采样系统
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第七章 采样控制系统
1 e * (t ) = T
n = −∞
e (t )e jn ω s t = e (t )∑ δ (t − nT ∑
n =0
∞
∞
)
（7-1-7） ）
由于e 的拉普拉斯变换式为 由于 *(t)的拉普拉斯变换式为
1 * E (s ) = T
n = −∞
∑ E (s +
+∞
jn ω
s
)
（7-1-8） ）
上式表明， 的周期性函数。 上式表明，E*是s的周期性函数。 的周期性函数 通常E 的全部极点均位于 平面的左半部， 的全部极点均位于s平面的左半部 通常 *(s)的全部极点均位于 平面的左半部， s =代入上式，得到采样 jω 因此， 代入上式， 因此，可以用 信号e 的傅立叶变换 信号 *(t)的傅立叶变换
图7-0-3 计算机控制系统框图
在计算机控制系统中，通常是数字―模拟混合 在计算机控制系统中，通常是数字 模拟混合 数字 结构。因此需要设置数字量和模拟量相互转换的环 结构。 节。图7-0-3中，模拟信号e(t)经模拟 数字转换器 中 模拟信号 经模拟―数字转换器 经模拟 转换器） （A/D转换器）转换成离散信号 转换器 转换成离散信号e*(t)，并把其值由 ， 十进制数转换成二进制数（编码）， ），输入计算机进 十进制数转换成二进制数（编码），输入计算机进 行运算处理； 行运算处理；计算机输出二进制的控制脉冲序列 u*c(t)经过数字模拟转换器（D/A转换器）转换成模 经过数字模拟转换器（ 转换器） 经过数字模拟转换器 转换器 拟信号uc(t)去控制对象。 拟信号 去控制对象。 去控制对象
只取级数的前两项，可得 只取级数的前两项，
1 1 1 G h (s ) ≈ 1 − = s 1 + Ts 1 + Ts
n = −∞
e (t )e jn ω s t = e (t )∑ δ (t − nT ∑
n =0
∞
∞
)
（7-1-7） ）
由于e 的拉普拉斯变换式为 由于 *(t)的拉普拉斯变换式为
1 * E (s ) = T
n = −∞
∑ E (s +
+∞
jn ω
s
)
（7-1-8） ）
上式表明， 的周期性函数。 上式表明，E*是s的周期性函数。 的周期性函数 通常E 的全部极点均位于 平面的左半部， 的全部极点均位于s平面的左半部 通常 *(s)的全部极点均位于 平面的左半部， s =代入上式，得到采样 jω 因此， 代入上式， 因此，可以用 信号e 的傅立叶变换 信号 *(t)的傅立叶变换
图7-0-3 计算机控制系统框图
在计算机控制系统中，通常是数字―模拟混合 在计算机控制系统中，通常是数字 模拟混合 数字 结构。因此需要设置数字量和模拟量相互转换的环 结构。 节。图7-0-3中，模拟信号e(t)经模拟 数字转换器 中 模拟信号 经模拟―数字转换器 经模拟 转换器） （A/D转换器）转换成离散信号 转换器 转换成离散信号e*(t)，并把其值由 ， 十进制数转换成二进制数（编码）， ），输入计算机进 十进制数转换成二进制数（编码），输入计算机进 行运算处理； 行运算处理；计算机输出二进制的控制脉冲序列 u*c(t)经过数字模拟转换器（D/A转换器）转换成模 经过数字模拟转换器（ 转换器） 经过数字模拟转换器 转换器 拟信号uc(t)去控制对象。 拟信号 去控制对象。 去控制对象
只取级数的前两项，可得 只取级数的前两项，
1 1 1 G h (s ) ≈ 1 − = s 1 + Ts 1 + Ts
(自动控制原理)采样控制系统
X(s )= M(s ) N(s ) 的多项式， 其中， 其中，M(s )及 N(s )分别为复变量s 的多项式，并
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
6_离散控制系统
* *
[
]
上式可以将E*(s)与离散时域信号e*(kT)联系起来，可以直接看 出e*(t)的时间响应。但是e*(t)仅描述了e(t)在采样时刻的值， 所以E*(s)不可能给出e(t)在两个采样时刻之间的任何信息。 采样周期为T，则采样频率为 但一般简称后者为采样频率。
fs = 1 T
，采样角频率为 s =
25zLeabharlann 换理论e 由于采样信号的拉氏变换是s的超越函数，出现指数 项 ，无法得到象线性连续系统中那样的特征方程为线 性代数方程。
z变换将复平面问题转化为Z平面上的问题：断续信号的拉氏变 ∞ 换为 X * ( s ) = x(kT )e kTs
kTs
∑
k =0
s平面： 引入变量 z = e Ts ，s = 1 ln z ，则得z变换的定义式： T
9
采样信号
2、单位脉冲函数 δ (t ) 为单位脉冲函数，脉冲的宽度为无限 小、幅度为无限大，而面积为1。
δ (t ) =
1 t = 0 0 t ≠ 0
3、单位脉冲序列函数 冲函数的序列。
δ T (t ) =
∞ k = ∞
下式为单位脉冲序列函数，它是单位脉
∑ δ (t kT ) = δ (t ) + δ (t T ) + L + δ (t kT ) + L
22
零阶保持器
2、零阶保持器的频率特征 用 jω 代替式中s的，得零阶保持器的频率特性
e jx e jx sin x = 2j (e
j 1 ωT 2
e 1 e = Gh ( jω ) = jω sin( ω2T ) 1 jωT Gh ( jω ) = T ωT e 2
2
[
]
上式可以将E*(s)与离散时域信号e*(kT)联系起来，可以直接看 出e*(t)的时间响应。但是e*(t)仅描述了e(t)在采样时刻的值， 所以E*(s)不可能给出e(t)在两个采样时刻之间的任何信息。 采样周期为T，则采样频率为 但一般简称后者为采样频率。
fs = 1 T
，采样角频率为 s =
25zLeabharlann 换理论e 由于采样信号的拉氏变换是s的超越函数，出现指数 项 ，无法得到象线性连续系统中那样的特征方程为线 性代数方程。
z变换将复平面问题转化为Z平面上的问题：断续信号的拉氏变 ∞ 换为 X * ( s ) = x(kT )e kTs
kTs
∑
k =0
s平面： 引入变量 z = e Ts ，s = 1 ln z ，则得z变换的定义式： T
9
采样信号
2、单位脉冲函数 δ (t ) 为单位脉冲函数，脉冲的宽度为无限 小、幅度为无限大，而面积为1。
δ (t ) =
1 t = 0 0 t ≠ 0
3、单位脉冲序列函数 冲函数的序列。
δ T (t ) =
∞ k = ∞
下式为单位脉冲序列函数，它是单位脉
∑ δ (t kT ) = δ (t ) + δ (t T ) + L + δ (t kT ) + L
22
零阶保持器
2、零阶保持器的频率特征 用 jω 代替式中s的，得零阶保持器的频率特性
e jx e jx sin x = 2j (e
j 1 ωT 2
e 1 e = Gh ( jω ) = jω sin( ω2T ) 1 jωT Gh ( jω ) = T ωT e 2
2
自动控制原理第七章 采样控制系统
s2 2
展开为部分分式，即
E ( s)
1 1 1 [ ] 2 j s j s j
求拉氏反变换得 e(t ) 1 [e jt e jt ] 2j 分别求各部分的Z变换，得 Z [e* (t )] 1 [ 化简后得
E( z) z sinT z 2 2 z cosT 1
e(t ) e(nT ) e(nT )(t nT ) e (nT ) (t nT ) 2 2! nT t (n 1)T
外推法: 用采样点数值外推求得采样点之间的数值.
只取第一项 ---- 零阶保持器. 只取前两项 ---- 一阶保持器.
e*(t)
一阶保持器比零阶保持器信号恢复更
自动控制原理
蒋大明
一.Z变换
1. Z变换定义：
Z e
TS
S
*
1 ln Z T
代入上式得:
E ( z) E ( s)
1 s ln z T
e( nT ) z
n 0
n
E ( z ) e(0) Z 0 e(T ) Z 1 e(2T ) Z 2
e(kT)表征采样脉冲的幅值，Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。
-at
(a >0)的Z变换。
e(nT) = e
-a nT
(n = 0, 1, …)
代入Z变换的定义式可得
E(z) = 1 + e
若|e
–aT
-aTz -1
+ e
-2aTz -2
+ e
-3aTz -3
+ …
z
-1|
< 1，该级数收敛，利用等比级数求和公式，其Z变换
展开为部分分式，即
E ( s)
1 1 1 [ ] 2 j s j s j
求拉氏反变换得 e(t ) 1 [e jt e jt ] 2j 分别求各部分的Z变换，得 Z [e* (t )] 1 [ 化简后得
E( z) z sinT z 2 2 z cosT 1
e(t ) e(nT ) e(nT )(t nT ) e (nT ) (t nT ) 2 2! nT t (n 1)T
外推法: 用采样点数值外推求得采样点之间的数值.
只取第一项 ---- 零阶保持器. 只取前两项 ---- 一阶保持器.
e*(t)
一阶保持器比零阶保持器信号恢复更
自动控制原理
蒋大明
一.Z变换
1. Z变换定义：
Z e
TS
S
*
1 ln Z T
代入上式得:
E ( z) E ( s)
1 s ln z T
e( nT ) z
n 0
n
E ( z ) e(0) Z 0 e(T ) Z 1 e(2T ) Z 2
e(kT)表征采样脉冲的幅值，Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。
-at
(a >0)的Z变换。
e(nT) = e
-a nT
(n = 0, 1, …)
代入Z变换的定义式可得
E(z) = 1 + e
若|e
–aT
-aTz -1
+ e
-2aTz -2
+ e
-3aTz -3
+ …
z
-1|
< 1，该级数收敛，利用等比级数求和公式，其Z变换
控制工程基础-计算机采样控制系统(2)
11
脉冲传递函数（10）
1.有采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传递函数等于各 环节的脉冲传递函数之积。
X (z) G1(z) R(z)
C(z) G2 (z) X (z)
将X(z)代入C(z) C(z) G2 (z)G1zRz
Cz Rz
G1
z
G2
z
2.没有采样开关分隔的两环节串联时，其脉冲传递函数为各个
2021/2/20
第九章 计算机采样控制系统
15
脉冲传递函数（14）
令
G' p s Gp ss
并根据前面介绍的环节串、并联脉冲传递函数求取方法，参照上图
，则带保持器的广义控制对象脉冲传递函数
Gz
C1
z C2 U z
z
G1z
G2
z
G1z
C1 z U z
Z
Gp' s
Z
g p' t
G2z
1 G1H (z)
闭环传递函数 (z) 的推导步骤：
1) 在主通道上建立输出 C(z)与中间变量 E(z)的关系；
2) 在闭环回路中建立中间变量 E(z) 与输入 R(z) 的关系；
3) 消去中间变量 E(z)，建立C(z) 和 R(z) 的关系。
2021/2/20
第九章 计算机采样控制系统
21
脉冲传递函数（20）
Gz ZGs
即符号 ZGs、ZL1Gs 和 Z g*(t) 、 ZgkT 是等价的。
Gz Zg*(t) ZgkT ZL1Gs ZGS
2021/2/20
第九章 计算机采样控制系统
7
脉冲传递函数（6）
如果系统的输入为任意函数 的采样脉冲序列 r(kT) ，其Z变换
空气采样系统调试和测试的相关规定
空气采样系统调试和测试的相关规定
内容来源——《火灾自动报警系统施工及验收标准》GB50166-2019
4.3.10应对管路采样式吸气感烟火灾探测器的采样管路气流故障报警功能进行检查并记录，探测器的采样管路气流故障报警功能应符合下列规定：
1、应根据产品说明书改变探测器的采样管路气流，使探测器处于故障状态，探测器或其控制装置的故障指示灯应点亮；
2、火灾报警控制器的故障报警和信息显示功能应符合本标准第4.1.2条的规定；
3、应恢复探测器的正常采样管路气流，使探测器和控制器处于正常监视状态。
4.3.11应对管路采样式吸气感烟火灾探测器的火灾报警功能、复位功能进行检查并记录，探测器的火灾报警功能、复位功能应符合下列规定：
1、应在采样管最末端采样孔加入试验烟，使监测区域的烟雾浓度达到探测器报警设定阈值，探测器或其控制装置的火警确认灯应在120s内点亮并保持；
2、火灾报警控制器的火灾报警和信息显示功能应符合本标准第4.1.2条的规定；
3、应使探测器监测区域的环境恢复正常，手动操作控制器的复位键后，控制器应处于正常监视状态，探测器或其控制装置的火警确认灯应熄灭。
第9章线性采样控制系统
T (t ) (t kT )
k 0
(t ) (t T ) (t 2T ) (t kT )
9.2 信号的采样与复现
二、线性差分方程
1、后向差分法：
dy y y(k ) y(k 1) dt t T
T
2T3Tt源自0T2T3T
t
图9-2-2信号采样过程
9.2 信号的采样与复现
离散数字序列用下式表示：
* k 0 k 0
f * (t )
0
T
2T
3T
t
f (t ) f (kT ) (t kT ) f (t ) (t kT ) f (t )T (t )
式中：
2.单位斜坡函数的变换
F ( z ) Z t nT z n
n 0
Tz 1 2Tz 2 nTz n
f (t ) e at 3.指数函数Z变换
F ( z ) Z e at e anT z n
Tz ( z 1) 2
9.1 概述
线性采样控制系统： （1）系统中所有环节都是线性的； （2）采样器的采样周期相同(等速采样) ； （3）每次采样经历的时间远小于采样周期 （Δ t«T）； 本章内容：线性采样控制系统的基本概念和分 析方法。
r 给定值
yd
采样器
控制算法
ud
保持器
保持器
u
调节对象
y
变送器
9.2 信号的采样与复现
9.2 信号的采样与复现
六、保持器 保持器是滤波器的一种，就是将f*(t)变成连续信号 fp(t)。 特点：在采样瞬间的值fp(t)等于f*(t) ，而在两次 采样之间保持为某一时间函数。
采样控制系统
采样控制系统首先以图1所示炉温自动控制系统为例，建立采样控制系统的概念。
图中，炉子是一个带有延迟的惯性环节，且延迟时间可长达数秒甚至数十秒。
炉子的实际温度6由则温电阻测得，当炉温的实际值偏离给定值时，测温电阻的阻值发生变化，电桥失去平衙，其输出为连续变化的电压信号。
该信号使得检流计的指针发生偏转，且转角为‘(c)。
检流计为高灵敏度元件，其指针与电位计之间不能存在摩接力，所以由一套专门的同步电动机通过减速器带动凸轮转动，使指针周期性地上下运动，每隔丁秒与电位计接触一次，每次接触时间为r。
这样，当炉温连续变化时，电位计的输出为一串宽度为r，周期为了的脉冲电压信号‘’(j)，此信号经过放大器、电动机以及减速器去控制进气阀门的角度g，从而改变炉子的进气旦，使炉温的实际值趋于给定值。
图1所示系统中信号的性质有150uF 16V D很大的不同，测温电阻、炉子、电桥等的输人员和输出量为时间和幅值均连续的时间信号，称为连续时间信号(或连续信号)．电位器的输出量是脉冲序列，即时间上离散而幅值上连续的信号，称为模拟离散信号，这类信号仅定义在离散时间上，而在时间间隔内没有意义。
将连续信号转换为脉冲序列的过程称为采样过程，实现采样的装置称为采样开关(或采样器)。
相反地，将脉冲序列转换为连续信号的过程称为信号的复现过程，实现复现过程的装置称为保持器。
控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数时，这样的控制系统称为连续时间系统或连续系统。
而像图1这样，至少有一处信号是脉冲序列的控制系统称为采样控制系统(或脉冲控制系统)，简称采样系统。
为了实现连续信号和脉冲序列在系统中的相互传递与转换，连续信号与脉冲序列之间要用采样开关，而脉冲序列与连续信号之间要用保持器。
采样开关和保持器是采样控制系统中的两个非常重要的特殊环节根据采样开关在系统中所处位置的不同，可以构成各种不同的采样系统。
图2是采样系统的一种典型结构图。
图中，采钽电容样开关位于系统闭合回路之内，并且是对误差信号f(2)进行采样，这种采样系统也称为按误差采样的闭环采样系统。
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典型的采样控制系统方框 图如图8—1所示。其中，误 差e是时间的连续信号，经过 采样时间为T的采样开关之后， 变成一组脉冲序列e*，脉冲 控制器将离散的误差信号处 理后，得到离散的控制信号， 该信号经保持器变换为连续 信号去控制被控对象。采样 开关每隔时间T开闭一次，每 次闭合时间为ε，则称T为采 样周期，ε为采样时间， ε＜T，f s＝1/T，ωs＝2π/T分别成为采样频率和采样 角频率。这样图8-2 a所示模拟量e被采样后变成了图8-2 b所 示的脉冲序列e*。本图中，采样周期T是固定的，我们称为等 周期采样，另外还有多阶采样、多速采样、及随机采样等， 本书只介绍常用的等周期采样。
xoBox
式中 T——采样周期 n——整数 脉冲调制器（采样器）的输出信 号e*(t)可表示为
在控制系统中，当t＜0时。e（t）＝0。因此式（8-2）可 以改写为
对式（8-3）取拉氏变换得
xoBox
为了建立 与E(s)的关系，可求周期函数δT（t）的富 氏级数，其复数形式为
式中 ——富氏系数 这样，式（8-2）可以写成下式
§8—5
脉冲传递函数
一、基本概念 在线性连续系统理论中，把初始条件为零的情况下系统输 出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，定 义为传递函数。 与此相类似，在线性采样系统理论 中，把初始条件为零的情况下系统的 离散输出信号的z变换与离散输入信 号的z变换之比，定义为脉冲传递函 数，或称z传递函数。它是线性采样 系统理论中的一个重要概念。 对于图8-8所示的采样系统，脉冲传递函数为
例8-3 用Z变换求积分环节 为使信息不丢失，需加保持器，即：
的差
xoBox
五、Z反变换 和拉氏反变换类似，Z反变换可以表示为
Z反变换的方法有，长除法、部分分式法及留数计算法等， 其中以部分分式法最常用。 例8-3 用部分分式法求 的Z反变换。
解 用部分分式法将E（z）展开为
时，级数收敛，因此上式可以写
用这样的级数求和的方法可以求出典型函数的Z变换，如表 8-1所示。 表8-1典型函数的Z变换
f（t）
F(s) 1
F(z) 1
xoBox
xoBox
若函数是以拉氏变换形式E(s)给出的，则可用部分分式法将 E(s)分解成多个典型函数拉氏变换的代数和的形式，然后再 查对表8-1，求出Z变换。
xoBox
在这种情况下，选择采样频率所依据的最高频率怎么确定 呢?一般可先不考虑采样开关，按连续系统绘出开环波得图， 取A（ω）＝0.01，即 时的频率为最大频率ωm， 则采样周期T为
这样选取采样周期，连续信号的信息损失几乎为零，故可 将采样系统看成连续系统来分析，其结果非常近似。当然， 若数字控制器的运算速度较慢，也可按ωm＝10ωc（甚至更低 ，ωc为剪切频率）来确定采样周期，但是，这样有可能使信 号失真严重，系统性能指标变差，因此，要用采样系统分析 方法仔细分析、校正，才能使系统到达较好的性能指标。
对上式的两边前拉氏变换，并由拉氏变换的复数位移定理可 得
式（8-7）表明 是s的周期性函数。通常 的全部 极点均位于s平面的左半平面，因此，将s＝jω代入式（8-7）， 则可以得到e*(t)的频谱，即
xoBox
该式反映了离散信号频谱与对应连 续信号频谱之间的关系。设连续信号 频谱为有限带宽频谱，其最大频率为 ωm，如图8-4所示。则采样后离散信 号的频谱如图8-5所示，离散信号的频 谱中，n＝0的部分称为主频谱，它与 连续信号频谱是对应的，另外， 还包含了无穷多个高频频谱，如果采 样频率ωs＞2ωm，则 的主频 谱与高频频谱之间互不重叠，如图85a所示，因此，可以通过图中虚线所 示的低通滤波器，滤掉所有的高频频 谱，只保留主频谱，从而，可以将离 散信号不失真地还原为原来的连续信 号。
xoBox
另外，从式（8-7）可以知道，采样后连续信号幅值被乘以 1/T，若不加零阶保持器则计算结果将与实际系统不符。加入 零阶保持器后连续信号幅值被乘以T，正好和采样引起的幅值 变化相抵消，即系统的等效开环放大倍数不变。
由于当今计算机的价格已经较低，且运算速度很快，所以 工业数字控制系统均采用计算机作为脉冲控制器，其数/模转 换电路就相当于一个零阶保持器，而模/数转换电路就相当于 一个采样开关。计算机控制系统可以取较大的采样频率ωs， 故能很好地复现连续信号，使系统具有优良的性能指标。另 外，计算机控制系统集成度很高，从而提高了系统的可靠性 ，因此，计算机控制系统作为采样控制系统的主流被广泛应 用于各种自动化设备之中。
xoBox
为了以后分析的需要，现推导出零阶保持器的传递函数和 频率特性。零阶保持器的单位脉冲响应函数为
由于单位脉冲响应的拉氏变换就是传递函数，故对上式取 拉氏变换可得零阶保持器的传递函数为
零阶保持器的频率特性为
xoBox
绘出零阶保持器的频率特性如图8-7所示，其幅值随频率增 高而衰减，因此它是一个低通滤波器。但不是理想滤波器， 它除了允许主频谱通过以外，还通过了一部分高频分量。因 此，零阶保特器所复现的信号并不是毫无畸变的，另外，从 相频特性上可以看到，零阶保持器还会产生相位滞后。因此， 零阶保持器的引入会给系统的稳定性带来不利的影响。 除了零阶保持器以外，还可以有一阶、二阶等保持器，但 由于它们实现起来比较复杂，相位滞后比零阶保持器更大， 故很少应用。 采样信号通过零阶保持器后高频分量已大大降低，又考虑 到控制对象一般都具有低通滤波特性的作用，致使采样带来 的高频分量对系统输出的影响很小。另外，若ωs＞＞ωm，则 采样信号的高频分量集中在保持器幅值近似为零的nωs（n＝ 1、2……）附近，如图8-7虚线所示，这样，采用信号的高频 分量也将被大幅衰减。也就是说，图8-6中矩形脉冲越多，还 原出来的信号与原信号误差越小，相位迟后也越小。
第八章
采样控制系统
§8—1 采样控制系统的基本概念
在此以前所讨论的控制系统，系统中的物理量都是时间的连 续函数(即在任意时间的瞬时，都有对应的物理量值，这种物 理量称为连续量或摸拟量)，这样的系统也称为连续控制系统 或模拟控制系统。但在人类活动威生产过程中，也有这样的物 理量，它虽是时间函数，但只有在特定时刻才有对应的物理量 值，这样的物理量称为时间的离散量。离散量可以是自然产生 的，如炼钢炉的钢产量，只有在出炉时间才有量值，而在炼制 时就没有量值，也可以人为产生的，如电表测量的是摸拟量， 而定时抄录的电量值就是离散量，这种定时抄录称为采样，由 此得出的量值叫采样值。离散量又可分为两种，一种是随意的 脉冲量，一种是经量化的有规则的数码或称数字量。控制系统 中只要有一个以上的物理量是离散量，就称这个系统为离散系 统或采样控制系统，有时候把离散量是数字量的系统称为数字 控制系统。
系统输出的时间解。必要时也可由脉冲传递函
数求得采样系统的差分方程。
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下面先介绍Z变换及Z反变换。
二、Z变换的定义 Z变换是拉氏变换的一种变形，是由采 样信号的拉氏变换演变而来的。§8—2中式（8-4）给出的采 样信号的拉氏变换为
引入新的变量z，并令z＝eTS代入上式就得到采样信号e*(t) 的Z变换E(z)为
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如果采样频率ωs＜2ωm，如图8-5b所示，主频谱与附加高 频频谱出现相互重叠时的情况。在这种情况下，就不可能利 用滤波方法来无畸变地复现采样前的连续信号了。
从上面的分析可知，采样系统为了能使采样后的信号得到 复现，从而确保控制精度，应该使采样频率大于两倍连续信 号频谱中的最高频率，这就称为采样定理。 采样定理的物理意义是，采样频率越高，就是采样周期越 小，故采样越细密，采样的精度就越高，就能充分反映连续 信号变化的所有信息，因此就可以按要求复现。反之，采样 频率低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样 时刻之间的连续信号变化较大，而这种变化未能在采样信号 中得到反映，故就不能按一定精度复现原连续信号。 需要指出，实际的非周期函数，其频谱中的最高频率是无 限的，不过由于高频分量的幅值不大，因此通过低通滤波后 的信号基本上能复现。
§8-2 采样定理
前节已经提到过，连续信号e经采样后的离散信号e*为一脉 冲序列。如果采样所得的脉冲序列的脉冲持续时间ε极短， 以至远小于采样周期及系统连续部分的时间常数，那么就可 以认为ε趋近于零。在这种情况下，采样过程可看成一个理 想单位脉冲序列发生器对模拟信号的脉冲调制过程。设单位 脉冲序列发生器产生的单位脉冲序列δT （t）如图8—3所示 ，则δT（t）的数学表达式为
§8—4
差分方程和Z变换
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一、差分方程
n阶线性连续系统被采样离散化后，
系统的数学模型可用n阶差分方程来描述，即
式中 n——系统阶数
k——第k个采样周期。
已知采样系统的差分方程和初始条件 ，则可用迭代法求得差分方程的时间解。
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例如，积分环节
在r(t)=1(t)时的输出
c(t)=t，如图所示。采样后的差分方程为：
迭代出差分方程的解为：
结果模拟信号采样的结果一样。
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但是，采样一般系统的差分方程是很难求得 的，用迭代法求得的差分方程的时间解又是脉 冲序列，故直接用差分方程分析采样系统是非 常不方便的，通常是将连续系统离散化后，对 传递函数进行Z变换，求出脉冲传递函数及输 出量的Z变换，再用Z反变换的方法可求得采样
零阶保持器是采用恒值外推的 工作方法，它把前一个时刻nT的 采样信号e(nT)不增不减地一直 保持到下一个采样时刻（n+1）T， 从而使采样信号变成阶梯信号， 如图8—6所示。 由图可见，再现出的信号与原连续信号是 有较大差别的，它包含着高次谐波。若将梯形输出信号各中 点连接起来，可得到一条比原连续信号迟后T/2的曲线，据此 可以直观地看出零阶保持器的迟后特性。
式中 c1、c2为待定系数，由于典型函数的Z变换的分子上均 有一个z（脉冲函数除外），所以展开时保留分子上的z。查 表8-1，并由线性定理得Z反变换为