2016年浙江省数学高考模拟精彩题选——数列解答题 含答案

2016浙江精彩题选——数列解答题 【一、选择填空】

【二、解答题】 1.（2016名校联盟第一次）20．（本题满分15分）

设数列na满足 a1=a， an+1an-an2=1(nÎN*).

（Ⅰ）若 a3=52，求实数 a的值；

（Ⅱ）设*,()nnabnNn，若 a=1，求证： 2£bn<32(n³2,nÎN*).

2.（2016嵊州期末20）（本小题满分14分） 已知数列na的首项为11a,且141nnnaaa，*nN．

（Ⅰ）求2a，3a的值，并证明：21212nnaa； （Ⅱ）令212nnba，12nnSbbb．证明:9171896nnS． 解：[Ⅰ]252a，7183a． …………………2分 一方面，1422211nnnnnaaaaa，所以12121nnnaaa． …………………3分 由题可知0na，所以1202nnaa，即12na与2na异号， 故22na与2na同号，于是212na与212na同号． 又 1210a 所以212na． ……………5分 另一方面，

2122122121212121212121221212144244158.41252511nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa













……………7分 由212na知 21210nnaa，即2121nnaa． 综上所述：21212nnaa． ……………8分

（Ⅱ）2122121212122121422122412511nnnnnnnnnaaaaaaaaa， 由212nnba知121125nnnbba． ……………10分 又212112nnaa，所以11197nnbb． 而11b，所以当2n时 1211117nnnnbbbbbb







，同理：

119nnb





． ……………12分

故12nnSbbb

21111117711777617nn









1211919118919nnnnSbbb









综上：9171896nnS ……………14分 注：本题是可以用不动点算出通项的。 3.[2016嘉兴一模]（本题满分15分）数列}{na各项均为正数，211a，且对任意的*Nn，有)0(21ccaaannn．（Ⅰ）求321111acaccac的值； （Ⅱ）若20161c,是否存在*Nn，使得1na，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由． 证明：（Ⅰ）∵2111nnncaaa

∴nnncacaa1111，即nnncacaa1111 121111cacaa

232111cacaa ……

nnncacaa1111 ∴nncaccaccacaa111112111

∴121111111nnacaccaccaca

得211111321aacaccac （说明：依次求出32,aa也得满分） （Ⅱ）∵nnnnaaaa2120161，∴}{na单调递增. 得20162121aaa

由201621nnnaaa 20161111nnnaaa

201612016120161122016212017aaaa

∵)2016,,2,1(0iai ∴201620161122017a 解得：12017a 此时，1201721aaa 又∵201612016120161122017212018aaaa ∴12016201611122018a 解得：12018a 即数列}{na满足：201920182017211aaaaa. 综上所述，存在1na，且n的最小值为2018. …8分

4.（2016浙江六校联考20）已知数列{}na满足：114()2nnnaaa； （I）若34120a，求1a的值； （II）若14a，记|2|nnba，数列{}nb的前n项和为nS，求证：38nS 解：（1）2222411458()20225aaaaQ或 .........2分 当25=2a时，解得1=14a或 .........4分 当28=5a时，无解 所以，1=14a或 .........6分

[2]方法1：22114112(4)(44)(2)222nnnnnnnnaaaaaaaaQ ① 22114112(4)(44)(2)222nnnnnnnnaaaaaaaa ②

①/②得，因为21212(2)2(2)nnnnaaaa .........9分 12124212124121(2)(2)(2)(2)1....()()(2)(2)(2)(2)3nnnnnnnnaaaaaaaa









112211()3211()3nnna

 .........12分

11122211()443|2|2213311()3nnnnna

 12121|2||2|...|2|1144421832...2()2(1)133933313nnnnnSaaa



.........14分

方法2：因为14a，2112(2)02nnnaaa 又因为14a，所以2na 所以21402nnnnaaaa，所以{}na为单调递减数列 所以24na 2111224nnnaaa 1212(2)(2)24nnnnnaaaaa， 111112()(2)2()44nnnaa

所以： 121221...22...221121822()...2()2(1())444343nnnnnSbbbaaa





5（2016丽水一模20）（15分）已知数列na满足：212(*)nnaanN，且)10(11aaaa．

（Ⅰ）证明：nnaa1；

（Ⅱ）若不等式211111321321211naaaaaaaaaa

对任意*Nn都成立，求实数

a的取值范围．

备注：本题是一道奇葩裂项题，裂项训练时很有价值。

解：[Ⅰ] 211aaa 且)2)(2(4221nnnnaaaa 2na

又0)1)(2(221nnnnnnaaaaaa nnaa1 …………………（5分） [Ⅱ] aaaaa1121 2422212

112aaaaaa



4844223

112aaaaaa



┉

1222112nn

aa

aann

)111(1121aaa

])1)(1(111[111142242221aaaaaaa

a

aa ┉

])1()1)(1(1)1()1)(1(1[112422423211nnaaaaaaaaaaa

n

naaaaaaaaaa3213212111111

])1()1)(1(11[1242naaaa



aaaaaan)]1(1[1)111(12

2

2

1

由题意21a

所以210a。…………………（15分） 备注：本题是一道奇葩裂项题，裂项训练时很有价值。

6.（2016十二校联考20）．（本小题满分15分）已知各项为正的数列na满足112a，2211233nnnaaa，Nn．

（I）证明：101nnaa（*Nn）； （II）求证：1294naaan（*Nn）．