电路相量法
第八章 相量法
ψ
0
ωt
Im , ω , ψ ——正弦量的三要素 正弦量的三要素 正弦量的
i(t)=Imcos(ω t+ψ) 二,正弦量的三要素 1, 幅值 (振幅, 最大值 m , 振幅, 振幅 最大值)I
i
ωT=2π π
ψ
0
ωt
2, 角频率ω : 反映正弦量变化的快慢. ω =d(ω t+ψ )/dt , 反映正弦量变化的快慢. 单位时间内变化的角度 单位: rad/s,弧度 秒 单位: ,弧度/秒 周期T 完成一个循环变化所需时间, 周期 : 完成一个循环变化所需时间,单位 s. . 频率f 每秒钟完成循环的次数,单位: 赫兹) 频率 : 每秒钟完成循环的次数,单位:Hz(赫兹 . 赫兹
T i 2 ( t ) Rdt R W交 = ∫0
周期电压如图所示.求其有效值U. 例 周期电压如图所示.求其有效值 . u(t)/V 2 1 0 1 2 3 4 5 6 t/s
根据有效值的定义, 解 根据有效值的定义,有
1 U= T =
∫
T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 1 dt + ∫ 2 dt + ∫ 0 2 dt = 1.29 V ∫0 1 2 3
π
UL
I
相量图
或
U I= ωL
I
3,相量形式: ,相量形式: jω L
+
UL
U L = jωLI = jX L I
XL=ω L,称为感抗,单位为 (欧姆 欧姆) ,称为感抗,单位为 欧姆
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相量模型 4,感抗的物理意义 ,
U (1) 表示限制电流的能力; I = 表示限制电流的能力; ωL (2) 感抗和频率成正比 ω =0 直流(XL=0) , ω→∞开路; 感抗和频率成正比, 直流( →∞开路 开路; XL
电路原理(邱关源)习题答案第八章 相量法
第八章 相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。
引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。
这就是用相量分析电路的理论根据。
8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=；（4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。
解：（1）a j F =--=551θ∠25)5()5(22=-+-=a13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限)故1F 的极坐标形式为 135251-∠=F（2） 13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二象限）（3） 43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F（4） 9010104∠==j F（5） 180335∠=-=F（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：2221a a a += 12arctan a a =θ和 θcos 1a a = θsin 2a a =需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。
8－2 将下列复数化为代数形式：（1） 73101-∠=F ；（2） 6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6） 135101-∠=F 。
8.《相量法》
电压、电流关系 瞬时值 有效值
相量图
I
功率 相量式 有功功率 无功功率
u
2U sin t
U
R
u
i 2I sin t u、 i 同相 通常把XL=ωL定义为电感元件的感抗
i 设
u iR
R
U IR
I R U
UI
则
0
L
u
di jX L uL 则 dt jL u
I I I L C R
1 I U jLI L C S jC 1 RI R IC jC
Page 27
8.4 电路定律的相量形式 电感元件VCR的相量形式
i(t) + uL (t) I
i(t )
L
u L(t ) L
di(t ) dt
2I cos(t i )
π ) 2
2 L I cos( t i
+
UL
jL
I I i
UL LI (i 2)
L uS + iL iC C
iR R
U S
j L +
I L
I C
I R
1/j C
R
时域电路
相量模型
Page 34
8.4 电路定律的相量形式
i L iC i R
di 1 L L iC dt uS dt C 1 R i R iC dt C
时域列写微分方程
UI
I jX U C
C sin(t 9 0)
C
U
0
I 2 XC
u落后i 90°
Page 30
邱关源《电路》第五版 第八章 相量法
电力系统简介
HVDC Rectifier(整流器)
相量法
Inverter(逆变器)
Power Line(输电线) Power Plant Generator 电厂(发电机) Transformer 变电站（变压器）
第八章 复数（自学） 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
相量法
§8-1 复数（自学）
Charles Proteus Steinmetz
(1865～1923)
§8-3 相量法的基础
一、正弦量的相量
i 2I cos(t i )
设有一个复指数函数
2 Ie j( t i )
2 Ie j( t i ) 2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i ) Re[ 2 Ie j( t i ) ] 2 I cos( t i ) i
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
2 I m cos2 ( t i )dt
Im 0.707 I m 2
I m 2I
i I m cos( t i ) 2I cos(t i )
§8-2 正弦量
四、同频正弦量的相位差 同频正弦量相角之差称为相位差。用 表示。
i
u
反 相
t
u
正 交 0
i t 0
1 2
i
t
电 压 超 前 电 流
§8-3 相量法的基础
The notion of solving ac circuits using phasors
was first introduced by Charles Proteus Steinmetz
电路相量法
6
3. 旋转因子ejq
旋转因子 ejq =1∠q是一个模 等于1，辐角为q的复数。
+j
Aejq
qA
任意一个复数A=|A|ejqa乘以
ejq ，等于把A逆时针旋转q
qa
+1
角度，而模|A|保持不变。 o
ej
p
2
=j
-j p
e 2 = -j
e jp = -1
都是旋 转因子
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。
U = 220V ， 则其最大值为Um≈311V。
2020年10月19日星期一
11
需要注意的是
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝 缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑 电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
2020年10月19日星期一
4
复数减的图解
+j F=F1-F2
F1
F2
F
o
+1
+j -F2
F=F1-F2
F2
F1
o
+1
若F1 = F2 即两个复数相等 则必须是
|F1| = |F2|，q1=q2
或者 a1 = a2，jb1= jb2
难点
1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系、相量图。
相量法
i , Im , I
例:i = 10 sin(314t+30°) A ° u= 5 cos(314t-150°) V ° 求电压和电流的相位差. 求电压和电流的相位差.
= 30° (150°) = 180°
i = 10 sin(314t+30°) ° = 10 cos(314t+30°-90°) ° ° = 10 cos(314t-60°) °
i 2,角频率ω ,角频率 Im 反映正弦量变化的快慢 2π 单位 rad/s O ωT=2π,ω=2πf π f=1/T ψi 频率f 的单位为赫兹 赫兹( ) 频率 的单位为赫兹(Hz) 周期T的单位为 的单位为秒 ) 周期 的单位为秒(s) f =50Hz,T = 0.02s ω =314 rad/s
二,正弦量的三要素: 正弦量的三要素
i + 瞬时值表达式: 瞬时值表达式: u
振幅I 角频率 初相位(角 角频率ω,初相位 振幅 m,角频率 初相位 角)ψi
-
i = I m cos( ω t + ψ i )
1,振幅Im ,振幅 正弦量在整个振荡过程中达到的最大值. 正弦量在整个振荡过程中达到的最大值.
i = 10 sin(314t+30°) °
= 60° (150°) = 90°
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率,同函数,同符 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率,同函数, 计算下列两正弦量的相位差. 计算下列两正弦量的相位差. 解 例 且在主值范围比较. 号,且在主值范围比较.
(1) i1(t ) = 10cos(100π t + 3π 4) i2 (t ) = 10cos(100π t π 2)
U=
def
第八章相量法.ppt
正弦i、u 本章内容
相量法
正弦i、u的相量表示法、相量法 KCL、KVL的相量形式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4
复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
一、复数表示方法：
（1）直角坐标形式：
A = a + jb
说明：
a = Re A ...... 实部
b = Im A
§8-3
相量法的基础
２、相量法分析思路
时域模型——相量模型——时域模型
举例说明相量法分析思路
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式 二、R、L、C元件VAR的相量形式
三、相量法分析思路
四、举例说明相量法的简单应用
§8-4
电路定律的相量形式
一、KCL、KVL相量形式
1、KCL：
（1）时域形式
i(t) 为 2 I e jωt + φ 在实轴上的波形
+1
i
i = 2 Icos(ωt + )
+j
2I
φ
O
O
t
§8-3
相量法的基础
二、相量法 1、引入相量法优点 （1）正弦量加减运算 * 时域运算 i = i1 t + i2 t + i3 t （必须利用三角函 数变换公式） * 相量运算： I = I1 + I2 + I3 * 推广： i = i1 - i2 I = I1 - I 2
i t
= 0
i1 ( t )
i2 ( t )
i1 ( t ) 2 3cos(314t 30) i2 ( t ) 2 4cos(314t 60) 求i3 ( t ) ?
3.2相量表示法
例已知正弦电量的瞬时值表达式分别为
，
e 180 2 sin(t 60) V i 10 2 sin(t 30) A
要求（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
（2）画出各正弦量对应相量的相量图。
方法2：用图解法求总电流i
① 根据电流i1、i2的瞬时值表达式，写出对应的相量表
达式。
I1
630
A
I 2 8 60 A
② 画出 I1 I 2 ，用矢
量求和法作出电流的相量
图，如图（b）所示。由
相量图确定正弦电流的有
效值和初相位
I 10 A 23.1
③ 写出电流对应的相量表达式
最大值
3.已知：
I 4 e
j30
A
复数
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？ ？ U 100 ej15 V
负号
3.2.3相量的计算
（1）复数的加减运算 设两个复数分别为A1 = a1 + jb1，A2 = a2 + jb2，
② 用复数符号法求和，得到电流i对应的相量表达式
I I1 I2
(5.196 j3) (4 j6.928)
I 10 23.1A
9.296 j3.928 10 23.1A
③写出电流i的瞬时值表达式。
i 10 2 sin(t 23.1)A
解：（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
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电路相量法
相量法是分析讨论正弦电流电路稳定状态的一种简洁易行的方法。
它是在数学理论和电路理论的基础上建立起来的一种系统方法。
1、问题的提出
在上图所示的电路中，依据KVL，列写微分方程如下
当激励u(t)是正弦量时，uC(t)及iL(t)均为同频率的正弦量。
这一重要结论具有普遍意义，即线性非时变电路在正弦电源激励下，各支路电压、电流的特解都是与激励同频率的正弦量，当电路中存在有多个同频率的正弦激励时，该结论也成立。
工程上将电路的这一特解状态称为正弦电流电路的稳定状态，简称正弦稳态。
电路处于正弦稳态时，同频率的各正弦量之间仅在有效值（或幅值）、初相上存在差异和联系，这种"差异和联系"正是正弦稳态分析求解中的关键问题。
结论：同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。
因此采纳
2、正弦量的相量表示：
构造一个复函数，（无任何物理意义）
取该复函数的实部，，为一个正弦量，有物理意义。
结论：任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。
如
复函数F(t) 还可以写成，其中为复常数。
F(t) 包含了正弦量的三要素：幅值（此处为有效值）I、初相Y 、角频率w。
有如下关系
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
正弦量除可用上述的相量式表示以外，还可在复平面上用相量图形式表示。
如图所示。
图相量图留意
相量的模表示正弦量的有效值；
相量的辐角表示正弦量的初相位。
例已知，试用相量表示i和u。
解：
3、相量法的应用
① 同频率正弦量的加减
所以相量关系为：
结论：同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
同频率的正弦量相加减，还可以借助相量图进行计算。
令，，下面用相量图求解。
图(a)为平行四边形法则求解，图(b)为三角形法则求解。
(a) (b)图相量图进行相量的加法运算② 正弦量的微分、积分运算
令
微分运算：
积分运算：
所以；
相量法的优点：
① 把时域问题变为复数问题；
② 把微积分方程的运算变为复数方程运算；
③ 可以把直流电路的分析方法直接用于沟通电路。
留意
①正弦量=相量
时域=频域
正弦波形图=相量图
②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路；
③相量法用来分析正弦稳态电路。