高考数学《平面解析几何》练习题及答案
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类平面解析几何(直线与方程)练习(附答案)
高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类平面解析几何（直线与方程）练习一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．132．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．44．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A．1BC D ．25．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（ ）A ．2B ．5C D6．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（ ） A ．32100x y --= B ．32230x y --= C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=7．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2 C ．2D ．9．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A ．15B ．25C ．45D ．65二、多选题11．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒三、填空题12．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．13．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．14．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．15．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 16．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.四、解答题17．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.18．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．19．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小．．于圆．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．五、双空题20．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知双曲线22:163x yC-=，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．参考答案1．A【要点分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b +=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【答案详解】[方法一]：设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率c e a === A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a = 所以椭圆C的离心率c e a === A.2．D【要点分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【答案详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 3．B【要点分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【答案详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B. 4．B【要点分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果. 【答案详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -， 当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 5．D【要点分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【答案详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 6．D【要点分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【答案详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，， 则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---， 因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上， 所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=. 故选：D.7．D【要点分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【答案详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.8．D【答案详解】要点分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．答案详解：e c a === 1ba∴= 所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d== 故选D名师点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．9．C【要点分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +.【答案详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ， 所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．D【要点分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【答案详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D. 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.11．ACD【要点分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(42p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得(,33p B -，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB =即可判断C 选项；由0OA OB ⋅< ，0MA MB ⋅< 求得AOB ∠，AMB∠为钝角即可判断D 选项.【答案详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp +=， 代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则3()42p A ，则直线AB的斜率为2342p p =-，A 正确；对于B，由斜率为可得直线AB的方程为2px y =+，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y1p y p +=，则1y =2123p x ⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，解得13p x =，则(,)33p B ，则2p OB OF =≠=，B 错误； 对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确； 对于D，2333(,(,0423343234p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又2225()(,)0423343236p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= ，则180OAM OBM ∠+∠< ，D 正确. 故选：ACD.12．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【要点分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【答案详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=； 圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =， 依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．22(1)(1)5x y -++=【要点分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【答案详解】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M到两点的距离相等且为半径R ， ∴==R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R=M 的方程为22(1)(1)5x y -++=. 故答案为：22(1)(1)5x y -++= [方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线210xy +-=的交点(1,-1).R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=. 故答案为：22(1)(1)5x y -++= 14【要点分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【答案详解】由已知，3c ==，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.15．()0,1【要点分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N =，化简即可得解.【答案详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11x x x xe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ==，同理2B x N =,所以()10,1x e N AM B ===∈=. 故答案为：()0,1【名师点睛】关键点名师点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 16．4.【要点分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【答案详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.由2411y x '=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.17．（1）AM的方程为2y x =-2y x =（2）证明见解析. 【要点分析】（1）根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为=1x ，代入椭圆方程求得点A的坐标为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,2⎛-⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）方法一：分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.【答案详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为=1x .由已知可得，点A的坐标为1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以AM的方程为2y x =+2y x =. （2）［方法一］：【通性通法】分类＋常规联立 当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=o .当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.［方法二］：角平分线定义的应用当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ． 由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=． 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++． 点A 关于x 轴的对称点()11,N x y -，则直线BN 的方程为()()()()121121y y x x y y x x +-=+-．令=0y ，()()221211212122111212122122222222mm y x x my y y y x y x y m m x x m y y y y y y m -⋅--+++++=+====-++++，则直线BN 过点M ，OMA OMB ∠=∠． ［方法三］：直线参数方程的应用设直线l 的参数方程为=1+cos =sin x t y t αα⎧⎨⎩（t 为参数）．（*）将（*）式代入椭圆方程2212x y +=中，整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=．则12211sin t t α-⋅=+，1222cos 1sin t t αα+=-+． 又()()11221cos ,sin ,1cos ,sin A t t B t t αααα++，则MA MB k k +=1212sin sin 1cos 21cos 2t t t t αααα+=+-+-1212sin sin cos 1cos 1t t t t αααα+=--()(()()122112sin cos 1+sin cos=cos 1cos 1t t t t t t αα-αα-α-()()()1212122sin cos sin cos 1cos 1t t t t t t ααααα-+=--()()22122sin cos 2sin cos 1sin 1sin 0cos 1cos 1t t αααααααα-+++=--， 即MA MB k k =-．所以OMA OMB ∠=∠． ［方法四］：【最优解】椭圆第二定义的应用 当直线l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当直线l 与x 轴不重合时，如图6，过点A ，B 分别作准线=2x 的垂线，垂足分别为C ，D ，则有AC BD x ∥∥轴．由椭圆的第二定义，有e AF AC=，||e ||BF BD =，得||||||||AF BF AC BD =，即||||||||AF AC BF BD =．由AC BD x ∥∥轴，有||||||||AF BF CM DM =，即||||||||AF CM BF DM =，于是||||||||AC CM BD DM =，且90ACM BDM ∠=∠=︒．可得AMC BMD ∠=∠，即有∠=∠AMO BMO ．［方法五］：角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用椭圆22:12x C y +=以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得ρ=设()()12,,,A B ρθρθπ+．22221122||12cos ,||12cos AM BM ρρθρρθ=+-=++．所以1||||AM AF ==2||||BM BF ==由角平分线定理的逆定理可知，命题得证． ［方法六］：角平分线定理的逆定理的应用设点O （也可选点F ）到直线,MA MB 的距离分别为12,d d ，根据角平分线定理的逆定理，要证OMA OMB ∠=∠，只需证12d d =． 当直线l 的斜率为0时，易得120d d ==．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x my A x y B x y =+．由方程组22+=1,2=+1,x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210,Δ0m y my ++-=>恒成立，12222m y y m +=-+．12212y y m =-+． 直线MA 的方程为：()1111220,y x x y y d ---==因为点A 在直线l 上，所以111x my =+，故1d =同理，2d =()()()()12121222122222112242121121y y y y my y d d m y my m y my -+-⎡⎤⎣⎦-=⎡⎤⎡⎤+-++-+⎣⎦⎣⎦．因为()121222222022m m y y my y m m +-=-+=++，所以22120d d -=，即12d d =． 综上，OMA OMB ∠=∠．［方法七］：【通性通法】分类＋常规联立当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ．由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=． 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++． 所以()()()1212121212121220221111MA MB my y y y y y y y k k x x my my my my -++=+=+==------， 故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. ［方法八］：定比点差法设()0,1AF FB λλ=≠± ，()()1122,,,A x y B x y ，所以1212+1=1++0=1+x x y y λλλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由22112222222+=12+=2x y x y λλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩作差可得，()12121212112111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⨯+⨯=+-+-，所以， ()1221x x λλ-=-，又121x x λλ+=+，所以，()121113,322x x λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()1222120111221122MA MB y y y y k k x x λλλ-+=+=+=--⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.当1λ=时，l 与x 轴垂直，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 故OMA OMB ∠=∠．【整体点评】（2）方法一：通过分类以及常规联立，把角相等转化为斜率和为零，再通过韦达定理即可实现，是解决该类问题的通性通法；方法二：根据角平分线的定义可知，利用点A 关于x 轴的对称点N 在直线BM 上，证直线AN 过点M 即可；方法三：利用直线的参数方程证明斜率互为相反数；方法四：根据点M 是椭圆的右准线=2x 与x 轴的交点，用椭圆的第二定义结合平面几何知识证明，运算量极小，是该题的最优解；方法五：利用椭圆的极坐标方程以及角平分线定理的逆定理的应用，也是不错的方法选择； 方法六：类比方法五，角平分线定理的逆定理的应用； 方法七：常规联立，同方法一，只是设直线的方程形式不一样； 方法八：定比点差法的应用．18．（1）112y x =+或112y x =--；（2）证明见解析.【要点分析】（1）根据题意可得直线l 的方程为=2x ，从而得出点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）方法一：设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【答案详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为=2x ，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-． 所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）［方法一］：【通性通法】韦达定理＋斜率公式 设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由2=+2=2x ty y x ⎧⎨⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-． 直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y yk k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠. ［方法2］：【最优解】斜率公式＋三点共线的坐标表示因为M ，N 在抛物线上，可设()2112,2M t t ，()2222,2N t t ，故()21122,2AM t t =- ，()22222,2AN t t =- ．而A ，M ，N 共线，故AM AN ∥，即()()2221122222220t t t t -⋅--⋅=，化简得()()1221410t t t t +-=．而M ，N 是不同的点，故12t t ≠，可得1210t t +=．这样()()()()121212222212121220222211BM BN t t t t t t k k t t t t +++=+==++++．故ABM ABN ∠=∠． 【整体点评】（2）方法一：通过联立方程得出根与系数的关系，再直接使用斜率公式化简即可证出，是此题问题的通性通法；方法二：通过设点，根据三点共线的坐标表示寻找关系，再利用斜率公式化简证出，省略了联立过程，适当降低了运算量，是此类问题的最优解． 19．（1）15（百米）； （2）见解析；（3）17+. 【要点分析】解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .利用几何关系即可求得道路PB 的长； （2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案详解】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ===此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM=<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识要点分析和解决实际问题的能力.20． ()3,0【要点分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【答案详解】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C.故答案为：()3,0【名师点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.。
最新高中平面解析几何习题(含答案与解析)
平面解析几何式卷七一、选择题1、从点P (m , 3)向圆(x + 2)2+ (y + 2)2= 1引切线, 则一条切线长的最小值为A ．B ．5C ．D ．2、若曲线x 2－y 2= a 2与(x －1)2+ y 2= 1恰有三个不同的公共点, 则a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．不存在3、曲线有一条准线的方程是x = 9, 则a 的值为A ．B ．C ．D ．4、参数方程 所表示的曲线是A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分, 且过点D ．抛物线的一部分, 且过点5、过点(2, 3)作直线l , 使l 与双曲线恰有一个公共点, 这样的直线l 共有A ．一条B ．二条C ．三条D ．四条6、定义离心率为的椭圆为“优美椭圆”, 设(a > b > 0)为“优美椭圆”, F 、A 分别是它的左焦点和右顶点, B是它的短轴的一个端点, 则ÐABF 为A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°7、在圆x 2 + y 2= 5x 内, 过点有n 条弦的长度成等差数列, 最小弦长为数列的首项a , 最大弦长为a n , 若公差, 则n 的取值集合为A ．B ．C ．D ．8、直线与圆x 2 + y 2= 1在第一象限内有两个不同的交点, 则m 的取值范围是A ．1 < m < 2B ．C ．D ．二、填空题1若直线过点（1,2），（3,24），则此直线的倾斜角是2、已知直线l 的斜率[]3,1-∈k ，则直线l 的倾斜角α的取值范围是 。
3、设直线过点()a ,0，其斜率为1，且与圆222=+y x 相切，则a 的值为 。
4、若过点A （4,0）的直线l 与曲线()1222=+-y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 。
5、“1=a ”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的 条件。
高考数学压轴专题新备战高考《平面解析几何》分类汇编附答案解析
【高中数学】高考数学《平面解析几何》练习题一、选择题1．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m << 若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题 所以选C 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．2．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,∵233AF BF AB +=,∴2323AB mn≥,∴213mn AB≤,在△AFB中,由余弦定理得22222()2cos22m n AB m n mn ABAFBmn mn+-+--∠==212213222AB mn mn mnmn mn--=≥=-∴∠AFB的最大值为23π.故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.3．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y=+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy+=<表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A．①③B．②④C．①②③D．②③④【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y+≤，可判断②；224x y+=和()3222216x y x y+=联立解得222x y==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确； 将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点()2,2，()2,2-，()2,2--，()2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)的左，右焦点分别为12,F F ，其右支上存在一点M ，使得210MF MF ⋅=u u u u r u u u r,直线:0l bx ay +=，若直线2//MF l 则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．2C ．5D ．5【答案】C 【解析】 【分析】易得且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线求出直线1MF 的方程与渐近线方程联立求出交点坐标，进而求得M 坐标，根据勾股定理即可求解离心率. 【详解】由120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v可得12MF MF ⊥易知直线:0l bx ay +=为双曲线的一条渐近线，可知l 的方程为by x a=-，且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线，且直线1MF 的方程为()ay x c b=+设1MF ，与l 相交于点(),N x y .由 ()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,a ab N c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，又()1,0F c -，由中点坐标公式，得222,.a ab M c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭由双曲线性质可得122MF MF a -=①，由12MF MF ⊥得222124MF MF c +=②，①②联立，可得2122MF MF b ⋅=所以点M 的纵坐标为2b c ，所以22b ab c c =即2b a =所以e == 故选：C 【点睛】本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.5．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22525:()416C x y +-='于,A B两点，且AB =C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线2x =-的距离为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．9【答案】B 【解析】 【分析】易得圆C '过原点，抛物线22y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 【详解】圆:22525:,416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭'即为2252x y y +=,可得圆经过原点.抛物线22y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >.由AB =可得225m n +=， 又2252m n n +=联立可解得2,1n m ==. 把()1,2B 代人22y px =，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|. 设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离11(|)422EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目.6．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,09⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,027⎛⎫⎪⎝⎭ D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.7．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ∆是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】 【分析】设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值. 【详解】如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .①若23c x =，则254a x x x =-=，得232ce a ==； ②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222ce a==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252ce a==. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F = ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=【答案】C【解析】 【分析】利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =22 4b a=，求解a ，b 然后推出椭圆方程． 【详解】椭圆2222 10x y a b a b +=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =，22 4b a=，222c a b =-，解得3a =，b =，所以所求椭圆方程为：22196x y +=，故选C ．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．9．已知双曲线22x a－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2px =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1；则c =故选A ．10．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b =所以双曲线的渐近线方程为23b y x x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.11．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是（ ）A ．14B ．12C ．22D 3【答案】C 【解析】由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则sin PF PM PAM PAPA==∠，PAM ∠为锐角．∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PFPA最小．设切点)P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==. ∴1a =，则(2,1)P .∴2PM =，PA =∴sin PM PAM PA∠==故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.12．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．34y x =? B ．43y x =±C ．3y x =±D ．4y x =±【答案】B 【解析】根据题意,双曲线的方程为2219x y m-=，则其焦点在x 轴上，直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0， 则双曲线的焦点坐标为()5,0， 则有925m +=， 解可得，16m =，则双曲线的方程为：221916x y -=，其渐近线方程为：43y x =±， 故选B.13．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：()()22448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C 【解析】 【分析】先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值. 【详解】由已知()2,0A ，()0,2B - 则222222AB =+=，又点M 到直线的最大距离为44285211+-+=+，所以最大面积为12252102⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.14．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）A ．9011,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭B ．135322,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫±⎪⎝⎭D．(45,±【答案】B 【解析】 【分析】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，根据双曲线的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，与双曲线()222713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135,77P ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.15．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111AF BF+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ） A ．18 B ．30C ．32D ．36【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由抛物线性质可知：112AF BF p +=，又111AF BF+=，∴2p =， 即24y x =设直线AB 的斜率为k （k≠0），则直线CD 的斜率为1k-． 直线AB 的方程为y=k （x ﹣1）， 联立214y k x y x=⎧⎨=⎩（﹣），消去y 得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0， 从而242A B x x k+=+，A B x x =1 由弦长公式得|AB|=244k+， 以1k-换k 得|CD|=4+4k 2， 故所求面积为()22221141AB CD 4448222k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥32（当k 2=1时取等号），即面积的最小值为32． 故选C16．已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出234a =，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M 到直线2l 的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．详解：由双曲线方程22241(0)x y a a-=>可得，双曲线的右顶点为(,0)a ，渐近线方程为12y x a=±，即20x ay ±=．=234a =，∴双曲线的方程为224413x y -=，∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合， ∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ．如图，设点M 到直线1l 的距离为||MA ，到直线2l 的距离为||MB ，则MB MF =， ∴MA MB MA MF +=+．结合图形可得当,,A M F 三点共线时，MA MB MA MF +=+最小，且最小值为点F 到直线1l 的距离22416243d ⨯+==+．故选B ．点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．17．已知椭圆2221(1)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ） A ．32B ．223C ．22D ．63【答案】B 【解析】 【分析】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率. 【详解】设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得AN AT =，11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-222(3)a F M a c =-=--，则26a =，即3a =，又1b =，所以2222c a b =-=， 因此椭圆的离心率为223c e a ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.18．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：221169x y +=，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）. A ．20 B ．18C ．16D ．以上均有可能【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的光学性质可知，小球从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到A 点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案． 【详解】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A 点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.19．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C 2aD ．22a 【答案】D 【解析】 【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD ∴==，即F 在侧面11CDD C 2． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.20．设P 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．22(x 2)y 28-+=B ．22(x 2)y 7++=C ．22(x 2)y 28++=D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】推导出12PF PF 2a 27+==2PQ PF =，从而11PFPQ FQ 27+==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】P Q 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，12PF PF 2a 27∴+==2PQ PF =，11PF PQ FQ 27∴+==， Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，7为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．故选：C ． 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
最新高考数学“平面解析几何”解答题专项训练(20道题,后附答案)
最新高考数学“平面解析几何”解答题专项训练（20道题，后附答案）一、解答题（共20题；共195分）1.已知在△ABC中，点A（﹣1，0），B（0，√3），C（1，﹣2）．（Ⅰ）求边AB上高所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积S△ABC．2.已知三角形△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程．3.已知椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的右焦点为F(√2,0)，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆内一点P(0,t)，斜率为k的直线l交椭圆于M,N两点，设直线OM,PN（O为坐标原点）的斜率分别为k1,k2，若对任意k，存在实数λ，使得k1+k2=λk，求实数λ的取值范围.4.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．5.焦距为2c的椭圆Γ:x2a2+y2b2=1( a>b>0)，如果满足“ 2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”.（1）如果椭圆Γ:x2a2+y2b2=1( a>b>0)是“等差椭圆”，求ba的值；（2）如果椭圆Γ:x2a +y2b=1( a>b>0)是“等差椭圆”，过D(0,a)作直线l与此“等差椭圆”只有一个公共点，求此直线的斜率；（3）椭圆Γ:x2a2+y2b2=1( a>b>0)是“等差椭圆”，如果焦距为12，求此“等差椭圆”的方程；（4）对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点(Q也异于A)，直线AP､AQ分别与x轴交于M､N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由.6.在△ABC中，已知M为线段AB的中点，顶点A，B的坐标分别为（4，﹣1），（2，5）．（Ⅰ）求线段AB的垂直平分线方程；（Ⅱ）若顶点C的坐标为（6，2），求△ABC重心的坐标．7.已知圆心为C的圆经过A(0,1)和B(3,4)，且圆心C在直线l:x+2y−7=0上.（1）求圆C的标准方程；（2）求过原点且与圆C相切的直线方程.8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），F（﹣c，0）为其左焦点，点P（﹣a2c，0），A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，且|A1A2|=4，|PA1|= 2√33|A1F|．（1）求椭圆C的方程；（2）过点A1作两条射线分别与椭圆交于M、N两点（均异于点A1），且A1M⊥A1N，证明：直线MN恒过x轴上的一个定点．9.已知动点P与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为12.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点B(−2,1)的直线l与曲线C交于M、N两点，求线段MN长度的最小值；（3）已知圆Q的圆心为Q(t,t)(t>0)，且圆Q与x轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围.10.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为√22，过右焦点且垂直于长轴的直线与椭圆C交于P，Q两点，且|PQ|=√2.（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为−12（以O为坐标原点），M是OA的中点，连接BM并延长交椭圆C于点N，求|BN||BM|的值.11.已知抛物线y2=2px（p>0）上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，焦点为F.线段AB的中点为M(3,y0)，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求 △ABC 面积的最大值. 12.已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的长轴长为4，焦距为 2√3 .（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）设直线 l ： y =kx +m 与椭圆 C 交于 P ， Q 两个不同的点，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ， O 为坐标原点，问：是否存在实数 λ ，使得 |PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 恒成立？若存在，请求出实数 λ ，若不存在，请说明理由.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ： x 2a 2+y 2b 2=1 (a ＞b ＞0)的离心率为 12 ，且椭圆E 的短轴的端点到焦点的距离等于2． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）己知A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过x 轴上一点P （异于原点）作斜率为k(k≠0)的直线l 与椭圆E 相交于C ，D 两点，且直线AC 与BD 相交于点Q ．①若k ＝1，求线段CD 中点横坐标的取值范围；②判断 OP⇀⋅OQ ⇀ 是否为定值，并说明理由． 14.已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 12 ，左焦点F 1到直线 x =−a 2c 的距离为3，圆N 的方程为（x ﹣c ）2+y 2=a 2+c 2（c 为半焦距），直线l ：y=kx+m （k ＞0）与椭圆M 和圆N 均只有一个公共点，分别设为A ，B ．（1）求椭圆M 的方程和直线l 的方程；（2）在圆N 上是否存在点P ，使 |PB||PA|=2√2 ，若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由．15.已知抛物线 E 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴上，若点 P(2,2) 在抛物线上.（1）求抛物线 E 的方程；（2）如图，过点 P 且斜率为 k(−2≤k ≤−12) 的直线 l 与抛物线 E 的另一个交点为 A ，过点 P 与直线 l 垂直的直线 m 交 y 轴于点 B ，求直线 AB 的斜率的取值范围. 16.已知双曲线与椭圆x 225+y 29=1 有相同焦点，且经过点(4,6)．（1）求双曲线方程；（2）若双曲线的左，右焦点分别是F 1 ， F 2 ， 试问在双曲线上是否存在点P ，使得|PF 1|＝5|PF 2|.请说明理由.17.过抛物线 C:y 2=2px(p >0) ）的焦点F 且斜率为 1 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且 |MN|=2 ．（1）求p 的值；（2）抛物线C 上一点 Q(x 0,1) ，直线 l:y =kx +m （其中 k ≠0 ）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（A ，B 均与点Q 不重合）．设直线QA ，QB 的斜率分别为 k 1,k 2 ， k 1k 2=−12 .直线l 是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由； 18.椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 12 ，且过点 (−1,32) .（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P(x,y) 为椭圆 C 上任一点， F 为其右焦点，点 P ′ 满足 PP ′⇀=(4−x,0) .①证明： |PP ′⇀||PF ⇀| 为定值； ②设直线 y =12x +m 与椭圆 C 有两个不同的交点 A 、B ，与 y 轴交于点 M .若 |AF|,|MF|,|BF| 成等差数列，求 m 的值. 19.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2 √2 。
高考数学平面解析几何专项训练(100题-含答案)
高考数学平面解析几何专项训练（100题-含答案）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点12(1,0),(1,0)F F -，点M 满足12MF MF +=记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点T 在直线2x =上，过T 的两条直线分别交C 于,A B 两点和,P Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】(1)2212x y +=(2)0【解析】【分析】（1）根据122MF MF +=，利用椭圆的定义求解；（2）设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立，利用参数的几何意义求解.(1)解：因为122MF MF +=，所以点M 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆，则21,1a c b ===，所以椭圆的方程是2212x y +=；(2)设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立()()2222cos 2sin 4cos 4sin 420t m t m θθθθ+++++=，由参数的几何意义知：12,TA t TB t ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m t t θθθ++⋅=-=-+-，设直线PQ 的参数方程为：()2cos ,sin x y m λαλλα=+⎧⎨=+⎩为参数,则12,TP TQ λλ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m λλααα++⋅=-=-+-，由题意得：222242422cos 2cos m m θα++-=---，即22cos cos θα=，因为αθ≠，所以cos cos θα=-，因为0,0θπαπ<<<<，所以θαπ+=，所以直线AB 的斜率tan θ与直线PQ 的斜率tan α之和为0.2．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，点(),N n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =+(2)152522n n n T ++=-【解析】【分析】（1）根据斜率公式可得出()222n S n n n =+≥，可知13S =满足()222n S n n n =+≥，可得出22n S n n =+，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得1212n n n c ++=，利用错位相减法可求得n T .(1)解：由13a =，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上，知1111n S S n n -=-，即()222n S n n n =+≥.当1n =时，113S a ==也符合上式，故22n S n n =+.当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦；13a =也满足上式，故21n a n =+.(2)解：112122n n n n a n c +++==.则2341357212222n n n T ++=++++ ，所以，3412135212122222n n n n n T ++-+=++++ ，上式-下式得1232211113111213214212422224212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎝⎭- 252542n n ++=-，因此，152522n n n T ++=-.3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点(3,1).(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B ，P 三点在椭圆C 上，O 为原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，且1213k k ⋅=-，若OP OA OB λμ=+，证明：221λμ+=.【答案】(1)221124x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由条件可得c a22911a b +=，222c b a +=，解出即可；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，由条件可得012012x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，12123x x y y =-，然后将01212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩代入椭圆方程可得2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后可得答案.(1)因为ca=22911a b +=，222c b a +=所以可解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程221124x y +=.(2)设()()()112200,,,,,A x y B x y P x yOP OA OB λμ=+ ，012012x x x y y y λμλμ=+⎧∴⎨=+⎩()()222212120011124124x x y y x y λμλμ+++=∴+= 即2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222112211124124x y x y +=+= ，，即22121221124x x y y λμλμ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭又1212121133y y k k x x ⋅=-∴=- ，即12123x x y y =-，221λμ∴+=4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ､B 分别为椭圆C 的右顶点､上顶点，F 为椭圆C的右焦点，椭圆C 的离心率为12，ABF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆C 上的动点（不是顶点），点P 与点M ，N 分别关于原点､y 轴对称，连接MN 与x 轴交于点E ，并延长PE 交椭圆C 于点Q ，则直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为32-【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可得到a,b,c 的关系，再结合ABF 的面积可得到()a c b -=，由此解得a,b ，可得答案.（2）设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积，代入化简可得答案.(1)由题意得12c a =，则2a c =，b =.ABF 的面积为()1322a cb -=，则()a c b -将2a c =，b =代入上式，得1c =，则2a =，b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由题意可知直线PQ 的斜率一定存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,M x y --，()11,N x y -，()1,0E x -，联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=，∴122834kmx x k +=-+，∴()12122286223434km m y y k x x m k m k k ⎛⎫+=++=-+= ⎪++⎝⎭，∴21212263348434MQmy y k k km x x kk ++===-+-+，112PEPQ y k k k x ===，∵11112222MP PE y yk k k x x ====，∴33242MP MQ k k k k ⋅=-⨯=-∴MP MQ k k ⋅为定值32-.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系，综合考查了学生分析问题，解决问题以及计算方面的能力和综合素养，解答的关键是理清解决问题的思路，并能正确地进行计算.5．已知圆M 过点()1,0，且与直线1x =-相切.(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,0P 作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '.问A B '是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】(1)24y x =(2)()2,0-【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义计算可得；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,A x y '-，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再表示出直线A B '的方程，将12y y +、12y y 代入整理即可得解；(1)解：由题意知动点M 的轨迹C 是以(0,0)O 为顶点，()1,0为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动圆圆心M 的轨迹方程为：24y x =；(2)解：设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y 不妨令21y y >，则()11,A x y '-，联立直线l 与抛物线方程得224x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2480y ty --=，则124y y t +=、128y y =-，则直线A B '的方程为()()211121y y y y x x x x +--=--，即()()21212121x x y x y y y x y x -+=+-，则()()()()2121212122ty ty y ty y y y x y ty -++=+-+，()()()2121211222t y y y y y x ty y y y -=+--+，即()()21211222y y y x ty y y y =+--+，所以()42824y tx t t ⋅=-⨯--⨯，即()2y t x =+，令200x y +=⎧⎨=⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线A B '恒过定点()2,0-；6．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222104x yb b+=>的左、右焦点，过1F 的直线与C 交于A ，B两点，且22::3:4:5AF AB BF =.(1)求C 的离心率；(2)设M ，N 分别为C 的左、右顶点，点P 在C 上（P 不与M ，N 重合），证明：MPN MAN ∠≤∠.【答案】(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，由勾股定理的逆定理可得290BAF ∠=︒，再根据椭圆的定义可求出m 的值，从而可求出12,AF AF 的值，则可得点A 是椭圆短轴的一个端点，进而可求出离心率，（2）由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠，则可得0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，然后求出tan tan αβ+，tan tan αβ，再利用正切的两角和公式可得02tan()y αβ+=，由正切函数可求出αβ+的最小值，从而可求出()MPN παβ∠=-+的最大值，进而可证得结论(1)由()222104x y b b+=>，得24a =，得2a =，由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，则22222AF AB BF +=，所以290BAF ∠=︒，因为223451248AF AB BF m m m m a ++=++===，所以23m =，所以22AF =，所以122422AF a AF =-=-=，所以12AF F △为等腰直角三角形，所以点A 是椭圆短轴的一个端点，所以b c =，因为222224b c b a +===，得b c =所以椭圆的离心率为2c e a ==(2)由（1）可得椭圆方程为22142x y +=，则(2,0),(2,0)M N -,因为点A是椭圆短轴的一个端点，所以不妨设A ,由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠,则0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，2200142x y +=，所以2200002200001tan tan 22422y y y y x x x y αβ⋅=⋅===+--，00002200000442tan tan 2242y y y y x x x y y αβ+=+===+--，所以0tan tan 4tan()1tan tan y αβαβαβ++==-，所以当0y =tan()αβ+取得最小值由（1）可知290BAF ∠=︒，所以()0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当tan()αβ+取得最小值时，αβ+取得最小值，即点P 与点A 重合时，αβ+取得最小值，此时()MPN παβ∠=-+取得最大，所以MPN MAN∠≤∠7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为，且过点)P(1)求C 的方程：(2)设直线()0y kx m m =+>交y 轴于点M ，交C 于不同两点A ，B ，点N 与M 关于原点对称，BO AN ⊥，Q 为垂足.问：是否存在定点M ，使得·NQ NA 为定值？【答案】(1)221102x y +=(2)存在【解析】【分析】（1）利用待定系数法求方程；（2）联立方程组，结合韦达定理可得直线恒过定点，进而求解.(1)依题意知2a =a =所以C 的方程可化为222110x y b+=，将点)P代入C 得251110b +=，解得22b =，所以椭圆方程为221102x y +=；(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立221102x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()22215105100k x kmx m +++-=，()()()222104155100km k m ∆=-+->，解得22210m k <+，1221015km x x k -+=+，212251015m x x k -=+，注意到Q ，N ，A 三点共线，NQ NA NQ NA ⋅=⋅，又()NQ NA NB BQ NA NB NA ⋅=+⋅=⋅()()()()1212121222x x y m y m x x kx m kx m =+++=+++()()()()222222212122215102012441515k m k mkx xmk x x mm kk+-=++++=-+++()222221510510415k m m m k--+-=++当()2215105510m m --=-，解得1m =±，因为0m >，所以1m =，此时1NQ NA ⋅=-，满足0∆>，故存在定点()0,1M ，使得1NQ NA ⋅=-等于定值1.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>,4a M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点是22y x =的抛物线上一点，H 为直线y a =-上任一点，A ，B 分别为椭圆C 的上，下顶点，且A ，B ，H 三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线HA ，HB 与椭圆C 的另一交点分别交于点D ，E ，求证：直线DE 过定点.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率求出,a c 的关系式，再由,4a M b ⎛⎫⎪⎝⎭为抛物线22=y x 上的点，结合222a b c =+，即可求出椭圆C 的方程.（2）设点()(),20H m m -≠，求得HA ，HB 的方程，与椭圆联立求得,D E 坐标，写出直线DE 的方程，即可求出DE 恒过的定点.(1)由题意知，222224c aa b a b c⎧=⎪⎪⎪=⨯⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设点()(),20H m m -≠，易知()0,1A ，()0,1B -，∴直线HA 的方程为31y x m =-+，直线HB 的方程为11y x m=--.联立223114y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴22436D m x m =+，223636D m y m -=+，同理可得284E m x m -=+，2244E m y m -=+，∴直线DE 的斜率为21216m k m-=，∴直线DE 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即2121162m y x m -=-，∴直线DE 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.9．已知点(1,2)M -在抛物线2:2(0)E y px p =>上.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线12,l l 都过点12(2,0),,l l 的斜率之积为1-，且12,l l 分别与抛物线E 相交于点A ，C 和点B ，D ，设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，求证：直线MN 恒过定点.【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入求解抛物线方程；（2）设出直线方程，表达出,M N 的坐标，求出直线MN 的斜率，利用直线斜率之积为-1，求出直线MN 恒过的定点，从而证明出结论.(1)∵点(1,2)M -在抛物线2:2E y px =上，∴2(2)2p -=，∴解得:2p =，∴抛物线E 的方程为：24y x =.(2)由12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和点B ，D ，且由条件知：两直线的斜率存在且不为零.∴设1122:2,:2l x m y l x m y =+=+由214,2y x x m y ⎧=⎨=+⎩得：21480y m y --=设()()1122,,,A x y C x y ，则1214y y m +=，∴12M y m =，又2122M x m =+，即()21122,2M m m +同理可得：()22222,2N m m +∴()()212212212212222MN m m k m m m m -==++-+，∴()211121:222MN y m x m m m -=--+即MN ：()1212121y x m m m m =--⎡⎤⎣⎦+，∵12,l l 的斜率之积为1-，∴12111m m ⋅=-，即121m m =-，∴121:(4)MN y x m m =-+，即直线MN 过定点(4,0).10．已知抛物线()20x ay a =>，过点0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线12,l l ，设12,l l 分别与抛物线相交于,A B 及,C D 两点，当A 点的横坐标为2时，抛物线在点A 处的切线斜率为1.(1)求抛物线的方程；(2)设线段,AB CD 的中点分别为,E F ，O 为坐标原点，求证直线EF 过定点.【答案】(1)24x y =；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）结合导数知识，利用切线斜率构造方程可得a ，由此可得抛物线方程；（2）将直线AB 方程代入抛物线方程中，结合韦达定理可确定中点坐标，同理可得CD中点坐标，利用直线方程两点式可得直线EF 方程，化简可知其过定点()0,4.(1)由2x ay =得：21y ax =，则2y x a '=，241x y a=∴=='，解得：4a =，∴抛物线方程为：24x y =；(2)由题意知：直线12,l l 的斜率都存在且都不为零，由（1）知：()0,2M ，设直线:2AB y kx =+，代入24x y =得：2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，()21212444y y k x x k ∴+=++=+，AB ∴中点()22,22E k k +；12l l ⊥ ，1:2CD y x k ∴=-+，同理可得：CD 中点222,2F k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；EF ∴的方程为：()()222222222222k k y k x k k k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭-+=-+，化简整理得：14y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当0x =时，4y =，∴直线EF 恒过定点()0,4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.11．在直角坐标系xOy 中，曲线:C 221x y +=经过伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩后的曲线为1C ，以x 轴正半轴为级轴，建立极坐标系.曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若1C 上的一点P 到2C 的距离的最大，求距离的最大值及P 点的坐标.【答案】(1)1C ：2213y x +=，2C ：40x y +-=；(2)max d =，1322P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】()1直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；()2利用三角函数关系式的变换和点到直线的距离公式的应用求出结果.(1)解：由伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得，代入曲线:C 221x y +=得：1C 的普通方程为2213y x +=，由极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin y ρθ=，cos x ρθ=可得：2C 的直角坐标方程为40x y +-=.(2)解：直线2C 的普通方程为40x y +-=，设1C上的为点()cos P θθ，到2C 的距离为d =当且仅当()223k k Z πθπ=-+∈时，取得max d =，又因为1cos 23y 2x θθ⎧==-⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点P 的坐标为1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭.12．已知椭圆C ：2222+x y a b=1（a >b >0）经过点A （0，1），且右焦点为F （1，0）.(1)求C 的标准方程；(2)过点（0，12）的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知得,c b ，再求得a ，即得椭圆方程；（2）由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由直线,AP AQ 方程求出,M N 坐标，求出以MN 为直径的圆的方程，然后代入1212,x x x x +求得圆方程的常数项，从而可得y 的定点坐标．(1)由题意可得1,1c b ==从而22a =.所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线l 代入椭圆方程得()2242430k x kx ++-=，所以12122243,,4242k x x x x k k --+==++，直线AP 的方程为1111y y x x -=+，直线AQ 的方程为2211y y x x -=+.可得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，以MN 为直径的圆方程为，21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()221212121201111x x x x x y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.①因为()()()1212122121212124111142122x x x x x x y y k x x k x x kx kx ==---++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22212612842k k k -==--+++.所以在①中令0x =，得26y =，即以MN 为直径的圆过y轴上的定点(0,，13．已知抛物线C ：()220y px p =>，过点()2,0R 作x 轴的垂线交抛物线C 于G ，H 两点，且OG OH ⊥（O 为坐标原点）.(1)求p ；(2)过()2,1Q 任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AR 交抛物线C 于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线C 于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.【答案】(1)1p =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知2RG OR ==，不妨设()2,2G ，代入抛物线方程中可求出p 的值，（2）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，则可表示出直线AB ，AM ，BN 的方程，再由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-，再表示出直线MN 的方程，结合前面的式子化简可得结论(1)由题意知，2RG OR ==.不妨设()2,2G ，代入抛物线C 的方程，得44p =解得1p =.(2)由（1）知，抛物线C 的方程为22y x =.设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的斜率为12221212222AB y y k y y y y -==+-.所以直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，即()121220x y y y y y -++=.同理直线AM ，BN ，MN 的方程分别为()131320x y y y y y -++=，()242420x y y y y y -++=，()343420x y y y y y -++=，由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-.又直线MN 的方程为()343420x y y y y y -++=，即1212441620x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.所以直线MN 的方程为()1212280y y x y y y +++=.把()121240y y y y -++=代入()1212280y y x y y y +++=，得()12122480y y x y y y +++=，()122)880(y y x y y +++=，所以由20x y +=，880y +=可得2x =，1y =-.所以直线MN 过定点()2,1-.14．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，A 两点，且PF λFA = .(1)若λ=4，求直线l 的方程；(2)设点E (a ，0)，直线PE 与抛物线C 的另一个交点为B ，且PE EB μ=.若λ=4μ，求a的值.【答案】(1)4340x y --=或4340x y +-=(2)4【解析】【分析】（1）由4PF FA =得014y y =-，设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立，结合韦达定理，即得解；（2）由PF λFA = 得01y y λ=-，结合014y y =-，可得204y λ=，再由PE EB μ= 得02y y μ=-，设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立由韦达定理可得024y y a =-，故204y aμ=，又4λμ=，代入运算即得解(1)易知焦点F (1，0)，设P (0x ，0y )，A (1x ，1y )由4PF FA =得014y y =-设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立得2440y my --=，其中216160m ∆=+>，所以014y y =-由①②可得0141y y =⎧⎨=-⎩或0141y y =-⎧⎨=⎩又014y y m +=，所以34m =或34m =-所以直线l 的方程为314x y =+或314x y =-+.化简得4340x y --=或4340x y +-=(2)由PF λFA =得01y y λ=-又014y y =-可得204y λ=设点B (2x ，2y )，由PE EB μ= 得02y y μ=-设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立得2440y ny a --=.所以216()0n a ∆=+>，024y y a=-故204y aμ=又4λμ=，所以2200444y y a=⋅，考虑到点P 异于原点，所以00y ≠，解得4a =此时2216()16(4)0n a n ∆=+=+>所以a 的值为415．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:136x y C -=的右焦点为F ，T 为直线:1l x =上一点，过F 作TF 的垂线分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，交l 于点A ．(1)证明：直线OT 平分线段PQ ；(2)若3PA QF =，求2TF 的值．【答案】(1)证明见解析(2)12+【解析】【分析】（1）设直线PQ 的方程为3x ty =+，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段PQ 的中点N 的坐标，计算得出ON OT k k =，证明出O 、T 、N 三点共线，即可证得结论成立；（2）由3PA QF =得3PA QF = ，可得出1238x x -+=，变形可得出()()12212184384x x x x x x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相乘结合韦达定理可求得2t 的值，再利用两点间的距离公式可求得2TF 的值.(1)解：依题意，3F x ==，即()3,0F ，设()1,2T t ，则直线PQ 的方程为3x ty =+，由22326x ty x y =+⎧⎨-=⎩得()222112120t y ty -++=，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()222210Δ14448210t t t ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，故212t ≠，由韦达定理可得1221221t y y t +=--，1221221y y t =-，所以()121226621x x t y y t +=++=--，又直线PQ 分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，所以()()()22121212122963339021t x x ty ty t y y t y y t +=++=+++=-<-，故212t >所以PQ 中点为2236,2121t N t t ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以2ON OT k t k ==，故O 、T 、N 三点共线，即直线OT 平分线段PQ ．(2)解：依题意，由3PA QF =得3PA QF =，则()12133x x -=-，即1238x x -+=，所以()12284x x x ++=，①，()121384x x x +-=，②①×②得()()21212123166416x x x x x x +++-=，所以()22222366963166416212121t t t t+⨯-⨯-=-⨯---，解得28374t +=，或28374t -=（舍去），此时，224412t TF =+=+【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．已知抛物线2:4E y x =，F 为其焦点，O 为原点，A ，B 是E 上位于x 轴两侧的不同两点，且5OA OB ⋅=．(1)求证：直线AB 恒过一定点；(2)在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)在（2）的条件下，当F 为ABC 的内心时，求ABC 重心的横坐标．【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)173【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，结合向量的数量积，转化求解直线AB 的方程，推出结果．（2）在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等即CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，根据斜率和为零，从而可得结果；（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，由题意可得32AC CF AN NF ==，坐标化，结合点在抛物线上可得点的坐标，从而得到结果.(1)设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，则124y y m +=，124y y n =-，由5OA OB ⋅= 得：21212()516y y y y +=，所以：1220y y =-或124y y =（舍去），即4205n n -=-⇒=，所以直线AB 的方程为5x my =+，所以直线AB 过定点(5,0)P ．(2)由（1）知，直线AB 过定点(5,0)P 可设直线AB 的方程为5x my =+，此时124y y m +=，1220y y =-，设x 轴上定点C 坐标为(,0)t ，要使F 到直线AC 和BC 的距离相等，则CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，故0AC BC k k +=，即21210y yx t x t+=--，∴()()21120y x t y x t -+-=，∴()()1212250my y t y y +-+=，∴()40450m m t -+-=对任意m 恒成立，∴510t -=，5t =-，故在x 轴上有一定点C (5,0)-，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，∵F 为ABC 的内心，∴32AC CF AN NF ==，32=，即2211126250x y x +-+=，又2114y x =，∴21122250x x -+=，同理22222250x x -+=，∴12,x x 是方程222250x x -+=的两个根，∴1222x x +=，∴三角形重心的横坐标为1251733x x +-=.17．已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线()()10y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于Q ，求MN PQ的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2)(4,【解析】【分析】（1）由顶点和离心率直接求,,a b c 即可；（2）先联立直线和椭圆方程，借助弦长公式表示出弦长MN ，再求出垂直平分线和Q 坐标，表示出PQ ，最后分离常数求取值范围即可.(1)由题意知2222,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩可得1,2a b ==，故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222418440k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222844,4141k k x x x x k k -+=⋅=++，()121222241k y y k x x k -+=+-=+，线段MN 的中点为2224,4141k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，线段MN 的垂直平分线方程为22214()4141k k y x k k k --=--++，令0y =，得22341kx k =+，所以223,041k Q k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又(1,0)P ，则22223114141k k PQ k k +=-=++,又12MN x x =-=所以2241141MN k k PQk +==++220,1331k k ≠∴<-<+ ，故MN PQ的取值范围为(4,.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的关系式求解；（2）关键在于联立直线和椭圆方程，依次求出垂直平分线和弦长MN 、PQ ，转化成关于k 的代数式求范围即可.18．定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线C 上一点M ，且与曲线C 在点M 处的切线垂直的直线称为曲线C 在点M 处的法线．设点()()000,0M x y y >为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点．(1)求抛物线C 在点M 处的切线的方程（结果不含0x ）；(2)求抛物线C 在点M 处的法线被抛物线C 截得的弦长||AB 的最小值，并求此时点M 的坐标．【答案】(1)002y py x y =+(2)；()p 【解析】【分析】（1）先化简求导确定切线斜率，再按照在点处的切线方程进行求解；（2）先联立法线和抛物线方程，借助弦长公式表示弦长，最后换元构造函数，求导确定最小值.(1)因为点()()000,0M x y y >在抛物线上方，所以由2:2(0)C y px p =>得y =py y'=，所以在点M 处的切线斜率0y y pk y y ='==，所求切线方程为000()py y x x y -=-，又202y x p=，故切线方程为2000()2y p y y x y p -=-，即002y p y x y =+.(2)点M 处的法线方程为2000()2y y y y x p p-=--，即220022y p p x y y p +=-+.联立抛物线2:2(0)C y px p =>，可得()2232000220y y p y y p y +-+=，可知0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，()2221212002,2p y y y y y p y +=-⋅=-+，所以322212202()y p AB y y y +⋅-=.令200t y =>，则3222()(0)t p AB t t +=>，令3222()()(0)t p f t t t +=>，1312222222223()()()(2)2()2t p t t p t p t p f t t t +⋅-++⋅-'=⨯=，所以()f t 在()20,2p 单调递减，在()22,p +∞单调递增，所以()2min ()2f t f p ==，即min AB =，此时点M的坐标为()p .【点睛】（1）关键在于化简出0y >时的抛物线方程，借助求导确定切线斜率；（2）写出法线方程，联立抛物线求弦长是通用解法，关键在于换元构造函数之后，借助导数求出最小值.19．已知点()11,0F -，()21,0F ，M 为圆22:4O x y +=上的动点，延长1F M 至N ，使得1MN MF =，1F N 的垂直平分线与2F N 交于点P ，记P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)过2F 的直线l 与Γ交于,A B 两点，纵坐标不为0的点E 在直线4x =上，线段OE 分别与线段AB ，Γ交于,C D 两点，且2OD OC OE =⋅，证明：AC BC =.【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线和三角形中位线性质可证得12124PF PF F F +=>，可知P 点轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程；（2）由已知可知24D C x x =；当l 斜率不存在时显然不成立；当l 斜率存在时，设l 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可得AB 中点横坐标；设():0OE y k x k ''=≠，与直线l 和椭圆方程联立可求得34k k'=-，由此可整理得到C x ，与AB 中点横坐标相同，由此可得结论.(1)连接1,MO PF，PM 是1NF 的垂直平分线，1PF PN ∴=，1222PF PF PN PF NF ∴+=+=；,M O 分别为112,NF F F 中点，224NF MO ∴==，12124PF PF F F ∴+=>，P ∴点轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a =，1c =，23b ∴=，P ∴点轨迹Γ的方程为：22143x y +=；(2)2OD OC OE =⋅ ，即OD OE OC OD =，D EC Dx x x x ∴=，由题意知：0C x >，4E x =，24D C x x ∴=，①当直线l 斜率不存在时，即:1l x =，此时1C x =，2D x <，此时24D C x x =不成立；②当直线l 斜率存在时，设():1l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22223484120k x k x k +-+-=，2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，AB ∴中点的横坐标为21224234x x k k +=+；设直线OE 的方程为：()0y k x k ''=≠，由()1y k x y k x ='=⎧⎨-⎩得：kx k k ='-，即C k x k k ='-；由22143y k xx y =⎧='⎪⎨+⎪⎩得：221234x k ='+，即221234D x k ='+；由24D C x x =得：212434k k k k =''+-，整理可得：34k k '=-，2122434324C x x kk x k k k+∴===++，C ∴为线段AB 的中点，AC BC ∴=.【点睛】关键点点睛：本题考查定义法求解轨迹方程、直线与椭圆综合应用问题；本题证明C 为AB 中点的关键是能够通过已知等式得到,C D 两点横坐标之间满足的等量关系，进而表示出AB 中点横坐标和C 点横坐标，证明二者相等即可.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率2e =，P为椭圆上一动点，12PF F △面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM 交椭圆于点N ，O 为坐标原点.证明：OM ON ⋅为定值；(3)平面内到两定点距离之比是常数()1λλ≠的点的轨迹是圆.椭圆E 的短轴上端点为A ，点Q 在圆228x y +=上，求22QA QP PF +-的最小值.【答案】(1)22142x y +=；(2)见解析；4.【解析】【分析】（1）结合离心率和12PF F △面积的最大值列出关于,,a b c 的方程，解方程即可；（2）设直线CM 方程，写出点M 坐标，联立椭圆方程，求点N 坐标，通过向量数量积计算即可；（3）设点R 坐标，借助点Q 在圆228x y +=上，将2QA 转化成RA ，再借助椭圆定义将2PF 转化成14PF -，最后通过1,,R P F 三点共线求出最小值.(1)当P 为短轴端点时，12PF F △的面积最大，2bc =，222222,c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===，故椭圆E 的方程为22142x y +=.(2)由（1）知，()2,0,(2,0)C D -,设直线():2CM y k x =+，11(,)N x y ，,(2,4)MD CD M k ⊥∴ ，联立221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()22222218840k x k x k +++-=，由21284221k x k --=+得2122421k x k -=+，1124(2)21ky k x k =+=+，222244(,)2121k k N k k -∴++,2222442442121k kOM ON k k k -⋅=⨯⨯++ ，故OM ON ⋅为定值4.(3)由题意(A ，设()(0,),,R m Q x y ，使2QA QR =，()()22222,4QR x y m QAx y +-==+，整理得222282833m m x y y --++=，又点Q 在圆228x y +=上，20,883m =∴⎨-⎪=⎪⎩解得m =，(0,R 由椭圆定义得124PF PF =-，2112(4)4QA QP PF QR QP PF QR QP PF +-=+--∴=++-，当1,,R P F三点共线时，(10,,(R F 22QA QP PF +-∴4.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的方程；（2）关键在于设出直线方程，联立得出点N 坐标；（3）关键在于利用题目中给出的圆的定义将2QA 转化成RA ，再结合椭圆定义，将问题简化成共线问题.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，P 为椭圆C 上的一个动点，过点E0）作OP 的平行线交椭圆C 于M ，N 两点，问：是否存在实数t （t ＞0），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)存在，12t =【解析】【分析】（1）由题意可得2a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程中可求出2b ，从而可求得椭圆的方程，（2）①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =，将直线方程代入椭圆方程中可求出22,x y ，则可得2OP ，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =，将直线方程代入椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，再利用两点间的距离公式表示出||,||EM EN ，再计算||||EM EN 与2OP 比较可求出t 的值，②当OP 的斜率不存在时，可得||OP =MN的方程为x ||||EM EN 的值，进而可求出t (1)由题意可得24a =，所以2a =．因为点（1，32）在椭圆C 上，所以221914a b +=，解得23b =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2)①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =．联立方程，得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得221234x k =+，2221234k y k =+．解得()2222221211212||343434k k OP k k k+=+=+++，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =-．联立方程，得(22143y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩化简，得()22223412120k x x k +=+-=．因为点E0）在椭圆内部，所0∆>，221213221212,3434k x x x x k k-+=⋅=++，所以1||EM x =-．同理可得2||EN x =所以()(())22121212||||113EM EN kx xk x x x x ⋅=+=+⋅++()()22222223112122413343434k k kk k k k +-=+⋅-+=+++，假设存在实数(0)t t >），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列，则22||||||EM EN t OP ⋅=．所以()()22222311213434k k tk k ++=⋅++．解得214t=．四为1t >，所以12t =，②当OP 的斜率不存在时，||OP =MN 的方程为x =x =22143x y +=，得234y =．所以||||2EM EN ==，当||,||,||EM t OP EN 构成等比数列时，22||||||EM EN t OP ⋅=，即2334t =．因为0t >，所以12t =．综上所述，存在实数12t =，使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为()cos sin 3m m ρθθ++=l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB =CD .【答案】(1)2212x y +=，30mx y m ++=；(2)4.【解析】【分析】（1）消参法求曲线C 的普通方程，公式法求直线l 的直角坐标方程.（2）由（1）所得普通方程，结合圆中弦长、半径、弦心距的几何关系求圆心到直线l 的距离，再利用点线距离公式列方程求参数m ，即可得直线的倾斜角大小，由AB 、CD 的关系求CD 即可.(1)由题意，消去参数α，得曲线C 的普通方程为2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()cos sin 3m m ρθθ++得直线l的直角坐标方程为30mx y m ++=.(2)设圆心到直线l：30mx y m ++=的距离为d，则AB =3d =.3=，解得3m =-.所以直线l的方程为60x +=，则直线l 的倾斜角为30θ=︒.所以4cos30AB CD ==︒.23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线340x y ++=与圆1C ：222x y r +=相切，另外，椭圆2C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于C ，D 两点．且1CD =．(1)求圆1C 的方程与椭圆2C 的方程；(2)经过圆1C 上一点P 作椭圆2C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆1C 相交于M ，N 两点（异于点P ），求△OAB 的面积的取值范围．【答案】(1)225x y +=，2214x y +=；(2)4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r ，即可得圆1C 的方程，根据椭圆离心率、22b CD a=及椭圆参数关系求出a 、b 、c ，即可得椭圆2C 的方程.（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，讨论直线PA ，PB 斜率存在性，则直线PA 为()111y k x x y =-+、直线PB 为()222y k x x y =-+，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程0∆=求1k 、2k ，进而得直线PA 为1114x x y y +=、直线PB 为2214x xy y +=，结合P 在直线PA ，PB 上有AB 为0014x xy y +=，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得0OAB S = .(1)由题设，圆1C ：222x y r +=的圆心为()0,0，因为直线340x y ++=与圆1C相切，则r ==所以圆1C 的方程为225x y +=，因为椭圆2Cc e a ==c =，由221b CD a==，则22a b =，又222a b c =+，所以22324a a a =+，解得2a =，1b =，所以椭圆2C 的方程为2214x y +=．综上，圆1C 为225x y +=，椭圆2C 为2214x y +=.(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ．当直线PA ，PB 斜率存在时，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则直线PA 为()111y k x x y =-+，直线PB 为()222y k x x y =-+．由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y 得：()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--=．所以()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦．令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=，则11111122111444x y x y x k x y y --=-==-，所以直线PA 为()11114x y x x y y -=-+，化简得：22111144x x y y y x +=+，即1114x x y y +=．经验证，当直线PA 斜率不存在时，直线PA 为2x =或2x =-也满足1114x xy y +=．同理，可得直线PB 为2214x xy y +=．因为()00,P x y 在直线PA ，PB 上，所以101014x x y y +=，202014x xy y +=．综上，直线AB 为0014x xy y +=．由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得：()22200035816160y x x x y +-+-=．所以01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+．所以12AB x =-=)20203135y y +==+．又O 到直线AB的距离d ==所以)20200311235OABy S y +=⋅+ t =，[]1,4t ∈，则24444OAB t S t t t∆==++，又[]44,5t t+∈，所以△OAB 的面积的取值范围为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】关键点点睛：第二问，设点及直线PA ，PB 的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA ，PB 的方程，由P 在直线PA ，PB 上求直线AB 的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围.24．已知点A ，B 是抛物线x 2=2py (p 为常数且p >0)上不同于坐标原点O 的两个点，且0OA OB ⋅= .(1)求证：直线AB 过定点；(2)过点A 、B 分别作抛物线的切线，两切线相交于点M ，记 OMA 、 OAB 、 OMB 的面积分别为S 1、S 2、S 3;是否存在定值λ使得22s =λS 1S 3?若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，4λ=【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB 方程为y kx t =+，代入抛物线方程中，消去y ，。
高考平面解析几何试题汇编(新课标)
平面解析几何（新课标）一、选择题1.（07）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ）Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =·2. （08）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A. （41，－1）B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）3.(09)双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（A ）（B ）2 （C （D ）14.（10）已知双曲线E 的中心为原点，)0,3(F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A) 22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -= 5.（11）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）36.（12）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率()A 12 ()B 23 ()C 34()D 457.（12）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 88.（13I ）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=9.（13I ）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为)11(-,，则E 的方程为（A ）1364522=+y x （B ）1273622=+y x (C)1182722=+y x （D ）191822=+y x 10.（13II ）设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为,F 点M 在C 上，,5=MF 若以MF 为直径的圆过点),2,0(E 则C 的方程为（A ）x y x y 8,422== (B)x y x y 8,222==（C ）x y x y 16,422== （D ）x y x y 16,222==11.（13II ）已知点)1,0(,0,1(),0,1(C B A ）-直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ） )1,0( (B)211,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ( C) 211,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12.(14I)已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A. 3B. 3C. m 3D. m 313.(14I)已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若FQ PF 4=，则=QF （ ）A. 27B. 3C. 25D. 214.（14II ）设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）3393 C. 6332 D. 9415. (15I)已知()00,y x M 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则0y 的取值范围是（A ）（（B ）（-（C ）（3-，3） （D ）（3-，3） 16.（15II ）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2 CD二、填空题1. （07）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．2.（08）双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F.过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为___3. (09)设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点.若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________.4.（10）过点A(4,1)的圆C 与直线01=--y x 相切于点B （2,1），则圆C 的方程为____5.（11）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为6.(15I)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .三、解答题1.（07）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？假如存在，求k 值；假如不存在，请说明理由．2.（08）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2.F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25||3MF =.（1）求C 1的方程；（2）平面上的点N 满意12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA ·OB =0，求直线l 的方程.3.（09）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xoy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OPOM =λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 4.（10）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线与E相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列.（1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)P -满意PA PB =，求E 的方程.5.（11） 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满意,,//BA MB AB MA OA MB ⋅=⋅M 点的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值.6.(12)设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点.（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同始终线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.7.(13I)已知圆M ：1)1(22=++y x ，圆N ：9)1(22=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB .8.(13II)平面直角坐标系xoy 中，过椭圆M ：22221x y a b+=()0>>b a 右焦点的直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12(Ι)求M 的方程;（Ⅱ）C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值.9. (14I)已知点A (0,2),椭圆E:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32；F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点.当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.10. (14II)设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求.,b a 11. (15I)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.12.(15II)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．。
2021-2023年高考数学真题分类汇编：平面解析几何解答题
专题08平面解析几何（解答题）近三年高考真题1．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点1(0,2的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于【解析】（1）设点P 点坐标为(,)x y ，由题意得||y ，两边平方可得：22214y x y y ，化简得：214y x，符合题意．故W 的方程为214y x．（2）解法一：不妨设A ，B ，C 三点在W 上，且AB BC ．设21(,)4A a a ，21(,)4B b b ，21(,4C c c ，则22(,)AB b a b a ，22(,)BC c b c b．由题意，0AB BC，即2222()()()()0b a c b b a c b ，显然()()0b a c b ，于是1()()0b a c b ．此时，||b a ．||1c b ．于是{||min b a ，||}1c b ．不妨设||1c b ，则1a b b c，则||||||||AB BC b a c b||b a c b|||b a c b||c a1|b c b c设||x b c，则1()(f x x x 322(1)()x f x x ，又11222222222(1)(31)(1)(21)()x x x x x f x x x．显然，2x为最小值点．故()(2f x f 故矩形ABCD的周长为2(||||)2()AB BC f x ．注意这里有两个取等条件，一个是||1b c，另一个是||b c ，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设A ，B ，D 在抛物线W 上，C 不在抛物线W上，欲证命题为||||2AB AD ．由图象的平移可知，将抛物线W 看作2y x 不影响问题的证明．设(A a ，2)(0)a a ，平移坐标系使A 为坐标原点，则新抛物线方程为22y x ax ，写为极坐标方程，即22sin cos 2cos a ，即2sin 2cos cos a．欲证明的结论为22sin()2cos()sin 2cos 3322||||cos 2cos ()2a a ，也即222sin 2cos ||||cos cos sin sin a a ．不妨设22||||cos sin，将不等式左边看成关于a 的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当22sin 0cos cos a 即sin 2cos a时取得，因此欲证不等式为21cos ||cos sin，即21||cos sin ，根据均值不等式，有2|cos sin |由题意，等号不成立，故原命题得证．2．（2023•上海）已知抛物线2:4y x ，在 上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a ．（1）若A 到抛物线 准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a 时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线 上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线:3l x ，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为Q ．若在P 的位置变化过程中，||4HQ 恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）抛物线2:4y x 的准线为1x ，由于A 到抛物线 准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a ，解得a ；（2）当4a 时，点A 的横坐标为2444，则(4,4)A ，设(,0)B b ，则AB 的中点为4(,2)2b ，由题意可得24242b ，解得2b ，所以(2,0)B ，则402423AB k，由点斜式可得，直线AB 的方程为2(2)3y x ，即2340x y ，所以原点O 到直线AB13；（3）如图，设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t A a H t t a ，则22444AP t a k t a t a，故直线AP 的方程为24()4a y a x t a，令3x ，可得24(3)4a y a t a ，即24(3,(3))4a Q a t a，则24|||(3)|4a HQ t a t a，依题意，24|(3)|44a t a t a恒成立，又24(3)2204a t a a a t a ，则最小值为24a ，即2a ，即2a ，则221244a a a ，解得02a ，又当2a 时，1624442t t，当且仅当2t 时等号成立，而a t ，即当2a 时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(0，2]．3．（2022•上海）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a b，直线:0l x y ， 下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为1(F ，0)、2F ，0)．（1）2a ，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM 中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆 上存在一点P 到l 距离为d ，使12||||6PF PF d ，随a 的变化，求d 的最小值．【解析】（1）由题意可得2,a b c ，22:1,(0,42x y A ，AM ∵的中点在x 轴上，M ，代入0x y 得M ．（2）由直线方程可知B ，①若3cos 5BAM，则4tan 3BAM ，即24tan 3OAF ，234OA OF ，b．②若3cos 5BMA，则4sin 5BMA ，∵4MBA， 34cos()252510MBA AMB ，cos BAMtan 7BAM ．即2tan 7OAF ， 7OA ， 7b ，综上b或27．（3）设(cos ,sin )P a b ，62a ，很明显椭圆在直线的左下方，则62a ，即) ，222a b ∵，) ，)22a ，|sin()|1 ，整理可得(1)(35)0a a ，即513a ，从而58626233d a ．即d 的最小值为83．4．（2022•浙江）如图，已知椭圆22112x y ．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点1(0,2Q 在线段AB上，直线PA ，PB 分别交直线132y x 于C ，D 两点．（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求||CD 的最小值．【解析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点(,)M x y ，则222222||(1)12122111213PM x y y y y y y ，[1y ，1]，而函数211213z y y 的对称轴为1[1,1]11y ，则其最大值为21114411(213111111， 1441211||1111max PM，即点P 到椭圆上点的距离的最大值为121111；（Ⅱ）设直线11221:,(,),(,)2AB y kx A x y B x y ，联立直线AB 与椭圆方程有2212112y kx x y，消去y 并整理可得，22(121)1290k x kx ，由韦达定理可得，121222129,121121k x x x x k k， 22212121222212366161||()4()121121k k x x x x x x k k k，设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，直线111:1y AP y x x ，直线221:1y BP y x x ，联立1111132y y x x y x 以及2211132y y x x y x，可得12341244,(21)1(21)1x x x x k x k x，由弦长公式可得21234124415||1()|||22(21)1(21)1x x CD x x k x k x1212212121225|5|[(21)1][(21)1](21)(21)()1x x x x k x k x k x x k x x66|231555k，当且仅当316k 时等号成立，||CD的最小值为5．5．（2022•北京）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b的一个顶点为(0,1)A，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点(2,1)P 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当||2MN 时，求k的值．【解析】（Ⅰ）由题意得，12bc，1b，c ，2a ，椭圆E的方程为2214x y ．（Ⅱ）设过点(2,1)P 的直线为1(2)y k x，1(B x，1)y，2(C x，2)y，联立得221(2)141y k xx y，即2222(14)(168)16160k x k k x k k，∵直线与椭圆相交， △2222[(168)]4(14)(1616)0k k k k k，0k，由韦达定理得212216814k kx xk，2122161614k kx xk，111ABykx∵， 直线AB为1111yy xx，令0y ，则111xxy，11(1xMy，0)，同理22(1xNy ，0)，1212211212211||||||()|11(2)(2)22x x x x x xMNy y k x k x k x x212112122()11||||(2)(2)x xk x x k22|216162(168)41414k k，2|2k，1|2，4k ．6．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y ．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 在C 上，且120x x ，10y ．过P且斜率为Q且斜率为的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M 在AB 上；②//PQ AB ；③||||MA MB ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】（1）由题意可得ba，2 ，解得1a，b ，因此C 的方程为2213y x ，（2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx m ，(0)k ，将直线PQ 的方程代入2213y x 可得222(3)230k x kmx m ，△2212(3)0m k ，120x x ∵122203kmx x k ，2122303m x x k，230k，1222333x x k ，设点M 的坐标为(M x ，)M y，则1122))M M M M y y x x y y x x ，两式相减可得1212)M y y x x ，1212()y y k x x ∵，1212)()M x x k x x ，解得23M kmX k ，两式相加可得12122())M y y y x x ，1212()2y y k x x m ∵，12122)()2M y x x k x x m ，解得M y ，3M M y x k，其中k 为直线PQ 的斜率；若选择①②：设直线AB 的方程为(2)y k x ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y k x y，解得3x，3y ，同理可得4x4y 234243k x x k ，342123ky y k ，此时点M 的坐标满足(2)3M M M My k x y x k，解得234221()32M k X x x k ，34261()32M k y y y k ，M 为AB 的中点，即||||MA MB ；若选择①③：当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点(2,0)F ，此时不在直线3y x k上，矛盾，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)(0)y m x m ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y m x y，解得3x，3y ，同理可得4x，4y 此时234212()23M m x x x m ，34216()23M my y y m，由于点M 同时在直线3y x k 上，故2362m m k，解得k m ，因此//PQ AB ．若选择②③，设直线AB 的方程为(2)y k x ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y k x y，解得3x，3y ，同理可得4x4y 设AB 的中点(C C x ，)C y ，则234212()23C k x x x k ，34216()23C ky y y k ，由于||||MA MB ，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线1()C C y y x x k上，将该直线3y x k 联立，解得2223M C k x x k ，263M C ky y k ，即点M 恰为AB 中点，故点M 在直线AB 上．（2）解法二：由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①② ③，或选由②③ ①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为0．若选①③ ②，则M 为线段AB 的中点，假设AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ，此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，从而12x x ，已知不符．综上，直线AB 的斜率存在且不为0，直线AB 的斜率为k ，直线AB 的方程为(2)y k x ．则条件①M 在直线AB 上，等价于20000(2)(2)y k x ky k x ，两渐近线的方程合并为2230x y ，联立方程组，消去y 并化简得：2222(3)440k x k x k ，设3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，线段中点为(N N x ，)N y ，则2342223N x x k x k ．26(2)3N N ky k x k ，设0(M x ，0)y ，则条件③||||AM BM 等价于222203030404()()()()x x y y x x y y ，移项并利用平方差公式整理得：3403434034()[2()]()[(2()]0x x x x x y y y y y ，3403403434[2()][2()]0y y x x x y y y x x，00()0N N x x k y y ，3403403434[2()][2()]0y y x x x y y y x x，00()0N N x x k y y ，200283k x ky k ，由题意知直线PM的斜率为QM的斜率为，由1010)y y x x，2020)y y x x，121202)y y x x x ，直线PQ的斜率1201212122)x x x y y m x x x x，直线00:)PM y x x y，即00y y ，代入双曲线的方程为22330x y，即)3y y 中，得0000(()]3y y ，解得P的横坐标为100)]3x y ，同理，2022003()3x y y x ，012002200323x x x x x y x ，03x m y， 条件②//PQ AB 等价于003m k ky x ，综上所述：条件①M 在AB 上等价于200(2)m k ky k x ，条件②//PQ AB 等价于003ky x ，条件③||||AM BM 等价于200283k x ky k ．选①② ③：由①②解得20223k x k 20002843k x ky x k ， ③成立；选①③ ②：由①③解得：20223k x k ，20263k ky k ，003ky x ， ②成立；选②③ ①：由②③解得：20223k x k ，20263k ky k ， 02623x k ， ①成立．7．（2022•上海）已知椭圆222:1(1)x y a a，A 、B 两点分别为 的左顶点、下顶点，C 、D 两点均在直线:l x a 上，且C 在第一象限．（1）设F 是椭圆 的右焦点，且6AFB，求 的标准方程；（2）若C 、D 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD 与直线BC 的交点是否在椭圆 上，并说明理由；（3）设直线AD 、BC 分别交椭圆 于点P 、点Q ，若P 、Q 关于原点对称，求||CD 的最小值．【解析】（1）由题可得(0,1)B ，(,0)F c ，因为6AFB，所以1tan tan 63b AFBc c，解得c ，所以214a ，故 的标准方程为2214x y ；（2）直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上，由题可得此时(,0)A a ，(0,1)B ，(,2)C a ，(,1)D a ，则直线3:1BC y x a ，直线11:22AD y x a ，交点为3(5a ，4)5，满足2223()45()15a a ，故直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上；（3）(0,1)B ，(cos ,sin )P a ，则直线sin 1:1cos BP y x a ，所以sin 1(,1)cos C a，(,0)A a ，(cos ,sin )Q a ，则直线sin :()cos AQ y x a a a，所以2sin (,cos 1D a，所以222222sin cos 4sin cossin 12sin 222222||11cos cos 12222sin cos CD cos sin sin，设tan 2t ，则11||2()21CD t t，因为114a ba b ，所以114411t t t t，则||6CD ，即||CD 的最小值为6．8．（2021•北京）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b的一个顶点(0,2)A ，以椭圆E 的四个顶点围成的四边形面积为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(0,3)P 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 分别与直线3y 交于点M 、N ，当||||15PM PN 时，求k 的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b过点(0,2)A ，则2b ，又因为以四个顶点围成的四边形面积为，所以1222a b，解得a ，故椭圆E 的标准方程为22154x y；（Ⅱ）由题意，设过点(0,3)P ，斜率为k 的直线为直线l ，设直线l 的方程为(3)(0)y k x ，即3y kx ，当0k 时，直线l 与椭圆E 没有交点，而直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，所以0k ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，联立方程组223154y kx x y，可得22(45)30250k x kx ，则△22(30)425(45)0k k ，解得||1k ，所以1212223025,4545k x x x x k k，则221212121222036(3)(3)3()945k y y kx kx k x x k x x k ，121212224(3)(3)()645y y kx kx k x x k，直线AB 的方程为11(2)(2)(0)0y y x x ，即1122y y x x ，直线AC 的方程为22(2)(2)0)0y y x x，即2222y y x x ，因为直线AB 交3y 于点M ，所以令3y ，则112M x x y ，故11(,3)2x M y ，同理可得22(,3)2x N y ，注意到12225045x x k，所以1x ，2x 同号，因为120y ，220y ，所以M x ，N x 同号，故||||||||||M N M N PM PN x x x x ，则1212211212(2)(2)|||||||22(2)(2)x x x y x y PM PN y y y y 1221121212(3)(3)2()||2()4x kx x kx x x y y y y 121212122()||2()4kx x x x y y y y 22222253024545||20364844545kk k k k k k5||k ，故||||5||PM PN k ，又||||15PM PN ，即5||15k ，即||3k ，又||1k ，所以1||3k ，故k 的取值范围为[3 ，1)(1 ，3]．9．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线22(0)y px p 的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且||2MF ．（Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足2||||||RN PN QN ，求直线l 在x轴上截距的取值范围．【解析】（Ⅰ）依题意，2p ，故抛物线的方程为24y x ；（Ⅱ）由题意得，直线AB 的斜率存在且不为零，设直线:(1)AB y k x ，将直线AB 方程代入抛物线方程可得，2222(24)0k x k x k ，则由韦达定理有，242,1A B A B x x x x k，则4A B y y ，设直线1:(1)AM y k x ，其中11A A y k x，设直线2:(1)BM y k x ，其中21B B yk x ，则12(1)(1)(1)(1)0011(1)(1)(1)(1)(1)(1)A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B y y y x y y x y k x x k x k x x k x k k x x x x x x x x，2122244(1)(1)1121A B A B y y k k k x x k k，设直线:2()l y x t ，联立2()(1)y x t y k x ，可得22R k t x k ，则2||||||22R k t k kt x t t k k ，联立12()(1)y x t y k x ，可得1122P k t x k ，则111112||||||22P k t k k t x t t k k ，同理可得，222222,||||22Q Q k t k k tx x t k k，又2||||||RN PN QN ，2112212||||222k k t k k tk kt k k k ，即2222(1)()234k kt k t k k ，22222222(1)343(2)12(2)16161243333()(1)(1)(2)(2)(2)22244t k k k t t k k k k k ，224(21)3(21)t t t t ，即21410t t，解得7t或71)t t ；当直线AB 的斜率不存在时，则直线:1AB x ，(1,2)A ，(1,2)B ，(1,0)M ，直线MA 的方程为1y x ，直线MB 的方程为1y x ，设直线:2()l y x t ，则(12,22)P t t ，2122(,)33t t Q ，(1,22)R t ，(,0)N t ，又2||||||RN PN QN，故22(1)(22)t t 解得t满足(,77,1)(1,) ．直线l 在x轴上截距的取值范围为(,77,1)(1,) ．10．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F ，0)，2F ，0)，点M 满足12||||2MF MF ．记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解析】（1）由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为22221(0,0),1x y a b x a b ，根据题意22222c a c a b，解得14a b c，C 的方程为221(1)16y x x ；（2）（法一）设1(,)2T m ，直线AB 的参数方程为1cos 2sin x t y m t，将其代入C 的方程并整理可得，2222(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m ，由参数的几何意义可知，1||TA t ，2||TB t ，则2212222121216117m m t t sin cos cos，设直线PQ 的参数方程为1cos 2sin x y m，1||TP ，2||TQ ，同理可得，212212117m cos ，依题意，22221212117117m m cos cos，则22cos cos ，又 ，故cos cos ，则cos cos 0 ，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．（法二）设1(,)2T t ，直线AB 的方程为11()2y k x t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设1212x x ，将直线AB 方程代入C 的方程化简并整理可得，22222111111(16)(2)1604k x k tk x k k t t ，由韦达定理有，22211111212221111624,1616k k t t k k tx x x x k k ，又由111111(,),(,)22A x k x k t T t可得11||)2AT x ，同理可得21||)2BT x ，222111221(1)(12)11||||(1)()()2216k t AT BT k x x k，设直线PQ 的方程为233441(),(,),(,)2y k x t P x y Q x y ，设3412x x ，同理可得22222(1)(12)||||16k t PT QT k ，又||||||||AT BT PT QT ，则22122212111616k k k k ，化简可得2212k k ，又12k k ，则12k k ，即120k k ，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．11．（2021•乙卷（文））已知抛物线2:2(0)C y px p 的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF，求直线OQ 斜率的最大值．【解析】（1）由题意知，2p ，24y x ．（2）由（1）知，抛物线2:4C y x ，(1,0)F ，设点Q 的坐标为(,)m n ，则(1,)QF m n，9(99,9)PQ QF m nP 点坐标为(109,10)m n ，将点P 代入C 得21004036n m ，整理得22100362594010n n m ，当0n 时，2100259n n K m n，当0n 时，2101019259325n n K m n n n，当且仅当925n n ，即35n 时，等号成立，取得最大值．故答案为：13．12．（2022•甲卷（文））设抛物线2:2(0)C y px p 的焦点为F ，点(,0)D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，||3MF ．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为 ， ．当 取得最大值时，求直线AB 的方程．【解析】（1）由题意可知，当x p 时，222y p，得M y，可知||MD ，||2p FD ．则在Rt MFD 中，222||||||FD DM FM，得22())92p，解得2p ．则C 的方程为24y x ；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，当MN 与x 轴垂直时，由对称性可知，AB 也与x 轴垂直，此时2，则0 ，由（1）可知(1,0)F ，(2,0)D ，则1212221212124tan 44MN y y y y k y y x x y y，又N 、D 、B 三点共线，则ND BD k k ，即24240022y y x x，242224002244y y y y，得248y y ，即428y y；同理由M 、D 、A 三点共线，得318y y ．则34123434124tan 2()y y y y x x y y y y．由题意可知，直线MN 的斜率不为0，设:1MN l x my ，由241y x x my ，得2440y my ，124y y m ，124y y ，则41tan 4m m，41tan 242m m，则11tan tan 12tan()1111tan tan 122m m m m m m，∵1tan m，1tan 2m，tan 与tan 正负相同，22， 当 取得最大值时，tan() 取得最大值，当0m时，1tan()142m m；当0m 时，tan() 无最大值， 当且仅当12m m，即2m 时，等号成立，tan() 取最大值，此时AB 的直线方程为33344()y y x x y y ，即34344()0x y y y y y ，又123412128()888y y y y m y y y y∵34128816y y y y ，AB的方程为4160x，即40x ．13．（2023•甲卷（文））已知直线210x y 与抛物线2:2(0)C y px p 交于A ，B两点，||AB ．（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，且0FM FN，求MFN 面积的最小值．【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22102(0)x y y px p，消去x 得：2420y py p ，124y y p ，122y y p ，△21680p p ，(21)0p p ，12p，12|||4AB y y ，216848p p ，2260p p ，(23)(2)0p p ，2p ，（2）由（1）知24y x ，所以(1,0)F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线:MN x my n ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 由24y x x my n，可得2440y m n ，所以124y y m ，124y y n ，△22161600m n m n ，因为0MF NF，所以1212(1)(1)0x x y y ，即1212(1)(1)0my n my n y y ，即221212(1)(1)()(1)0m y y m n y y n ，将124y y m ，24y n ，代入得22461m n n ，224()(1)0m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 或3n 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d12|||MN y y1|n ，所以MNF 的面积11||1|22S MN d n，又3n 或3n 3n 时，MNF 的面积2(212min S ．14．（2023•甲卷（理））设抛物线2:2(0)C y px p ，直线210x y 与C 交于A ，B 两点，且||AB ．（1）求p 的值；（2）F 为22y px 的焦点，M ，N 为抛物线上的两点，且0MF NF，求MNF 面积的最小值．【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22102(0)x y y px p，消去x 得：2420y py p ，124y y p ，122y y p ，△21680p p ，(21)0p p ，12p，12|||4AB y y ，216848p p ，2260p p ，(23)(2)0p p ，2p ；（2）由（1）知24y x ，所以(1,0)F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线:MN x my n ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由24y x x my n，可得2440y my n ，所以124y y m ，124y y n ，△22161600m n m n ，因为0MF NF ，所以1212(1)(1)0x x y y ，即1212(1)(1)0my n my n y y ，即221212(1)(1)()(1)0m y y m n y y n ，将124y y m ，24y n ，代入得22461m n n ，224()(1)0m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 或3n 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d12|||MN y y1|n ，所以MNF 的面积11||1|22S MN d n ，又3n 或3n 3n 时，MNF 的面积2(212min S ．15．（2023•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知1||3A F ，2||1A F ．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若△1A PQ 的面积是△2A FP 面积的二倍，求直线2A P 的方程．【解析】（Ⅰ）由题意可知，31a c a c ，解得21a c，222413b a c ．则椭圆方程为22143x y ，椭圆的离心率为12c e a ；（Ⅱ）由题意可知，直线2A P 的斜率存在且不为0，当0k 时，直线方程为(2)y k x ，取0x ，得(0,2)Q k ．联立22(2)143y k x x y ，得2222(43)1616120k x k x k ．△2222(16)4(43)(1612)1440k k k ，221612243P k x k ，得228643P k x k ，则21243P k y k ．11212322111216124(2)4()224343A PQ A A Q A A Pk k k S S S k k k ．22211261()24343A FP k k S k k ． 3221612124343k k k k k ，即223k ，得6(0)2k k ；同理求得当0k 时，62k ． 直线2A P 的方程为6(2)2y x ．16．（2022•天津）椭圆22221(0)x y a b a b的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足||3||2BF AB ．（1）求椭圆的离心率e ；（2）直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于(N N 异于)M ．记O 为坐标原点，若||||OM ON ，且OMN 3【解析】（1）∵22||3||BF aAB a b 22234a a b ，223a b ，2223()a a c ，2223a c ，222633c e a ；（2）由（1）可知椭圆为222213x y a a，即2223x y a ，设直线:l y kx m ，联立2223x y a ，消去y 可得：2222(31)6(3)0k x kmx m a ，又直线l 与椭圆只有一个公共点，△2222364(31)(3)0k m k m a ，2223(31)m a k ，又2331M km x k ， 22233131M M k m m y kx m m k k ，又||||OM ON ， 222223(()3131km m m k k ，解得213k，3k ，又OMN的面积为2113||||||||2231M km ON x m k ，212224m ，又k 2223(31)m a k ，26a ，22b ， 椭圆的标准方程为22162x y ．17．（2022•新高考Ⅰ）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a 上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ，求PAQ 的面积．【解析】（1）将点A 代入双曲线方程得224111a a ，化简得42440a a ，22a ，故双曲线方程为2212x y ，由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m ，设1(P x ，12)(y Q x ，2)y ，则联立双曲线得：222(21)4220k x kmx m ，故122421km x x k ，21222221m x x k ，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x ，化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m ，故2222(22)4(12)(4(1)02121k m km m k m k k ，即(1)(21)0k m k ，而直线l 不过A 点，故1k ；（2）设直线AP 的倾斜角为，由tan PAQ22tan21tan 2PAQ PAQ，得tan 22PAQ 由2PAQ ， 2PAQ，得tan AP k，即1112y x ，联立1112y x ，及221112x y得1110533x y ，同理22x y 故12122068,39x x x x ，而12||2|,|||2|AP x AQ x，由tan PAQsin 3PAQ，故12121||||sin 2()4|29PAQ S AP AQ PAQ x x x x ．18．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为( 0)．（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于P ，证明P 在定直线上．【解析】（1）双曲线C中心为原点，左焦点为( 0)，则222c a b c c e a，解得24a b ，故双曲线C 的方程为221416x y ；（2）证明：过点(4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，则可设直线MN 的方程为4x my ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，记C 的左，右顶点分别为1A ，2A ，则1(2,0)A ，2(2,0)A ，联立224416x my x y ，化简整理可得，22(41)32480m y my ，故△222(32)448(41)2641920m m m 且2410m ，1223241m y y m ，1224841y y m ，直线1MA 的方程为11(2)2y y x x，直线2NA 方程22(2)2y y x x ，故21211212(2)(2)22(2)(6)y x y my x x y x y my 121211212()26my y y y y my y y 12212483222414148641m m y m m m y m 1212162141483641m y m m y m ，故2123x x ，解得1x ，所以1P x ，故点P 在定直线1x 上运动．19．（2021•上海）已知22:12x y ，1F ，2F 是其左、右焦点，直线l 过点(P m，0)(m ，交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上．（1）若B 是上顶点，11||||BF PF ，求m 的值；（2）若1213F A F A ，且原点O 到直线l的距离为15，求直线l 的方程；（3）证明：对于任意m 12//F A F B 的直线有且仅有一条．【解析】（1）因为 的方程：2212x y ，所以22a ，21b ，所以2221c a b ，所以1(1,0)F ，2(1,0)F ，若B 为 的上顶点，则(0,1)B ，所以1||BF ，1||1PF m ，又11||||BF PF ，所以1m（2）设点A ，sin ) ，则2221211)213F A F A sin cos sin ，因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cos ，故()33A ，设直线l的方程为(0)33y kx k ，由原点O 到直线l，则15d ，化简可得231030k k ，解得3k 或13k ，故直线l的方程为13y x或3y x（舍去，无法满足m ，所以直线l的方程为139y x ；（3）联立方程组2212y kx km x y ，可得22222(12)4220k x k mx k m ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则222121222422,1212k m k m x x x x k k ，因为12//F A F B ，所以2112(1)(1)x y x y ，又y kx km ，故化简为122212x x k ，又122216882||||1212k k m x x k k ，两边同时平方可得，2224210k k m ，整理可得22142k m ，当m 时，221042k m ，因为点A ，B 在x 轴上方，所以k 有且仅有一个解，故对于任意m ，使得12//F A F B 的直线有且仅有一条．20．（2021•甲卷（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P满足AP ，写出P 的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【解析】（1）由极坐标方程为，得2cos ，化为直角坐标方程是22x y ，即22(2x y，表示圆心为C 0)（2）【解法1】根据题意知，点P 的轨迹是以A为缩放比例将圆1C 作位似变换得到的，因此1C的圆心为(3 0)，半径差为2 ，所以圆C 内含于圆1C ，圆C 与圆1C 没有公共点．【解法2】设点P 的直角坐标为(,)x y ，1(M x ，1)y ，因为(1,0)A ，所以(1,)AP x y ，1(1AM x ，1)y ，由AP ，即1111)x x y ，解得11(1)122x x y y ，所以1)1M x)y ，代入C的方程得221)1)2x ，化简得点P的轨迹方程是22(34x y，表示圆心为1(3C ，0)，半径为2的圆；化为参数方程是32cos 2sin x y， 为参数；计算1|||(332CC ，所以圆C 与圆1C 内含，没有公共点．21．（2023•北京）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b，A 、C 分别为E 的上、下顶点，B 、D 分别为E 的左、右顶点，||4AC ．（1）求E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的一个动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y 交于点N ．求证：//MN CD ．【解析】（1）由题意可得：24b，c e a，222a b c ，解得2b ，29a ， 椭圆E 的方程为22194x y ．（2）证明：(0,2)A ，(3,0)B ，(0,2)C ，(3,0)D ，直线BC 的方程为132x y ，化为2360x y ．设直线AP 的方程为：2y kx ，(0)k ，4(N k ，2) ．联立222194y kx x y ，化为：22(49)360k x kx ，解得0x 或23649k k，236(49k P k ，22818)49k k ．直线PD 方程为：22218849(3)36349k k y x k k ，即22188(3)273612k y x k k ，与2360x y 联立，解得26432k x k k ，2281896k y k k．264(32k M k k，2281896k k k ．2228182296464332MN k k k k k k k k，23CD k，//MN CD ．22．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b，右焦点为F ，0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN ．【解析】（Ⅰ）由题意可得，椭圆的离心率3c a，又c所以a 2221b a c ，故椭圆的标准方程为2213x y ；（Ⅱ）证明：先证明充分性，当||MN 时，设直线MN 的方程为x ty s ，此时圆心(0,0)O 到直线MN的距离1d ，则221s t ，联立方程组2213x ty s x y ，可得222(3)230t y tsy s ，则△22222244(3)(3)12(3)24t s t s t s ，因为2||3MN t ，所以21t ，22s ，因为直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切，所以0s，则s ，则直线MN的方程为x ty恒过焦点F ，故M ，N ，F 三点共线，所以充分性得证．若M ，N ，F 三点共线时，设直线MN的方程为x my ，则圆心(0,0)O 到直线MN的距离为1d ，解得21m ，联立方程组2213x my x y，可得22(3)10m y ，即2410y ，所以||44MN所以必要性成立；综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是||MN．23．（2021•天津）已知椭圆22221(0)x y a ba b的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且||BF．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若//MP BF，求直线l的方程．【解析】（1）因为离心率5e，||BF所以222caaa b c，解得a ，2c ，1b ，所以椭圆的方程为2215x y ．（2）先证明椭圆22221x ya b上过点(M x，)y的椭圆的切线方程为：00221xx yya b．由于椭圆过点0(x，0)y，则2200221x ya b①，对椭圆求导得22b xya y，即切线的斜率22b xka y，故切线的方程2002()b xy y x xa y，将①代入得00221xx yya b．则切线MN 的方程为0015x x y y ，令0x ，得01N y y，因为PN BF ，所以1PN BF k k ，所以1(12PN k ，解得2NP k ，设1(P x ，0)，则01120NPy k x ，即1012x y ，因为//MP BF ，所以MP BF k k ，所以0001122y x y ，即000122y x y ，所以000122x y y，又因为220015x y ，所以22002042115520y y y ，解得06y ，因为0N y ，所以00y ，所以06y，036x ，所以6156y，即0x y ．24．（2021•甲卷（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线:1l x 交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ．已知点(2,0)M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设1A ，2A ，3A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【解析】（1）因为1x 与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p ，令1x ，则2y p ，根据抛物线的对称性，不妨设P 在x 轴上方，Q 在x 轴下方，故2),(1,2P p Q p ，因为OP OQ ，故112(202p p p，抛物线C 的方程为：2y x ，因为M 与l 相切，故其半径为1，故22:(2)1M x y ．另（1）根据抛物线的对称性，由题意可得45POx QOx ，因此点P ，Q 的坐标为(1,1) ，由题意可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p ，可得12p ，因此抛物线C 的方程为2y x ．而圆M 的半径为圆心M 到直线l 的距离为1，可得M 的方程为22(2)1x y ．（2）很明显，对于12A A 或者13A A 斜率不存在的情况以及23A A 斜率为0的情况满足题意．否则：设11(A x ，1)y ，22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ．当1A ，2A ，3A 其中某一个为坐标原点时（假设1A 为坐标原点时），设直线12A A 方程为0kx y ，根据点(2,0)M 到直线距离为11，解得k 联立直线12A A 与抛物线方程可得3x ，此时直线23A A 与M 的位置关系为相切，当1A ，2A ，3A 都不是坐标原点时，即123x x x ，直线12A A 的方程为1212()0x y y y y y ，1 ，即22212121(1)230y y y y y ，同理，由对称性可得，22213131(1)230y y y y y ，所以2y ，3y 是方程222111(1)230y t y t y 的两根，则2112323221123,11y y y y y y y y ，依题意有，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y ，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213(2)(2)1121()1()1y y y y d y y y y ，此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切，综上，直线23A A 与M 相切．（2）另设2(i i A y ，)i y ，1i ，2，3，由直线的两点式可知，直线12A A 的方程为222122122()()()()y y y y y y x y ，化简可得1212()0x y y y y y ，因为直线12A A 与圆M2212121(2)1()y y y y ，整理得22212121(1)230y y y y y ，同理有22213131(1)230y y y y y ，所以2y ，3y 是关于y 的方程222111(1)230y y y y y 的两个根，则2112323221123,11y y y y y y y y ，依题意有，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y ，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213(2)(2)1121()1()1y y y y d y y y y ，此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切，综上，直线23A A 与M 相切．25．（2023•乙卷（文））已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b的离心率为3，点(2,0)A 在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点(2,3) 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点．【解析】（1）由题意，22232c a b a b c，解得32a b c ． 椭圆C 的方程为22194y x ；证明：（2）如图，要使过点(2,3) 的直线交C 于点P ，Q 两点，则PQ 的斜率存在且小于0，设:3(2)PQ y k x ，即23y kx k ，0k ，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立2223194y kx k y x ，得22(49)8(23)16(3)0k x k k x k k ．△22[8(23)]4(49)16(3)17280k k k k k k ．1228(23)49k k x x k ，12216(3)49k k x x k ，直线11:(2)2y AP y x x，取0x ，得112(0,)2y M x ；直线22:(2)2y AQ y x x，取0x ，得222(0,2y N x ． 1212211212222(2)2(2)22(2)(2)y y y x y x x x x x 12211212(23)(2)(23)(2)22()4kx k x kx k x x x x x 121212122(43)()4(23)22()4kx x k x x k x x x x 222216(3)8(23)2(43)4(23)4949216(3)8(23)244949k k k k k k k k k k k k k k k 32322322223296649648723272481082164832481636k k k k k k k k k k k k k k 1082636．MN 的中点为(0,3)，为定点．。
高考数学压轴专题西安备战高考《平面解析几何》知识点训练附答案
【高中数学】数学《平面解析几何》试卷含答案一、选择题1．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.2．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 B 5C ．25D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。
由于四边形PACB 面积等于122PA AC PA ⨯⨯⨯=，而PA =. 故当PC 最小时，四边形PACB 面积最小.又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而d ==故四边形PACB 2=， 故选A.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．3．已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF=，∴OP =POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =∴6PQ ==. 故选C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.4．在矩形ABCD 中，已知3AB =，4=AD ，E 是边BC 上的点，1EC =，EF CD ∥，将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．双曲线C ．椭圆D ．抛物线【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥被平面截的轨迹特点求解 【详解】由题将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，则平面α⊥平面ABEF ,，又直线AB 绕AE 旋转一周，则AB 直线轨迹为以AE 为轴的圆锥，且轴截面为等腰直角三角形，且面AEF 始终与面EFDC 垂直，即圆锥母线AF ⊥平面EFDC 则 则与平面α相交形成的点的轨迹是抛物线 故选：D【点睛】本题考查立体轨迹，考查圆锥的几何特征，考查空间想象能力，是难题5．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ∆是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】 【分析】设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值. 【详解】如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .①若23c x =，则254a x x x =-=，得232ce a==； ②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222ce a==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252ce a==. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.6．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D 【解析】 【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率. 【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴== 又2224tan 45FBF b S b a ∆'===o，可得：225c a =25e ∴= 5e ⇒=本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.7．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若3AF FB =uu u r uu r，则BC =（ ）A ．4B ．43C ．6D ．8【答案】D 【解析】 【分析】作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1sin 2ACN ∠=，则可求出x 的值，进而得到BC 的值. 【详解】作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，因为3AF FB =uu u r uu r，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =，根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==， 则32AH AN HN x x x =-=-=， 所以1sin sin 2AH ABH ACN AB ∠=∠==，则212CF FP ==，2CB x =， 则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==， 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）A ．125 B ．65C ．2D 【答案】A 【解析】试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离，由点到直线的距离公式可知()()122min min125d d MF d +=+==，故选A. 考点：抛物线定义的应用.9．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——②由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.10．已知曲线()2222:100x y C a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，MO OP =u u u u v u u u v，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，若122PF PF =，且2120MF N ∠=︒则双曲线C 的离心率为（ ）A ．23B ．7C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合双曲线的定义可得124,2PF a PF a == ，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224208c a a =+，据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】由题意，122PF PF =，由双曲线的定义可得，122PF PF a -= ，可得124,2PF a PF a == ，由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-⋅⋅⋅︒ ， 即有2224208c a a =+，即227c a =，可得7c a =，即7ce a==.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．11．若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 D ． 【答案】D 【解析】()1ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>，所以()'a f x bx ＝－，则f ′(1)＝－ab为切线的斜率， 切点为(1，－1a b+)， 所以切线方程为y ＋1a b +＝－ab(x －1)， 整理得ax ＋by ＋1＝0.因为切线与圆相切，所以22a b+＝1，即a 2＋b 2＝1.由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ， 所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 所以a ＋b ≤，即a ＋b 的最大值为.故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．12．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3【答案】D【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.13．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ） A．2 B．2C1D1【答案】B 【解析】 【分析】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a=，且2b c a =.又根据222b a c =-，联立可解得1c =.方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒， 则122F F c =，2QF c =，1QF =.由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，得1c =.∴22c =. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.14．过点(11)M ， 的直线与椭圆22143x y += 交于A ，B 两点，且点M 平分AB ，则直线AB 的方程为（ ） A ．3470x y +-= B ．3410x y -+=C ．4370x y +-=D ．4310x y --=【答案】A 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的方程可得222211221,14343x y x y +=+=，两式相减可得12121212()()()()044x x x x y y y y +-+-+=，又121212122,2,y y x x y y k x x -+=+==-， 即为12123()34()4x x k y y +=-=-+，则直线AB 的方程为：31(1)4y x -=--，化为3470x y +-=，故选A ．点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，注意运用“点差法”的应用，考查了学生的推理与计算能力，试题比较基础，属于基础题，解答此类问题的关键在于把握弦的中点，恰当的选择“点差法”是解答的关键．15．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是（ ） ABC．7 D【答案】D【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程2221243c a a =+，由此得到关于离心率的方程求得结果.【详解】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则221212PF PF a a =-， 由余弦定理得：2222212121212242cos 3c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2212314e e ∴+=，又22e =，2145e ∴=，15e ∴=. 故选：D .【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.16．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的一条渐近线与圆22(4x y +-=相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a 、b 关系式，然后求解离心率即可．【详解】由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx +ay ＝0，圆22(4x y +-=的圆心为(0,，半径为2，由题意及|AB |＝2，可得22212+=，222123a a b=+，即b 2＝3a 2，可得c 2﹣a 2＝3a 2，即224c a = 所以e c a==2． 故选：C ．【点睛】 本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.17．已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】 分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出234a =，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M 到直线2l 的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解． 详解：由双曲线方程22241(0)x y a a-=>可得， 双曲线的右顶点为(,0)a ，渐近线方程为12y x a =±，即20x ay ±=．=234a =， ∴双曲线的方程为224413x y -=，∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ．如图，设点M 到直线1l 的距离为||MA ，到直线2l 的距离为||MB ，则MB MF =， ∴MA MB MA MF +=+．结合图形可得当,,A M F 三点共线时，MA MB MA MF +=+最小，且最小值为点F 到直线1l 的距离22416243d ⨯+==+．故选B ．点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．18．已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出． 详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，， 此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11()112a a a -+-⨯-=-+， 解得1a =-，舍去．综上可得：1a =-.故选A ．点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC 2aD ．22a 【答案】D【解析】【分析】 设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.20．过双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B ，两点，OAB ∆的面积为133bc ，则双曲线的离心率为（ ） A ．132 B ．133 C 22 D ．223【答案】D【解析】【分析】令x c =，代入双曲线方程可得2b y a=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离心率公式计算可得所求值．【详解】右焦点设为F ，其坐标为(),0c令x c =，代入双曲线方程可得2221c b y b a a=±-=± OAB V 的面积为212132b c a ⋅⋅= 13b a ⇒=可得2213221193c b e a a ==+=+= 本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．。
平面解析几何 经典习题(含答案
欢迎阅读平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角α的范围000180α≤<（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式A ，B ，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
高中数学平面解析几何真题(解析版)
专题09平面解析几何真题汇编1．设A，B为椭圆的长轴顶点，E，F为的两个焦点，|ABl=4，，P为上一点，满足，则△PEF的面积为.【答案】1【解析】由题意知该椭圆可设为.由余弦定理，.所以.2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别是，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT的长分别为1，2，3，6，则的面积为【答案】【解析】由对称性，不妨设在第一象限，则由条件知.即P(2，1).进而由得U(2，2))，S(4，1)，代入椭圆C的方程知，解得a2=20，b2=5.从而.3．在平面直角坐标系中,椭圆C的方程为,F、A分别为椭圆C的上焦点、右顶点.若P为椭圆C上位于第一象限内的动点，则四边形面积的最大值为___________。
【答案】【解析】易知,，设则其中，当时，四边形OAPF面积的最大值为.故答案为：4．在平面直角坐标系中，点集，在点集K中随机取出三个点,则这三点中存在两点之间距离为的概率为___________。
【答案】【解析】易知,点集K中有9个点,故在点集K中随机取出三个点的种数为。
将点集K中的点按图标记为其中有8对点之间的距离为。
由对称性,考虑取两点的情形.则剩下的一个点有7种取法，这样有个三点组(不计每组中三点的次序)。
对每个,点集中恰有两点与距离为,因而，恰有这8个三点组被计算了两次。
故满足条件的三点组个数为从而所求概率为.故答案为：5．已知双曲线C：，左、右焦点分别为F1、F2.过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于点P、Q，使得.则的内切圆半径为________.【答案】【解析】如图所示.由双曲线的性质知:.由.从而，的内切圆半径为:.6．设椭圆的两个焦点为，过点的直线与椭圆交于点P、Q.若，且，则椭圆的短轴与长轴的比值为__________.【答案】【解析】不妨设.设椭圆的长轴、短轴的长度分别为，焦距为.则，且由椭圆的定义知.故.如图所示，设H为线段的中点.则，且.由勾股定理知：7．抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点上的投影为，则的最大值是_______.【答案】1【解析】根据抛物线的定义可知，，故，在三角形中，根据余弦定理有，由于，所以，即，故.点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查基本不等式求最值的方法，考查化归与转化的数学思想方法.抛物线的定义是：动点到定点的距离等于到定直线的距离，这是在有关抛物线的小题中常考考知识点.本题中利用抛物线的定义，进行转化后，利用余弦定理和基本不等式来求解最值.8．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，.则点的坐标为______.【答案】【解析】设.由.则①又，则②因为，所以，.故.将方程组①、②代入上式并整理得.显然，.否则，.于是，点在直线上，即点重合.所以，.故所求点.故答案为：9．双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(横纵坐标均为整数的点)的个数是________. 【答案】9800 【解析】由对称性知，只需先考虑轴上方的情况. 设与双曲线右半支交于点，与直线交于点.则线段内部的整点的个数为.从而，在轴上方区域内部整点的个数为. 又轴上有98个整点，则所求整点的个数为.10．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得342d ≤． 解得36a ≤≤． 11．椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为 ．【答案】【解析】 设，．由在椭圆上，有①②得．于是当时，达到最小值．12．在平面直角坐标系xOy中，圆与抛物线:y2=4x恰有一个公共点，且圆与x轴相切于的焦点F.求圆的半径.【答案】【解析】设圆的半径为R，圆心为(1，R)(-1，R)，则圆的方程可写作.不妨设圆与抛物线相切于点，则过该切点的切线方程：以圆为对象，得以抛物线为对象，得.于是可得①②又切点在抛物线y2=4x上，③由①得，由②得.解得：.故圆半径为.13．如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点.点P在△A BC内，使得AP平分∠BAC.直线MP与△ABP，△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D，E.证明：若DE=MP，则BC=2BP.【答案】证明见解析【解析】如图：只要证明两小黄全等△DBP，△EMC。