初等数论试题库

初等数论一、填空1、d （1000）= 。

φ（1000）= 。

(10174)=______ 。

2、ax+bY=c 有解的充要条件是 。

3、20022002被3除后余数为 。

4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+3Z]可能的值为 。

5、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）= 。

6、高斯互反律是 。

7、两个素数的和为31，则这两个素数是 。

8、带余除法定理是 。

9、d （37）= 。

σ（37）= 。

10、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）= 。

11、不能表示成5X+3Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。

12、7在2004！中的最高幂指数是 。

13、（1501 ，300）= 。

14、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是 。

15、威尔逊定理是 。

16、写出6的一个绝对值最小的简化系 。

17、50506666688888⨯被7除后的余数为 。

18、d （31）= 。

σ（3600）= 。

19、四位数13AA 被9整除，则A= 。

20、17X+2Y=3通解为 。

21、费尔马大定理是 。

22、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数 。

23、{}4.2-= 。

24、128574.0 化为分数是 。

25、15！的标准分解是 。

26、1000到2003的所有整数中13的倍数有 个。

27、 σ（29）= .28、不能表示成y x 45+（y x ,为非负整数）的最大整数为 .29、7在2008！的标准分解式中的最高幂指数是 . 30、2005和2006的最小公倍数是 . 31、威尔逊定理是 .32、设1>x 为整数且被4、5、7除后的余数都为3，则最小的x 是 . 33、已知（a ，b ）=1，则（5a+3b ，13a+8b ）=__________.34、1，4，9，16,…10000这100个平方数中是3的倍数的平方数有 个. 35、若今天是星期日, 则1010天后的那一天是星期__________.36、20053的末二位数是________. 37、d （1200）= 。

38、梅森数n M 是素数，则n 是 。

39、不能表示成7X+6Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。

40、1×3×5×7……×1999×2001的标准分解中13的幂指数是 。

41、（13a+21b ，34a+55b ）= 。

已知（a ，b ）=1。

42、费尔马猜想是 。

43、写出12的一个简化系，要求每项都是7的倍数 。

44、aX≡b （mod m ）有解的充要条件是 。

45、20022002被3除后余数为 。

46、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+Z]可能的值为 。

47、d （1000）= 。

σ（1000）= 。

φ（1000）= 。

48、n 1〉， 若)(mod 01)!1(n n ≡+-则n 为 。

49、不能表示成5X+3Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。

50、7在2003！中的最高幂指数是 。

51、（1515 ，600）= 。

52、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是 。

53、威尔逊定理是 。

54、写出6的一个简化系，要求每项都是5的倍数 。

55、20032的末位数是 。

56、[-2.3]= 。

57、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）= 。

58、1>x 且能被4、5、7整除，则最小的x 是 。

69、两个素数的和为31，则这两个素数是 。

60、带余除法定理是 。

61、d （1001）= 。

σ（2002）=62、c x a x a x a n n =++....2211有解的充要条件是 。

63、不能表示成5X+6Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。

64、2003！中末尾连续有 个零。

65、（21a+4，14a+3）= 。

66、两个素数的和是39，这两个素数是 。

67、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 。

68、p,q 是小于是100的素数，pq- 1=x 为奇数，则x 的最大值是 。

69、n>1，若)(mod 01)!1(n n ≡+-则n 为 。

70、7在2003！中的最高幂指数是 。

71、（1515 ，600）= 。

72、)(mod m b ax ≡有解时有 个解。

73、23.0 化为分数是 。

74、[-0.3]= 。

4> 75、5088888被7除后的余数为 。

答案1、16．2340，12、（a ，b ）|c3、14、3，4，5，6，7，8，9，10，115、 np6、 ，p ，q 为奇素数7、2，298、a ，b 是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q ，r 使得 b r r bq a <≤+=0, 9、2，3810、 np 11、7 12、331 13、114、 b |),(m a15、P 为素数， )(mod 01)!1(p p ≡+- 16、1，5 17、518、2， 12493 19、720、Z t t y t x ∈--=+=,172,2121、)3(≥=+n z y x n n n 无正整数解 22、5，25，35，55 23、0．6 24、25、 1311753223611⋅⋅⋅⋅⋅ 26、78 27、30 28、11 29、335 30、402203031、P 为素数, 则有 )(mod 01)!1(p p ≡+-32、143 33、1 34、33)()1()(2121q p p q q p ---=7335、四 36、43 37、24， 38、素数 39、29 40、83 41、1 42、 无正整数解43、7，35，49，7744、 45、146、-5，-4，-3，-2 47、16，2340，9360 48、素数 49、7 50、331 51、1552、53、 54、5，25 55、8 56、-357、 58、140 59、2，2960、a ，b 是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q ，r 使得 b r r bq a <≤+=0, 61、6，403262、c a a a n |),...,(2163、19 64、499 65、166、2，37 67、77 68、193 69、素数 70、31 71、15 72、 ),(m a)3(≥=+n z y x n n n b |),(m a b |),(m a )(mod 01)!1(p p ≡+-n p73、74、-1 75、4二、解同余方程组1 、 2、 33、 4、5、6、 7、 答案（1）解：因为（12，10）|6-（-2），（10，15）|6-1，（12，15）|1-（-2） 所以同余式组有解原方程等价于方程 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧)5(mod 1)3(mod 1)5(mod 6)2(mod 6)3(mod 2)4(mod 2≡≡≡≡-≡-≡x x x x x x即 ⎪⎩⎪⎨⎧)5(mod 1)3(mod 2)4(mod 2≡-≡-≡x x x 由孙子定理得 )60(mod 46≡x（2）解：因为5,7,8两两互素,所以可以利用孙子定理. 280,40,35,56321====m M M M .⎪⎩⎪⎨⎧≡≡-≡)15(mod 1)10(mod 6)12(mod 2x x x ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 1)8(mod 3)5(mod 2x x x ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 6)5(mod 2)4(mod 3x x x ⎪⎩⎪⎨⎧≡-≡-≡)7(mod 1)8(mod 5)5(mod 3x x x ⎪⎩⎪⎨⎧≡+≡≡)7mod 25)5(mod 1)4(mod 1x x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≡≡≡)9(mod 6)8(mod 3)5(mod 2x x x 9029解同余式)5(mod 156,1≡M , )8(mod 135,2≡M , )7(mod 140,3≡M , 得到 3,3,13,2,,1===M M M .于是所求的解为)280(mod 267 )140(mod 134033352156≡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≡x 所以 ).280(mod 267≡x（3）证：因为4,5,7两两互素,所以可以利用孙子定理求解. 140,20,28,35321====m M M M . 解同余式)4(mod 135,1≡M , )5(m od 128,2≡M , )7(mod 120,3≡M , 得到 1,2,13,2,,1-==-=M M M . 于是所求的解为)140(m od 97 )140(m od 6)1(2022283)1(35≡⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯≡x（4）解： 因为5, 8, 7两两互素,所以有解利用孙子定理求得 40,35,56321===M M M . 280=m解同余方程)5(mod 156,1≡M ,)8(mod 135,2≡M ,)7(mod 140,3≡M ,得到 3,3,13,2,,1===M M M .于是所求的解为)280(mod 1340)5(335)3(156⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯≡x 得 ).280(mod 267≡x（5）解 因为7,8,9两两互素,所以可以利用孙子定理.494,56,63,72321====m M M M 解同余式)7(m od 172,1≡M , )8(mod 163,2≡M , )9(mod 156,3≡M , 得到 4,1,43,2,,1-=-==M M M .于是所求的解为（6）解：因为4,5,7两两互素,所以可以利用孙子定理求解原方程即为 ⎪⎩⎪⎨⎧-≡≡≡)7mod 3)5(mod 1)4(mod 1x x x140,20,28,35321====m M M M .解同余式)4(mod 135,1≡M , )5(m od 128,2≡M , )7(mod 120,3≡M ,得到 1,2,13,2,,1-==-=M M M . 于是所求的解为)280(mod 81 )140)(mod 3()1(2012281)1(35≡-⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯≡x所以 ).140(mod 81≡x（7）解： 因为5, 8, 9两两互素,所以有解 利用孙子定理求得 40,45,72321===M M M . 360=m解同余方程 )5(mod 172,1≡M , )8(m od 145,2≡M ,)9(mod 140,3≡M ,得到 2,5,33,2,,1-===M M M .于是所求的解为)360)(mod 6()2(4053452372-⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯≡x 得 ).360(mod 147≡x 三、证明（1）A 、叙述威尔逊定理。