高考数学试卷(含答案解析)

江苏省高考数学试卷

一.填空题

1．（5分）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为．

2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件．

4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是．

5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．

6．（5分）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．

7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．

8．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=．

10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是．

11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．

12．（5分）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n ∈R）, 则m+n=．

13．（5分）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f （x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．

二.解答题

15．（14分）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

16．（14分）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；

（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

17．（14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭

圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．

18．（16分）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l 没入水中部分的长度；

（2）将l 放在容器Ⅱ中, l 的一端置于点E 处, 另一端置于侧棱GG 1上, 求l 没入水中部分的长度．

19．（16分）对于给定的正整数k, 若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k

﹣1

+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立, 则称数列{a n }是“P （k ）数列”．

（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；

（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．

20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；

（2）证明：b2＞3a；

（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a的取值范围．

二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）

21．如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；

（2）AC2 =AP?AB．

[选修4-2：矩阵与变换]

22．已知矩阵A=, B=．

（1）求AB；

（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．

［选修4-5：不等式选讲］

24．已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．

【必做题】

25．如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．

（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．

26．已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．

123…m+n

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．

江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一.填空题

1．（5分）（2020?江苏）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为1．

【分析】利用交集定义直接求解．

【解答】解：∵集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．A∩B={1},

∴a=1或a2+3=1,

解得a=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集定义及性质的合理运用．

2．（5分）（2020?江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z 的模是．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i,

∴|z|==．

故答案为：．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．

3．（5分）（2020?江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取18件．

【分析】由题意先求出抽样比例即为, 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．

【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件, 而抽取60辆进行检验, 抽样比例为=,

则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,

故答案为：18

【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致, 按照一定的比例, 即样本容量和总体容量的比值, 在各层中进行抽取．

4．（5分）（2020?江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y 的值是﹣2．

【分析】直接模拟程序即得结论．

【解答】解：初始值x=, 不满足x≥1,

所以y=2+log2=2﹣=﹣2,

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查程序框图, 模拟程序是解决此类问题的常用方法, 注意解题方法的积累, 属于基础题．

5．（5分）（2020?江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．

【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可

【解答】解：∵tan（α﹣）===

∴6tanα﹣6=tanα+1,

解得tanα=,

故答案为：．

【点评】本题考查了两角差的正切公式, 属于基础题

6．（5分）（2020?江苏）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．

【分析】设出球的半径, 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．

【解答】解：设球的半径为R, 则球的体积为：R3,

圆柱的体积为：πR2?2R=2πR3．

则==．

故答案为：．

【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能力．

7．（5分）（2020?江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．

【分析】求出函数的定义域, 结合几何概型的概率公式进行计算即可．

【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0, 得﹣2≤x≤3,

则D=[﹣2, 3],

则在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率P==,

故答案为：

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算, 结合函数的定义域求出D, 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．

8．（5分）（2020?江苏）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．

【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程, 得到P, Q坐标, 求出焦点坐标, 然后求解四边形的面积．

【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=, 双曲线渐近线方程为：y=x, 所以P（, ）, Q（, ﹣）, F1（﹣2, 0）．F2（2, 0）．

则四边形F1PF2Q的面积是：=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 考查计算能力．

9．（5分）（2020?江苏）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=32．

【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1, S3=, S6=, 可得=,

=, 联立解出即可得出．

【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1,

∵S3=, S6=, ∴=, =,

解得a1=, q=2．

则a8==32．

故答案为：32．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．

10．（5分）（2020?江苏）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是30．

【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x, 利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．

当且仅当x=30时取等号．

故答案为：30．

【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．

11．（5分）（2020?江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1, ] ．【分析】求出f（x）的导数, 由基本不等式和二次函数的性质, 可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义, 可得f（x）为奇函数, 原不等式即为2a2≤1﹣

a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．

【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：

f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,

可得f（x）在R上递增；

又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,

可得f（x）为奇函数,

则f（a﹣1）+f（2a2）≤0,

即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）,

即有2a2≤1﹣a,

解得﹣1≤a≤,

故答案为：[﹣1, ]．

【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用, 注意运用导数和定义法, 考查转化思想的运用和二次不等式的解法, 考查运算能力, 属于中档题．

12．（5分）（2020?江苏）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=3．

【分析】如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．可得cosα=, sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin （α+45°）=．B．利用=m+n（m, n∈R）, 即可得出．

【解答】解：如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．

由与的夹角为α, 且tanα=7．

∴cosα=, sinα=．

∴C．

cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．

sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．

∴B．

∵=m+n（m, n∈R）,

∴=m﹣n, =0+n,

解得n=, m=．

则m+n=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．

13．（5分）（2020?江苏）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是[﹣5, 1] ．

【分析】根据题意, 设P（x0, y0）, 由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0, 分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域, 联立

直线与圆的方程可得交点的横坐标, 结合图形分析可得答案．

【解答】解：根据题意, 设P（x0, y0）, 则有x02+y02=50,

=（﹣12﹣x0, ﹣y0）?（﹣x0, 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20,

化为：12x0﹣6y0+30≤0,

即2x0﹣y0+5≤0, 表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,

联立, 解可得x0=﹣5或x0=1,

结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5, 1],

故答案为：[﹣5, 1]．

【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系, 关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．

14．（5分）（2020?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．

【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f （x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数, 进而可得答案．

【解答】解：∵在区间[0, 1）上, f（x）=,

第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,

又f（x）是定义在R上且周期为1的函数,

∴在区间[1, 2）上, f（x）=, 此时f（x）的图象与y=lgx有且

只有一个交点；

同理：

区间[2, 3）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[3, 4）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[4, 5）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[5, 6）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[6, 7）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[7, 8）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

区间[8, 9）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；

在区间[9, +∞）上, f（x）的图象与y=lgx无交点；

故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；

即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8,

故答案为：8

【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 函数的图象和性质, 转化思想, 难度中档．

二.解答题

15．（14分）（2020?江苏）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF ⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．