学而思 数数与比较
行程专题(学而思)第1-4讲
学习目标本讲主要通过例题加深对行程问题的三个基本数量关系的理解。
在历年小升初与各类小学竞赛试卷中，行程问题的试题占的比值是相当大的，所以学好行程问题不但对于应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足轻重的关键性作用，而且也为初中阶段的学习打下良好的基础。
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题. 行程问题主要涉及时间 (t)、速度 (v)和路程 (.s)这三个基本量，它们之间的关系如下：路程 = 速度×时间 可简记为：s vt =速度 = 路程÷时间 可简记为：/v s t =时间 = 路程÷速度 可简记为：/t s v =路程一定，速度与时间成反比速度一定，路程与时间成正比时间一定，路程与速度成正比显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.【例 1】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1：2：3，某人走这三段路所用的时间之比是 4：5：6，已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为 20千米，此人走完全程需多少时间？【例2】甲、乙两地相距60千米，自行车队8点整从甲地出发到乙地去，前一半时间每分钟行1千米，后一半时间每分钟行0.8千米。
自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？【例3】某人上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟，已知下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3 时50分钟，那么下山用多少时间？【例4】汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地，求该车的平均速度。
【例5】甲、乙两车往返于A、B两地之间，甲车去时的速度为60千米/时，返回时的速度为40千米/时，乙车往返的速度都是50千米/时，求甲、乙两车往返一次所用的时间比.【例6】从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的23，一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时，这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？【例7】一辆车从甲地行往乙地，如果把车速提高20%，那么可以比原定时间提前1 小时到达；如果以原速度行驶100千米后再将车速提高30%，那么也比原定时间提前 1 小时到达，求甲、乙两地的距离。
培养数感的书
培养数感的书
培养数感的书有很多，以下为您推荐：
* 《摩比爱数学》：学而思的练习册，系统化与趣味化并重，适合有一定基础的小朋友练习。
配备丰富的教具和视频讲解，有助于孩子们在轻松愉快的氛围中巩固知识、提升能力。
* 《动物数字》：这本书适合刚开始学数数的小宝宝，通过尾巴猜动物的方式引导孩子数数，并有一些其他的玩法，例如比较大小的游戏。
* 《数字大挑战》：这本书适合锻炼专注力，需要在一副画面里找出对应的物品，即可以训练数数，又可锻炼专注力。
此外，《玩转数学》、《数学游戏》、《数学星球》等书也是不错的选择，这些书内容丰富、寓教于乐，能够激发孩子对数学的兴趣，培养他们的数感。
小学奥数教辅书推荐【最新】
小学奥数教辅书推荐【最新】小学奥数教辅书推荐作为一名奥数老师，每次去西单都会去图书大厦三楼的奥数教辅专架看看，每次都会看到有小学生家长在专架上的一排排书之间感到茫然，不知道该买哪本好。
确实，目前市场上的小学奥数教辅书种类繁多，良莠不齐，对于对小学奥数不太熟悉的家长们来说，如何进行选择确实是个难题。
尤其是目前又到了暑期，孩子们正好有空在家里看看书做做题，所以觉得有必要向家长们推荐一些有价值的、值得购买的奥数教辅书。
总的来说，小学奥数教辅书可以分为三类:教材;习题集;竞赛试题汇编。
下面分别进行介绍。
(一)教材类1、《明心数学zy教程》刘嘉编著，湖北教育出版社出版《明心数学zy教程》是目前最好的小学奥数教材，由武汉的明心zy教育(武汉的一家培训机构)的刘嘉老师主编，计划出版八卷四册，现已出版了3册:第二卷上(2007年)、第三卷上(2007年)、第四卷上(又分第1、2分册)(2008年)，所以实际上是已经出了4本。
《明心数学zy教程》这套书最大优点有:? 每一讲前面的数学经纬都非常的生动有趣而且富有知识性;?每一道例题的解答过程都非常详细，很适合家长用来辅导学生及学生自学，另外对于新老师的教学其实也有指导帮助的作用。
而且有些例题后面都有关于例题的知识背景的介绍(这样的往往是数学史上著名的问题)，还有例题不同的表达形式(相当于变式)，可起到举一反三的作用;?每一讲后面的练习题有些是与前面的例题相对应的，这样学生在做练习题时可以回想前面的例题的解题思路，既是对前面例题的回顾又是对练习题的启发(实际上大部分奥数教材都是这样做的，比如后面要介绍的RH学校数学课本及《奥数教程》等，当然学而思讲义也是如此)。
《明心数学zy教程》最大的缺点就是——出得太慢了~说是要出八卷，到目前为止还只出了三卷四本。
2、《RH学校奥林匹克数学课本》中国大百科全书出版社，一至六年级都有RH学校出的课本，因了RH的江湖地位，自然是值得重视的。
【推荐】六年级学而思奥数
11111123420261220420L ＋＋＋＋＋ 第一讲 小升初计算重点考查内容(一)抵消思想——裂项36579111357612203042++++++1111112123123100+++++++++++L L222222222222233333333333331121231234122611212312341226L L L +++++++++-+-+-+++++++++测试题【例1】(★★)11111 1357911_____.612203042+++++=计算A．53614B．7512C．4121D．1712【例2】(★★★)计算：2337911345122030+++++=( )A．3227B．4112C．4121D．2312【例3】(★★★★)11111_____12123123412310+++++=+++++++++LLA．1113B．111C．712D．2011【例4】(★★★★)计算：2222222222221324351820213141191++++++++=----L（）A．72019B．15138190C．1402D．73620本讲学习重点：1．海哥、海马学奥数时的那点笑话～2．整体约分与连锁约分技巧(2010第8届·走进美妙的数学花园·六年级初赛)211354117997⎛⎫⎛⎫+÷+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【附加练习】2129476122323791113791113⎛⎫⎛⎫+++÷+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第二讲小升初计算重点考查内容（二）抵消思想——约分(2009·数学解题能力展示·读者评选活动小学六年级组初赛试题)89109101110111211121378910111178910++++++++-+--+-124248361210020040013926183927100300900⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯L L【附加练习】1246248123612181002004006001369261218391827100300600900⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯L L一根铁丝，第1次截去总长度的212，第2次截去剩余长度的213，第3次截去剩余长度的214…第2008次截去剩余长度的212009，此时该铁丝还剩2010厘米，那么该铁丝原长为______厘米？【附加练习】1111111113243520072009⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L已知135979924698100A ⨯⨯⨯⨯⨯L ＝，24696983579799B ⨯⨯⨯⨯⨯L ＝，110C ＝。
2020学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班) 高一寒假 第2讲 与数列的第一次亲密接触 教师版 目标班
第2讲与数列的第一次亲密接触满分晋级数列3级等差数列深入数列2级数列的小伙伴们数列1级与数列的第一次亲密接触知识切片<教师备案>本讲主要是数列的概念和等差数列的初步认识，包括等差数列的通项和求和公式，以及等差数列最简单的几个性质，更多的性质会在春季同步时再深入研究．本讲内容较多，下讲内容较少，可以与下一讲作个时间上的均衡．数列的引入我们已经学习过整数、有理数和无理数，它们可以用来表示某些数量．不过有些时候，表示的会比较不一般．比如下面这个著名的问题（兔子问题）：1202年，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci ）在他的一本书中提出的一个问题．一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来．如果所有兔子都不死，年初由一对初生的小兔子开始，一年以后共有多少对兔子？要解决这个问题，我们可以列一个表： 时间（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 兔宝宝（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 成熟兔（对） 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 兔总数（对） 1123581321345589144如果我们只是单纯的写出最后的答案，我们会错过很多有趣的结论．我们将每个月最后的兔子数写成一列112358，，，，，，，就得到一列数，研究这一列数的规律，容易发现它们满足：从第3项起，每一项都等于前两项的和，由这条规律我们就可以知道两年后乃至若干年后的兔子总数了．这一列数就称为数列．还有很多其它的数列，各个数列其各自的项之间都有其内在关系和规律，研究数列的规律和性质是我们接下来两讲要学习的内容． （斐波那契数列有视频，可结合视频说明）考点1：数列的定义与分类1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123a a a ，，，简记为{}n a ．<教师备案>以前面的斐波那契数列为例，12341123a a a a ====，，，，， 需要注意的：① 数列中每一项都和它的序号有关，数列中的数是按一定次序排列的．如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列．如：数列1，2，3，4，5与5，2.1数列的认识知识点睛4，3，2，1是不同的数列．数列12341235a a a a ====，，，，和斐波那契数列也是不同的数列．② 数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同．因此，同一个数在数列中可以重复出现．如：1，1-，1，1-，1，…；2，2，2，2，2，…等．③ {}n a 与n a 是不同的概念．{}n a 表示数列1a ，2a ，3a ，…，n a …，而n a 仅表示数列{}n a 的第n 项．2．数列的分类① 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列．② 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．③ 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列． <教师备案>斐波那契数列是无穷数列，递增数列，无界数列．更多的例子见例1【例1】 ⑴下面数列哪些是递增数列，递减数列，常数列，摆动数列？哪些是有穷数列，无穷数列？①全体自然数组成数列：0，1，2，3，…；②某校6个班学生人数构成的数列：15，16，18，20，22，30； ③数列：5，1-，3， 2.6-， 1.5-，8； ④数列：5，5，5，5，5；⑤数列：100，90，80，70，60，50，…． ⑵根据数列的规律填空①1 1 2 3 5 8 ＿＿②5 3 10 6 15 12 ＿＿ ＿＿ ③3 5 9 17 33 ＿＿④1 2 2 3 4 6 ＿＿⑶（2010湖南文20）给出下面的数表序列：12845314311表3表2表1其中表(123)n n =，，，有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和，写出表4．【解析】 ⑴ ①递增数列 无穷数列 ②递增数列 有穷数列③摆动数列 有穷数列 ④常数列 有穷数列 ⑤递减数列 无穷数列 ⑵ ①13．经典精讲此数列为著名的斐波那契数列，从第三项起每一项是前两项之和． ②20，24．此数列是混合数列，奇数项为首项为5，公差为5的等差数列，偶数项是首项为3，公比为2的等比数列，按顺序应填20，24． ③65根据数列的规律每一项为21n +． ④9从第三项起每一项为前两项之和减1，所以空格应填9． ⑶<教师备案>趣味数列：（供课堂增加趣味性，活跃气氛选用）1．请写出下列数列的下一项：2，12，1112，3112，211213，______．2．按规律填空：①17＿＿ 9 100；②3 6 21 42 84 69 291 ＿＿ ＿＿；【解析】 1．这个数列中每一项都和前一项和读法有关，第一项是2，第二项是一个2，第三项是一个1一个2，第四项是三个1一个2，往后以此类推．所以应该填入的数列为：312213．2．①101278910-，所以应该填1；②将数列的前几项反过来写：3612244896192，，，，，，，所以，以此类推后边应该为 384768，，所以应该填483867，考点2：数列的通项公式与递推公式数列的表示方法：⑴ 图象法：数列是以正整数集*N （或它的有限子集{}12n ，，，）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是一系列函数值．所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列．全体正偶数组成的数列246，，，用图象法表示为（如图）： 数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点． ⑵ 列表法：与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示．如：全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列2，4，6，8，…用列表法可表示为n 1 2 3 … k …n a2 4 6 … 2k …列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，但由于受某些条件的限制，用列表的方法有时不能完整的反映一个数列，或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示．知识点睛10865443221O na n 12322012847531<教师备案>图象法可以比较清楚的揭示数列的变化规律，列表法表示数列能使人一目了然，但它们的缺点就是数列的项数比较多时，表示起来一般会非常费劲，比如斐波那契数列用这两种方法就不好表示．数列更多的是用下面两种方法来表示．⑶ 递推公式法：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任意一项n a 与它相邻的一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式．如：数列3，4，5，6，7，…用递推公式可这样表示：13a =，11n n a a +=+，n *∈N ．⑷ 通项公式法：数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项．如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可用一个函数关系()n a f n =来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．⑶中的数列可以用()*2n a n n =+∈N 来表示．<教师备案>理解数列的通项公式：① 数列的通项公式实际上是一个以正整数集*N 或它的有限子集{}12n ，，，为定义域的函数的表达式；② 如果知道了数列的通项公式，那么依次用12n ，，，去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项．③ 数列的通项公式形式不是惟一的，如111111---，，，，，，，它可以写成(1)n n a =-，也可以写成cos πn a n =或11n n a n -⎧=⎨⎩，为奇数，，为偶数.．④ 不是所有的数列都有通项公式，好比不是所有的函数都有解析式一样．有穷数列一定有通项公式．无穷数列不一定有．比如由全体质数组成的数列2357，，，，，目前就没有通项公式． 前面提过的斐波那契数列的递推公式：121a a ==，()112n n n a a a n n +-=+∈N ≥，， 通项公式为11515225n nn a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，这是一个正整数列用无理数来表示通项的例子．高中阶段只学习比较简单的递推形式的通项公式，象斐波那契这种比较复杂的递推和通项仅作为帮助了解数列的相关概念．【例2】 ⑴观察数列前几项，求出下列数列的一个通项公式① 1111--，，，，； ② 0101，，，，； ③ 1234--，，，，； ④ 1111111111，，，，； ⑤ 131793832435--，，，，，； ⑥ 11315228432，，，，，…； ⑵已知数列{}n a 满足11a =，11n n na a n -=+（*2n n ∈N ，≥），则2a =_____；5a =______． ⑶已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a -=+（*2n n ∈N ，≥）），则2a =_____；10a =______．⑷（目标班专用）（2010西城二模理14）我们可以利用数列{}n a 的递推公式经典精讲2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()n *∈N ，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则2425a a +=_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项．【解析】 ⑴ ①(1)n n a =-或cos πn a n =（可以不讲）或11n n a n -⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数．②()112nn a +-=或01n n a n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数； ③ 1(1)n n +-⋅；④ 1(101)9n -；⑤ 121(1)(2)n n n a n n +-=-⋅+；（观察分子觉得分子可能为13579，，，，，从而得到分母为38152435，，，，） ⑥2n n na =；（观察分母得分母都为2k ，将分母整理为2481632，，，，，得到规律）． ⑵2133，； 212233a a ==；323142a a ==；434255a a ==；545163a a ==．可以推断21n a n =+； ⑶31023，； 21213a a =+=；32217a a =+=；415a =；531a =．可以推断21n n a =-．101023a =．⑷28；640．2412633a a a a ====，同时2525a =，因此242528a a +=；第k 个5出现在第152k -⋅项，因此第8个5是该数列的第752640⋅=项．【例3】 ⑴根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式，并分析． ① 24816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？②111124816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ③111124816----⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ④ 111124816--⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ⑵类比函数的单调性、有界性来分析数列的性质．① 数列{}n a 的通项公式是2610n a n n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？ ② 数列{}n a 的通项公式是()23.61n a n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？【解析】⑴ ① 2n n a =，最小值为首项2，没有最大值，该数列为单调递增数列． ② 12n n a =，最大值为首项12，没有最小值，该数列为单调递减数列．③ 12n n a =-，最小值为12-，没有最大值，该数列为单调递增数列．④ ()1112n n n a +=-⋅，最大值为12，最小值为14-，该数列不是单调数列．⑵ ①3n =时，n a 最小为1． 该数列无最大值． ②4n =时，n a 最小为1.16．该数列无最大值．【点评】 引出用函数的分析方法分析数列的取值，强调数列是一种特殊的函数，用函数的方法进行分析时，要注意其定义域是大于0{}()12n a f n n ⇔=，，，【拓展】若25n a n n λ=-+，当且仅当3n =时n a 有最小值，问λ的取值范围．【解析】 函数2()5f x x x λ=-+的对称轴为2x λ=，故3x =离2λ最近， 即3222λλ-<-且3422λλ-<-，解得57λ<<．考点3：数列的前n 项和n S数列{}n a 的前n 项和用n S 来表示，如果n S 与n 的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的前n 项和公式．数列的前n 项和121n n n S a a a a -=++++．于是有1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，，≥111n n n S S n a S n --=⎨=⎩，≥，知识点睛数列12a a ，， 函数()f x 定义域{}12，，前n 项和减去前1n -项和第1项12n n S a a a =+++<教师备案>等差等比数列的前n 项和公式我们会在相关小节学习，数列求和的常用方法我们会在春季同步讲义时系统学习，这里可以举一些最简单的可以求和的例子：如求常数列{}n a ：5n a =的前n 项和．或者求数列111n a n n =-+的前10项的和等．如果有学生问斐波那契数列的前n项和公式的话，也可以提一下，它是两个等比数列的和，且1221n n a a a a ++++=-． 后面的例题主要是练习给定n S 的通项公式求n a ，要注意1n n n a S S -=-只对2n ≥成立，用n S 求n a 时，1n =必须单独讨论，忽视这个很容易造成错误，见易错门诊．【铺垫】⑴已知数列{}n a 的前n 项和3n S n =，则1a =______，3a =_____，通项n a =______．⑵已知数列{}n a 的前n 项和1n n S n+=，则1a =_____，6a =______． 【解析】⑴113a S ==；3323a S S =-=；2n ≥时，13n n n a S S -=-=，故对*n ∈N ，有3n a =． ⑵112a S ==；6657616530a S S =-=-=-；【例4】 ⑴已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a =＿＿；若它的第k 项满足58k a <<，则k =＿＿．⑵已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则其通项n a =______；满足2013k a <的最大正整数k 为______．【解析】⑴ 210n -；8． 118a S ==-；2n ≥时，1210n n n a S S n -=-=-，对1n =也满足；由52108k <-<得：1592k <<，故8k =．⑵ 1211n -，； 111a S ==；2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，对1n =也满足；故12n n a -=； 122013k k a -=<，由101121024201320482=<<=知，满足不等式的最大的k 为11．1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+-，求n a ．【解析】 当1n =，110a S ==2n ≥， 1n n n a S S -=-222(1)(1)2n n n n =+-----+2n =经典精讲∴0122n n a n n =⎧=⎨⎩，，≥．2．已知数列{}n a 的前n 项和2n n S =，求n a ．【解析】 112a S ==；111222n n n n n n a S S ---=-=-=，故12122n n n a n -=⎧=⎨⎩，，≥．【点评】 强调利用前n 项和求通项的时候，对首项要单独处理．<教师备案>前面我们对于一般的数列学习了一些基本概念和知识，总体而言，大部分数列是没什么规律的，小部分规律明显，接下来我们学习一类有迹可循的特殊数列．例如：自然数数列，每个数都比它后面的数小1，正偶数数列，从第二项起，每项都比它前面的数多2，等等．这一类特殊的数列就是等差数列．考点4：等差数列的概念定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． <教师备案>先从直观上认识等差数列，通过一些具体的数列感觉等差数列，之后再学习等差数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等差数列的项数．再学习等差数列的求和公式，以及一些简单的性质．希望把概念分开讲解，分别配例题．【例5】 下列数列是等差数列吗？如果是求出公差，如果不是请说明理由．①13579，，，，，；②5137--，，，，；③5555，，，，； ④222222---，，，，，，；⑤531123---，，，，，，； 【解析】 ①是．2d =；②是，4d =；③是．d =0；④不是；⑤不是．考点5：等差数列的通项公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，第n 项（通项）为n a ，通项公式：()11n a a n d =+-．2.2等差数列基本量计算经典精讲知识点睛知识点睛首项 公差1a a n d =+-<教师备案>通项公式的推导：我们可以说明第二项与第一项相差d ，第三项与第一项相差2d ，第n 项与第一项相差()1n d -，所以()11n a a n d =+-．还可以用叠加法求其通项公式．叠加法：1n n a a d --= 12n n a a d ---=23n n a a d ---=21a a d -= 将这1n -个式子左右分别相加可得1n a a -=()1n d -，故()11n a a n d =+-． 知道数列的首项与末项，可以求项数，公式为11n a a n d-=+．【例6】 ⑴已知等差数列{}n a 的通项公式为73n a n =-，则公差为_______，首项为_____．⑵等差数列951，，，的第4项4a =_______，第20项20a =_______． ⑶等差数列3711103，，，，的项数n =______，第5项为_______．⑷已知数列{}n a 是等差数列，且22a =-，510a =，则数列{}n a 的通项n a =_______．【解析】 ⑴ 3-，4．∵73n a n =-，∴1734a =-=，21a =，故3d =-（也可直接由通项公式看出）； ⑵3-，67-；()1(1)9(1)4413n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+，43a =-，2067a =-． ⑶2619，；公差734d =-=，故10331264n -=+=，再写两项即得第5项为19()37111519，，，，． 也可以先写出通项公式41n a n =-，于是1034261=⨯-为第26项；519a =． ⑷ 解法一：设{}n a 的公差为d ，由已知条件112410a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解出4d =，16a =-，所以1(1)6(1)4n a a n d n =+-=-+-⨯644n =-+-410n =-．解法二：52310(2)12d a a =-=--= ∴4d =，12a d +=-，∴16a =-，∴410n a n =-．<教师备案>例6给出了等差数列的通项公式与项数的常规求法，如果把数列看成特殊的函数，可以将通项公式整理成1()n a dn a d =+-，故n a 是关于n 的一次函数（在0d ≠时），从这个角度出经典精讲等差数列{}n a 第n 项发，给出等差数列的通项公式可以马上得出公差，即n 前的系数，给出公差也可以立刻得到一次项，再结合给出的某项的值即得到通项公式．具体见下面的练习． 准确快速地求出等差数列的项数非常重要，可以结合“挑战5分钟”多练多算．【挑战5分钟】 ⑴已知43n a n =-，则d =______．⑵已知1001n a n =-，则d =______．⑶已知123a d ==，，则n a =______．⑷已知512a d ==-，，则n a =______．⑸已知4132a d ==，，则n a =______．⑹已知315122a d ==-，，则n a =_____．⑺等差数列34575，，，，的项数为______． ⑻等差数列42026-，，，，的项数为_______． ⑼等差数列3032013-，，，，的项数为______．⑽等差数列110824--，，，，的项数为______．【解析】 ⑴3-；⑵100；⑶31n -；n a 等于3n 加上某数，由12a =知，31n a n =-．⑷211n -+；2n a n λ=-+，则51a =知11λ=．⑸112n +；12n a n λ=+，4231a λλ=+=⇒=．⑹192n -+；12n a n λ=-+，3315922a λλ=-+=⇒=．⑺73；⑻16；⑼673；⑽35．考点6：等差数列的求和公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，通项为n a ，前n 项和为n S ． 前n 项和n S 的公式：⑴()12n n n a a S +=；⑵()112n n n S na d -=+．1n n a d n a S ，，，，知三求二，可考虑根据公式统一转化为两个基本量．()()11122n n n a a n n S na d +-==+<教师备案>相信大家对高斯小时候算123100++++的故事耳熟能详，对于怎么算也知道的八九不离十，那对于一般的等差数列，前n 项和公式怎么求呢，类似的推导如下： 若等差数列{}n a 的公差为d ，n S 为数列{}n a 前n 项和，可以用倒序相加法求和． 倒序相加法：[]1231111()(2)(1)n n S a a a a a a d a d a n d =++++=+++++++-把项的顺序反过来：[]121()(2)(1)n n n n n n n n S a a a a a a d a d a n d --=++++=+-+-++--两式相加得11112()()()()n n n n n S a a a a a a a a =++++++++，知识点睛项数 首项 等差数列前n 项和 第n 项 公差得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．<教师备案>从函数角度看等差数列的前n 项和公式：将前n 项和公式整理成2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故0d ≠时，n S 是关于n 的常数项为0的二次函数，从函数的角度看n S 知，当0d >时，n S 有最小值；当0d <时，n S 有最大值．可以结合下面例7的拓2理解一下这个结论，这方面的更多性质及其应用会在春季同步时展开． 由等差数列求和公式的形式，我们可以直接看出公差d 的值，如29n S n n =-⇒2d =；22n S n n =-+，则4d =-；若n S 是n 的二次函数，那么这个数列一定是等差数列吗？举例22n S n n =++，则n a 不是等差数列，首项会出问题，从第二项起是公差为2的等差数列．如果n S 的表达式不含常数项，则{}n a 是等差数列．所以由前n 项和判断是不是等差数列，一定要检验一下前两项满不满足．【铺垫】⑴等差数列371179，，，，的各项的和为_______．⑵已知数列{}n a 是等差数列，13a =，2d =，则20S =________．【解析】 ⑴ 820；∵134a d ==，，∴1120n a a n d -=+=，20379208202S +=⋅=． ⑵ 440；20201920324402S ⨯=⨯+⨯=；【例7】 ⑴已知数列{}n a 是等差数列，15a =，525a =，则前n 项和n S =________．⑵已知数列{}n a 是等差数列，14a =，716a =，则使得154n S =的项数n =________． ⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和236n S n n =+，则1a =_____，n a =_______．⑷（2010辽宁文14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = ． ⑸（目标班专用）（2010丰台一模理8）已知正整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,5【解析】 ⑴25522n n +；∵1425a d +=，∴5d =．2(1)5555222n n n S n n n -=+⨯=+． ⑵ 11；经典精讲∵14a =，716a =，∴71612d a a =-=，∴2d =．∵1(1)(1)4215422n n n n n S a n d n --=+=+⨯=，有4(1)1540n n n +--=，即231540n n +-=，(14)(11)0n n +-=，∴11n =或14n =-（舍去）． ⑶ 963n +，； 119a S ==；由32d=⇒6d =，故63n a n =+．（也可求出1n n n a S S -=-求和）． ⑷ 15；316132332656242S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，∴91815a a d =+=． ⑸（目标班）C根据题中数列的规律，坐标和为k 的数有1k -个： 和为2：()1,1、 和为3：()1,2、()2,1、和为4：()1,3、()2,2，()3,1，和为5：()1,4，()2,3，()3,2，()4,1， ……(1)122n n n ++++=，10111112556022⨯⨯=<<， 即和小于等于11的数有55个，从而第60项的和为12， 前几项依次为：(111)(210)(39)(48)(57)，，，，，，，，，，……，因此第60项为()5,7．<教师备案>学过了等差数列的基本概念和简单的计算后，我们会发现等差数列只需要确定两个基本量1a d ，，然后不管条件怎么变，等差数列的题都可以由这两个数经过一定的运算求出来．不过在求解的过程中，如果只是生搬等差数列最基本的公式，有的题目的运算量就会比较大，导致计算出错的可能就会增加．如何尽可能避免很多不必要的繁琐的计算，这就要学习一点点小技巧，这些小技巧就是我们要学的等差数列的性质．2.3 等差数列性质初步O123456654321考点7：等差数列的性质1．等差中项：若x A y ，，成等差数列，则A 称为x y ，的等差中项，2x yA +=． 2．等差数列{}n a 的简单性质（其中公差为d ）： ⑴ ()n m a a n m d =+-（*m n ∈N ，）；⑵ 若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）；若p q m n +=+p q m n a a a a +=+⑶ 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +，，为等差数列，公差为md ；⑷{}n a 的前n 项和为n S ，则()2121n n S n a -=-． (2121n n -=-<教师备案>对于性质⑴可以举简单的例子，353a d ==，，求6a ，可以先求1a ，再由1a 和d 求6a ，也可以引入性质⑴求解．对于⑵，可以由一些简单的例子1423a a a a +=+之类的得出猜想，然后进行证明． 对于性质⑶，可以从隔项取一个的等差数列进行探索，然后隔两个，隔多个进行考虑．<教师备案>这一讲对等差数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习．对性质⑵⑶⑷的简单证明如下：⑵()()()1111122p q a a a p d a q d a p q d +=+-++-=++-，同理可得()122m n a a a m n d +=++-，∵p q m n +=+，∴p q m n a a a a +=+． ⑶()11n a a n d =+-，()11n m a a n m d +=++-，()2121n m a a n m d +=++-， ∴()()1111n m n a a a n m d a n d md +-=++----=， ()()211211n m n m a a a n m d a n m d md ++-=++---+-=，∴n a ，n m a +，2n m a +，，为等差数列，公差为md ；知识点睛下标和相等对应项的和相等211221n n S a a a --=+++ 项数中间项⑷()()121211221212n n n n a a S a a a ----+=+++=，∵1212n n a a a -+=，∴()2121n n S n a -=-．这条性质是⑵的推论，性质⑵是等差数列题目中经常出现的．【铺垫】⑴在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10⑵在等差数列{}n a 中，37513a a ==，，则d =_______．11a =______．13S ＝_______．【解析】 ⑴ A ；由等差数列性质1得1952a a a +=，所以55a =；⑵221169，，；7324a a d -==；1173221a a a =-=；13713169S a ==．【例8】 ⑴①a 是42-与42+的等差中项，则a = ；②220180a ，，为等差数列，则a = ．⑵（2010全国卷Ⅱ6）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=（ ）A ．14B ．21C ．28D ．35⑶设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-，99S =-，则16S = ． ⑷已知等差数列{}n a 满足244a a +=，7910a a +=，则其前10项的和10S =______．⑸（目标班专用）在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为________．【解析】 ⑴①4；()()424242a -++==；②200；1802202002a +==．⑵C ；由34512a a a ++=，得44a =， 所以 12717417()7282a a a a a a +++=⨯⨯+==．⑶ 955991S a a ==-⇒=-，5121616722a a S +=⨯=-． ⑷35；2433242a a a a +==⇒=；79882105a a a a +==⇒=；1101038105()352a a S a a +=⨯=+=． ⑸16；468101281205a a a a a a ++++==，故824a =．()9118881122324163333a a a d a d a -=+-+=⨯=⨯=．<教师备案>本题可以让学生先用普通方法做一遍，然后再介绍利用等差数列性质解题的简便方法，通过这个对比说清学习等差数列性质的重要性，并说明春季我们会介绍更多的性质．【拓展】（第21届希望杯全国数学邀请赛高一16）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不经过点O 的直线上的三点A B C 、、满足32008OB a OA a OC =+，则2010S =_________．【解析】 1005A 、B 、C 三点共线，则由32008320081OB a OA a OC a a =+⇒+=．经典精讲又∵{}n a 为等差数列∴120102200932008100510061a a a a a a a a +=+=+==+=∴2010122010S a a a =+++1201010051006()()a a a a =++++1005=．【演练1】 写出下列数列{}n a 的通项n a ：⑴ 9999999999，，，，；⑵1313，，，；⑶24816--，，，，．【解析】 ⑴101n n a =-；⑵2(1)n n a =+-；⑶(2)n n a =--．【演练2】 数列{}n a ：111234，，，，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？【解析】 1()1n a f n n ==+，n a 有最大值12，没有最小值．【演练3】 已知数列{}n a 是一个等差数列，且48a =-，820a =-，则数列{}n a 的通项n a =______． 【解析】34n a n =-+； 解法一：设{}n a 的公差为d ，由已知条件1138720a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ 解出3d =-，11a =，()1(1)1(1)3n a a n d n ∴=+-=+-⨯-133n =-+34n =-+．解法二：84420(8)12d a a =-=---=- ∴3d =-，138a d +=-，∴11a =．∴34n a n =-+．【演练4】 ⑴已知等差数列{}n a 满足3824a a +=，则它的前10项的和10S 为________．⑵在等差数列{}n a 中，{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，则24a a += ．【解析】 ⑴120法一：∵3824a a +=，∴111272924a d a d a d +++=+=，()10111045529120S a d a d =+=+=． 法二：∵3824a a +=，∴1103824a a a a +=+=，()11010101202a a S +==．⑵ 6；∵53515S a ==，∴33a =，24326a a a +==．实战演练【演练5】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，求5a 的值，当n S 取最小值时n的值．【解析】 设该数列的公差为d ，由等差数列的性质46526a a a +==-，53a ∴=-，111a =-，()5143118d a a =-=---=，解得2d =，所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值．【演练6】 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列 第2列 第3列 …第1行 1 2 3 ... 第2行 2 4 6 (3)369… … … … ……那么位于表中的第n 行、第1n +列的数是 ．【解析】 2n n +．第n 行第1列的数为n ，第n 行的数构成公差为n 的等差数列， 故第n 行，第1n +列的数为2(11)n n n n n ++-=+．1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n a =___________．2．等差数列{}n a 的前n 项和公式n S =_______________=_____________． 3．等差数列{}n a ，若2p q m +=，则p q a a +____2m a谷神星的发现1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学教师，把下面的数列： 3，6，12，24，48，96，192…… 的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每个数字都加上4，就得到了下面的数列： 4，7，10，16，28，52，100，196…… 再把每个数都除以10，最后得到： 0.40.711.6 2.8 5.21019.6，，，，，，，，令提丢斯惊奇的是，他发现这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太阳的距离比例（地球到太阳的距离定为1个天文单位）有着一定的联系．水星 金星 地球 火星 谷神星 木星 土星 天王星 …计算距离 0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10 19.6 …提丢斯的朋友，天文学家波得深知这一发现的重要意义，就于1772年公布了提丢斯的这一发现，这串数从此引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯——波得定则即太阳系行星与太阳的平均距离． 当时，人们还没有发现天王星、海王星，以为土星就是距太阳最远的行星．概念要点回顾1781年，英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星，从此，人们就对这一定则深信不疑了．根据这一定则，在数列的第五项即2.8的位置上也应该对应一颗行星，只是还没有被发现．于是，许多天文学家和天文爱好者便以极大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程．1801年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空．突然，他从望远镜里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯——波得定则中2.8的位置上．可是，当皮亚齐再想进一步观察这颗小行星时，他却病倒了．等到他恢复健康，再想寻找这颗小行星时，它却不知去向了．皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”．在高斯之前，著名数学家欧拉曾经研究出了一种计算行星轨道的方法．可是，这个方法太麻烦．高斯决心去寻找一种简便易行的方法．在前人的基础上，高斯经过艰苦的运算，以其卓越的数学才能创立了一种崭新的行星轨道计算理论．他根据皮亚齐的观测资料，利用这种方法，只用了一个小时就算出了谷神星的轨道形状，并指出它将于何时出现在哪一片天空里．1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空．果然不出所料，谷神星出现了！高斯的计算方法成功了．高斯从笔尖上寻找到的这颗行星，在隐藏了整整一年后，向人们显示了数学在科学研究中的巨大作用．。
部编版数学三年级上册第14讲.等量代换.优秀A版
【对应学案】【学案 2】【学案 3】
6 第 5 级下 优秀 A 版 教师版
第十四讲
［巩固］ 如图，第一只壶里的茶只有一半，小华倒出了 5 大杯，第二只壶里的茶是一满壶，小明倒 出了15 小杯．已知 3小杯的茶与 2 大杯的茶同样多，现在问你哪个壶大？
按照萧何的聪明，自不难打听出韩信的去向。如果换了你呢？ 【分析】萧何问其中一个人：“如果我问你的朋友，刚才过去一位将军从哪条
路走的，他会指哪条路给我？” 这个问题巧妙地将两个人都拉了进来，结果不管他问的人说真话
还是假话，结果这个人都会指一条错误的路。韩信只需要走另一条路 去追韩信就可以了.
附加题
1. 聪明昊，智慧巍，帅气铮三个人称体重.聪明昊说，我比智慧巍重.智慧巍说，如果我和帅气铮一
［分析］我们可以按以下三个步骤来思考： ⑴第二只壶满壶茶倒出15 小杯，而每 3小杯可以倒满 2 大杯，所以第二只壶可以装茶10 大 杯． ⑵第一只壶的一半倒出了5 大杯，那么满壶茶可以倒出10 大杯． ⑵ 由⑴⑵可知，两个茶壶一样大．
例4
学而思学校派帅气铮去采购，帅气铮第一次买了 3个水瓶和 20 个茶杯，共用去134 元；第二次又买 了同样的 3 个水瓶和16 个茶杯，共用去 118 元．你知道帅气铮买的水瓶和茶杯的单价各是多少元吗？ 【分析】我们用数量关系式来比较对应的未知数量的情况：
译文： 曹冲五六岁的时候， 聪明才智所达到的程度 ，像成人一样 ．有一次， 孙权送来了一头 巨象，太祖想知道这象的重量，问过属下，都没有提出有效的办法．曹冲说 “把象赶到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再用其他东西代替大象， 然后称一下这些东西就知道大象的重量了．”太祖听了很高兴，马上照这个 办法做了．
初二实数计算题
1 13 3 与 的大小 8 8
方法六：移动因式法
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移动因式法的基本是思路是，当 a＞0，b＞0，若要比较形如 a b与c d 的大小，可先把根号外的因 数 a 与 c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。 例 6：比较 2 7 与 3 3 的大小
2 1 0.125 3 2
6 32
（14）
0.01 81 0.25 144
（7） 5 96 2 24 5 12 3 27 4
4 3
（15） 1
2 1 2 2 1 3 3 5
（8） 2
1 1 1.25 3 80 5 27 12
（16）
3a b 1 ( 2 ) ． 21 3 2b a b
（9） 3 (16)(36) ； （17） 9 144 8
1 3 6 3
（10） 2
（18） 15 75
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（24） 2 75 3 27 3 （19） 10 5
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公式： a b a b (a 0, b 0); 常见最简二次根式： 例：(1) 3 3 ； (2) 2 4 ； (3)
3 27
a a (a 0, b 0) . b b
；
(4) 3
25 . 12
(6)
121144 . 169
化简： (1) 3
（8） (3) 2 8 1 2 2 ( 6 3) 0
（9） 6
一年级数学下册课内复习资料
第一单元认识图形（二）1、平面图形（1）长方形：4条边，对边平行且相等，4个角都是直角。
（2）正方形：4条边都相等，4个角都是直角。
（3）三角形：3条边，3个角。
（4）圆：没有直直的边。
（5）平行四边形：对边平行且相等。
【例题1】分一分，把各个图形的序号填在（）里。
【解析】正方形4条边都相等，4个角都是直角：④和⑥；长方形4条边，对边平行且相等，4个角都是直角：①和③；平行四边形对边平行且相等：②和⑤。
2、图形计数明确各种图形的特点，按照一定的方向或顺序计数，边数边标记。
【例题2】数一数，写一写。
【解析】正方形有2个：①和②长方形有4个：③、④、⑤、⑥三角形有5个：没有序号的全部都是三角形圆形有2个：⑦和⑧一年级下册期中复习资料3、七巧板七巧板由3种图形组成，其中有5个三角形，1个正方形和1个平行四边形。
七巧板可以拼成很多图形：房子：狐狸：4、图形的剪拼（1）图形拼合①两个同样的三角形可以拼成一个平行四边形。
②两个这样的长方形可以拼成一个正方形。
（2）图形剪切正方形或长方形过其中心点任意方向剪一刀，得到的两部分完全相同。
【例题3】将一张正方形纸片剪一刀分成大小相同的两部分，你有多少种方法？【解析】正方形过其中心点任意方向剪一刀，得到的两部分完全相同，所以有无数种。
5、缺了几块砖的解决方法（1）根据砖的排列规律，画一画进行对比，然后确定缺了几块砖。
（2）由第一层可得第三层、第五层缺了几块；由第二层可得第四层、第六层缺了几块，最后加和。
（3）先数一层有几块砖，每一层都是一样长的，算出每层缺了几块砖，最后加和。
【例题4】缺了（）块砖。
【解析】第一层与第三、五层是一样的，由第一层可得，第三层缺少3块，第五层缺少2块；第二层与第四、六层是一样的，由第六层可得，第二层缺少1块，第四层缺少3块；所以缺少3+2+1+3=9（块）。
6、常见立体图形平面展开图（1）正方体：6个面都是正方形。
→（展开图之一）（2）长方体：6个面都是长方形，特殊的长方体有2个面是正方形。
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行程问题多人行程二次相遇、追及问题多次相遇、追及问题火车过桥流水行船环形跑道简单的相遇、追及问题基本行程问题钟面行程走走停停接送问题发车问题电梯行程猎狗追兔平均速度数论问题数的整除约数倍数余数问题质数合数、分解质因数奇偶分析中国剩余定理位值原理完全平方数整数拆分进位制几何问题巧求周长几何的五大模型勾股定理与弦图圆与扇形立体图形的表面积和体积立体图形染色计数其它直线型几何问题格点与面积计数加法原理乘法原理排列组合枚举法标数法捆绑法插板法排除法对应法树形图法归纳法整体法递推法容斥原理几何图形计数应用题分数百分数应用题工程问题鸡兔同笼问题盈亏问题年龄问题植树问题牛吃草问题经济利润问题浓度问题比例问题还原问题列方程解应用题计算问题数学计算公式繁分数的计算分数裂项与整数裂项换元法凑整找规律比较与估算循环小数化分数拆分通项归纳定义新运算杂题逻辑推理数阵图与数字谜抽屉原理操作与策略不定方程最值问题染色问题各年级奥数知识点一年级奥数知识点认识图形数一数动手画画区分图形数数与计数火柴棍游戏二年级奥数知识点速算与巧算自然数列趣题填图与拆数数数与计数一笔画问题猜猜凑凑三年级奥数知识点植树问题长方形与正方形的面积和差问题平均数问题上楼梯问题鸡兔同笼问题四年级奥数知识点定义新运算倒推法的妙用格点与面积乘法原理行程问题有趣的数阵图五年级奥数知识点带余数的除法流水行船问题容斥原理巧求表面积时钟问题牛吃草问题六年级奥数知识点巧求分数比和比例圆柱与圆锥棋盘上的覆盖枚举法趣题巧解小学奥数理论知识速查手册（一）【学而思网校】2010-08-06 10:34②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
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植 四、 典型应用题
1． 树问题
①开放型与封闭型 ②间隔与株数的关系 阵 2． 方 问题 外层边长数-2=内层边长数 （外层边长数-1）×4=外周长数 外层边长数 2-中空边长数 2=实面积数 车 桥 3． 列 过 问题 ①车长+桥长=速度×时间 ②③列车车车长长与甲甲人++车车或长长骑乙乙车==速速人度度或和差另××一追相列及遇车时时上间间的司机的相遇及追及问题 车长=速度和×相遇时间 车长=速度差×追及时间 龄 4． 年 问题
概述
一、 计算
1． 四则混合运算繁分数 ⑴ 运算顺序 ⑵ 分数、小数混合运算技巧
①一般而言： 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；
② 乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序
六、 计数问题
类枚举 1． 加法原理：分 排 2． 乘法原理： 列组合 容斥 3． 原理：
① 总 量数 =A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC ② 常 总 量 用： 数 =A+B-AB
抽屉 4． 原理：
5． 握手至问多题至少问题
在 广泛 图形计数中应用 ① 角、线段、三角形，
② ③
长正方方形形、梯形、平行四边形
3．
路流程水行差船=速度差×追及时间 顺逆水水速速度度==船船速速+-水水速速
4． 船水多速速次相==（（遇顺顺水水速速度度+-逆逆水水速速度度））÷÷22
线环型型路路程程：： 甲甲乙乙共共行行全全程程数数==相相遇遇次次数数×2-1
5． 环其形中跑甲道共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数
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学而思数数与比较
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让学习更有效
一年级秋季第一讲数数与比较
本讲先通过数数来学习基数和序数，再学习数之间的比较.
本讲重点——通过本节课的学习，要学会熟练掌握大于号、小于号、等于号的使用，并会按大小排列自然数（基数、序数），同时能解决简单的排队问题.
一、基数、序数的认识
1、基数：几个（表示数量）
2、序数：第几（表示顺序、位置）
●关键词：第几个数字前面有第字，就是序数
二、数与数之间的比较
相同数位从高到底依次比较——从最高位开始，该数位相同，看下一位，不相同谁大这个数就大，具体如下：
1、先看位数，位数越多数越大.如25>3，两位数大于一位数
2、位数相同时，看最高位，最高位大的这个数就大.如35和27比较，都是两位数，那么看最高位.3>2，
所以35>27.
3、位数相同，最高位也相同时，看次高位.如35和39比较，都是两位数，且最高位都是3，次高位
54、以此类推
三、区分不大于、不小于
1、不大于：小于或者等于.
2、不小于：大于或者等于.
注：在1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数中
不大于4的数有：1、2、3、4
不小于4的数有：4、5、6、7、8、9
此部分孩子对于等于的这种情况理解不够好，此时可以从反面来引导孩子，“不大于”就是把“大于”的都去掉；“不小于”就是把“小于”的都去掉.
四、组成最大数与最小数
1、组成最大数：从最高位开始，把数字从大到小排列
2、组成最小数：从最高位开始，把数字从小到大排列，有“0”放在第二位；组最小数是孩子们的易错点，多练习，便于理解.
代表例题：3、5、8中组成的最大数和最小数分别是多少？
组大数：从高位开始从大到小排列，即最大数为853.
组小数：位数越少数越小，所以只用一个数组成一个一位数，而且要选最小的，即3.
学而思培优秋季班一年级第1讲
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