连续系统最优控制
最优控制第一章课件 (2)
•·
确定目标函数，通常是最小化某个性能指标，如时间、 成本等。
确定一个系统在一维空间中的最优运动路径，使得某个 性能指标达到最优。例如，在生产线上，需要控制机器 的速度以达到最大的生产效率。 定义系统的状态变量和动态方程。
应用最优控制算法，如极值原理、庞特里亚金极大值原 理等，求解最优控制策略。
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最优控制问题的分类
总结词
最优控制问题可以根据不同的标准进行分类，如线性与非线性、确定性与不确定 性、连续时间与离散时间等。
详细描述
根据系统动态特性的不同，可以分为线性系统和非线性系统；根据是否存在不确 定性，可以分为确定性和不确定性系统；根据时间变量的不同，可以分为连续时 间和离散时间系统。
最优控制问题的数学模型
龙格-库塔方法
一种高阶数值方法，通过构造一 系列的差分方程来逼近最优控制 方程，具有更高的计算精度和稳 定性。
梯度法
梯度法的基本思想是利用目标函数的梯度信息，通过迭代的方式逐步逼近最优解 。在最优控制问题中，梯度法可以用于求解状态和控制变量的最优解。
梯度法的优点是计算简单、收敛速度快，但需要足够好的初始点才能保证收敛到 全局最优解。
最优控制第一章课件
• 引言 • 最优控制的基本概念 • 最优控制的基本原理 • 最优控制的数值解法 • 案例分析
01
引言
主题简介
01
介绍最优控制的基本概念和背景 ，包括其在工程、经济、金融等 领域的应用。
02
简要说明最优控制理论的发展历 程和主要成果。
课程目标
掌握最优控制的基本 原理和方法。
实际应用的最优控制问题
择合适的性能指标和优化 算法。
将最优控制理论应用于实际工程问题中，解决实际生产 和生活中的控制问题。例如，汽车自动驾驶、无人机飞 行控制、机器人路径规划等。 针对具体问题，建立实际系统的数学模型。
最优控制-第七章-动态规划法
当∆t很小时，有
t t
t
Lx, u, t d t Lx, u, t t
J x, t min
*
min
uU
uU
tf
t0
Lx, u, t d t Φ xt f
tf t t
t t
t
Lx, u, t d t
Lx, u, t d t Φ xt f
P1 11
7
P2 4 2
P3 4 4
12 A 4 8 Q1
4 3 2 2 Q3 B
5 Q2
第一段：P1、Q1的前站是始发站A。显见从
A到B的最优值为12，故得最优路线为AQ1P2Q3B。
综上可见，动态规划法的特点是： 1) 与穷举算法相比，可使计算量大大减少。如
上述最优路线问题，用动态规划法只须做10次
J x, t min Lx, u, t t J xt t , t t
* * uU
(8)
* J x , t J x, t * * J x x, t t J x, t t (12) x t x * T
A城出发到B城的行车时间最短。
P1 3 A 4 Q1 1
7
P2
2
P3 4
4
6 8 2 Q2
3 3 3
2 Q3 4
2
B
现将A到B分成四段，每一段都要作一最优决 策，使总过程时间为最短。所以这是一个多段最 优决策问题。 由图2可知，所有可能的行车路线共有8条。 如果将各条路线所需的时间都一一计算出来，并 作一比较，便可求得最优路线是AQ1P2Q3B，历时 12。这种一一计算的方法称为穷举算法。这种方 法计算量大，如本例就要做3×23=24次加法和7次 比较。如果决策一个n段过程，则共需(n-1)2n-1次 加法和(2n-1-1)次比较。可见随着段数的增多，计 算量将急剧增加。
01最优控制第一章_绪论
J (u) m(t f )
（1-10）
为最大。
例1-3 生产计划问题。设 x(t ) 表示商品存货量， r (t ) 0 表示对商品的需求率，是已知函数，u(t ) 表示生产 x(t ) 率，它将由计划人员来选取，故是控制变量。 满足下面的微分方程
(t ) r (t ) u(t ) x
动机推力为 u(t ) ，月球表面的重力加速度为 g ，
设不带燃料的飞船质量为 M ，初始燃料的质量
为 F ，则飞船的运动方程可表示为（参见图1-1）
(t ) (t ) h
(t ) g u (t ) m(t )
（1-6）
(t ) ku(t ) m
式中 k 为比例系数，表 示了推力与燃料消耗率 的关系。
五、本课程主要内容
本课程将介绍求解最优控制问题的常用方法，主要 内容如下：
1、变分法
泛函的介绍，变分的推演，Euler方程，向量 情况，有约束的情况，端点可变的情况等。
2、连续系统最优控制 时间端点固定的情况，有终端函数约 束的情况，终时不指定的情况，考虑 其他几种约束。
3、线性连续系统的二次型调节器 有限时间状态调节器问题，有限时间输出 调节器问题，无限时间状态调节器问题， 无限时间输出调节器问题，使用LQR系统 的稳定裕量，伺服、跟踪与模型跟随。
六、小 结 1、什么叫最优控制
对一个受控的动力学系统或运动过程，从 一类允许的控制方案中找出一个最优的控 制方案，使系统的运动在由某个初始状态 转移到指定的目标状态的同时，其某种性 能指标值为最优。
2、从经典的反馈控制到最优控制
经典反馈控制： 上世纪40-50年代起的炮火控制；SISO，输入输 出描写；低阶传递函数；应无未建模动态；手算， 作图，凭经验；不计控制能耗；模拟器件实现； 军工及民用工业。 最优控制： 上世纪60年代起延伸至今的航空航天；MIMO， 内部描写；低阶状态方程；应无未建模动态；数 字计算机，优化算法；考虑控制能耗；数字器件 实现；航空航天工业。
最优控制 公式
最优控制公式
最优控制是指在给定系统模型和性能指标的情况下，通过优化算法寻找系统输入的最优策略。
最优控制的数学描述可以使用最优控制公式来表示。
在最优控制中，通常使用动态系统的状态变量来描述系统的演化，并通过控制输入来影响系统的行为。
最优控制公式可以分为两类：动态规划和最优控制问题。
1.动态规划公式：动态规划是一种通过将问题划分为连续的子问题来求解最优控制策略的方法。
基于动态规划的最优控制公式为贝尔曼方程，它描述了最优值函数的递归关系。
贝尔曼方程通常写作：
$$V(x)=\min_u[g(x,u)+\int_{t_0}^{t_1}L(x,u)dt+V'(x )f(x,u)]$$
其中，$V(x)$是最优值函数，$x$是系统状态，$u$是控制输入，$g(x,u)$是即时收益函数，$L(x,u)$是运行损失函数，$f(x,u)$是系统动态的微分方程。
动态规划方法基于最优子结构的原理，通过递归地求解子问题来求得全局最优解。
2.最优控制问题的公式：最优控制问题可以用最小化一个性能指标的函数来描述，通常称为性能指标函数或者代价函数。
$$J(u)=\int_{t_0}^{t_1}L(x,u)dt$$
其中，$J(u)$是性能指标函数，$L(x,u)$是运行损失函数，$x$是系统状态，$u$是控制输入。
最优控制问题的目标是找到合适的控制输入$u$，使得性能指标函数$J(u)$最小化。
求解最优控制问题的方法包括动态规划、最优化方法、解析解等。
综上所述，最优控制公式是通过数学描述来求解最优控制策略的公式。
根据具体问题的不同，可以使用动态规划公式或者最优控制问题的公式来描述最优控制问题。
最优控制问题概论
4. 性能指标
性能指标函数又称为指标泛函、目标函数、代价函数和评 价函数等。 从前面的应用实例可以看出,最优控制问题最后归结到从所 有容许控制中找出一种效果最好的控制律,这就需要一个能 衡量控制效果好坏或评价控制品质优劣的性能指标函数。 例如, 飞船控制系统要求所携带的燃料最少或到达末态 的时间最短。 由于各种最优控制问题所要解决的主要矛盾不同,设计者 的着眼点不同,因此归结出的性能指标是不同的。
10.4 最优控制问题概论*
10.4.1 最优控制概述
从20世纪50年代末迅速发展起来的现代控制理论中,最优控 制是其中一个主要内容,亦是目前较活跃的一个分支。
最优控制问题是从大量的实际问题中提炼出来的,它的 发展与航空、航天、航海的制导、导航和控制技术密不 可分。 下面先通过几个应用实例来引出最优控制问题,然后讨 论最优控制问题的描述及数学表达。 内容为 最优控制问题的提出 最优控制问题的描述
因此,对性能指标泛函求极小化体现了对控制向 量u(t)的大小的约束和限制。
如 u(t) 为与电压或电流成正比的标量函数时 , 该 项为 u2(t),并与功率成正比 ,而u2(t)dt则与在 [t0,tf] 区间内u(t)所做的功或所消耗的能量成正比。
因此,该项Lu是用来衡量控制功率大小的代价函 数。 正定的时变矩阵 R(t) 亦为加权矩阵 , 其各行各列 元素的值的不同 , 体现了对相应的控制向量 u(t) 的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。 时变矩阵 R(t) 的不同选择 ,对闭环最优控制系统的性 能的影响较大。 综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函 的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来 保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控 制误差的综合最优。
最优控制的基本理论及应用
本章在介绍解决最优控制问题3种基本方法(变分 法、极小值原理和动态规划)的基础上，阐述两类典 型最优反馈系统的设计,即线性二次型最优控制和最 小时间控制。
6.2 最优控制问题的提出及数学描述
6.3.2 用变分法求解无约束条件的泛函极值问题
设积分型性能泛函为
Jtt0f L[x(tx)(,t)]d,tt
(6-24)
在区间[t0 ,t f ]上，被积函数 L[x(t),x(t),t]二次连续可微， 轨线x(t)有连续的二阶导数，x(t)Rn ,对x(t)没有任何 约束。要求确定极值轨迹 x *(t) ，使泛函J为极值。
级数 ,则
J()tt0f L x Tη(t) L x Tη (t)R dt
(6-29)
式中,R表示泰勒（Taylor）级数展开式中的高阶项。
如果定义x(t)和 x (t) 的一阶变分为 δ x εη (t),δ x εη (t)
由泛函变分的定义，泛函的一阶变分为
(6-30)
6.2.2 最优控制问题的数学描述
构成最优控制问题必须具备以下几个基本条件：
1.被控系统的数学模型，即动态系统的状态方程
状态方程在最优控制中为等式约束条件。
2.控制变量的约束条件(容许控制)
任何实际物理系统，控制变量总是受约束的，一
般可写成
u(t)U
(6-3)
式中,U表示一个封闭的点集合，称为控制域。此时称 u(t)为容许控制。
1)积分型性能泛函
Jtt0f Lx((t)u,(t),dtt)
2)终值型性能泛函
J[x(tf ),tf]
线性二次型最优控制器设计
程序运行结果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009 同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-2所示。
图1-2 闭环系统阶跃响应曲线 由图1-1和图1-2知，经最优输出反馈后，闭环系统阶跃响应曲线与经最优状态反 馈后的阶跃响应曲线很接近。
三、离散系统线性二次型最优控制
下面对离散系统线性二次型最优控制进行详细介绍。
其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩 阵；Q为给定的半正定实对称常数矩阵；R为给 定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈 增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK是稳定矩阵，则总有正定解P存 在）；E为矩阵A-BK的特征值。
1000 Q= 取 0
,R=1。 用MATLAB函数dlqr()来求解最优控制器，给出程序清 单如下： %求解最优控制器 a=2;b=1;c=1;d=0; Q=[1000,0;0,1]; R=1; A=[a,0;-c*a,1]; B=[b;-c*b]; Kx=dlqr(A,B,Q,R) k1=-Kx(2);k2=Kx(1); axc=[(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1)]; bxc=[0;1];cxc=[1,0];dxc=0; dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100)
•
1.LQG最优控制原理 最优控制原理
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + Gw(t ) 假设对象模型的状态方程表示为：
y (t ) = Cx(t ) + v(t )
T
式中，ω(t)和ν(t)为白噪声信号，ω(t)为系统干扰噪声，ν(t)为传感器带来的 量测噪声。假设这些信号为零均值的Gauss过程，它们的协方差矩阵为：
控制系统的最优控制理论与方法
控制系统的最优控制理论与方法在控制系统中，最优控制理论与方法是一种重要的技术手段，旨在通过优化控制策略，使系统性能达到最佳状态。
本文将介绍最优控制理论的基本概念、主要方法以及在实际应用中的一些案例。
一、最优控制理论的基本概念最优控制理论是一种应用数学理论，研究如何确定控制系统中的最优控制策略，以使系统性能指标达到最佳。
最优控制理论的核心是优化问题的解决方法，通过最小化或最大化某种性能指标，如系统响应时间、稳定性、能耗等，来获取最优控制策略。
在最优控制理论中，有两个基本概念需要了解：动态系统和性能指标。
动态系统是指由一组动态方程描述的系统，其中包含控制变量和状态变量。
性能指标是衡量系统性能的指标，根据不同的要求可以选择不同的性能指标，如最小化过程中的能耗、最大化系统的稳定性等。
二、最优控制方法最优控制方法主要包括动态规划、最优化方法和参数整定等。
下面将详细介绍这三种方法。
1. 动态规划动态规划是最优控制理论中最基本的方法之一。
它通过将控制问题划分为若干子问题，并逐步求解每个子问题的最优解，最终得到整体的最优控制策略。
动态规划方法适用于动态系统模型已知、状态空间离散化的情况。
2. 最优化方法最优化方法是一种通过优化目标函数求解最优解的方法。
其中，目标函数可以是系统的性能指标，通过最小化或最大化目标函数来确定最优控制策略。
最优化方法适用于动态系统模型复杂、状态空间连续的情况。
3. 参数整定参数整定是指根据系统的数学模型和性能指标，确定控制器的参数值，以实现最优控制。
参数整定方法可以根据系统的特性和要求选择不同的方法，例如经验公式、频域分析、优化算法等。
参数整定在工程实践中具有重要的应用价值，可以使系统在不同工况下都能达到最佳性能。
三、最优控制理论与方法的应用案例最优控制理论与方法在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个案例来说明。
1. 自动驾驶汽车自动驾驶汽车是近年来亟待解决的重要问题之一。
最优控制理论与方法可以应用于自动驾驶汽车的路径规划和控制中，通过优化控制方法确定最佳行驶路径和速度，从而提高驾驶安全性和行驶效率。