误差分布与精度指标

E

f d
相同观测条件下,平均误差是一组独立的偶 然误差绝对值的算术平均值之极限值。
lim
x
|
i 1
n
i
|
n
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或然误差 probable error 定义：误差出现在（-ρ，+ρ）之间的概率等于1/2，
总结：偶然误差规律性
1．在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或 者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；
3．绝对值相等的正负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即
1 n E 0 或 lim i 0 n n i 1
XY
描述两随机变量X、Y的相关程度
XY E X E ( X ) Y E (Y )
相关
XY 0
不相关 XY 0
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§2.1 Character of Random Variable
四、相关系数 correlation coefficient
关于偶然误差的规律科学实验：
某测区，在相同测量条件下，独立地观测了817个三角形的
全部内角，由算得各三角形的闭合差。
i Ai Bi Ci 180 0
由于作业中已尽量剔除了粗差和系统性影响，这些三角形闭 合差，就整体而言，都是偶然因素所至，故为偶然误差。它 们的数值分布情况列于下面的表内。
第二章 误差分布与精度指标
Chapter 2 Error Distribution and Precision Indexes
§2.1随机变量的数字特征
§2.2正态分布
§2.3偶然误差的规律性
§2.4衡量精度的指标
§2.5精度、准确度与精确度
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§2.1随机变量的数字特征
一、数学期望 (expected value)
观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、 系统误差、粗差）的大小。 观测误差较小，观测质量较好，精度高 观测误差较大，观测质量较差，精度低
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衡量精度的指标
方差和中误差(variance and mean square error MSE) 平均误差(average error) 或然误差(probable error) 极限误差(limit error)
n
i2 2 ˆ i 1 n n i2 i 1 ˆ n
n
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方差、协方差
2 X E X E ( X )2 E (2X )


2 Y E Y E (Y )2 E (2 ) Y
1定义：随机变量的概率平均值 离散型 E ( X ) xi pi
i 1
E( X )
x
连续型
E( X )


xf x dx
北京建筑工程学院 测绘工f Random Variable
数学期望的运算规则
E (C ) 0 E (CX ) CE ( X ) E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
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3.根据概率分布曲线分析偶然误差的规律性 偶然误差的概率分布曲线，又称为偶然误差的分布密度 曲线。这一曲线与正态分布密度曲线极为接近，所以一 般总是认为，当时 n ，偶然误差的频率分布是以正态分 布为其极限的。
f ()

0
图2.-3


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N ( 2 )
f (X ) 1
2
e
( X ) 2 ( 2 2 )
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§2.2 normal distribution
二、n维正态分布:
f ( x1 , x2 , x3 ,, xn ) 1
1 2
2
n 2
| DXX |
1 1 exp ( x x )T DXX ( x x ) 2
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§2.1 Character of Random Variable 二、方差 variance
定义：
D( X ) E x E x
2
D( X ) Dx x
离散型 连续型
D( X ) x E x pi
2 i 1



1 f d 2
或然误差与中误差的关系
2 3 3 1.4826 2
0.6745
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极限误差 limit error 中误差不代表个别误差的大小，他表示误差分布的 离散度大小。中误差落在三个区间的概率：
P 63.8%, P 2 2 95.5%, P 3 3 99.7%.
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1.根据图表分析偶然误差的规律性
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1.根据图表分析偶然误差的规律性
a)从误差的大小、个数考察误差的特性：
绝对值有一定的限值 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多
绝对值相等的正负误差的个数相近
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1.根据图表分析偶然误差的规律性
描述两随机变量的相关性
XY D( X ) D(Y ) X Y
XY
1 1
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§2.2 正态分布 normal distribution
一.维正态分布:
是具有两个参数μ和 2的连续型随机变量的分布,第一参数μ 是遵从正态分布的随机变量的均值,第二个参数 2 是此随机变 量的方差,所以正态分布记作。
b)从频率分布的角度分析误差分布情况
愈接近于零的误差区间,误差出现的频率愈大 距离零愈来愈远,误差出现的频率递减 出现在正负误差区间内的频率基本相等
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2.根据直方图分析偶然误差的规律性
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直方图具体作法和分析 横轴：先在横轴上截出表中的各误差区间并以之为底 纵轴：以误差出现于相应区间的频率除以区间间隔的商为高， 作一系列长方形，构成所示的直方图 分析：图中每一长方形面积即为误差出现于该相应区间的频 率，长方形面积之和等于1，长方形的高则表示相应区间 的误差分布密度。
偶然误差的界限性：在一定测量条件下，偶然误差的数值是有一定范
围的。因此我们可以根据测量条件来确定偶然误差出现的界限。显然测量条 件愈好，可能出现的最大偶然误差愈小；反之，则愈大。所以界限性是以后 讨论极限误差的理论依据。
偶然误差的聚中性：偶然误差愈接近零，其分布愈密，而且易知，对
于较好的测量条件这一特性必然相对明显和突出。
偶然误差的理论平均值为零
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§2.3 Properties of Random Errors 偶然误差的前三个特性可以简要概括为： 界限性 聚中性 对称性 抵偿性 它们充分揭示了表面上似乎并无规律性的偶然误差 的内在规律。
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§2.3 Properties of Random Errors
D( X ) E x E x
2
D ( X Y ) D ( X ) 2 xy D (Y )
D( X Y ) D( X ) D(Y )
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§2.1 Character of Random Variable 三、协方差 covariance
正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的． 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
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§2.3偶然误差的规律性
Properties of Random Errors
观测值的真值 observations of true value 任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表 其真正大小的数。这一数值就称为该观测量的真 值。从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含 偶然误差时，其数学期望也就是它的真值。 真误差 (true error)
1 E ( X 1 ) E( X ) 2 X 2 n E ( X n )
2 x1 x1x2 x2 x1 2 x2 DXX x x x x n 2 n1
，


XY EX E ( X ) Y E (Y ) E ( X Y )
互不相关
XY EX E ( X ) Y E (Y ) E ( X Y )
＝E ( X ) E ( Y ) 0
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平均误差 average error 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝 对值的数学期望称为平均误差。
2
e
( X ) 2 ( 2 2 )
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正态分布是概率论中最重要的分布：
正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之 一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的 影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则 该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
x1xn 2 x2 xn 2 xn
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§2.2 normal distribution
正态分布的特性