初中数学竞赛讲座——数论部分3(素数与合数)

第三讲素数与合数

一、基础知识：

对于任意正整数n>1，如果除1和n本身以外，没有其它的因数，那么称n 为素数，否则n称为合数。这样，我们将正整数分为了三类：1，素数，合数。

例如：2，3，5，7，11，…都是质数。1既不是质数也不是和数。1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。

质数p和a互质，必要而且只要p|\a事实上，若p|a，则p和a除±1外还有公因数±p，故二者不互质。若p|\a，则±p当然就不是p,a的公因数；但除了±p，只有±1才可能是p的因数，所以只有±1才可能是p，a的公因数，即二者互质。显然任意两个不同的质数互质。

质数的性质

性质1．素数中只有一个数是偶数，它是2.

性质2．设n为大于1的正整数，p是n的大于1的因数中最小的正整数，则p为素数。性质3．设a 是任意一个大于1的整数，则a 的除1 外最小正因数q 是一质数，

并且当a是合数时，q≤

证明：假设q不是质数，则由定义可知q除1及本身以外还有一正因数，设它为b，因而1

当a是合数时，则a=c·q且c>1，否则a是质数。由于q是a的除1外的最小

正因数，所以q小于等于c ，2q≤q c=a故q≤

说明：此性质表明，一个合数a一定是不大于换言之，

如果所有不大于a，那么a一定是质数（作为性质4如下）。此性质是我们检验一个数是否为素数的最常用的方法。例如判断191是不是素数。

因为不大于的素数有2,3,5,7,11,13，由于191不能被2,3,5,7,11,13整除，所以191是质数。

这种方法还可以求不大于a的所有素数，例如，求50以内的全体素数。由于

不大于的质数有：2,3,5,7，可以在2,3,4,,50中依次划去2,3,5,7的倍数（保

留2,3,5,7）最后余下的数就是50以内的全体质数。这就是著名的爱拉托斯散素数筛选法。

性质4．如果对任意1p ，都有p |a ，那么a 为素数，这里a （a >1）为正整数。

证明：事实上，若a 为合数，则可写成a pq =，2p q ≤≤，因此2p a ≤，即p ≤，

这表明p 的素因子≤a 的因数，与条件矛盾。因此a 为素数。 性质5．质数的个数是无穷的

证明：（利用反证法）假设素数是有限的，假设素数只有有限的n 个，最大的一个素数是p ，设q 为所有素数之积加上1，那么，q =( 2 * 3 * 5 * …… * p )+ 1不是素数，那么，q 可以被2、3、……、p 中的数整除，而q 被这2、3、……、p 中任意一个整除都会余1，与之矛盾。 所以，素数是无限的。

二、典型问题： 例1．设p ，q ，r 都是素数，并且,p q r p q +=<，求p

解：由于r=p+q ，所以r 不是最小的质数，从而r 是奇数，所以p,q 为一个奇数和一个偶数。因为p

思考：当p=2时，r=2+q ，满足r=2+q 的两个素数叫做孪生素数，请写出前十对孪生素数。 例2.设,,a b c 均为素数，且+68a b c +=，1121ab bc ca ++=，求abc 的值。

分析：要求abc 的值，不一定要把a,b,c 都求出来。注意到3个质数的和+68a b c +=是偶数，所以a,b,c 中必然有一个是偶数，它只能是2，代入第二个等式，便可求出另两个数的乘积。

解：不妨设a b c ≤≤

由+68a b c +=，得a =2，则66b c +=，代入()1121a b c bc ++=，得bc =989，故abc =1978 例3 解方程：()120x x y z +=+，其中x,y 是素数，z 是奇素数。

解：因为z 是奇数，所以z+120是奇数，所以x 和x+y 均为奇数，所以y=(x+y)-x 为偶数。 又y 为质数，所以y=2，所以x(x+2)=z+120

所以2

2120x x z +-=，即(12)(10)x x z +-=，又z 为质数，且x-10

所以10112x x z -=??+=?

，所以x=11，z=23 故方程的解为11223x y z =??=??=?

所以5|(n-1)，或5|(n 2+n+1)，若5|(n 2+n+1)，因为n>1，所以n

2+n+1≥22+2+1>5

矛盾。

所以5|(n-1)，又n 2

+n+1>1，所以n-1=5，即n=6

例5 设n 为正整数，且n 与25+3n 均为素数，求证：2

5+41n n +也是素数。 证明：若n 为奇质数，则5n 2为奇数， 所以25+3n 为偶数。

又因为n 为正整数，显然25+3n >2

所以25+3n 为合数，这与25+3n 为质数矛盾。

所以n 为偶质数，即n=2

当n=2时，2541n n ++=29为质数。 例6 设p ，p+10，p+14都是素数，试确定所有的p 。

解：设p=3k+r(r=0,1,2)

(1)当r=1时，p=3k+1，则p+14=3k+1+14=3(k+5)，为合数，与条件矛盾；

(2)当r=2时，p=3k+2，则p+10=3k+2+10=3(k+4)，为合数，与条件矛盾；

由(1)(2)可知，要使p ，p+10，p+14都是素数，只能r=0，即p=3k ，

此时，当且仅当k=1时，p=3为素数，此时p+10=13，p+14=17也都是素数，所以满足条件。故满足题意的p 只有3。

说明：质数被2除，除2外，只能是2k+1型的数；质数被3除，除3外，只能是3k+1与3k-1型的数；以此类推，特别地，质数被6除，只能是6k+1和6k-1型的数。 例7 若p 和p+2都是大于3的素数，求证：p+1是合数，且6是它的一个约数。

分析：由6是p+1的一个约数，提示我们应将质数p 被6除，分为两类，即6k+1和6k-1型的数

证明：因为整数被6除可分为6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k-2,6k-1这6类，

其中质数p 只能是6k+1和6k-1型的数

若p=6k+1，则p+2=3(2k+1)是合数，不合题意；

所以p=6k-1，这时p+1=6k 是合数，且6是它的一个约数。

例8 设m 为正整数，且123(1)1m ????-+被m 整除，求证：m 为质数。

证明：假设m 为合数，令m=pq(1

?-中含有因子p ，因而A+1不会被p 整除，它更不会被m 整除，这与题设矛盾，从而可知m 为质数。 例9 设n 是大于1的正整数，求证：44n +是合数。

分析：我们只需把44n +写成两个大于1的整数的乘积即可

证明：44n +=422444n n n ++-=222(2)(2)n n +-=22(22)(22)n n n n -+++ 因为2222222(1)11n n n n n ++>-+=-+>

所以44n +是合数。

例10 若12,x x 为正整数，且12x x a +=，121x x b =-，求证：22a b +为合数。 分析：将22a b +用x 1，x 2的代数式表示，再化为两个大于1的正整数之积。

证明：22a b +=(x 1+x 2)2+(1-x 1x 2)2=222212121x x x x +++=2212(1)(1)x x ++ 因为x 1，x 2是正整数，所以22

1211,11x x +>+>

所以22a b +为合数。

例11 给定下表：

1 4 7 10 13

4 9 14 19 24

7 14 21 28 35

10 19 28 37 46

13 24 35 46 57

求证：（1）若N 在表中，则2N+7不是素数；

（2）若N 不在表中，则2N+7是素数。

证明：由观察可知，表中第m 行、第n 列处的数为n(2m+1)+m-3

（1）若N 为表中第m 行、第n 列处的数，则2N+7=2[n(2m+1)+m-3]+7=(2n+1)(2m+1) 因为m 1,1m n ≥≥，所以2n+1≥1，2m+1≥1，所以2N+7不是素数 （2）设2N+7=pq ，p>1，q>1，则p,q 必为正奇数，令p=2n+1，q=2m+1

所以2N+7=pq=(2n+1)(2m+1)，N=n(2m+1)+m-3

显然N 为表中第m 行、第n 列处的数。

例12 是否存在连续四个正整数，它们均为合数？若存在，求出其中最小的一组数；若不存在，说明理由。

分析：连续四个正整数中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，一个是4的倍数。 解：设n=1234???，则n ，n+1，n+2，n+3对应的值24,25,26,27是四个连续正整数，它们均为合数，且是最小的一组。

说明：如果不要求最小的一组，设n=2345???，则n+2，n+3，n+4，n+5分别含有约数2,3,4,5，故它们是四个连续的合数，所以符合条件的合数有无数多组。

例13.现有41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：

（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？

（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？ 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．

解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．

（2）不能办到．若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．

（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．）

三、模拟训练

1. 有下列４种说法：（１）两个质数的和必是质数；（２）两个合数的和必是合数；（３）

一个质数与一个合数的和必是质数；（４）一个质数与一个合数的和必是合数。其中正确的说法的个数有（ ）.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

答：A

2.若p 为质数，53+p 仍为质数，则75+p 为（ ）．

Ａ.质数 Ｂ.可为质数，也可为合数 Ｃ.合数 Ｄ.既不是质数，也不是合数 答：C

3. 小于100的质数共__ _个，它们是____________________ ______________． 答：25；2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、

67、71、73、79、83、89、97

4.能整除15

1153+的最小质数是 .

答： 2

5．己知质数P 与奇数Q 的和是11，则P ＝＿＿，Q ＝＿＿．

答：2,9

6.己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿．

答：2,43

7.如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿．

如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿．

三个质数之和为86，那么这三个质数是 .

答：1和19

3和5

2，3，71

8.两个质数x 和y ，己知91=xy ,那么=x ，=y 或=x ，=y ． 答：7、13和13、7

9.p 是质数，并且36+p 也是质数，则53+p ＝ ．

答： 13 10. 若q p ,为质数，n m ,为正整数，n m p +=，mn q =，则n

m q

p n m q p ++＝ ． 答：(19). 5

31 11. 已知三个质数c b a ,,满足99=+++abc c b a ，那么b a -＋c b -＋a c -的值

等于 ．

答：34

12.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是 . 答：29

13.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是 ．

答：（3）374

14.已知a 是质数，b 是奇数，且b a +2＝2007，则b a +＝ ． 答：（4）2005

15.试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数 ． 答：25、26、27、28

16.设p (5≥p )是质数，并且12+p 也是质数．求证：14+p 是合数

证明：由于p 是大于3的质数，故p 不会是3k 的形式，从而p 必定是3k+1或3k+2的形

式，k 是正整数．

若p=3k+1，则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数，与题设矛盾．

所以p=3k+2，这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k ＋3)是合数．

证明：m=(ab+cd)2-

1 (a 2+b 2-c 2-d 2)

问题研究1：写出100以内的素数：2,3,5,7，97，我们发现素数比3的倍数小1或大1，这种模式能延续下去吗？说说你的研究结论。