计量经济学教程(赵卫亚)课后答案第二章

第二章 回归模型思考与练习参考答案

2.1参考答案

⑴答：解释变量为确定型变量、互不相关（无多重共线性）；随机误差项零的值、同方差、非自相关；解释变量与随机误差项不相关。

现实经济中，这些假定难以成立。要解决这些问题就得对古典回归理论做进一步发展，这就产生了现代回归理论。

⑵答：总体方差是总体回归模型中随机误差项i ε的方差；参数估计误差则属于样本回归模型中的概念，通常是指参数估计的均方误。参数估计的均方误为 MSE ()i i b b ?=E ()2?i i b b -=D ()i b ?=()[]ii

u 12-'χχσ 即根据参数估计的无偏线，参数估计的均方误与其方差相等。而参数估计的方差又源于总体方差。因此，参数估计误差是总体方差的表现，总体方差是参数估计误差的根源。

⑶答：总体回归模型 ()i i i x y E y ε+=

样本回归模型i i i e y

y +=? i ε是因变量y 的个别值i y 与因变量y 对i x 的总体回归函数值()i x y E 的

偏差；i e 为因变量y 的观测值i y 与因变量y 的样本回归函数值i y

?的偏差。 i e

在概念上类似于i ε，是对i ε的估计。 对于既定理论模型，OLS 法能使模型估计的拟和误差达最小。但或许我们可选择更理想的理论模型，从而进一步提高模型对数据的拟和程度。

⑷答：2R 检验说明模型对样本数据的拟和程度；F 检验说明模型对总体经济关系的近似程度。 ()()()k

k n R R k n Model Total k Model k m Error k Model F 111122--?-=---=--= 由02>??R

F 可知，F 是2R 的单调增函数。对每一个临界值?F ，都可以找到一个2?R 与之对应，当22?>R R 时便有?>F F 。

⑸答：在古典回归模型假定成立的条件下，OLS 估计是所有的线形无偏估计量中的有效估计量。

⑹答：如果模型通过了F 检验，则表明模型中所有解释变量对被解释变量的影响显著。但这并不说明多个解释变量的影响都是显著的。建模开始时，常根据先验知识尽可能找出影响被解释变量的所有因素，这样就可能会选择不重要的因素作为解释变量。对单个解释变量的显著性检验可以剔除这些不重要的影响因素。 ⑺答：考虑两个经济变量y 与x ，及一组观测值(){},,2,1,,n i y x i i =。

若假定这两个变量都是随机的，要确定相关关系的存在性及相关程度，则相应的统计分析就是相关分析。

若假定两变量一为随机变量一为确定变量，则相应的统计分析就是回归分析。回归分析以随机变量为因变量而确定型变量为自变量，研究自变量对因变量的影响，对因变量值进行预测。

相关分析是回归分析的基础，进行回归分析之前，通常要检验自变量与因变量间、自变量与自变量间是否存在相关关系。

2.2参考答案

答：考虑一元线形回归模型

,i i i bx a y ε++= I=1,2,……,n

根据古典回归模型的假定，我们有：0)(=i E ε；

0)(,=J I E εε， j i ≠； 2)(σε=i D 。 从而

①i i i i bx a E bx a y E +=++=)()(ε

②2)()()(σεε==++=i i i i D bx a D y D

③0),()])([(),(==--=j i j j i i j i E Ey y Ey y E y y Cov εε

2.3参考答案

答：对于样本回归模型e B x y +=?，使用OLS 法求解B

?的微分极值条件为0='e x 。展开X 矩阵，有

,,1[1x e x ='…,0]='e x k

①0111121='=?????

???????'????

????????=∑e e e e e n i ②0)(??)?(?????2121=''=''='='=?????

???????'????????????=∑e x B e x B e B x e y e e e y y y e y n n i i 2.4 参考答案

答：注意区分模型与函数、总体与样本。

模型是满足某些假设条件的方程；样本是来自总体的随机抽样。

总体回归模型：i i i i i bx a x y E y εε++=+=)( 总体回归函数：i i bx a x y E +=)(

样本回归模型：i

i i i i e x b a e y y ++=+=??? 样本回归函数：i

i x b a y ???+= 因此，⑵⑷⑺正确。

2.5 参考答案

证：设有一元样本回归模型形式如下：

e x b b e y y ++=+=1

10?1?? 令1110'-=n

I M n ，则0M 为离差幂等阵，并且有010=M 和e e M =0。 由)?()?1?(?1

1011000x b M x b b M y M =+=，从而 回归模型的判定系数为

y M y x M x b y M y b x M b x y M y y M y R 01012101011002

)?()?()?(??''=''=''= y 与x 的相关系数为

2

101011101210101012101010121010101][?][?][)?(][1y M y x M x b x M x y M y x M x y M x y M y x M x e y M x y M y x M x y M x r yx '''='''=''+'='''=进而 y

M y x M x b r yx 0101212)?()(1''= 因此 22)(1R r yx = 证毕。

注意：证明过程中隐含了OLS 法求解的微分极值条件

[]011='='e x e x 。 于是，有 e e e n e e n I e M n =-='-=?????

?'-=0)1(111110 01

01='='e x e M x

2.6 参考答案

解：αα-=???≤?????-1)

?(?2t b S b b prob i i i )?(?)?(?2

2i i i i i b S t b b b S t b ?+≤≤?-αα，置信度%100)1(α-。

2.7参考答案

证：显著性水平为α时，2

αt t i 。此处隐含了一个零假设0:0=b H 。从而 2)

?(?)?(?αt b S b b S b b t i i i i i i =-= 即)?(?2

i i b S t b α 于是，置信度为%100)1(α-的置信区间]?,?[tS b tS b i

i +-必不包含0。

2.8参考答案

解：i b 的95%置信域为)]?(?),?(?[025.0025.0i

i i i b S t b b S t b +-。 当所取样本容量30≥n 时，2025.0≈t 。此时，i b 的95%置信域为[)]?(2?),?(2?[i

i i i b S b b S b +-。 对于例4，L b 的置信域近似地为]27.0220.1,27.0220.1[?+?-

k b 的置信域（95%）近似地为]05.0283.0,05.0283.0[?+?-

① 边际产出L MP 和K MP 的95%置信域

② 42.4=L t 和53.14=K t ,均大于1.2)1217(025.0=--t

这表明L b 和K b 的95%置信域均不包含零。

换句话说，显著性水平为0.05时，L b 和K b 均显著非零。

2.9参考答案

答：判定系数2

R 是解释变量个数K 的单调增函数，即0)(2>??K R 。为克服这种缺陷，可采用调整后的判定系数2R 。2

R 可以消除K 的影响，即0)(2=??K R 。由1

112----=n Total k n Error R 。可知样本容量n 充分大时，221R Total Error R =-≈。

2.10参考答案

解：①5.0ln ln =??x

y 为收入需求弹性； 2.0ln ln -=??p

y 为价格需求弹性。 ②%10ln =?=?p p p ，则%102.0ln ?-=?=?y y y

③ 价格上涨10%，即%10ln =?p ；

需求水平保持不变，即0ln =?y 。

由p x y ln 2.0ln 5.0ln ?-?=?， 得%4ln =?=?x

x x

2.11参考答案

解：回归方程下，第一行圆括号内的数值为)?(i b S ，第二行为i t 。 在零假设0H ：0=i b 的条件下，)?()0?(i

i i b S b t -=。 由51.1731.1052.180=及16.55.0)58.2(-=-，可以判定各统计量的属性。

2.12参考答案

解：选择模型的步骤及准则：

① 先验检验：不合经济原理的模型要排除；

② 2R 检验；

③ t 检验：2

2.13参考答案

解：① t t x y

100.098.862?+= )?(i

b S 63.58 0.002 i t 13.57 48.54

i t prob > 0.000 0.000

Adjusted R-squared 0.992

S.E. of regression 197.89

F prob > 0.0000

100.0=??x y 表明GNP 每增一亿，则财政收入增加0.1亿。

②00.86318.78017100.098.862100.098.862?19981998≈?+=+=x y 点预测值。

1.2)120(11?025.019981998=--≤+-K t n S y

y n=20,k=1 S=197.89

83.425?19981998≤-y

y 因此，1998年财政收入的95%置信域为[8205.17，9056.83]，这也就是显著性水平为0.05的预测区间。

2.14 参考答案

解：①②

2191.005.053.158?t t t x x y

-+= )?(i

b S 121.81 0.005 0.99 i t 1.30 10.55 –0.92

i t prob 0.23 0.000 0.38

Adjusted R-squared 0.93

S.E. of regression 20.22

F prob 0.00

拟合优度高，F 检验显著，但t 检验表明常数虚拟变量和变量2x 均不显著。 ③ 2120184.000038.06837.2)(t t t t x x x y -+=

)?(i

b S 0.9970 3.83E-05 0.0081 i t 2.69 9.99 -2.27

i t prob 0.027 0.00 0.052

Adjusted R-squared 0.92

S.E. of regression 0.16

F-statistic 57.40

F prob 0.00

被解释变量经修改后消除了价格因素的影响，从而反映了“实际”的消费支

出。这种改变在回归模型上的最直接影响是回归标准差u σ

?大大降低，从而参数估计标准差也随之降低，t 统计量变大。

修改后的模型拟合优度仍旧高，F 检验亦显著。在0.05的显著性水平下，常数虚变量和变量1x 均显著；若把显著性水平放宽至0.06，则全部解释变量均显著。

修改后的模型的回归标准差u σ

?=0.16，相对于修改前大大降低。这表明模型预测值大大提高。

对城镇居民消费品需求函数模型的调整还可以考虑吸收利率、储蓄、职业、种族、受教育程度等因素作为解释变量。此外。还可以考虑是否可以采用非线形模型的形式等。

2.15 参考答案

解：⑴、⑵：

Yhat = 87.740 - 0.730 X 1 + 8.045 X 2

Std. Error 17.920 0.099 3.508

t- Statistic 4.895 -7.376 2.293

R-squared = 0.890 F-statistic = 36.45584

⑶略。

2.16 参考答案

答：（1）)ln(082.1)ln(954.0014.070735)n(l ?K L t y t +++-=

)(i b S 2.462 0.011 0.056 0.385

i t -3.141 1.342 17.090 2.808

Prob>|t| 0.008 0.202 0.000 0.015

Adusted R-squared 0.998

S.E.of regression 0.029

F-statistic 3528578

Prob>F 0.00

(2)所谓线性化后的CES 生产函数实际为CES 生产函数对数化后的泰勒级数近似。理论上CES 生产函数的参数与对数化CES 生产函数的参数存在一一对应的，因此CES 生产函数模型参数可恰好识别。求解过程略。

CES 生产函数模型的基本形式为：

Y=A （ρρρδδrn

L K ---+)21

其中，待估参数A 为效率参数，是广义技术进步水平的反映，显然A 〉0；1δ和2δ为分配系数，均为正数并满足1δ+2δ=1；ρ为替代参数；m 则为规模报酬参数。