版高中数学第二章函数2.2.1一次函数的性质与图象学案新人教B版必修145
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.2.1
即为所求的图象．
3.正比例函数 y＝kx (k 为常数，k≠0)与一次函数 y＝kx＋b (k， b 为常数，k≠0)的单调性为：当 k>0 时，是增函数；当 k<0 时，是减函数.
3 －2x＋8，x≤5， 因此，f(x)＝ 3x＋5，x>3. 5 34 观察 f(x)的图象可知，f(x)min＝ 5 .
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练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.1
2 1.过点(3，m)、(m，－4)的一次函数的斜率为 ，则实数 m 的 5 本 课 值是 ( D ) 时
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.1
y＝kx＋b(k≠0) 叫做一次函数，它的 本 1.一次函数的概念：函数 课 定义域为 R ，值域为 R . 时 栏 目 2.一次函数 y＝kx＋b (k≠0)的图象是 直线 ，其中 k 叫做该直 开 线的 斜率 ，b 叫做该直线在 y 轴上的 截距 .一次函数又叫 关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1
跟踪训练 3 对于每个实数 x，设 f(x)取 y＝3x＋5，y＝x＋5， y＝－2x＋8 三个函数中的最大值， 用分段函数写出 f(x)的解 析式，并求出 f(x)的最小值．
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解
在同一坐标系内作出 y＝3x＋5，y＝x＋5，y＝－2x＋8
栏 目 开 关
A．2
B．－4
C．0
D．－2
Δy －4－m 2 解析 由Δx＝ ＝5，得 m＝－2. m－3
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.1
k 2.函数 y＝kx－1 与 y＝－x在同一坐标系中的大致图象可能是 下图中的
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人教版B版高中数学必修1一次函数的性质与图象
思想方法技巧Leabharlann 解题技巧 1．解答二次函数问题时，一定要注意根据题设条件的不 同，选取不同形式的解析式．经过三点时，用一般式；已知 顶点时用配方式(即顶点式y＝a(x－m)2＋n)；已知函数与x轴 两交点时，用分解式(即两根式y＝a(x－x1)(x－x2))等等． 2．二次函数的单调性、值域(最值)问题，一般都是从开 口方向和对称轴入手讨论，或利用导数讨论．
k＋b＝1， 2k＋b＝2，
或k2＋k＋b＝b＝2，1，
∴kb＝＝10，， 或kb＝＝－3，1， ∴f(x)＝x或f(x)＝－x＋3， ∴f ′(x)＝1或f ′(x)＝－1，
∴f ′(－1)＝－1或f ′(－1)＝1.
答案：D
(2011·浙江文)设函数f(x)＝
(2)∵ax2＋(b－1)x＋1＝0(a>0)的两根满足x1<2<x2<4， 设g(x)＝ax2＋(b－1)x＋1，
∴gg24<>00， ， 即41a6＋ a＋24b－ b－11＋＋11<>00，， ⇒2ba<>1414. ， ∴2a－b>0. 又∵函数f(x)的对称轴为x＝x0，∴x0＝－2ba>－1.
考点典例讲练
一次函数
[例1] 一次函数f(x)的定义域和值域都是[1,2]，f ′(x)
是f(x)的导函数，则f ′(－1)＝( )
A．－1
B．4
C．－1或4
D．1或－1
分析：由f(x)为一次函数可设出其解析式，利用其单调
性及定义域和值域都是[1,2]可列出方程组求系数．
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，由f(x)的单调性及条件知，
答案：D
(理)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x) ＝f(－x)，那么( )
人教B版高中数学必修一2.2.1一次函数的性质与图象课件
目标
1.理解掌握一次函数的概念、图象和性质，提
高学生分析问题的能力，培养数形结合及分类
讨论思想．
2.渗透由特殊到一般由具体到抽象的数学思想
方法。
3.让学生了解数学源于实际，应用于实际，培
养学生的应用意识。
重点
一次函数的性质与图象．
难点 一次函数的性质的应用．
复习导入
A. y=–3x
B. y= –0.5x+1
C. y=√3 x– 4
D. y= –2x-7
2. 一次函数y=(a+1)x+5中，y的值随x的值增大而
a< –1 .
减小，则a满足________
4.探讨一次函数的奇偶性
当b＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；
当b≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数．
思考：我们如何快速准确的画出一次函数的图像？
当b≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数．
A．－2
B．－1
变式训:1: 已知函数y＝2x＋b在区间[－1,3]上的最大值是7，求实数b的值．
C．第三象限
D．第四象限
A．第一象限
B．第二象限
②y＝3x＋6；
1. 下列函数中，y随x的增大而增大的是（ C ）
＝－2x三个函数中的最大值，则f(x)的最小值是
________．
本节课，你有哪些收获？
作业
A组2、3、5
B组1
谢
谢
1 一次函数的性质与图象
即y1=-5x+20.
当k＜0时，一次函数y＝kx＋b在R上是减函数．
1.观察下列函数有什么共同特点：
①y＝2x－1；
高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象自我小测新人教B版必修1
2.2.1 一次函数的性质与图象自我小测1．若函数y ＝ax 2＋xb －1＋2表示一次函数，则a ，b 的值分别为( ) A.11a b ⎧⎨⎩＝，＝ B.01a b ⎧⎨⎩＝，＝ C.02a b ⎧⎨⎩＝，＝ D.12a b ⎧⎨⎩＝，＝2．一次函数y ＝kx －k ，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过( ) A.第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限3．若函数的解析式为x －2y ＋7＝0，则其对应直线的斜率和在y 轴上的截距分别为( ) A.12，72 B ．1，－7 C ．1，72 D ．－12，724．直线mx ＋(m －2)y ＝3(m ≠2，m ≠0)所对应的一次函数为增函数时，m 应满足的条件是( )A.m ＞0 B ．m ＜2 C ．0＜m ＜2 D ．无法确定5．汽车开始行驶时，油箱中有油4 L ，如果每小时耗油0.5 L ，那么油箱中剩余油量y (L)与它工作的时间t (h)之间的函数关系的图象是()6．两条直线y 1＝ax ＋b 与y 2＝bx ＋a 在同一直角坐标系中的图象可能是()7．已知关于x 的一次函数y ＝(m －1)x －2m ＋3，则当m ∈__________时，函数的图象不经过第二象限．8．若一次函数f(x)＝(1－m)x＋2m＋3在[－2,2]上总取正值，则m满足的条件是__________．9．某航空公司规定乘客所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数确定，求乘客可免费携带行李的最大质量．10．求直线y＝x＋3和直线y＝－x＋5以及x轴围成的三角形的面积．参考答案1. 解析：若函数为一次函数，则有011a b ⎧⎨⎩＝，－＝，即02a b ⎧⎨⎩＝，＝ 答案：C2. 解析：由题意知k ＞0，所以－k ＜0，故y ＝kx －k 的图象经过第一、三、四象限． 答案：B3. 解析：∵x －2y ＋7＝0，∴y ＝12x ＋72. ∴斜率k ＝12，在y 轴上的截距b ＝72，故选A. 答案：A 4. 解析：把mx ＋(m －2)y ＝3整理，得y ＝2m m --x ＋32m -.要使得一次函数为增函数，则2m m --＞0，解得0＜m ＜2. 答案：C5. 答案：D6. 答案：A解析：函数的图象不过第二象限，如图．所以10230m m >⎧⎨≤⎩－，－＋，得1,3.2m m >⎧⎪⎨≥⎪⎩ 故m ≥32. 答案：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7. 解析：∵函数f (x )为一次函数，∴m ≠1，要使f (x )在[－2,2]上总取正值，则需()(2)020f f >⎧⎪⎨>⎪⎩－，，即2(1)2302(1)230m m m m >⎧⎨>⎩－－＋＋，－＋＋， 解得m ＞－14. 又∵m ≠1，∴m 满足的条件为m ＞－14，且m ≠1. 答案：m ＞－14，且m ≠1 9. 解：设题图中的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，其中y ≥0.由题图，知点(40,630)和(50,930)在函数图象上，∴6304093050k b k b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋，得30570.k b ⎧⎨⎩＝，＝－ ∴函数解析式为y ＝30x －570.令y ＝0，得30x －570＝0，解得x ＝19.∴乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg.10. 解：设两条直线的交点为A ，y ＝x ＋3与x 轴的交点为B ，y ＝－x ＋5与x 轴的交点为C ，解35y x y x ⎧⎨⎩＝＋，＝－＋得14x y ⎧⎨⎩＝，＝，即A (1,4)，y ＝x ＋3与x 轴的交点为B (－3,0)，y ＝－x ＋5与x 轴的交点为C (5,0)，∴|BC |＝8，S △ABC ＝12|BC |·4＝12×8×4＝16， 即两条直线与x 轴围成的三角形的面积为16.。
2.2.1一次函数的性质和图像
讨论问题一：一次函数的定义
问题：(1)一次函数的定义是什么？
一次函数的定义：函数 y kx bk 0叫做一次函数 .
(2)一次函数的定义域和值域分别是什么？
定义域为R，值域为R.
(3)写出几个一次函数的解析式.
讨论问题二：一次函数的图象
问题：(1)在同一坐标系中画出几个一次函数图象. 观察图象有哪些相同和差异?
高中一年级数学人教B版必修一第二章第二节第一课
2.2.1 一次函数的性质与图象
目录
CONTENTS
一 复习导入
三 典型例题 五 课堂小结
二 新课讨论 四 巩固练习 六 拓展提高
复习 导入
复习导入 初中数学
一次函数
高中数学
函数的概念及 表示方法
函数的单调性 奇偶性
本节
一次函数的性质 与图象
例
例
新课 讨论
一次函数y kx bk 0的图象是直线.
(2)解析式中的字母k和b叫什么？分别代表什么几何意义？
k叫做该直线的斜率， b叫做该直线在 y轴上的截距.
讨论问题三：一次函数的性质
问题：斜率k和截距b的变化对函数图象和性质
有哪些影响呢？
单调性
倾斜程度
奇偶性
图象
8
一次函数的单调性
当 k>0 时，一次函数为 增函数 ； 当 k<0 时，一次函数为 减函数 ；
不等式 ax a 5 0恒成立，则实数a的取值范围是
.
课后作业
56页1
练习A2、3
练习B1题
THANKS
6.讨论函数y a 1x b 5的单调性.
答案
课堂 小结
课堂小结
01 02 03
2016新课标三维人教B版数学必修1 2.2 一次函数和二次函数
一次函数和二次函数2．2.1&2.2.2 一次函数的性质与图象 二次函数的性质与图象(1)什么样的函数是一次函数？其图象和性质是什么？(2)什么样的函数是二次函数？其图象和性质是什么？[新知初探]1．一次函数(1)函数y ＝kx ＋b (k ≠0)叫做一次函数，一次函数的图象是直线，其中k 叫做斜率，b 叫做截距，斜率的表达式为：k ＝y 1－y 2x 1－x 2.(2)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与性质 k ＞1k ＜0b ＝0 b ≠0b ＝0b ≠图象定义域 R 值域 R单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数非奇非偶函数[点睛] 注意k ≠0这一条件，当k ＝0时，函数为y ＝b ，它不再是一次函数，其函数图象是平行x 轴或与x 轴重合的一条直线．预习课本P55～60，思考并完成以下问题2．二次函数(1)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数的图象与性质抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸[点睛]二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|越小，抛物线的开口越大．[小试身手]1．判断．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一次函数都具有单调性．()(2)函数y＝ax＋b是一次函数．()(3)二次函数的特征是未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0.()(4)函数y＝ax2(a≠0)在(－∞，0)上递减．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值答案：D3．二次函数y ＝1－6x －3x 2的顶点坐标和对称轴方程分别为( ) A ．顶点(1,4)，对称轴x ＝1 B ．顶点(－1,4)，对称轴x ＝－1 C ．顶点(1,4)，对称轴x ＝4 D ．顶点(－1,4)，对称轴x ＝4 答案：B4．函数y ＝3＋2x ＋x 2(0≤x ≤3)的最小值为________． 答案：3一次函数的性质[典例] 已知函数y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，试求m 为何值时， (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数； (3)这个函数是减函数．[解] (1)若y ＝(2m －1)x ＋1－3m 是正比例函数，则m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≠0，1－3m ＝0.解得m ＝13.∴当m ＝13时，这个函数为正比例函数．(2)当2m －1≠0，即m ≠12时，这个函数为一次函数．(3)根据一次函数的性质可知，当2m －1<0， 即m <12时，这个函数是减函数．形如y ＝kx ＋b (k ≠0)的函数是一次函数；当k ≠0，b ＝0时，为正比例函数；当k ＞0时，函数为增函数，当k ＜0时，函数为减函数．[活学活用]1．如果一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一、三、四象限，那么( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0解析：选B 作出函数图象，由图象可以看出：y 随x 的增大而增大，所以k >0；直线与y 轴的交点在负半轴上，所以b <0.2．若函数y ＝(a ＋1)x ＋2，x ∈R 在其定义域上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得a ＋1＞0，∴a ＞－1. 答案：(－1，＋∞)二次函数的图象和性质[典例] 已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1. (1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫－23＝1，不计算函数值求f (0)； (3)不直接计算函数值，试比较f ⎝⎛⎭⎫－34与f ⎝⎛⎭⎫154的大小． [解] f (x )＝3x 2＋2x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋132＋23. (1)顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23，对称轴是x ＝－13. (2)∵f ⎝⎛⎭⎫－23＝1，又⎪⎪⎪⎪0－⎝⎛⎭⎫－13＝13， ⎪⎪⎪⎪－23－⎝⎛⎭⎫－13＝13， 所以结合二次函数的对称性可知 f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝1. (3)由f (x )＝3⎝⎛⎭⎫x ＋132＋23知二次函数图象开口向上，且对称轴为x ＝－13，所以离对称轴越近，函数值越小．又⎪⎪⎪⎪－34－⎝⎛⎭⎫－13<⎪⎪⎪⎪154－⎝⎛⎭⎫－13， ∴f ⎝⎛⎭⎫－34<f ⎝⎛⎭⎫154.(1)求二次函数图象的对称轴、顶点坐标及最值主要利用配方法，掌握抛物线的顶点坐标⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a . (2)比较两个函数值的大小，可以把要比较的两个函数值转化到同一个单调区间上，再利用单调性比较它们的大小；也可以比较两个自变量离对称轴距离的大小关系，结合图象判断函数值的大小关系．[活学活用]1．下列区间中，使函数y ＝－2x 2＋x 为增函数的是( ) A ．R B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，14 解析：选D 函数y ＝－2x 2＋x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋18的图象的对称轴是直线x ＝14，图象开口向下，所以函数值在对称轴x ＝14的左边是增加的．2．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合题意，只有D 选项符合，即若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a ＞0，函数f (x )的图象与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方.[典例] 求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值． [解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求f (x )的最大值． 解：∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ， 当a >3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a .∴f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.2．[变设问]在本例条件下，若f (x )的最小值为2，求a 的值． 解：由本例解析知f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.当a ＜2时，6－4a ＝2，a ＝1； 当2≤a ≤4时，2－a 2＝2，a ＝0(舍去)； 当a ＞4时，若18－8a ＝4，a ＝74(舍去)．∴a 的值为1.3．[变条件，变设问]本例条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立， 即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立， 即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]．而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a ＞3.(1)当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. (2)当a ＞3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a ＞3.综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．求二次函数最值问题的解题策略(1)确定对称轴，抛物线的开口方向，作图． (2)在图象上标出定义域的位置． (3)观察单调性写出最值．层级一 学业水平达标1．函数的解析式为x －2y ＋7＝0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为( ) A.12，72 B ．1，－7 C ．1，72D ．－12，72解析：选A∵x－2y＋7＝0，∴y＝12x＋72，∴斜率k＝12，纵截距b＝72.2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是()A．10,5B．10,1C．5,1 D．以上都不对解析：选B因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，y min＝1，当x＝－2时，y max＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．两条直线y＝ax＋b与y＝bx＋a在同一坐标系中的图象可能是下图中的()解析：选A假设B项中直线y＝ax＋b正确，则a＞0，b＞0，所以y＝bx＋a的图象应过第一、二、三象限，而实际图象过第一、二、四象限．∴B错．同理C、D错．故A正确．4．二次函数y＝x2＋bx＋c图象的顶点是(－1，－3)，则b与c的值是()A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝－2C．b＝－2，c＝2 D．b＝－2，c＝－2解析：选B顶点横坐标x＝－b2＝－1，得b＝2，纵坐标4c－b24×1＝4c－44＝－3，得c＝－2.5．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则()A．f(1)＞c＞f(－1) B．f(1)＜c＜f(－1)C．c＞f(－1)＞f(1) D．c＜f(－1)＜f(1)解析：选B由题意f(x)的对称轴为x＝1，且知(－∞，1]为函数的减区间，故有f(1)＜f(0)＜f(－1)，即f(1)＜c＜f(－1)．6．函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[－2，－1]上的最大值是________，最小值是________．解析：f(x)＝－(x－1)2＋2，则函数f(x)在[－2，－1]上是增函数，当x＝－1时，f(x)max＝－2；当x＝－2时，f(x)min＝－7.答案：－2－77．已知函数y＝(m2－3m)xm2－2m＋2是二次函数，则m＝________，此时函数的值域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ≠0，m 2－2m ＋2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠3，m ＝0或m ＝2.∴m ＝2，此时y ＝－2x 2.故值域为(－∞，0]． 答案：2 (－∞，0]8．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，∴a －12≤12，即a ≤2. 答案：(－∞，2]9．已知一次函数y ＝(6＋3m )x ＋(n －4)，求： (1)m 为何值时是减函数？(2)m ，n 为何值时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方？ 解：(1)∵y ＝(6＋3m )x ＋(n －4)是减函数， ∴6＋3m ＜0，∴m ＜－2. (2)当x ＝0时，y ＝n －4.当函数图象与y 轴的交点在x 轴下方时，y ＜0， 得n －4＜0，∴n ＜4.又函数为一次函数，∴6＋3m ≠0，即m ≠－2.∴当m ∈R 且m ≠－2，n ＜4时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方． 10．分别在下列范围内求函数y ＝x 2－2x －3的最值． (1)0＜x ＜2；(2)2≤x ≤3.解：∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴顶点坐标为(1，－4)．(1)∵x ＝1在0＜x ＜2范围内，且二次项系数为1＞0，∴当x ＝1时，y 有最小值，y min＝－4，无最大值．(2)∵x ＝1不在2≤x ≤3范围内，∴函数y ＝x 2－2x －3(2≤x ≤3)的图象是抛物线y ＝x 2－2x －3的一部分．由二次函数的性质知y ＝x 2－2x －3在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝3时，y max ＝32－2×3－3＝0； 当x ＝2时，y min ＝22－2×2－3＝－3.层级二 应试能力达标1．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C 由题意知a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.2．若抛物线y ＝x 2－(m －2)x ＋m ＋3的顶点在y 轴上，则m 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－2D ．2解析：选D 因为抛物线y ＝x 2－(m －2)x ＋m ＋3的顶点在y 轴上，所以顶点横坐标－－(m －2)2×1＝m －22＝0，故m ＝2.3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．(－∞，2]D ．[1,2]解析：选D f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，∴1≤m ≤2，故选D.4．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：选C 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a ＜0.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________． 解析：函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0,1]，且函数有最小值－2. 故当x ＝0时，函数有最小值， 当x ＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )＝－x 2＋4x －2， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1. 答案：16．已知－x 2＋4x ＋a ≥0在x ∈[0,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：法一：－x 2＋4x ＋a ≥0，即a ≥x 2－4x ，x ∈[0,1]，也就是a 应大于或等于f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值，函数f (x )＝x 2－4x 在x ∈[0,1]的最大值为0，∴a ≥0.法二：设f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝a ≥0，f (1)＝－1＋4＋a ≥0，解得a ≥0.答案：[0，＋∞)7．已知函数f (x )＝x 2＋2(1－2a )x ＋6在区间(－∞，－1)上为减函数． (1)求f (2)的取值范围； (2)比较f (2a －1)与f (0)的大小．解：(1)二次函数图象的对称轴为x ＝2a －1， ∴函数f (x )在(－∞，2a －1]上为减函数． ∴－1≤2a －1. ∴a ≥0.而f (2)＝22＋2(1－2a )×2＋6＝－8a ＋14， ∵a ≥0，∴f (2)＝14－8a ≤14.故f (2)的取值范围为(－∞，14]．(2)∵当x ＝2a －1时，函数y ＝f (x )取最小值， ∴f (2a －1)≤f (0)．8．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，1－a ＝2， 解得a ＝2或a ＝－1.2．2.3 待定系数法(1)什么是待定系数法？(2)运用待定系数法可求哪些常见函数解析式？[新知初探]待定系数法的定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．[点睛] 待定系数法的实质就是方程思想，它把待定的未知数与已知数等同看待来建立等式，即得方程，然后用方程的知识来解决．[小试身手]1．已知一次函数f (x )的图象过点A (1，－1)，B (－2,5)，则f (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．－2x ＋1 D ．－2x －1答案：C2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴是直线x ＝1，并且通过点A (－1,7)，则a ，b 的值分别是( )A ．2,4B ．2，－4C ．－2,4D ．－2，－4 答案：B3．二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么此二次函数的解析式为________． 答案：f (x )＝－2x 2＋4x求一次函数及正、反比例函数的解析式预习课本P61～62，思考并完成以下问题[典例] 已知一次函数的图象经过点(－4,15)，且与正比例函数的图象交于点(6，－5)，求此一次函数和正比例函数的解析式．[解] 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，正比例函数解析式为y ＝k ′x (k ′≠0)． 把(6，－5)，(－4,15)分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5＝6k ＋b ，15＝－4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝7.∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋7. 把(6，－5)代入y ＝k ′x ，得－5＝6k ′， 解得k ′＝－56.∴正比例函数的解析式为y ＝－56x .待定系数法求函数解析式的步骤(1)根据题设条件，设出含有待定系数的函数解析式的恰当形式； (2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)；(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)． (4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．[活学活用]一次函数在y 轴上的截距是1，且与反比例函数的图象交于点P (1,3)，求一次函数与反比例函数的解析式．解：设一次函数与反比例函数分别为 y ＝k 1x ＋b (k 1≠0)，y ＝k 2x (k 2≠0)， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3＝k 1＋1，3＝k 2，∴b ＝1，k 1＝2，k 2＝3.故一次函数的解析式为y ＝2x ＋1， 反比例函数的解析式为y ＝3x .求二次函数的解析式 [典例] 求下列二次函数的解析式．(1)已知y ＝f (x )是二次函数，且图象过点(－2,20)，(1,2)，(3,0)．(2)已知二次函数的顶点为(－1，－2)，且图象经过点(2,25)．(3)已知二次函数与x 轴交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)． [解] (1)(一般式)设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 把点(－2,20)，(1,2)，(3,0)代入解析式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝20，a ＋b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝6.∴所求函数为y ＝x 2－5x ＋6.(2)(顶点式)∵二次函数的顶点为(－1，－2)， ∴设二次函数为y ＝a (x ＋1)2－2(a ≠0)， 又∵图象过点(2,25)，∴a (2＋1)2－2＝25，解得a ＝3，∴所求函数为y ＝3(x ＋1)2－2，即y ＝3x 2＋6x ＋1. (3)(两根式)∵二次函数与x 轴的交点为(－2,0)，(3,0)， ∴设所求的二次函数为y ＝a (x ＋2)(x －3)， 又∵图象过点(－1,8)， ∴8＝a (－1＋2)(－1－3)， 解得a ＝－2，∴所求函数为y ＝－2(x ＋2)(x －3)， 即y ＝－2x 2＋2x ＋12.二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果．(1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式；(2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式； (3)若题目中给出函数与x 轴的交点或二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，可设函数的两根式．[活学活用]1．若二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值是－1，则它的解析式为________． 解析：设二次函数的解析式为y ＝a (x －2)2－1. 将(0,1)代入得1＝4a －1， 所以a ＝12.所以所求函数解析式为y ＝12(x －2)2－1，即y ＝12x 2－2x ＋1.答案：y ＝12x 2－2x ＋12．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式． 解：设所求的二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1，∴y ＝ax 2＋bx ＋1. 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，对任意x ∈R 成立， ∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . 整理，得2ax ＋a ＋b ＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.故所求二次函数的解析式为y ＝x 2－x ＋1.待定系数法的综合应用[典例] 如果函数f (x )＝x 2＋a bx －c (b ，c ∈N ＋)满足f (0)＝0，f (2)＝2，且f (－2)<－12，求f (x )的解析式．[解] 由f (0)＝0，f (2)＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a－c＝0，4＋a2b －c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，2b －c ＝2，∴f (x )＝x 2bx －2b ＋2.又f (－2)<－12，∴4－4b ＋2<－12，解不等式得12<b <52.又∵b ∈N ＋，∴b ＝1或b ＝2.又2b －c ＝2，故当b ＝1时，c ＝0，不符合题意． 当b ＝2时，c ＝2. ∴f (x )＝x 22x －2(x ≠1)．函数f (x )中含有a ，b ，c 三个参数，要求a ，b ，c 的值，必须有三个独立的条件，而题目恰有三个独立条件，但由第三个条件得到的结果为不等式，所以还应特别注意b ，c ∈N ＋这一条件．[活学活用]已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，求f (x )的解析式．解：∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －bx －c ，∴c ＝0， ∴f (x )＝ax ＋bx . 又f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，∴a ＝2，b ＝12.∴f (x )＝2x ＋12x.层级一 学业水平达标1．若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋1解析：选D 把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1. ∴y ＝－x ＋1.2．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为( )A ．y ＝x 2＋2x －3B ．y ＝x 2－2x －3C ．y ＝x 2＋2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋6解析：选A 将点(1,0)，(2,5)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝5.解得b ＝2，c ＝－3.3．已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6解析：选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋p ＋q ＝0，f (2)＝4＋2p ＋q ＝0，∴p ＝－3，q ＝2. ∴f (x )＝x 2－3x ＋2，∴f (－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.4．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，5B.⎝⎛⎭⎫14，4 C ．(－1,3)D ．(－2,1)解析：选A 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由该函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A 选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.5．已知2x 2＋x －3＝(x －1)(ax ＋b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．2,3 B ．3,2 C ．－2,3D ．－3,2解析：选A (x －1)(ax ＋b )＝ax 2＋(b －a )x －b ，因为(x －1)(ax ＋b )＝2x 2＋x －3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b －a ＝1，－b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.6．反比例函数y ＝12x的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，则一次函数的解析式为________．解析：因为点P (m,2)在函数y ＝12x 的图象上，所以2＝12m ，m ＝6，P 点坐标为(6,2)．因为一次函数y ＝kx －7的图象经过点P (6,2)，所以6k －7＝2，k ＝32.故所求的一次函数解析式是y ＝32x －7.答案：y ＝32x －77．如图是二次函数y ＝f (x )的图象，若x ∈[－2,1]，则函数f (x )的值域为________．解析：依题意设函数f (x )＝a (x ＋3)(x －1)，又函数f (x )的图象过点(0,3)，代入得a ＝－1，∴f (x )＝－x 2－2x ＋3.结合题中图形易知函数f (x )在[－2,1]上的最大值为f (－1)＝4.又f (－2)＝3，f (1)＝0，∴函数f (x )在[－2,1]上的最小值为0，∴当x ∈[－2,1]时，函数的值域为[0,4]．答案：[0,4]8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点A (0，a )，B (1,4)且对称轴为x ＝－1，则二次函数的解析式为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝a ，a ＋b ＋c ＝4，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1. 答案：f (x )＝x 2＋2x ＋19．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )图像被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.10．已知y ＝f (x )的图象如图所示．(1)求f (x )的解析式； (2)求函数的值域．解：(1)由图象可知①：当0≤x ≤2时，f (x )是一次函数． 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝b ＝2，f (1)＝k ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，k ＝－2.故f (x )＝－2x ＋2. ②当2<x <3时，f (x )＝－2.③当3≤x ≤5时，f (x )是一次函数． 设f (x )＝mx ＋n (m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f (3)＝3m ＋n ＝－2，f (5)＝5m ＋n ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－5，此时f (x )＝x －5.综上可知，f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2， 0≤x ≤2，－2， 2<x <3，x －5， 3≤x ≤5.(2)由图可知该函数的值域为[－2,2]．层级二 应试能力达标1．已知f (x )＝ax ＋b (a ≠0)且af (x )＋b ＝9x ＋8，则( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝－3x －4 C ．f (x )＝3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4解析：选D ∵f (x )＝ax ＋b ，af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9，ab ＋b ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－4. ∴f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4.2．已知f (x )＝x 2＋1，g (x )是一次函数且是增函数，若f (g (x ))＝9x 2＋6x ＋2，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝3x ＋2B ．g (x )＝3x ＋1C ．g (x )＝－3x ＋2D ．g (x )＝3x －1解析：选B 设g (x )＝kx ＋b (k ＞0)，则f (g (x ))＝(kx ＋b )2＋1＝9x 2＋6x ＋2 ∴k 2x 2＋2kbx ＋b 2＋1＝9x 2＋6x ＋2， ∴k 2＝9，解得k ＝3或k ＝－3(舍去)， 且2kb ＝6，∴b ＝1， ∴g (x )＝3x ＋1.3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋2(a ＜0)与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0，⎝⎛⎭⎫13，0，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14解析：选D 由题意得⎩⎨⎧14a －12b ＋2＝0，19a ＋13b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.4．已知某二次函数的图象与函数y ＝2x 2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2(x －1)2＋3B ．y ＝2(x ＋1)2＋3C ．y ＝－2(x －1)2＋3D ．y ＝－2(x ＋1)2＋3解析：选D 设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.5．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则a ，b 的值分别为________．解析：∵f (x )＝x 2＋2x ＋a ，∴f (bx )＝(bx )2＋2(bx )＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a . 又∵f (bx )＝9x 2－6x ＋2， ∴b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝2. 答案：2，－36．如图，抛物线y ＝－x 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m 的值为________．解析：设A (x 1,0)，B (x 2,0)， 则x 1＝－3x 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ＋2，x 1x 2＝－m －3，x 1＝－3x 2，得3m 2＋5m ＝0， 即m ＝0或m ＝－53.由图象知，对称轴x ＝m ＋1＞0， 即m ＞－1，因此m ＝－53不合题意，故m ＝0.答案：07．已知函数f (x )＝xax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解，求函数y ＝f (x )的解析式和f (f (－3))的值．解：因为f (2)＝1，所以22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2，① 又因为f (x )＝x 有唯一解，即xax ＋b＝x 有唯一解，所以ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1.代入①得a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2x x ＋2. 所以f (f (－3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6－1＝f (6)＝2×66＋2＝32. [重点选做]8．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (x －1)＝－2x 2＋4x . (1)求f (x )的解析式；(2)求当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )的最大值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝－2x 2＋4x .由于上式对一切x ∈R 都成立， ∴2a ＝－2,2b ＝4,2a ＋2c ＝0， ∴a ＝－1，b ＝2，c ＝1， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋1.(2)由(1)可知，f (x )＝－(x －1)2＋2.当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )在[a ，a ＋2]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (a ＋2)＝－a 2－2a ＋1；版权所有:中国好课堂 当－1＜a ＜1时，a ＜1＜a ＋2， f (x )max ＝f (1)＝2；当a ≥1时，f (x )在[a ，a ＋2]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋1.∴f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2－2a ＋1，a ≤－1，2， －1＜a ＜1，－a 2＋2a ＋1， a ≥1.。
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金戈出品
学 习 资 料 汇编
2．2.1 一次函数的性质与图象
1．理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质．(重点)
2．会用一次函数的图象和性质解题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 一次函数的图象与性质
阅读教材P55～P56“练习”以上部分，完成下列问题.
一次函数
定义 函数y＝kx＋b(k≠0)叫做一次函数
图象
k>0 k
<0
定义域 R
单调性 增函数 减函数
奇偶性 若b＝0，奇函数，若b≠0，非奇非偶函数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝7x是一次函数．( )
(2)函数y＝2x＋3是单调递增函数．( )
(3)一次函数y＝x－1的图象过第一、二、三象限．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是增函数，则有( )
A．a≥12 B．a≤12
C．a>－12 D．a>12
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【解析】 ∵y＝f(x)为R上的增函数，∴2a－1>0，∴a>12.
【答案】 D
[小组合作型]
一次函数的概念
(1)已知y＝(α＋1) xα－1＋2是一次函数，则α＝______.
(2)已知函数y＝3mx＋2m＋1，试求m为何值时，
①这个函数为正比例函数；
②这个函数为一次函数；
③函数值y随x的增大而减小．
【解析】 (1)由题意得 α＋1≠0，α－1＝1，解得 α≠－1，α＝2，即α＝2.
【答案】 2
(2)①若y＝3mx＋2m＋1是正比例函数，则m应满足 m≠0，2m＋1＝0.
解得m＝－12.
∴当m＝－12时，这个函数是正比例函数．
②当m≠0时，这个函数为一次函数．
③根据一次函数性质可知，当m＜0时，y随x的增大而减小．
对于函数y＝kxa＋b，当a＝1，k≠0时，为一次函数；当a＝1，k≠0，b＝0时，为正比例函
数.
[再练一题]
1．下列函数：①y＝－2x，②y＝15－6x，③c＝7t－35，④y＝1x＋2，⑤y＝13x，⑥y＝x2x，其
中正比例函数是________，一次函数是________．(填序号)
【答案】 ①⑤ ①②③⑤
一次函数的图象
画出函数y＝3x＋12的图象，利用图象求：
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(1)方程3x＋12＝0的解；
(2)不等式3x＋12>0的解集；
(3)当y≤12时，x的取值范围．
【精彩点拨】 求出函数图象与x，y轴的交点坐标，画出函数图象，然后根据函数图象，数
形结合，就可以解决上述问题．
【解】 由函数y＝3x＋12可知．当x＝0时，y＝12，当y＝0时，x＝－4，所以直线y＝3
x
＋12与x轴、y轴的交点坐标分别为(－4,0)，(0,12)．
函数图象如图所示：
(1)图象与x轴交点的横坐标是方程3x＋12＝0的解，即x＝－4.
(2)当x>－4时，函数图象位于x轴的上方，所以不等式3x＋12>0的解集为{x|x>－4}．
(3)由图象可知，直线与y轴交点的坐标是(0,12)，所以y≤12时x的取值范围为{x|x≤0}．
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，因此k的取值确定了直线的方向，b的取值
确定了直线在y轴上的截距，同时，直线的特征也确定了k，b的取值，总之要达到“数”与“形”
的统一，做到“数中含形，形中蕴数”．
2．(1)作一次函数图象时，常取直线与坐标轴的交点连线．
(2)若图象在x轴的上方，则对应的函数值大于0；反之，则函数值小于0.
[再练一题]
2．本题中解析式不变分别求“图象与坐标轴的两交点的距离”及“与坐标轴围成的三角形的
面积”．
【解】 令x＝0，得|OB|＝12，令y＝0，得|OA|＝4.
由勾股定理得|AB|＝122＋42＝410，
由三角形面积公式得S＝12×|OA|×|OB|＝12×4×12＝24.
[探究共研型]
一次函数的性质
已知函数y＝x＋1，y＝2x，y＝－x＋1，
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图221
探究1 上述函数的图象有何特点？
【提示】 图象都为直线．
探究2 观察以上图象，试说明函数的单调性．
【提示】 函数y＝x＋1，y＝2x为增函数，函数y＝－x＋1为减函数．
已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，当m为何值时：
(1)这个函数为一次函数；
(2)函数值y随x的增大而减小；
(3)此函数为奇函数；
(4)此函数图象与直线y＝x＋1的交点在y轴上．
【精彩点拨】 本题主要考查一次函数的概念、奇偶性与单调性，第(1)(2)(3)问易求，对于
第(4)问要重视方程组的作用．
【解】 (1)当2m－1≠0，即m≠12时，此函数为一次函数．
(2)根据一次函数的性质，可知当2m－1<0，即m<12时，函数值y随x的增大而减小．
(3)当2m－1≠0，且1－3m＝0，即m＝13时，此函数为奇函数．
(4)在y＝x＋1中，令x＝0，y＝1，
∴(0,1)是在y＝(2m－1)x＋1－3m的图象上，
∴m＝0，∴当m＝0时，两直线的交点在y轴上．
一次函数的值域或一次函数的最大值、最小值，常利用一次函数的单调性来求解.求一次函数
的解析式时，待定系数法是常用的方法.
[再练一题]
3．已知f(x)为一次函数且满足4f(1－x)－2f(x－1)＝3x＋18，求函数f(x)在[－1,1]上的最
大值，并比较f(2 015)和f(2 016)的大小.
【导学号：60210046】
【解】 设f(x)＝kx＋b(k≠0)．
由已知可得
4[k(1－x)＋b]－2[k(x－1)＋b]＝3x＋18.
整理，得－6kx＋6k＋2b＝3x＋18.
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∴ －6k＝3，6k＋2b＝18，解得 k＝－12，b＝212.
∴f(x)＝－12x＋212，易得f(x)在[－1,1]上为减函数(在R上也是减函数)．
∴函数f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝11且f(2 015)>f(2 016)．
1．一次函数y＝kx＋b(k＞0，b＜0)的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 直线y＝kx＋b(k＞0，b＜0)经过点(0，b)，在y轴的负半轴上，且y是x的增函
数．
【答案】 B
2．函数y＝kx＋k2－k过点(0,2)且是减函数，则k的值为( )
A．－2 B．－1
C．－1,2 D．1，－2
【解析】 将点的坐标代入函数关系式，得k2－k＝2，即k2－k－2＝0，所以k＝－1或k＝2，
由于一次函数为减函数，即k<0，所以k＝－1，故选B.
【答案】 B
3．关于x的一次函数y＝(3a－7)x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大
而减小，则a的取值范围是________.
【导学号：60210047】
【解析】 由题意得 a－2＞0，3a－7＜0，
∴ a＞2，a＜73，∴2＜a＜73.
【答案】 2，73
4．若一次函数y＝(3a－8)x＋a－2的图象与两坐标轴都交于正半轴，则a的取值范围是
________．
【解析】 由题意，得 3a－8<0a－2>0，
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解之，得2
5．已知y＝(m－1)xm2－3m＋3＋2是一次函数，且为增函数，求m的值．
【解】 ∵函数为一次函数且单调递增，
∴ m2－3m＋3＝1，m－1>0，
∴ m＝1或m＝2，m>1.
∴m＝2.
敬请批评指正