电路理论第08章相量法
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电路__相量法
T0
I T 10TIm 2co2(swt)dt
w w T c2 ( o t s ) d t T 1 c2 ( o t s ) d t 1 tT 1 T
0
0
2
20 2
I
T1Im 2 T2
Im 2
0.7
0I7m
Im 2I
w w i( t) I m co t s) (2 I co t s)(
1.247j0.569 1.4 2 82.61
例2. 22 3 05 (17 j9()4 j6)? 2 0j5
解：上式
1.2 9 42.9 77.21 51.3 6
18.20j12.26
2.6 0 21.0 44
1.2 8 j1 0.2 6 6 .7 2 7.8 1 0 6
乘法：模相乘，角相加。
F F 1 2 ||F F 2 1|| θ θ 1 2 ||F F 2 1 ||e e j j θ θ 2 1 ||F F 1 2 ||e jθ ( 1 θ 2 ) ||F F 1 2 || θ 1 θ 2 除法：模相除，角相减。
例1. 5 4 7 1 0 2 5 ? 解: 5 4 1 7 0 2 ( 5 3 . 4 j 3 1 . 6 ) 5 ( 9 . 0 7 j 6 4 . 2 ) 3 2
F|F|ej|F|
两种表示法的关系： F=a+jb
F=|F|ej =|F|
Im
直角坐标表示 b |F|
F
极坐标表示
O
|F
|
a2 b2
θ arctg
b a
或
a | F | cos
《 电路》第8章 相量法
2. i 5 cos t 50
0
1 UC 5. j C I C jC
3. I m j CUm Um
6. U L j LI L
di L 7. u C dt
UL Um 4. X L IL I m
返 回
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例5
A
已知 UAB 50V, UAC 78V, 问：UBC ?
1
i2 (t ) 3 cos(100 π t 300 )
返 回 上 页 下 页
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos( t θ ) U Uθ
例1
i 141.4 cos(314t 30o )A 已知 u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示i, u . 解
I 10030 A,
o
U 220 60o V
例2
解
已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
i 50 2cos( 314t 15 ) A
返 回
上 页
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例1 试判断下列q
F Re
返 回
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例
解
已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
i(t ) 100 cos( t ) 10 t 0 50 100 cos
3
100 50 o
i
π 3
π 3
3
t t1
由于最大值发生在计时起点右侧
I +
0
1 UC 5. j C I C jC
3. I m j CUm Um
6. U L j LI L
di L 7. u C dt
UL Um 4. X L IL I m
返 回
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例5
A
已知 UAB 50V, UAC 78V, 问：UBC ?
1
i2 (t ) 3 cos(100 π t 300 )
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos( t θ ) U Uθ
例1
i 141.4 cos(314t 30o )A 已知 u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示i, u . 解
I 10030 A,
o
U 220 60o V
例2
解
已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
i 50 2cos( 314t 15 ) A
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例1 试判断下列q
F Re
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例
解
已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
i(t ) 100 cos( t ) 10 t 0 50 100 cos
3
100 50 o
i
π 3
π 3
3
t t1
由于最大值发生在计时起点右侧
I +
8.《相量法》
电压、电流关系 瞬时值 有效值
相量图
I
功率 相量式 有功功率 无功功率
u
2U sin t
U
R
u
i 2I sin t u、 i 同相 通常把XL=ωL定义为电感元件的感抗
i 设
u iR
R
U IR
I R U
UI
则
0
L
u
di jX L uL 则 dt jL u
I I I L C R
1 I U jLI L C S jC 1 RI R IC jC
Page 27
8.4 电路定律的相量形式 电感元件VCR的相量形式
i(t) + uL (t) I
i(t )
L
u L(t ) L
di(t ) dt
2I cos(t i )
π ) 2
2 L I cos( t i
+
UL
jL
I I i
UL LI (i 2)
L uS + iL iC C
iR R
U S
j L +
I L
I C
I R
1/j C
R
时域电路
相量模型
Page 34
8.4 电路定律的相量形式
i L iC i R
di 1 L L iC dt uS dt C 1 R i R iC dt C
时域列写微分方程
UI
I jX U C
C sin(t 9 0)
C
U
0
I 2 XC
u落后i 90°
Page 30
08相量法
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。 可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算 3)除法运算 a)代数形式 )
F1 a1 + jb1 (a1 + jb1 )(a 2 − jb2 ) (a1a 2 + b1b2 ) + j ( a 2 b1 − a1b2 ) = = = 2 2 F2 a 2 + jb2 (a 2 + jb2 )(a 2 − jb2 ) a 2 + b2
F1 | F1 | ∠θ 1 | F1 | = = ∠(θ 1 − θ 2 ) F2 | F2 | ∠θ 2 | F2 |
可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。 可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
4)相等运算 ) 在复数运算中常有两个复数相等的运算。 在复数运算中常有两个复数相等的运算。两个复数 相等必须满足两个条件：复数的实部、 相等必须满足两个条件：复数的实部、虚部分别对应相 或者复数的模和辐角分别对应相等。 等；或者复数的模和辐角分别对应相等。即若
当 cos(ω t + ψ i ) = −1 时，正弦量有最小值imin=－Im。 正弦量有最小值
imax－imin=2 m 称为正弦量的峰－峰值。 =2I 称为正弦量的峰－峰值。
2)角频率 2)角频率ω 随时间变化的角度( 为正弦量的相位（或相角）。 ）。ω 随时间变化的角度(ωt +ψi)为正弦量的相位（或相角）。 角频率， 为正弦量的角频率 是正弦量的相位随时间变化的角速度， 为正弦量的角频率，是正弦量的相位随时间变化的角速度，即
b)指数形式 )
F1 | F1 | e jθ 1 | F1 | j (θ 1 −θ 2 ) e = = jθ 2 F2 | F2 | e | F2 |
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。
● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。
● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。
讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。
本章共用4课时。
● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
电路第08章 相量法(3h)
1
i2 (t ) 3 cos( 100 π t 30 0 )
顾雯雯：西南大学工程技术学院，博士，讲师 邮 箱：guwenwen@
19/56 19/56
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
顾雯雯：西南大学工程技术学院，博士，讲师 邮 箱：guwenwen@
4/56 4/56
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若 则 Im F2
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2
Im
F1+F2
F2
3. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
规定： |j | (180°)
等于初相位之差
顾雯雯：西南大学工程技术学院，博士，讲师 邮 箱：guwenwen@
顾雯雯：西南大学工程技术学院，博士，讲师 邮 箱：guwenwen@
下 页
正弦电流电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
1 1 t T 2 0 2
T
i2 (t ) 3 cos( 100 π t 30 0 )
顾雯雯：西南大学工程技术学院，博士，讲师 邮 箱：guwenwen@
19/56 19/56
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
顾雯雯：西南大学工程技术学院，博士，讲师 邮 箱：guwenwen@
4/56 4/56
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若 则 Im F2
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2
Im
F1+F2
F2
3. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
规定： |j | (180°)
等于初相位之差
顾雯雯：西南大学工程技术学院，博士，讲师 邮 箱：guwenwen@
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正弦电流电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
1 1 t T 2 0 2
T
电路相量法
6
3. 旋转因子ejq
旋转因子 ejq =1∠q是一个模 等于1，辐角为q的复数。
+j
Aejq
qA
任意一个复数A=|A|ejqa乘以
ejq ，等于把A逆时针旋转q
qa
+1
角度，而模|A|保持不变。 o
ej
p
2
=j
-j p
e 2 = -j
e jp = -1
都是旋 转因子
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。
U = 220V ， 则其最大值为Um≈311V。
2020年10月19日星期一
11
需要注意的是
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝 缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑 电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
2020年10月19日星期一
4
复数减的图解
+j F=F1-F2
F1
F2
F
o
+1
+j -F2
F=F1-F2
F2
F1
o
+1
若F1 = F2 即两个复数相等 则必须是
|F1| = |F2|，q1=q2
或者 a1 = a2，jb1= jb2
难点
1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系、相量图。
电气自动化专升本电路复习 8章 相量法
8－1 将下列复数化为极坐标形式：
（1） F1 = −5 − j5 ；（2） F2
= −4 + j3 ；（3） F3
= 20 + j 40 ；
（4） F4 = j10 ；（5） F5 = −3 ；（6） F6 = 2.78 + j9.20 。
解：（1） F1 = −5 − j5 = a ∠θ
a = (−5)2 + (−5)2 = 5 2
第八章 相量法
求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量 法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳 态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画 出电路的相量模型，利用 KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电 流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握 ：（1）正弦信号的 相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4） 复数的运算。这就是用相量分析电路的理论根据。
F1
10∠ − 73o F5 = 5∠ −180o
= 2∠ − 73o + 180o = 2∠107o
8－6 若已知。 i1 = −5 cos(314t + 60o )A,i2 = 10 sin(314t + 60o ) A, i3 = 4 cos(314t + 60o )A
（1） 写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图； （2） i1与 i2 和 i1与 i3 的相位差； （3） 绘出 i1的波形图； （4） 若将 i1表达式中的负号去掉将意味着什么？ （5） 求 i1的周期 T 和频率 f。 解：（1） i1 = −5 cos(314t + 60o ) = 5cos(314t + 60o − 180o ) = 5cos(314t −120o )
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积分运算
idt Re
2Iejw t
dt
Re
2
Iejw t
jw
di dt
jw
I w
I
yi
π 2
idt
I
jw
I
w
yi
π 2
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例 i(t)
+R
u(t)
L
-
C
i(t) 2 I cos(w t y i )
u(t)
Ri
L
di dt
1 C
idt
用相量运算：
U RI jwLI
I
jwC
是一个正弦量 有物理意义
唯一与其对应的复数函数。
i 2Icos(w t Ψ ) F (t) 2Ie j(wtΨ )
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F(t) 还可以写成 复常数
F (t) 2Ie jy e jwt 2Ie jwt
F(t) 包含了三要素：I、 、w， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
i2 (t) 3cos(100π t 300 )
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
物 直流I R 理 意
义 W RI 2T
交流 i R
W
T
0
Ri2 (t)dt
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均方根值
相量法的优点
①把时域问题变为复数问题；
②把微积分方程的运算变为复数方程运算； ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
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注意 ① 正弦量
相量
时域 正弦波形图
频域 相量图
②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变
线性电路。
不
适
线
w1 线
w非
j ＝ 0， 同相
j = (180o ) ，反相
u
u
i
o
wt
j= /2：u 领先 i /2
o
u i
o
i wt wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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例 计算下列两正弦量的相位差。
解 (1) i1(t) 10cos(100π t 3π 4)
结论
i2 (t) 10cos(100π t π 2) 两个正弦量
|F1| |F2|
θ1 θ2
模相除 角相减
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例1 547 10 25 ? 解 原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61 例2 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5 解 原式 180.2 j126.2 19.2427.9 7.21156.3
u(t) 2Ucos(w t θ) U Uθ
+j •
U
•
I
+1
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4. 相量法的应用
①同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos(w t Ψ 1) Re(
2
•
U
1
e
jw
t
)
u2 (t)
2 U2 cos(w t Ψ 2) Re(
2
•
U
2
e
jw
t
)
u(t)
u1(t) u2 (t) Re(
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②测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。
i, Im , I , u,Um ,U
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8.3 相量法的基础
1. 问题的提出
电路方程是微分方程：
+R
u
-
iL
L
+
uC-
C
LC d2uC dt
RC duC dt
2
•
U
1
e
jwt
)
Re(
2
•
U
2
e
jwt
)
Re(
•
2U1
e jwt
2
•
U
2
e jwt
)
Re(
2
•
(U
1
•
U
2
)e
jwt
)
相量关系为： U U1 U2
U
结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量
的加减运算。
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i1 i2 = i3
I1 I2 I3
例 u1(t) 6 2cos(314t 30) V
i(t)=Imcos(w t+y) 正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT )
周期T 和频率f
t
f 1 T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz
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正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
def
I
定义电压有效值：
1 T
T
0
i2
(t )dt
def
U
1 T u2 (t)dt
T0
正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+ )
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I
1 T
T
0
I2 m
cos2 (
w
t
Ψ
) dt
T
0
cos2
(
w
t
Ψ
)
dt
T
0
1
cos2(w
2
t
Ψ
) dt
1tT 1T 20 2
Im 2I
u2 (t) 4 2cos(314t 60o ) V
U U1 U2 630 460
U1 630o V U2 460o V
5.19 j3 2 j3.46 7.19 j6.46
9.6441.9o V
u(t) u1(t) u2(t) 9.64 2cos(314t 41.9o ) V
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
i(t) Im cos(w t Ψ ) 2I cos(w t Ψ )
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同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2 Um
或 Um 2U
若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V
其最大值为
注意
Um311V
Um537V
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。ImjFF Nhomakorabeaπ,
2
jπ
e2
cos π
jsin
π
j
0
Re
2
2
jF
F
π,
j π
π
π
e 2 cos( ) jsin( ) j
2
2
2
π , ejπ cos(π) jsin(π) 1
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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8.2 正弦量
1. 正弦量
i
T
波形
瞬时值表达式 0
100 i
t 0 50 100cosy
y π 3
y π 50
t
3
由于最大值发生在计时起点右侧
o t1
i(t) 100 cos(103t π) 3
当 103t1 π 3 有最大值
t1＝1π033 ＝1.047ms
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3. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
试用相量表示i, u .
•
•
解 I 10030o A, U 220 60o V
•
例2 已知 I 5015A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
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相量图
在复平面上用向量表示相量的图
i(t) 2Icos(ω t Ψ ) I IΨ
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理论 价值和实际意义。
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2. 正弦量的三要素 i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (振幅、最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率ω
相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
w 2π f 2πT
(3) 初相位y
单位： rad/s ，弧度/秒
或 a | F | cos
b | F | sin
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
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若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
o 图解法
F1 Re o
F1
Re
F1-F2 -F2
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uC
u(t)
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：
i1 2 I1 cos(w t y1)