九年级数学北师大版三角函数
2025年北师大版九年级下册数学第1章第2节30 °,45 °,60 °角的三角函数值
返回
1 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，则sin A等于 1 ____2____.
返回
1
4. 计算：
(1)tan 30°·cos 45°－cos 60°·sin 45°； 解：原式＝ 33× 22－12× 22＝
66－ 42＝2
6－3 12
2 .
(2)sin230°＋sin260°＋1－tan 60°；
∴如果甲楼刚好不影响乙楼采光，那么两楼间的距离约是
51.9 m.
返回
2
11. [2024 陕西师大附中期中]如图，人爬坡时，坡面与水平面
的夹角为α，每爬坡 1 m 耗能1.025－cos αJ，若某人爬完 一个高度为 20 2 m 的斜坡，坡角α＝45°，则他耗能约(参
考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)( A )
1 (2)如果甲楼刚好不影响乙楼采光，那么两楼间的距离约
是多少？(结果精确到 0.1 m，参考数据： 3≈1.73) 解：如果甲楼刚好不影响乙楼采光，那么 AC 即为甲楼的
影长．连接 BC.在 Rt△ABC 中，AB＝30 m，∠ACB＝30°，
∴AC＝tanAB30°＝303＝30 3≈51.9(m)． 3
第一章 直角三角形的边角关系 2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值
1 2D 3 4
5A 6 60° 7 90° 8
温馨提示：点击 进入讲评 答案呈现
9 2 m 13
10
14
11 A 15
12 18 m
1
α sin α cos α
tan α
1.
30°
1 2
3 2
3 3
45°
2
1.3 三角函数的计算(课件)-2023-2024学年九年级数学下册(北师大版)
建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
二、自主合作，探究新知
(1)求改直后的公路AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，
根据正弦的定义，得sinβ= ，即sin
∴DE＝BDsin β°＝200sin42°(m).
42°＝ ，
E
二、自主合作，探究新知
探究二：利用计算器由三角函数值求角度
想一想：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修
建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
在Rt△ABC中，sinA=
屏幕显示结果cos 72°=0.309 016 994.
和
键.
也有的计算器是
先输入角度再按
函数名称键.
二、自主合作，探究新知
3.求 tan30°36'.
方法一： 第一步：按计算器
键，
第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用
键)，
屏幕显示答案：0.591 398 351；
方法二： 第一步：按计算器
北师大版 数学 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
3
三角函数的计算
学习目标
1.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.
(重点)
2.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.
（难点）
复习回顾
30°，45°，60°角的三角函数值：
三
角函
角α
三角函数
1.2 特殊角的三角函数值(课件)-2023-2024学年九年级数学下册(北师大版)
30°
60°
45°
45°
思考：你能用所学知识，算出30°，45°，60°的三角函数值吗？
二、自主合作，探究新知
探究一：30°、45°、60°角的三角函数值
问题(1)：sin30°等于多少?你是怎样得到的？
30°
2a
与同伴进行交流.
(2)：cos30°等于多少?tan30°呢？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大
增大（或减小）；
（或减小）而 _______
余弦值随着角度的增大（或减小）而 减小（或增大）
_______
.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：计算:(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
A．10 m
10 3
B.
m
3
B
)
5 3
C.
m
2
D．5 3 m
1
2
5.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____.
3
6.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____.：
（1）cos260°＋sin260°
cos 45
tan
45
（2）
sin 45
解： （1） cos260°＋sin260°
（2）
＝1
＝0
三、即学即练，应用知识
8.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，
小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.6m，
北师大版数学九年级下册111锐角三角函数27张PPT课件
比一比
1）在Rt△ABC中∠C =90°AC=5,AB=13,tanA=( 12 )
5
12
比一比
2）在Rt△ABC中∠C =90°AC=5,BC=12,tanB=( 5 )
12
比一比
3）在Rt△ABC中∠B =90° AC=5,AB=3,tanC=( 3)
4
4
比一比
4）. 在等腰Rt△ABC 中,∠C =90°,请思考：tanA 和tanB 有什么关系？
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
(2)B .1C1和 B2C2有什么 ? 关系相等
A1C A2C
A
（3）如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢
B1
B2 B3
C3 C2
C1
∠A的大小确定, ∠A的对边与邻边的比值不变。与三角形的大小没有关系。
要点归纳
判断梯子是否更陡，有如下方法：
1.可以利用倾斜角的大小比较，倾斜角越大，梯 子越陡.
C
tanA =tanB
B
A
比一比
5）已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A =∠B,则tanA ＝tanB; (2)若tanA =tanB,则∠A＝∠B.
学以致用
5
6）已知tanA=
12
, AC=120米，
求：塔高BC的长度.
学以致用
在现实生活中，自行车是很重要的交通工具，小明骑自行车 上学要经过两段上坡路.
探索发现
倾斜角越大——梯子越陡 铅直高度与水平宽度的比越大——梯子越陡 而tanA就是铅直高度与水平宽度的比
铅
直
高
A
度
水平宽度
课堂探究
归纳：∠A越大，tanA越 大 ，梯子越陡 .
北师大版九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.230、45、60角的三角函数值优秀教学案例
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，激发学生的思考和探究欲望。例如，可以鼓励学生思考：“直角三角形的边长和角度之间有什么关系？”
2.设计具有挑战性和思考性的问题，引导学生深入思考和探究。例如，可以提出一个问题：“如果已知一个直角三角形的斜边长度和其中一个锐角的大小，如何求出另一个锐角的大小？”
3.引导学生通过小组合作、讨论和交流，共同解决问题，培养学生的合作和沟通能力。
2.引导学生相互倾听和尊重对方的意见，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.教师在小组活动中扮演观察者和引导者的角色，及时给予学生反馈和指导，促进学生的发展。
（四）总结归纳
1.教师引导学生进行总结归纳，让学生思考和总结30°、45°、60°这三个特殊角的三角函数值的规律和应用。
2.教师可以通过提问学生：“你们总结一下30°、45°、60°这三个特殊角的三角函数值有哪些特点？”来引导学生进行总结。
2.教师通过观察学生的表现和作业情况，对学生的学习进行评价，及时给予学生反馈和建议。
3.教师可以设计一些评价表格或问卷，让学生对自己的学习进行评价，促进学生的自我认识和自我提升。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用实物和图片，展示一个直角三角形的模型，引发学生的兴趣和好奇心。可以提问学生：“你们知道直角三角形有哪些特殊的性质吗？”
北师大版九年级数学下册三角函数的计算课件
那么∠A是多少度呢？
新课讲授
问题2：sin A = BC = 1 ，可是求不出∠A.你能探索 AB 4
出求∠A的方法吗？
思考讨论：我们知道，给定一个锐角的度数，这 个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个锐角的三角 函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗？为什么？
新课讲授
C
40 m 10 m
A
B
我们曾经学习过直角三角形的判定定理——HL定 理.在上图中，斜边AC和直角边BC是定值，根据HL定 理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的， 当然∠A的大小也是唯一确定的.因此，可以借助计算器 求出∠A的大小.
新课讲授
如何用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小？
解： ①sin 56°≈0.829； ②sin 15˚49′ ≈ 0.273； ③cos 20° ≈0.940； ④tan 29° ≈0.554； ⑤tan 44˚59′59″ ≈1.000； ⑥sin 15°+cos 61°+tan 76° ≈4.754.
新课讲授
问题1：随着人民生活水平的提高，小轿车越来越 多，为了交通安全，某市政府要修建10 m高的天桥，为 了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40 m长的斜 道.这条斜道的倾斜角是多少？
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.怎 样用科学计算器求三角函数值呢？
看一下我们的计算器，上面的键有哪些与我们学 过的三角函数有关呢？
sin
cos
tan
sin-1
cos-1
tan-1
如何利用计算器来计算出sin 16°？
sin 1 6 = 0.275 637 355
北师大版数学九年级下册1.1锐角三角函数第1课时课件
tan A.
合作探究
解:设方程x2＋mx＋4＝0的两根分别为x1，x2，
根据根与系数的关系可知x1·x2＝4，
∵x1、x2为正整数解，∴x1、x2可为1、4或2、2.
又∵BC＝4，AB＝6，∴2＜AC＜10，∴AC＝4，∴AC＝BC
＝4，∴△ABC为等腰三角形.
过点C作CD⊥AB(如图)，∴AD＝3，∴CD＝ ，tan A＝
＝ .
合作探究
方法归纳交流 求解图形中有关角的正切值，在直角三角
形中可直接运用正切的定义求值，无直角三角形的要作辅助线
构造直角三角形求值.
合作探究
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，
如果CD＝3，BD＝2.求tan A的值.
◎重点:正切、倾斜程度、坡度的数学意义.
预习导学
激趣导入
如图，这是上海东方明珠塔的图片，它于1994年10月1日建
成.在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世
界第三，与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望.在塔顶俯瞰上
海风景，美不胜收.你能测出东方明珠塔的高度吗？那么就开始
本章的学习之旅吧！
A.
B.
C.
D.
合作探究
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、
∠C的对边，若b＝2a，则tan A＝
.
直角三角形两边的比为3∶4，则最小角的正切为
或
.
若某人沿坡度i＝3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位
置比本来的位置升高了 6 米.
北师大版九年级三角函数
北师大版九年级三角函数在我们的数学学习旅程中，九年级的三角函数就像是一座神秘而又充满魅力的山峰，等待着我们去攀登和探索。
三角函数不仅是数学中的重要概念，也是解决实际问题的有力工具。
接下来，让我们一起走进北师大版九年级三角函数的奇妙世界。
一、什么是三角函数三角函数是描述三角形中边与角之间关系的函数。
在一个直角三角形中，我们通常会用到三个主要的三角函数：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。
正弦函数（sin）是指一个锐角的对边与斜边的比值。
比如，在一个直角三角形中，如果一个锐角为 A，它的对边为 a，斜边为 c，那么 sin A ＝ a ／ c 。
余弦函数（cos）是指一个锐角的邻边与斜边的比值。
仍以上面的三角形为例，角 A 的邻边为 b，那么 cos A ＝ b ／ c 。
正切函数（tan）则是指一个锐角的对边与邻边的比值，即 tan A ＝a ／b 。
二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数都具有周期性。
正弦函数 sin x 的周期是2π，余弦函数 cos x 的周期也是2π。
这意味着，每隔2π 的长度，函数的值会重复出现。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin x ；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos x 。
3、值域正弦函数和余弦函数的值域都在－1, 1 之间，而正切函数的值域是全体实数。
三、三角函数的应用三角函数在实际生活中有广泛的应用。
比如，在测量建筑物的高度时，如果我们知道测量点到建筑物底部的距离以及测量点观察建筑物顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算建筑物的高度。
在航海中，通过测量船只与灯塔之间的角度以及距离，可以确定船只的位置。
在物理学中，三角函数也经常用于描述周期性的运动，如简谐振动。
四、如何求解三角函数要准确求解三角函数的值，需要掌握一些特殊角度的三角函数值。
比如，30°、45°、60°等常见角度的正弦、余弦和正切值，我们应该牢记于心。
北师大版九年级数学下册第1章第2节特殊角的三角函数值(共24张PPT)课件
一.复习巩固: 1.正弦、余弦、正切、的定义 在△ABC中,∠C为直角. A
sin A=
∠A的对边 斜边
=
a c
cos A=
∠A的邻边 斜边
=
b c
∠A的对边 tanA= ∠A的邻边
=
a
b
B
c
a
对 边
┓
b
邻边 C
0＜sinA＜1
0＜cosA＜1
tan A>0
2.Rt△ABC中,∠C=90°, a:b=5:12,
B
k
2k
C
45° A k
3.特殊角三角函数值表
三α角函数 sinα
cosα
tanα
30° 45°
1
2
2
2
3
2
2
2
3
1
3
60°
3 2
1 2
3
求下列各式的值:
(1) 2sin30°－cos45°= 2 1 －
2
2 2
=
2 2 2
(2) sin60°tan30°= 3 3 = 1 23 2
(3) sin230°+ cos230°= (1)2 ( 2
板，进行观察与推算sin30°,sin45°,sin60°,
cos30°,cos45° ,cos60°的值.
B
B
k 60° 2k
C
30°
3k
sin 30 1
2
cos 30 3 2
k
2k
A C k 45° A
sin 45 2 sin 60 3
2
2
cos 45 2 cos 60 1
北师大版数学九年级下册课件《三角函数的计算》
tan∠BAD′等于
2 2
.
16
15
课堂小结
本节课你学习了什么知识？ （1）计算器的使用方法. （2）整度数角的三角函数值的求法. （3）非整度数角的三角函数值的求法. （4）用计算器由锐角三角函数值求相应锐
角大小的方法.
14
16
1.用科学计算器求三角函数值
ssinin26°2= 6 =
；
tatnan 353528305''' =28 0 ' '' 35；0 ' '' =
coscos19°1= 9 =
.
2.用科学计算器求角度
SsHinIAF=T0.98s1in6，0∠A·= 9 8 1； 6 = 0 ' ''
ScHosIBF=T0.86c0o7s，0∠B·= 8 6 0； 7 = 0 ' ''
C 30 °
E
BC EF 128.0
sin30
DE DC
DE 100
0.5
A
40°
B
F
DE 50
∴DF=DE+EF≈50+128.0=178.0 （m）
14
12
练习：如图，为测量一棵与地面垂直的树
OA的高度，在距离树的底端30米的B处，
测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的
高度为
（）
A．tan3030 米 B．30sinα米
则腰长为（ 2 ）
2.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=600，AC=4，则
BD长为（ 2 3
）
3.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弟1页/（共2页） 弟2页/（共2页）
北师大版九年级数学
例1：已知在Rt ABC △中，3
90sin 5C A ∠==
°，，则tan B 的值为（ ） A ．43
B ．4
5
C ．54
D ．
3
4
例2
：104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=______．
例3：先化简．再求代数式的值．2
2 ()211
1a a
a a a ++÷
+-- 其中a ＝tan60°－2sin30°． 1.如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．
sin A =
B ．1
tan 2
A = C
．cos B = D
．tan B =
2．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）
A ．34
B ．43
C ．35
D ．4
5
3．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ） A ．2cm 4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2
25
5.为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（ ）A ．
1
4
B ．4
C 6.如图，在梯形ABC
D 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA=
5
4
，BC ＝10，则AB 的值 1．如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则cos AOB ∠的值是 ．
2．九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米；
（3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．
根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1 1.73≈）
3．如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ．
（第18题图）
A
C B
5.如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C 重合，连结B A '，则C B A ''∠tan 的值为 .
6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，点D 是BC 上一点，AD=BD ，若AB=8，BD=5，则CD= .
三、解答题 1．求值1
1|2|20093tan 303-⎛⎫
+--+ ⎪⎝⎭
°
2. 计算：0
2009
12sin 603tan 30(1)3⎛⎫
-++- ⎪⎝⎭°°
A C (
B ′)
B
A ′
C ′
A
D
B E
C
60°
第2题图
60°
P
Q
2cm
α
B
C
A。