7x μ≈=，23.2S σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=， 由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=.（2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2. 若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ， 则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT =∴12QSRTS QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=， 当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()ln 1)m x =，则1'()2m x x =-1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln 1)0m x =<，1<成立；令1()x n x ex -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x e x -=->，1x e x ->成立.（2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+ln =+，由（1）1<，所以1+<，ln+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-， 由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-， 上式已知成立，故原式成立，得证. 22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((1x y -++=，∴圆心直角坐标为. （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5=，∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤， 解集为(,1][3,)-∞+∞U . （2）3,(),x a x af x x a x a-≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。
2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）
2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集。
=R,集合M=(x\x>0},集合N={%|%2<1},则M n(CuN)=()A.(0,1)B.[0,1]C.[l,+oo)D.(l,+oo)2.已知复数z=-5+121Q是虚数单位)，则下列说法正确的是()A.复数z的实部为5B.复数z的虚部为12iC.复数z的共轴复数为5+12iD.复数z的模为133.已知数列{%}为等比数列，且a-2a6+2«42=则tan(a3a5)=()A.V3B.-V3 c.一匝 D.+V3274.双曲线*一云=1的一条渐近线与抛物线y=x2+l只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.-B.5c Vf D.V54'45.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1,点P在上且满足学AP=2PM*贝U PA•(PB+PC)等于()6.数列｛知｝中，=1,对任意n E.N*,有a n+1=1+n+a n,令,(i e N*),a i则S+b2+...+b2018=()A2017-2017_2018卜4036A---R---C---D---*1009'2018*2019*20197.若(%+i+iy的展开式中各项的系数之和为81,贝。
分别在区间［0,兀］和［0,』内任取两个实数x,y,满足y>sinx的概率为()8.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖孺,阳马居二，鳖孺居一，不易之率也意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖孺，两者体积之比为定值2:1,这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图,则其外接球的体积为()V242主视图侧视图4>俯视图A.47TB.37TC.V37T0.—71'29.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A.1008B.2017C.2018D.302510.设p：实数X,y满足（X —I）2+\lbracky—（2—y/2）brack2<3—2V2；q：实数x,x-y<1y满足.x+y>l,贝jp是q的（）.y <1A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件11.己知圆C:（x-I）2+（y-4）2=10和点若圆C上存在两点A,B,使得MA1MB,则实数t的取值范围为（）A.[-2,6]B.[-3,5]C.[2,6]D.[3,5]12.定义在（0,；）上的函数/'（%）,已知/'‘（X）是它的导函数，且恒有cosx•/■'（X）+sinx•/（%）<0成立，则有（）A.偌）>V2/（5B.V3/（5>偌）C代）〉V3/（5 D./（5>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若sin。
甘肃省兰州市高三一诊数学(理)试题Word版含答案
兰州市2018年高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.C N=）1.()U+∞A(1,)2.，则下列说法正确的是（）AC3.）A4.为（）A5.）A6.）A7.）A8.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A9.）A10.）A．必要不充分条件B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件11.）A12.）AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.的均方差为．15.16.的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.(3,1)（1（2.=18.BD GACE.（1（2.19.与该地当日最高气（1（2回归方程预测这天该商品的销售量；（3(,Nμσ13.4).附：12inbbx==∑(,Nμσ2Xσ-<<20.（1（2）..21..（1（2（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程].（1（2.23.[选修4-5：不等式选讲]（1（2.兰州市2018年高三诊断考试数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题三、解答题17.（1（2）由（118.（1=BF B（2）方法1：平面角，方法2：121n n =⋅CDE 所成角的余弦值.19.（12850b =-=bx9(=--（20.56b =-<.（3）由（120.解：（1（2.21.解：（1）.（2由（1由（1上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1（2）方法1方法223.解：（1（2。
甘肃省兰州一中2018届高三上学期第二次月考数学(文)试卷及答案
甘肃省兰州一中2018届高三9月份月考试卷数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A B =R U ，那么m 的值可以是 A ．1- B.0 C. 1 D.2 2．若“:p x a >”是“:13q x x ><-或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是 A.1a ≥B.1a ≤C.3a ≥-D.3a ≤-3．当0＜x ＜1时，则下列大小关系正确的是A.x 3＜3x ＜log 3xB.3x ＜x 3＜log 3 xC.log 3 x ＜x 3＜3xD.log 3 x ＜3x ＜x 3 4. 从一个棱长为1的正方体中切去若干部分，得到一个 几何体，其三视图如下图，则该几何体的体积为 A.78 B.58 C.56 D.345．数列{}n a 满足11a =，23a =，1(2)n n a n a λ+=-（1,2,n =L ），则3a 等于A ．5B ．9C ．10D ．156.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是 A.π310 B.π320 C.π20 D.π107．设x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为A.6-B.4-C.2D.2- 8．将函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，得到)(x f 的图象，则)2(πf俯视图左视图第4题的值是A.1B.2 B. 1- D.0 9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B.18C.24D. 3210.已知函数1 ()ln1 f xx x=--，则()y f x=的图像大致为11. 已知过抛物线24y x=焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若3AF FB=u u u r u u u r，则直线l的斜率为A.3B.3C.12D.212．已知函数()21,0log,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1234,,,x x x x，且1234x x x x<<<，则()3122341x x xx x++的取值范围是A.()1,-+∞ B.[)1,1- C.(),1-∞ D.(]1,1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学-2018高三期中(答案)(文) 精品
2018年甘肃省兰州一中高三第一学期期中考试卷数学参考答案及评分标准（文）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分；13．8；14．3-； 15．]4110，（），（ ； 16．第 250 行，第4 列. 三、解答题：题有6小题，共74分；应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17、（12分）设函数2()2cos cos 1()f x x x x x R =+-∈的最大值为M ，最小正周期为T.（1）求M 和T 的值；（2）若有10个互不相等的正数x i 满足f (x i )=M ，且10(1,2,,10)i x i π<=，求：1021x x x +++ 的值.解：（1）2()2cos cos 1f x x x x =+-cos2cos x x x =+ 2cos2x x +2sin(2)6x π=+ …………………………………4分∴ M=2，ππ==22T …………………………………6分 （2）∵2)62sin(2,2)(=+=πi i x x f 即∴)(6,2262Z k k x k x i i ∈+=+=+πππππ………………………………9分又9,,2,1,0,100 =∴<<k x i π∴πππ3140610)921(1021=⨯++++=+++ x x x ……………………12分 18、（12分）数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.解：（1） ∵ 112(1)2n n n n S n a S na --=+⎧⎨=⎩，两式相减，得1(2)1n n na a n n -=≥-， ………………4分 ∴12112112121n n n n n a a a a n n n a a a a n n ----=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=--， ∴n a n =. …………………………………8分 （2）1111223(1)n T n n =+++⋅⋅+=1111112231n n -+-++-+ =111n -+=1nn +. …………………………………12分19、（12分）如果函数f (x)是定义在R 上的减函数，且对于任意实数a 、b 满足f (a +b)= f (a )·f (b). (1)设f (1)=k (k≠0)，试求f (n)(n ∈N*)； (2)试解不等式f (x+5)>)(1x f . 解：(1)∵ f (n+1)= f (n)· f (1)=k f (n) (k ≠0)，∴ { f (n)}是以k 为首项、k 为公比的等比数列， ∴ f (n) = f (1)·[ f (1)]n-1=k n (n ∈N*)； ……………………………………6分 (2)对于任意x ∈R ，f (x) = f (2x +2x )=f 2(2x)≥0， 假定存在x 0∈R ，使得f (x 0) =0，则取x<0，有f (x) = f (x -x 0+x 0) = f (x -x 0)· f (x 0)=0，这与已知矛盾，所以f (x 0) ≠0. 于是，对于任意x ∈R ，必有f (x)>0； ∵ f (0) = f (0+0) = f 2(0) ≠0，∴ f (0) =1. ……………………………………8分 ∵f (x)为R 上的单调递减函数， 又f (x)>0，所以，原不等式等价于f (x+5) · f (x) >1， 即等价于 f (2x+5) > f (0).∵ f (x)为R 上的单调递减函数， ∴ 2x+5<0，故，原不等式的解集为{x|x<-52} ……………………………………12分 20、从材料工地运送电线杆到500米以外的公路一侧埋栽，每隔50米在路边栽一根，用一辆卡车运送电线杆，每次只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，并返回材料工地，求这辆卡车的总行程的最小值.解：卡车共需来回7趟运完，其中有一趟运2根，其余每趟运3根，设每趟行程分别为,,,,721a a a ，且第k 趟（71≤≤k ）运2根，∴数列}{n a 是由两个等差数列组成：①第1趟至第1-k 趟是首项为,300,12001==d a 公差项数1-=k n 的等差数列，其和);6)(1(150150)2)(1()1(12001+-=⨯--+-=k k k k k S ………………………4分②第k 趟至第7趟是首项为,300800200)2(30012002001k k a a k k +=+-+=+=-公差,300=d 项数k k n -=--=8)1(7的等差数列，其和);337)(8(50150)7)(8()8)(300800(2k k k k k k S +-=⨯--+-+= ……8分 ∴ 总行程12150(1)(6)50(8)(373)S S S k k k k =+=-++-+=10013900k +（米），(17)k ≤≤.故，当k =1时min 14000()S =米. ……………………………………12分 21、（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且.43cos ,2,10===+A A C c a求：（1）;的值ac （2）b 的值.解：（1）sin sin 2sin sin c C A a A A ==2sin cos 332cos 2.sin 42A A A A ===⨯= ………………6分（2）310,,4, 6.2c a c a c a +====由及得 ……………………………………8分 2223cos ,24b c a A bc +-==又因为29200,,45,b b b b -+===化简得解得或4,, 5.b b ==而不合题意舍去所以 ………………………………12分22、（14分）已知集合M D 是满足下列性质的函数f (x)的全体：对于定义域D 中的任何两个自变量x 1，x 2 (x 1≠x 2)有| f (x 1)- f (x 2)|<|x 1-x 2|.(1)当D=R 时，f (x)=12+x 是否属于M D ？为什么？(2)当D= (0,+∞)时，f (x)=x 1是否属于M D ？若属于请给予证明，若不属于说明理由，并说明是否存在一个D ⊂(0,+∞)使 f (x)=x1属于M D ？为什么？解法一：（1）当D=R 时，f (x)=12+x 属于M D . ……………………………………2分 事实上，对于任意x 1，x 2 ∈R(x 1≠x 2)，| f (x 1)- f (x 2|=22<121212(||||)||||||x x x x x x +-+=|x 1-x 2|.所以，当D=R 时，f (x)=12+x 属于M D . ………………………………6分(2)当D=(0,+∞)时，f (x)=x1不属于M D . 事实上，取x 1=1n ，x 2=11n + (n ∈N*)，则|x 1-x 2|=|1n -11n +|=1(1)n n +<1，但是 | f (x 1)- f (x 2)| =|n+1-n| =1>|x 1-x 2|.所以，当D=(0,+∞)时，f (x)=x1不属于M D . ……………………………………9分 如果存在一个集合D ⊂（0，+∞），使得f (x)=x1属于M D ，设x 1，x 2 ∈（0，+∞）(x 1≠x 2)，则| f (x 1)- f (x 2)| =|11x -21x |=1212||x x x x -， 欲使| f (x 1)- f (x 2)|<|x 1-x 2|，即1212||x x x x -<|x 1-x 2|，只需x 1x 2>1， 故存在集合D=（1，+∞）时，对于任意x 1，x 2 ∈D=（1，+∞），都有| f (x 1)- f (x 2)|<|x 1-x 2|. ……………………………………12分解法二：若f (x)属于M D ，则对于任意x 1≠x 2 ∈D ，都有| f (x 1)- f (x 2)|<|x 1-x 2|，即1212()()||f x f x x x --<1，亦即，当x ∈D 时，应有|f ′(x)|<1，对于f (x)=12+x 来说，f ′(x)=，显然当x ∈D=R 时，均有|f ′(x)|<1，所以，f (x)=12+x 属于M D .而对于f (x)=x 1来说，f ′(x)= 21x-，可见，当x>1时，有|f ′(x)|<1， 当0<x<1时，|f ′(x)|>1，所以，当D=(0,+∞)时，f (x)=x1不属于M D ， 但存在集合D=（1，+∞），使得f (x)=x1属于M D .。
2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科)
2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U =R ，集合M ={x|x ≥0}，集合N ={x|x 2<1}，则M ∩(∁U N)=（ ） A.(0, 1) B.[0, 1] C.[1, +∞) D.(1, +∞)2. 已知复数z =−5+12i （i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A.复数z 的实部为5 B.复数z 的虚部为12iC.复数z 的共轭复数为5+12iD.复数z 的模为133. 已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 6+2a 42=π，则tan(a 3a 5)=( ) A.√3 B.−√3 C.−√33D.±√3 4. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1的一条渐近线与抛物线y =x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A.54B.5C.√54D.√55. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足学AP →=2PM →，则PA →⋅(PB →+PC →)等于（ ） A.−49 B.−43C.43D.496. 数列{a n }中，a 1=1，对任意n ∈N ∗，有a n+1=1+n +a n ，令b i =1a i，(i ∈N ∗)，则b 1+b 2+...+b 2018=( ) A.20171009 B.20172018C.20182019D.403620197. 若(x +1x +1)n 的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0, π]和[0, n4]内任取两个实数x ，y ，满足y >sinx 的概率为（ ） A.1−1πB.1−2πC.1−3πD.128. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A.4πB.3πC.√3πD.√32π9. 某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A.1008B.2017C.2018D.302510. 设p：实数x，y满足(x−1)2+\lbracky−(2−√2)brack2≤3−2√2；q：实数x，y满足{x−y≤1x+y≥1y≤1，则p是q的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件11. 已知圆C:(x−1)2+(y−4)2=10和点M(5,t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为（）A.[−2,6]B.[−3,5]C.[2,6]D.[3,5]12. 定义在(0,π2)上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cosx⋅f′(x)+sinx⋅f(x)<0成立，则有（）A.f(π6)>√2f(π4) B.√3f(π6)>f(π3)C.f(π6)>√3f(π3) D.f(π6)>√3f(π4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若sin(π4−α)=−25，则cos(π4+α)=________．14. 已知样本数据a1，a2，……a2018的方差是4，如果有b i=a i−2(i=1, 2,…,2018)，那么数据b1，b2，……b2018的均方差为________．15. 设函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则φ=________．16. 函数f(x)=1+x −x 22+x 33，g(x)=1−x +x 22−x 33，若函数F(x)=f(x +3)g(x −4)，且函数F(x)的零点均在[a, b](a <b, a, b ∈Z)内，则b −a 的最小值为________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知向量a →=(cos2x,sin2x)，b →=(√3,1)，函数f(x)=a →∗b →+m ．（1）求f(x)的最小正周期；（2）当x ∈[0,π2brack 时，f(x)的最小值为5，求m 的值．18. 如图所示，矩形ABCD 中，AC ∩BD =G ，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC =2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值．19. 某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：∘C ）的相关数据，如表：（1）试求y 与x 的回归方程y ^=b ^x +a ^；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6∘C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温X ∼N(μ, σ2)，其中μ近似取样本平均数x ，σ2近似取样本方差s 2，试求P(3.8<X <13.4)．附：参考公式和有关数据{b ^=∑−i=1n xiyi nxy ∑x i 2n i=1−nx 2=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(x i −x)2n i=1a ^=y −b ^x ，√10≈3.2，√3.2≈1.8，若X ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，且P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544．20. 已知圆C ：(x +1)2+y 2=8，过D(1, 0)且与圆C 相切的动圆圆心为P ． （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线l 1交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线l 2交曲线E 于R ，T 两点，且l 1⊥l 2，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）．①设W(x 0, y 0)，证明：x 022+y 02<1；②求四边形QRST 的面积的最小值21. 已知函数f(x)=x+tx−1e x−1，其中e 为自然对数的底数． （1）证明：当x >1时，①ln √x <√x −1，②e x−1>x ；（2）证明：对任意x >1，t >−1，有f(x)>√x(1+12lnx)．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程是{x =√22t y =√22t +4√2 （t 是参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23. 设函数f(x)=|x −a|+2x ，其中a >0．（1）当a =2时，求不等式f(x)≥2x +1的解集；（2）若x ∈(−2, +∞)时，恒有f(x)>0，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵N={x|−1<x<1}，U=R，∴∁U N={x|x≤−1或x≥1}．∵M={x|x≥0}，∴M∩(∁U N)=[1,+∞)．故选C．2.【答案】D【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数求模复数的基本概念【解析】直接利用复数的基本概念得选项．【解答】∵z=−5+12i，∴z的实部为−5，虚部为12，z的共轭复数为−5−12i，模为√(−5)2+(12)2=13．∴说法正确的是复数z的模为13．3.【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】由等比数列{a n}的性质可得：a2a6=a3a5=a42，根据a2a6+2a42=π=3a3a5，可得a3a5．利用三角函数求值即可得出．【解答】由等比数列{a n}的性质可得：a2a6=a3a5=a42，∴a2a6+2a42=π=3a3a5，∴a3a5=π．3=√3．则tan(a3a5)=tanπ34.【答案】 D【考点】 圆锥曲线 【解析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，则双曲线的离心率可得． 【解答】依题意可知双曲线渐近线方程为y =±ba x ，与抛物线方程联立消去y 得x 2±ba x +1=0∵ 渐近线与抛物线有一个交点 ∴ △=b 2a 2−4=0，求得b 2=4a 2，∴ c =√a 2+b 2=√5a ， ∴ e =ca =√5，5.【答案】 A【考点】平行向量的性质平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足AP →=2PM →可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【解答】∵ M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足AP →=2PM →∴ P 是三角形ABC 的重心 ∴ PA →∗(PB →+PC →) =PA →∗AP →=−|PA →|2 又∵ AM =1 ∴ |PA →|=23∴ PA →∗(PB →+PC →)=−496.【答案】 D【考点】 数列递推式 【解析】a n+1=1+n +a n ，即a n+1−a n =n +1．n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+……+(a 2−a 1)+a 1，可得a n ．b n =1a n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，利用裂项求和方法即可得出． 【解答】a n+1=1+n +a n ，即a n+1−a n =n +1．∴ n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+……+(a 2−a 1)+a 1 =n +(n −1)+……+2+1 =n(n+1)2．n =1时也成立．b n =1a n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则b 1+b 2+...+b 2018=2[(1−12)+(12−13)+……+(12018−12019)brack =2(1−12019) =40362019．7.【答案】 B【考点】二项式定理的用法 【解析】根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可 【解答】由题意知，令x =1，得到3n =81，解得 n =4，∴ 0≤x ≤π，0≤y ≤1． 作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S =π×1=π， 满足y ≥sinx 的点构成区域的面积为： S =∫πsinxdx =−cosx|π=−cosπ+cos0=2，则满足y >sinx 的概率为P =1−2π． 故选：B ．8.【答案】D【考点】由三视图求体积球的体积和表面积球内接多面体【解析】根据三视图得出四棱锥的结构特征，根据阳马与长方体的关系计算长方体的棱长，得出外接球的体积．【解答】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个侧面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球．由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为，1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴长方体的对角线为√3，∴外接球的半径为√32，∴外接球的体积为V=4π3∗(√32)3=√3π2．9.【答案】A【考点】程序框图【解析】本题主要考查程序框图，同时考查了三角函数的相关知识.【解答】解：执行程序框图可知，输出的S=a1+a2+⋯+a2016+a2017+a2018=(0+1)+(−2+1)+(0+1)+(4+1)+⋯+(0+1)+(−2014+1)+(0+1)+ (2016+1)+(0+1)+(−2018+1)=6×20164+1−2017=3024+1−2017=1008, 故输出的S的值是1008.故选A.10.【答案】B【考点】充分条件【解析】分别作出p，q对应区域，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】(x−1)2+\lbracky−(2−√2)brack2≤3−2√2=(√2−1)2，则p对应的表达式表示以(1, 2−√2)为圆心，半径r=√2−1的圆及其内部，q对应的平面区域为三角形内部，由图象知p对应区域都在三角形内，则p是q的充分不必要条件，方法2：圆心(1, 2−√2)到y=1的距离d=1−(2−√2)=√2−1=R，圆心(1, 2−√2)到x−y=1的距离d=√2)−1|√2=√2√2=√2−1=R，圆心(1, 2−√2)当x+y=1的距离d=√2−1|√2=√2−1=R，即p对应的区域都在q对应三角形区域内部，则p是q的充分不必要条件，11.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】本题考查直线与圆的位置关系．【解答】解：由题意，知满足条件的t的值在直线x=5的两个点的纵坐标之间取值，过此两个点与圆相切的两条直线互相垂直．设过点(5,t)的直线方程为y−t=k(x−5)，由相切条件，得√k2+1=√10，整理，得6k2+8(4−t)k+(t−4)2−10=0，由题意知此方程的两根满足k1k2=−1，所以(t−4)2−106=−1，解得t=2或t=6，所以2≤t≤6．故选C．12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意，令g(x)=f(x)cosx ，x∈(0, π2)，对其求导分析可得g′(x)<0，即函数g(x)为减函数，结合选项分析可得答案【解答】根据题意，令g(x)=f(x)cosx ，x∈(0, π2)，则其导数g′(x)=f′(x)cosx+sinxf(x)cos2x，又由x∈(0, π2)，且恒有cosx⋅f′(x)+sinx⋅f(x)<0，则有g′(x)<0，即函数g(x)为减函数，又由π6<π3，则有g(π6)>g(π3)，即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3，分析可得f(π6)>√3f(π3)，又由π6<π4，则有g(π6)>g(π4)，即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4，分析可得√2f(π6)>√3f(π4)，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】−2 5【考点】两角和与差的三角函数【解析】根据(π4+α)+(π4−α)=π2，利用诱导公式求出对应数值．【解答】sin(π4−α)=−25，∴cos(π4+α)=cos[π2−(π4−α)]=sin(π4−α)=−25．14.【答案】4【考点】极差、方差与标准差【解析】根据一组数据的平均数与方差的定义和计算公式，即可推导出正确的结论．【解答】根据题意，样本数据a1，a2，…，a2018的平均数为a，其方差是4，则有s a2=12018[(a1−a )2+(a2−a )2+(a3−a )2+...+(a2018−a )2]= 4，对于数据b i=a i−2(i=1, 2,…,2018)，其平均数为b=12018(b1+b2+...+b2018)=12018[(a1−2)+(a2−2)+...+(a2018−2)]=a−2，其方差为s b2=12018[(b1−b )2+(b2−b )2+(b3−b )2+...+(b2018−b )2]=12018[(a1−a )2+(a2−a )2+(a3−a )2+...+(a2018−a )2]=4，15.【答案】π3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果．【解答】函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位长度后，得到：g(x)=sin(2x+2π3+φ)的函数是一个奇函数，则：φ+2π3=kπ(k∈Z)，解得：φ=kπ−2π3(k∈Z)，当k=1时，φ=π3．16.【答案】10【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据函数单调性和零点的存在性定理判断f(x)与g(x)的零点所在区间，从而得出F(x)的零点所在区间．【解答】∵f′(x)=1−x+x2=(x−12)2+34>0，g′(x)=−1+x−x2=−(x−12)2−34<0，∴f(x)在R上单调递增，g(x)在R上单调递减，又f(−1)=−56<0，f(0)=1>0，g(1)=16>0，g(2)=−53<0，∴f(x)的唯一零点在(−1, 0)上，g(x)的唯一零点在(1, 2)上．令F(x)=0可得f(x+3)=0或g(x−4)=0，∴f(x+3)的唯一零点在(−4, −3)上，g(x−4)的唯一零点在(5, 6)上．∵函数F(x)的零点均在[a, b](a<b, a, b∈Z)内，∴a≤−4，b≥6．∴b−a的最小值为10．故答案为：10．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.【答案】由题意知：f(x)=cos(2x, sin2x)⋅(√3, 1)=√3cos2x+sin2x+m=2sin(2x+π3)+ m，所以f(x)的最小正周期为T=π．由（1）知：f(x)=2sin(2x+π3)+m，当x∈[0,π2brack时，2x+π3∈[π3,4π3brack．所以当2x+π3=4π3时，f(x)的最小值为−√3+m．又∵f(x)的最小值为5，∴−√3+m=5，即m=5+√3．【考点】平面向量数量积的性质及其运算律三角函数的周期性及其求法【解析】（1）根据向量的数量积公式和两角和的正弦公式可化简可得f(x)=2sin(2x+π3)+m，再根据周期的定义即可求出，（2）根据正弦函数的性质即可求出m的值．【解答】由题意知：f(x)=cos(2x, sin2x)⋅(√3, 1)=√3cos2x+sin2x+m=2sin(2x+π3)+ m，所以f(x)的最小正周期为T=π．由（1）知：f(x)=2sin(2x+π3)+m，当x∈[0,π2brack时，2x+π3∈[π3,4π3brack．所以当2x+π3=4π3时，f(x)的最小值为−√3+m．又∵f(x)的最小值为5，∴−√3+m=5，即m=5+√3．18.【答案】证明：因为AD⊥面ABE，所以AD⊥AE，又BC // AD，所以BC⊥AE．因为BF⊥面ACE，所以BF⊥AE．又BC∩BF=B，所以AE⊥面BCF，即AE⊥平面BCE．方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF ⊥CE ， 又BC =BE ，所以F 为CE 中点，在△DEC 中，DE =CE =CD =2√2，所以DF ⊥CE ，∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，cos∠BFD =BF 2+DF 2−BD 22∗BF∗DF=2∗√2∗√6=−√33． ∴ 平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值为√33．方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为E(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 0, 2)，D(0, 2, 2)，设平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，易知n 1→=(0,1,0)，令n 2→=(x,y,z)，则{n 2→∗EC →=0n 2→∗ED →=0 ，故{2x +2z =02y +2z =0，令x =1，得{x =1y =1z =−1，n 2→=(1,1,−1)， 于是，cos <n 1→,n 2→>=n 1→∗n 2→|n 1→||n 2→|=1∗√3=√33． 此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值． 【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）证明AD ⊥AE ，BC ⊥AE ．推出AE ⊥面BCF ，得到AE ⊥平面BCE ．（2）方法1：说明∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，通过求解三角形求解即可． 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，利用空间向量的数量积求解平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值． 【解答】证明：因为AD ⊥面ABE ，所以AD ⊥AE ， 又BC // AD ，所以BC ⊥AE ．因为BF ⊥面ACE ，所以BF ⊥AE ．又BC ∩BF =B ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE ．方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF ⊥CE ， 又BC =BE ，所以F 为CE 中点，在△DEC 中，DE =CE =CD =2√2，所以DF ⊥CE ，∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，cos∠BFD =BF 2+DF 2−BD 22∗BF∗DF=2∗√2∗√6=−√33． ∴ 平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值为√33．方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为E(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 0, 2)，D(0, 2, 2)，设平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，易知n 1→=(0,1,0)，令n 2→=(x,y,z)，则{n 2→∗EC →=0n 2→∗ED →=0 ，故{2x +2z =02y +2z =0，令x =1，得{x =1y =1z =−1，n 2→=(1,1,−1)， 于是，cos <n 1→,n 2→>=n 1→∗n 2→|n 1→||n 2→|=1∗√3=√33． 此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值． 19.【答案】由题意，x =7，y =9，∑−i=1n xiyi nx y =287−5⋅7⋅9=−28，∑ni=1x i 2−nx 2=295−5⋅72=50，b ^=−2850=−0.56，a ^=y −b ^x =9−(−0.56)⋅7=12.92．所以所求回归直线方程为y ^=−0.56x +12.92．由b ^=−0.56<0知，y 与x 负相关．将x =6代入回归方程可得，y ^=−0.56∗6+12.92=9.56，即可预测当日销售量为9.56kg ． 由（1）知μ≈x =7，σ≈√S 2=3.2，所以P(3.8<X <13.4)=P(μ−σ<X <μ+2σ)=12P(μ−σ<X <μ+σ)+12P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.8185． 【考点】求解线性回归方程 正态分布密度曲线（1）利用公式求出bˆ，a ˆ，即可得出结论． （2）根据bˆ的正负即可判断．将x =6代入回归方程，可得预测这天该商品的销售量； （3）根据X ∼N(μ, σ2)即可计算． 【解答】由题意，x =7，y =9，∑−i=1n xiyi nx y =287−5⋅7⋅9=−28，∑ni=1x i 2−nx 2=295−5⋅72=50，b ^=−2850=−0.56，a ^=y −b ^x =9−(−0.56)⋅7=12.92．所以所求回归直线方程为y ^=−0.56x +12.92．由b ^=−0.56<0知，y 与x 负相关．将x =6代入回归方程可得，y ^=−0.56∗6+12.92=9.56，即可预测当日销售量为9.56kg ． 由（1）知μ≈x =7，σ≈√S 2=3.2，所以P(3.8<X <13.4)=P(μ−σ<X <μ+2σ)=12P(μ−σ<X <μ+σ)+12P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.8185． 20.【答案】设动圆半径为r ，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2， 由椭圆定义可知，点P 的轨迹E 是椭圆， 其方程为x 22+y 2=1．①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上， 则有x ∘2+y ∘2=1，又因Q ，S ，R ，T 为不同的四个点，x∘22+y∘2<1．②若l 1或l 2的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2． 若两条直线的斜率存在，设l 1的斜率为k 1， 则l 1的方程为y =k 1(x +1)， 联立{y =k 1(x +1)x 22+y 2=1，得(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 则|QS|=2√2k 2+12k 2+1，同理得|RT|=2√2k 2+1k 2+2，∴ S QSRT =12|QS|∗|RT|=4(k 2+1)2(2k 2+1)(k 2+2)≥4(k 2+1)294(k 2+1)2=169，当且仅当2k 2+1=k 2+1，即k =±1时等号成立．综上所述，当k =±1时，四边形QRST 的面积取得最小值为169．轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）设动圆半径为r，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2，由椭圆定义能求出点P的轨迹E的方程．（2）①由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，由Q，S，R，T为不同的四个点，能够证明x∘22+y∘2<1．②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1(x+1){y=k1(x+1)x22+y2=1，得|QS|=2√2k2+12k2+1，同理得|RT|=2√2k2+1k2+2，由此能求出四边形QRST的面积取得最小值．【解答】设动圆半径为r，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2，由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其方程为x22+y2=1．①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有x∘2+y∘2=1，又因Q，S，R，T为不同的四个点，x∘22+y∘2<1．②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1(x+1)，联立{y=k1(x+1)x22+y2=1，得(2k2+1)x2+4k2x+2k2−2=0，则|QS|=2√2k2+12k2+1，同理得|RT|=2√2k2+1k2+2，∴S QSRT=12|QS|∗|RT|=4(k2+1)2(2k2+1)(k2+2)≥4(k2+1)294(k2+1)2=169，当且仅当2k2+1=k2+1，即k=±1时等号成立．综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值为169．21.【答案】f(x)>√x(1+12lnx)，即x+tx−1e x−1>√x(1+12lnx)=√x(1+ln√x)，由(1)ln√x<√x−1，所以1+ln√x<√x，√x(1+ln√x)<√x∗√x=x，所以，只需证x<x+tx−1e x−1，即(x+t)e x−1>x2−x，由（1）e x−1>x，所以只需证(x+t)x>x2−x，只需证x+t>x−1，即t>−1，上式已知成立，故原式成立，得证．【考点】函数恒成立问题不等式的证明【解析】（1）利用函数的导数，判断函数的单调性，然后证明不等式；（2）化简不等式利用（1）的结论，通过分析法转化证明即可．【解答】f(x)>√x(1+12lnx)，即x+tx−1e x−1>√x(1+12lnx)=√x(1+ln√x)，由(1)ln√x<√x−1，所以1+ln√x<√x，√x(1+ln√x)<√x∗√x=x，所以，只需证x<x+tx−1e x−1，即(x+t)e x−1>x2−x，由（1）e x−1>x，所以只需证(x+t)x>x2−x，只需证x+t>x−1，即t>−1，上式已知成立，故原式成立，得证．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．∴ρ=√2cosθ−√2sinθ，∴ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2−√2x+√2y=0，即(x−√22)2+(y+√22)2=1，∴圆心直角坐标为(√22,−√22)．解法一：直线l上的点向圆C引切线长是：√(√22t−√22)2+(√22t+√22+4√2)2−1=√t2+8t+40=√(t+4)2+24≥2√6，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2√6．解法二：直线l的普通方程为x−y+4√2=0，∴圆心C到直线l距离是|√22+√22+4√2|√2=5，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是√52−12=2√6．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）圆C的极坐标方程转化为ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心直角坐标．（2）法一：求出直线l 上的点向圆C 引切线长，由此能求出直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值．法二：求出圆心C 到直线l 距离，由此能求出直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值． 【解答】∵ 圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．∴ ρ=√2cosθ−√2sinθ， ∴ ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−√2x +√2y =0， 即(x −√22)2+(y +√22)2=1，∴ 圆心直角坐标为(√22,−√22)．解法一：直线l 上的点向圆C 引切线长是： √(√22t −√22)2+(√22t +√22+4√2)2−1=√t 2+8t +40=√(t +4)2+24≥2√6，∴ 直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是2√6． 解法二：直线l 的普通方程为x −y +4√2=0， ∴ 圆心C 到直线l 距离是|√22+√22+4√2|√2=5，∴ 直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是√52−12=2√6．[选修4-5：不等式选讲] 23.【答案】当a =2时，|x −2|+2x ≥2x +1， 所以|x −2|≥1，所以x ≥3或x ≤1， 解集为(−∞, 1]∪[3, +∞)．f(x)={3x −a,x ≥ax +a,x <a ，因为a >0，∴ x ≥a 时，3x −a ≥2a >0恒成立，又x <a 时，当x >−2时，x +a >−2+a ，∴ 只需−2+a ≥0即可， 所以a ≥2． 【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）当a =2时，化简不等式f(x)≥2x +1，通过去掉绝对值符号，求解不等式的解集；（2）化简函数的解析式，通过x 与a 的大小比较，转化不等式求解即可． 【解答】当a =2时，|x −2|+2x ≥2x +1， 所以|x −2|≥1，所以x ≥3或x ≤1， 解集为(−∞, 1]∪[3, +∞)．f(x)={3x −a,x ≥ax +a,x <a ，因为a >0，∴ x ≥a 时，3x −a ≥2a >0恒成立，又x <a 时，当x >−2时，x +a >−2+a ，∴ 只需−2+a ≥0即可，所以a≥2．。
甘肃省兰州市2018届高三第一次诊断性考试数学(理)试题.docx
绝密★ 启用前甘肃省兰州市2018 届高三第一次诊断性考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，集合，则（）A ．B．C．D．2．已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数的实部为B．复数的虚部为C．复数的共轭复数为 D ．复数的模为3．已知数列为等比数列，且，则（）A ．B．C．D．4．双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C．D．5．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A ．B．C．D．6．数列中，，对任意，有，令，，则（）A ．B．C． D ．7．若的展开式中各项的系数之和为，则分别在区间和内任取两个实数，，满足的概率为（）A ．B ．C．D．8．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A ．B ．C．D．9．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的的值是（）A ．B．C．D．10．设：实数，满足；：实数，满足，则是的（）A ．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件11．已知圆C：22x 1y41 0和点 M5, t ，若圆 C 上存在两点 A , B ，使得 M A M B ，则实数t的取值范围为（）A ．2, 6B ．3, 5C． 2 , 6D．3, 512．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A ．B．C．D．1二、填空13．若，__________．14．已知本数据，，⋯⋯的方差是，如果有，那么数据，，⋯⋯的均方差 __________ ．15．函数向左平移个位度后得到的函数是一个奇函数，__________ ．16．函数，，若函数，且函数的零点均在内，的最小 __________．三、解答17．已知向量，，函数．（1）求的最小正周期；（2）当，的最小，求的．18．如所示，矩形中，，平面，，上的点，且平面．（ 1）求：平面；（ 2）求平面与平面所成角的余弦．19．某地一商了月份某天当中某商品的售量（位：）与地当日最高气温（位：）的相关数据，如下表：（ 1）求与的回方程；（ 2）判断与之是正相关是相关；若地月某日的最高气温是，用所求回方程天商品的售量；（ 3）假定地月份的日最高气温，其中近似取本平均数，近似取本方差，求．附：参考公式和有关数据，，，若，，且．20．已知：，且与相切的心．（1）求点的迹的方程；（2）点的直交曲于，两点，点的直交曲于，两点，且，垂足（，，，不同的四个点）．① ，明：；②求四形的面的最小．21．已知函数，其中自然数的底数．（1）明：当，①，②；（2）明：任意，，有．22． [修 4-4：坐系与参数方程 ]在直角坐系中，以坐原点极点，正半极建立极坐系．已知直的参数方程是（是参数），的极坐方程．（1）求心的直角坐；（2）由直上的点向引切，并切的最小．23． [修 4-5：不等式]函数，其中．（ 1）当，求不等式的解集；（ 2）若，恒有，求的取范．2。
2018年高三最新 甘肃省兰州一中2018届高三上学期期中
兰州一中2018－2018—1学期期中考试试卷高三数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．请将答案填在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{y ∈R |y ＝lg x ，x ＞1}，B ＝{－2，－1，1，2}，则下列结论正确的是 A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．（C R A ）∪B ＝（－∞，0） C ．A ∪B ＝（0，＋∞） D ．（C R A ）∩B ＝{－2，－1} 2．函数f （x ）＝3x （0＜x ≤2）的反函数的定义域为 A ．（0，＋∞） B ．（0，1） C ．（1，9] D ．[9，＋∞） 3．已知函数f （x ）＝ax 3＋bx 2是定义域为[a －1,2a ]的奇函数，则a ＋b 的值是 A ．0B ．31 C ．1 D ．－14．设函数y ＝f （x ）的反函数为y ＝f －1（x ），且y ＝f （2x －1）图象过点（21，1），则y ＝f －1（x ）图象必过点A ．），（121B ．），（211C ．（1，0）D ．（0，1）5．已知等差数列{a n }中，公差为1，前7项的和S 7＝28，则a 5的值为A ．5B ．4C ．3D ．2 6．已知 sin α－cos α＝sin α·cos α，则 sin2α的值为A ．12-B ．21-C ．2-D ．222-7．不等式f （x ）＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f （－x ）的图象为8．方程lg x ＋x －3＝0的根所在的区间是 A ．（0，1） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）9．已知函数y ＝A sin （ωx ＋φ）在一个周期内，当3π=x 时，y 取得最大值是2；当x ＝0时，y取得最小值是－2，则此函数的表达式为 A ．)2π3sin(2-=x y B ．)2π3sin(2+=x y C ．x y 23sin2= D ．)2π(3sin 21-=x y10．函数f （x ）在定义域R 内可导，若f （x ）＝f （2－x ），且当x ∈（－∞，1）时，)(x f '＞0，设a ＝f （0），)21(f b =，c ＝f （3）．则 A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a11．如果数列{a n }满足a 1，⋯⋯-,,,,12312n n a a a a a a 是首项为1，公比为2的等比数列，则a 100等于A ．299B ．2100C ．25180D ．2495012．设f （x ）是定义在R 上的函数，且f （x ）≠0，对任意实数x ，y ∈R 都有f （x ）·f （y ）＝f （x ＋y ），若211=a ，αn ＝f （n ），（n ∈N *）．则数列{a n }前n 项和S n 满足的关系是 A ．4321<≤n S B ．102n S <≤ C ．121<≤n S D ．21≤n S第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若函数f （x ）＝log a （x ＋1）（a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则a ＝______． 14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则23a S ＝_______． 15．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项积都为同一个常数，那么该数列叫作等积数列，这个常数为该数列的公积．已知数列{x n }为等积数列，且x 2＝2，公积为6，那么这个数列的前2018项的和为________． 16．已知函数)4π2sin(3)(+-=x x f 的图象，给出以下四个命题： ①该函数图象关于直线8π5-=x 对称；②该函数图象的一个对称中心是（8π7，0）；③函数y ＝f （x ）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡83π,8π上是减函数； ④y ＝f （x ）可由y ＝－3sin2x 向左平移8π个单位得到．其中，真命题的编号是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知)43π,2π(,102)4πcos(∈=-x x （1）求sin x 的值； （2）求)3πcos(+x 的值． 18．（本小题满分12分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为51525354、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．（注：本题结果用分数表示） （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率． 19．（本小题满分12分）已知函数x x x f 2cos 3)4π(sin 2)(2-+= （1）求f （x ）的周期及单调递增区间；（2）若不等式|f （x ）－m |＜2在x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π,4π上恒成立，求实数m 的取值范围．若公比为c （c ≠1）的等比数列{a n }的首项a 1＝1且满足221--+=n n n a a a （n ＝3，4…）． （1）求c 的值；（2）求数列{na n }的前n 项和S n ． 21．（本小题满分12分）已知函数12131)(23+++=bx ax x x f （x ∈R ，a ，b 为实数）有极值，且在x ＝－1处的切线与直线x －y ＋1＝0平行．（1）求实数a 的取值范围．（2）是否存在实数a ，使得)(x f '＝x 的两个根x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2＜1，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足211=a ,a n ＋2S n S n －1＝0（n ≥2）． （1）求证：{nS 1}是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）求证：nS S S n 412122221-≤+⋯++兰州一中2018－2018—1学期期中考试试卷数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13．214．31315．5183 16．①③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）解：（1）)2π,4π(4π),43π,2π(∈-∴∈x x ，于是1027)4πsin(=-x ．………1分 4πsin )4πcos(4πcos )4πsin(]4π)4πsin[(sin -+-=+-=x x x x ………3分5422102221027=⨯+⨯=．………………………………………5分 （2）由（1）得,54sin =x 又53cos ),43π,2π(-=∴∈x x ………………6分 ∴3πsin sin 3πcos cos )3πcos(x x x -=+……………………………8分1033423542153+-=⨯-⨯-=．……………………………………10分 18．（本小题满分12分）解：（1）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为A i （i ＝1，2，3，4），则51)(,52)(,53)(,54)(4321====A P A P A P A P ，…………………1分 ∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率6259654525354)()()()()(432143214=⨯⨯⨯===A P A P A P A P A A A A P P ．…………6分（2）该选手至多进入第三轮考核的概率)()()()()()()(3212113212113A P A P A P A P A P A P A A A A A A P P ++=++=125101535354525451=⨯⨯+⨯+=． 或1251015253541)()()(13213=⨯⨯-=⋅⋅-=A P A P A P P ．……………12分 19．（本小题满分12分）解：（1）x x x f 2cos 3)22πcos(1)(-+-= 12cos 32sin +-=x x1)3π2sin(2+-=x ………………………………………………3分∴f （x ）的周期T ＝π．……………………………………………………4分当,2ππ23π22ππ2+≤-≤-k x k 即)(12π5π12ππZ k k x k ∈+≤≤-时，函数f （x ）是增函数， 故函数f （x ）的单调递增区间是).](12π5π,12ππ[Z k k k ∈+-…………6分 （2）3π23π26π]2π,4π[≤-≤∴∈x x则2≤f （x ）≤3……………………………………………………………8分]2π,4π[,2)(2)(2|)(|∈+<<-⇔<-x x f m x f m x f∴2)(2)(min max +<->x f m x f m 且∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是（1，4）．……………………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由题设，当n ≥3时，2212122212,,------+=+===n n n n n n n n a ca a a ca a a c a ，由题设条件可得a n +2≠0，因此,212cc +=…………………………………2分 2c 2-c -1＝0．解得c ＝1或21-=c ，其中c ＝1不符合题意，舍去．……4分 （2）当21-=c 时，数列{a n }是一个公比为21-的等比数列，即*),()21(1N n a n n ∈-=-这时数列{na n }的前n 项和…………………6分12)21()21(3)21(21--+⋯⋯+-⨯+-⨯+=n n n S ①上式两边同乘以21-，得n n n n n S )21(2](1()21(2212112-+--++-⨯+-=--）） ② ①—②得n n n n S )21()21()21()21(1)211(12---++-+-+=+-11121212.nnn ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=-- ⎪⎝⎭+……………………………………………10分 所以*)](223)1(4[911N n n S n n n ∈+--=-………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（1）)('x f ＝x 2+ax +b …………………………………………………………1分因为f （x ）有极值，∴Δ＝a 2-4b ＞0（*）……………………………2分 又在x ＝-1处的切线与直线x -y +1＝0平行，∴)1('-f ＝1-a +b ＝1 ∴b ＝a 代入（*）式得，a 2-4a ＞0，∴a ＞4或a ＜0…………………6分 （2）假若存在实数a ，使)('x f ＝x 的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜1，即x 2+（a -1）x +a ＝0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜1，令g （x ）＝x 2+（a -1）x +a ，则有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>=<-<>--=∆④③②①2)1(0)0(121004)1(2a g a g a a a 解之得2230-<<a …………………………………………………11分 这与a ＞4或a ＜0产生矛盾∴不存在实数a ，使是)('x f ＝x 的两个根满足0＜x 1＜x 2＜1………12分22．（本小题满分12分）解：（1）证：1111122S a S ==∴=……………………………………………1分 当 n ≥2时，a n ＝S n -S n －1即S n -S n -1＝-2S n S n -1………………………………2分2111=-∴-n n S S 故}1{nS 是以2为首项，以2为公差的等差数列．…………………4分 （2）由（1）得nS n n S n n 21,22)1(21==⋅-+=……………………………5分当n ≥2时，)1(2121--=-=-n n S S a n n n ………………………………6分当n ＝1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==∴=)2()1(21)1(21211n n n n a a n …………………………8分（3）证：222222214134124141n S S S n ⨯++⨯+⨯+=+++ )131211(41222n++++= ))1(13212111(41n n -++⨯+⨯+≤ )11131212111(41n n --++-+-+=⋅-=n4121………………………………………12分。