初二上数学培优讲义一 A B 勾股定理

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A
初二上数学培优讲义一 A 勾股定理
类型之一 利用勾股定理求面积
例题1、如图，图中A,B 两个字母代表的正方形的面积是多少？
变式练习1：1、如图所示：四边形ABCD 的面积是多少？
2．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是 cm 2．
3．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为 S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）．
（A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+ （C ）321S S S <+ （D ）无法确定
4．在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的
四个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_________．
5．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，
(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S 1＋S 2与S 3的关系；
(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S 1＋S 2与S 3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．
图① 图② 图③
400625
B D C
1334B A 3
2
1
S S S 7cm
D A
C B
类型之二 已知两边，求第三边
2(1)90,5,12,(2)90,3,4,(3)90,::(4)90,30,::ABC C a b c ABC B a b c ABC C AB AC BC ABC C B AB AC BC ∆∠=︒===∆∠=︒===∆∠==∆∠=︒∠=︒=
例、填空：
在直角中，则在直角中，则在等腰直角中，则在直角中，
则
变式练习2：1．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )．
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是_________．
类型之三 勾股定理的综合运用
3.90,(1)6,8,(2)40,41,;
(3):3:4,15,RT ABC C a b c CD
a c
b a b
c b
∆∠=︒=======例如图在中，求及斜边上的高求求
变式3、如图所示，为了测量一条河的宽度，一测量员在河岸边的C 处测得对岸A 处在正南方向，测量员向正东方向走了180米，测得这棵树在南偏西60︒的方向，求河的宽度？
类型之四 勾股定理与其它几何知识的综合
56,8,ABC AC cm BC cm AC AD AB C E CD ==例、(1)如图所示，有一块直角三角形纸板，两直角边现在将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且点落在处，求的长？
(2):,,,,12,5,DEF
RT ABC AB AC D BC E F AB AC DE DF BE CF S ∆∆=⊥==、已知如图在等腰中，是斜边的中点，分别是边上的点，且若求
5(1),15,20,12ABC AB AC BC AD BC ∆===变式、中边上的高，试求的长？
D
C
B
A C
B
A
E
D
C
B
A
D
C
B
A
(2)3,8ABCD AE D BC F CE cm AB cm ==将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，已知，求图中阴影部分的面积？
（3）已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，若 AB = 8cm ，BC = 10 cm ，求EC.
知识拓展
1．如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
3．在Rt △ABC 中，∠A=90°，P 是AC 中点，PD ⊥BC ，D 为垂足，若BC=9，DC=3，求AB 2
4．在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，P 为BC 上任一点，求证：AP 2= AB 2-PB ·PC
5.直角△的周长为40cm ，斜边长为17cm ，求这个Rt △的面积。

6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）．
（A ）24cm 2 （B ）36cm 2 （C ）48cm 2 （D ）60cm 2
F E
D
C
B
A
E F 8
6C
B
A
D
E
初二上数学培优讲义二 勾股定理及逆定理提高训练
考点一 证明三角形是直角三角形
例1、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD.求证：△ABC 是直角三角形.
针对训练：1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.
2(如图) 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41
BC ，
求证：∠EFA=90︒.
3、如图，已知：在ΔABC 中，∠C=90︒，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：AD 2=AC 2+BD 2.
考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例2、如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝20，D 为AB 上一点，CD ＝16，BD ＝12，
求△ABC 的周长。

针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD 的面积
.
A
B D
C
F
E A
B
C
M
D
考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用
例3.阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判断△ABC 的形状.
解：∵a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，(A)∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2)，(B)∴c 2=a 2+b 2，（C)∴△ABC 是直角三角形. 问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.
针对训练： 1、如图所示，有一块塑料模板ABCD ，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角
三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合)并在AD 上平行移动：能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.
2：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．
提高训练
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3
B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5
D.三内角之比为3∶4∶5
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.
图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6
3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.
4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=4
1
AD ，试判断△EFC 的形状.
5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺
寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？
图18－2－7
6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.
7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角
形吗？为什么？
8、若△ABC的三边长为a、b、c，且a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，判断△ABC的形状。

9．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．
10．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
11．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．
12．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．。