高考数学《平面解析几何》练习题及答案

平面解析几何

1．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题] 已

知双曲线22

2:116x y E m

-=的离心率为54，则双曲线E 的焦距为

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

【答案】D 【解析】 【分析】

通过离心率和a 的值可以求出c ，进而可以求出焦距. 【详解】

由已知可得5

4

c a =，又4a =，5c ∴=，∴焦距210c =，故选D.

【点睛】

本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题.

2．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若椭圆2

221

x y a +=

经过点1,3P ? ??

，则椭圆的离心率e =

A ．

2 B 1

C D [来 【答案】D

3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为

A ．83

B ．3

C ．163

D ．6

【答案】C

4．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]若双曲线

22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为

A B

C D 【答案】B

5．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素

质测试数学（理)试题] 椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，

以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为

A 1

B ．

1

2

C ．2

D 【答案】A 【解析】 【分析】

根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于

,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.

【详解】

由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =， 又122PF PF a +=，12PF a c ∴=-，

由勾股定理得()2

22224220a c c c e e -+=?+-=，解得1e =. 故选A.

6．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素

质测试数学（理)试题] 如图，12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、

右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为

A ．23y x =±

B ．22y x =±

C ．3y x =

D ．2y x =

【答案】A 【解析】 【分析】

设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b

y x a

=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】

设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，

由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ?= 因为2521a x a =-=?=，所以3b =

所以双曲线的渐近线方程为23b

y x x a

=±=±.

【点睛】

本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.

7．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]P 为椭圆

191

1002

2=+y x 上的一个动点，N M ,分别为圆1)3(:22=+-y x C 与圆)50()3(:222<<=++r r y x D 上的动点，若||||PN PM +的最小值为17，则=r A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】B 【解析】

8．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 如果123,,,P P P L 是抛物线2:4C y x =上的点，它们的横坐标123,,,x x x L ，F 是抛物线C 的焦点，

若12201820x x x +++=L ，则12||||PF P F + 2018||P F ++=L

A ．2028

B ．2038

C ．4046

D ．4056

【答案】B

9．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]

【答案】C 【解析】

10．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题]

已知P 是椭圆22

:14x y E m

+=上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对

称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，()2120k k k ≠，若12k k +的最小值为1，则实数m 的值为 A ．1 B ．2 C ．1或16

D ．2或8

【答案】A 【解析】 【分析】

先假设出点M ，N ，P 的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由12k k +最小值为1运用基本不等式的知识求最小值，进而可以求出m . 【详解】

设'

'

0000(,),(,),(,)M x y N x y P x y --，

''00

'00

12',y y y k x x x k y x -+==-+

''''00

00

'''

'0020

10

2

y y y y y y y y x x x x x x k x x k +=+-++-?-+-+≥ '22

0'22

0y y x x -=-

2'2

0'220(1)(1)

442

x x x m x m --=-- 4

m

=，

1m ∴=. 故选A. 【点睛】

本题大胆设点，表示出斜率，运用基本不等式求参数的值，是一道中等难度的题目.

11．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]

已知双曲线22

221(0,x y a a b

-=>

0)b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线

右支于点M ，若12F MF ∠

45=?，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 C ．2

D ．5

【答案】A 【解析】 【分析】

设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，由ON a =，得到

12F A b =，在2Rt MF A △中，可得222MF a =，得到122MF b a =+，再由双曲线的定义，解得2b a =，利用双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，

由ON a =，且ON 为12F F A △的中位线，可得22212,F A a F N c a b ==-=， 即有12F A b =，

在2Rt MF A △中，可得222MF a =，即有122MF b a =+，

由双曲线的定义可得1222222MF MF b a a a -=+-=，可得2b a =， 所以223c a b a =+=，所以3==c

e a

. 故选A.

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式

c

e a

=

；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．

12．[安徽省2020届高三期末预热联考理科数学]

【答案】C

13．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]双曲线22

1

2516

y x -=的渐近线方程为_____________.

【答案】5

4

y x =±

14．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）

试题] 双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等

于 . 515．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 已知圆

02222=--+by ax y x )0,0(>>b a 关于直线022=-+y x 对称，则b

a 2

1+的最小值

为________．

【答案】29

16．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学

试题]已知AB 是圆C :2

2

2

x y r +=的直径,O 为坐标原点,直线l :2

r x c

=与x

轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于

,M N 两点, 则2

OM ON

r ?u u u u r u u u r 的值为 ▲ .

【答案】1

【解析】设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2

παβ+=

,

∴tan tan 1αβ=，记直线l :2

r x c

=与x 轴的交点为H ,如图，

()()OM ON OH HM OH HN ?=+?+u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，则2

(,0)r H c ,

0,0OH HN OH HM ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u u r

Q ,

∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ?=+?=-?u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r

224

22|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c c αβ?==+-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r Q

∴242222()()r r

OM ON r r c c

?=--=u u u u r u u u r .即2

OM ON r ?u u u u r u u u r 的值为1. 17．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]已知椭圆

22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，,A B 是其左、右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且12PF F △的周长为6，若12PF F △面积的最大值为

3（1）求椭圆C 的方程；

（2）若过点2F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,M N 两个不同点，证明：直线AM 于BN 的交点在一条定直线上.

【解析】（1）由题意得222226,123,2,a c bc a b c +=????=??=+??1,3,2,c b a =??∴=??=?

∴椭圆C 的方程为22

143

x y +=； （2）由（1）得()2,0A -，()2,0B ，()21,0F ，

设直线MN 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，

由221

143x mx x y =+???+=??，得()2243690m y my ++-=，

122643m y y m ∴+=-

+，122943y y m =-+，()12123

2

my y y y ∴=+， Q 直线AM 的方程为()1122y y x x =

++，直线BN 的方程为()2

222

y y x x =--， ()()12122222

y y

x x x x ∴

+=-+-， ()()2112212121

232322y x my y y x x y x my y y +++∴===---， 4x ∴=，∴直线AM 与BN 的交点在直线4x =上.

18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素

质测试数学（理)试题] 已知B 是抛物线2

118y x =+上任意一点，()0,1A -，

且点P 为线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹C 的方程；

（2）若F 为点A 关于原点O 的对称点，过F 的直线交曲线C 于M 、N 两点，直线OM 交直线1y =-于点H ，求证：NF NH =． 【解析】 【分析】

（1）设(),P x y ，()00,B x y ，根据中点坐标公式可得00221x x

y y =??=+?，代入曲线

方程即可整理得到所求的轨迹方程；（2）设:1MN y kx =+，()11,M x y ，

()22,N x y ，将直线MN 与曲线C 联立，可得124x x =-；由抛物线定义可知，若要证得NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-，即HN y ∥轴；由直线

OM 的方程可求得11,1x H y ??

-

- ???

，可将H 点横坐标化简为121

x x y -=，从而证得

HN y ∥轴，则可得结论.

【详解】

（1）设(),P x y ，()00,B x y ，

P Q 为AB 中点，00

221x x

y y =?∴?

=+?， B Q 为曲线2118y x =+上任意一点，2

00118y x ∴=+，

代入得24x y =，

∴点P 的轨迹C 的方程为24x y =.

（2）依题意得()0,1F ，直线MN 的斜率存在，其方程可设为：1y kx =+， 设()11,M x y ，()22,N x y ，

联立21

4y kx x x

=+??=?得：2440x kx --=，则216160k ?=+>，

124x x ∴=-，

Q 直线OM 的方程为1

1

y y x x =

，H 是直线与直线1y =-的交点， 11,1x H y ??∴-- ???

，

根据抛物线的定义NF 等于点N 到准线1y =-的距离，

H Q 在准线1y =-上，∴要证明NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-，

即证HN y ∥轴，

H Q 的横坐标：1112

22

111144

x x x x x x y x x --

=-===， ∴HN y ∥轴成立，NF NH ∴=成立. 【点睛】

本题考查圆锥曲线中轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线综合应用中的等量关系的证明问题；证明的关键是能够利用抛物线的定义将所证结论转化为证明

HN y ∥轴，通过直线与抛物线联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理的结

论证得HN y ∥轴.

19．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]在直角坐标系xOy 中，点

)0,2(-M ，N 是曲线24

12

+=y x 上的任意一点，动点C 满足MC NC +=0u u u u r u u u r .

（1）求点C 的轨迹方程；

（2）经过点)0,1(P 的动直线l 与点C 的轨迹方程交于B A ,两点，在x 轴上是否存在定点D （异于点P ），使得BDP ADP ∠=∠？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.

20．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]

已知椭圆22

212

x y C a ：+=过点P （2，1）

． （1）求椭圆C 的方程，并求其离心率；

（2）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A 'P 与C 交于另一点B ．设

O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由． 【解析】 【分析】

（1）将点P 代入椭圆方程，求出a ，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，设点A 的坐标为

()11x y ，，()22B x y ，，分别求出12x x -，12y y -，根据斜率公式，以及两直

线的位置关系与斜率的关系即可得结果.

【详解】（1）由椭圆22

212

x y C a +=： 过点P （2，1），可得28a =．

所以222826c a =-=-=，

所以椭圆C 的方程为28x +2

2

y =1，

则离心率e 622=3（2）直线AB 与直线OP 平行．证明如下： 设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，

设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），

由22

182

21x y y kx k ?+=???=-+?得()()222

41812161640k x k k x k k ++-+--=， ∴21216164241k k x k -+=+，∴212

882

14k k x k --=+， 同理222882

41

k k x k +-=+，

所以1221641

k

x x k -=-

+， 由1121y kx k =-+，2121y kx k =-++， 有()121228441

k

y y k x x k k -=+-=-

+， ∵A 在第四象限，∴0k ≠，且A 不在直线OP 上， ∴12121

2

AB y y k x x -=

=-， 又1

2

OP k =

，故AB OP k k =， 所以直线AB 与直线OP 平行．

【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．

21．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]双曲

线22

15x y -=焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆C 的方程；

（2）设动点N M ,在椭圆C

上，且3

MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.

【解析】（1）双曲线2215

x y -=的焦点坐标为()

.

因为双曲线22

15x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的顶点，

且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，

所以a ==1b =. 故椭圆C 的方程为2

216

x y +=.

（2）因为23

MN =

>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.

代入椭圆方程2

216

x y +=，得()()2221612610k x kmx m +++-=.

因为()()()

2

221224161km k m ?=-+-()2224160k m =+->，

所以2216m k <+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，

根据根与系数的关系得1221216km

x x k -+=+，()

21226116m x x k -=+.

则

12MN x =-==

因为MN == 整理得()

422

2

18397

91k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.

所以2

21875509t t m t -+-=15075189t t ????=-+ ?????

??

75230593-?≤=.

等号成立的条件是53

t =， 此时22

3

k =

，253m =，满足2216m k <+，符合题意.

故m

. 22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）

试题] ）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -

，长轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程及离心率；

（2）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足

MA MB MO ++=0u u u r u u u r u u u u r ，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线1

3

y =对称．

【解析】（1

）由已知，得1a c ==，

所以3c e a =

==， 又222a b c =+

，所以b =

所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=

，离心率3

e =.

（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m m M x y ，

①直线l 与x 轴垂直时，点,A B

的坐标分别为(0,

，(

．

因为()0,m m MA x y =-u u u r

，()

0m m MB x y =-u u u r ，()0,0m m MO x y =--u u u u r

，

所以()3,3m m MA MB MC x y ++=--=0uuu r uuu r uuu r

． 所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;

②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，

由22

1321x y y kx ?+=???=+? 得()22

32630k x kx ++-=， ()22236123272240k k k ?=++=+>．

所以122632k

x x k -+=

+，

则122

4

032y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =--u u u r ，()22,m m MB x x y y =--u u u r ，(),m m MO x y =--u u u u r

，

所以()121203,03m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=0uuu r uuu r uuu r

． 所以123m x x x +=，123m y y y +=．

2232m k x k -=+，24

3032

m y k =>+，

消去k ，得()22

23200m m m m x y y y +-=>．

综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=. 对于曲线L 的任意一点(),M x y ，

它关于直线1

3y =的对称点为2,3M x y ??'- ???．

把2,3M x y ??'- ???

的坐标代入曲线L 的方程的左端：

2

2

22222244232243223203333x y y x y y y x y y ????

+---=+-+-+=+-= ? ?????

．

所以点M '也在曲线L 上．

所以由点M 构成的曲线L 关于直线1

3

y =对称.