八年级数学上册探索勾股定理(第一课时)教案

探索勾股定理教学设计第（一）课时教学设计思想：本节内容需三课时讲授；勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论.本节意图让学生自己经过观察、归纳、猜测和验证，发现勾股定理.初中学生思维活跃，求知欲强，好奇心浓，所以处理教材内容上尽量发挥学生的学习主动性.设计方格纸上计算面积，用拼图的方法验证等活动，以真正实现学生在知识、智力、水平和全面提升.为面向全体学生，实行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而达到共同提升的目的.教学目标：（一）知识与技能1．体验勾股定理的探索过程，由特例猜测勾股定理，再由特例验证勾股定理．2．会利用勾股定理解释生活中的简单现象．1．在学生充分观察、归纳、猜测、探索勾股定理的过程中，发展合情推理水平，体会数形结合的思想．2．在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的水平．（三）情感、态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识．2．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气．教学重点探索和验证勾股定理．教学难点在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．教学方法交流—探索—猜测．在方格纸上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜测出直角三角形的三边关系．教具准备学生每人课前准备若干张方格纸、投影片教学安排3课时.教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课［师］上面三个小问题是我们以前讨论过的，我们简单的回忆一下．［生］（1）三角形按角的大小来分类可分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；（2）对于一般三角形来说，我们能够用SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、SSS（边边边）来判断两个三角形全等；而对于直角三角形来说，除以上四种方法外，还能够用HL（即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）．（3）两个直角三角形，有两边对应相等，有两种情况：第一种情况：两条直角边对应相等，这时，我们可注意到它们的夹角也对应相等，利用SAS可判断它们全等．第二种情况：一条直角边和斜边对应相等，利用HL公理即可判断它们全等．综上所述，两个直角三角形，假如有两边对应相等，则这两个直角三角形全等．［师］我们能够注意到直角三角形有它独有的一些特征．在我们学习和生活中，你是否还发现直角三角形的其他特征呢？这节课，我们就来继续研究直角三角形．Ⅱ．讲述新课1．问题串［师］（1）观察图1．正方形A中含有_________个小方格，即A的面积是_________个单位面积；正方形B中含有_________个小方格，即B的面积是_________个单位面积；正方形C中含有_________个小方格，即C的面积是_________个单位面积．（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流．（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1图2图3［生］在图1中，正方形A含1个小方格，所以它的面积是1个单位面积；正方形B 含1个小方格，所以B的面积也是1个单位面积；正方形C含2个小方格，所以C的面积是2个单位面积．［师］如何求得正方形C的面积呢？［生］正方形C 可划分为四个直角边长都为1个单位的四个全等的等腰直角三角形，所以C 的面积为4×（21×1×1）=2个单位面积．［生］我们观察可发现，这四个等腰直角三角形重新拼摆，刚好可拼摆成2个小方格，所以C 的面积为2个单位面积．［生］正方形C 还能够看成边长为2个单位的正方形面积的一半，即C 的面积为21×22=2个单位面积．［师］同学们能够不拘一格地积极思考问题，用多种方法去求得图1中C 的面积，值得发扬广大，那么图2，图3中的A ，B ，C 的面积是否可借鉴图1中的A ，B ，C 的求法获得呢？请与你的同学们讨论、交流。

［生］图2中，A 含有9个小方格或者说正方形A 的边长是3个单位长度，都能够求得A 的面积是9个单位面积；同理可求得B 含有9个小方格，所以B 的面积为9个单位面积；对于正方形C 来说，我们观察可发现它含有18个小方格，所以C 的面积为18个单位面积． ［师］看来，同学们已能从图2中很容易地就求得了A ，B ，C 的面积．是不是在求C 的面积时也和图1相类似，有多种求法呢？［生］是的．在正方形C 中，我们能够把它的边缘的12个全等的等腰直角三角形拼摆成6个小方格，再加上中间的12个小方格，正方形C 共含有18个小方格，所以它的面积为18个单位面积；我们也能够把C 分割成四个直角边为3个单位长度的等腰直角三角形，也可算得C 的面积为4×（21×32）=18个单位面积．［生］假如把组成C 的四个等腰直角三角形沿正方形的边向外翻，我们观察又可发现C在边长为6个单位长度的正方形中，并且C 的面积恰好是这个正方形面积的一半即21×62=18个单位面积．［生］图3与图1，图2类似，所以我们可用同样的方法观察求得A ，B ，C 各含4个，4个，8个小方格，面积分别为4个，4个，8个单位面积．［师］把三个图中A ，B ，C 的面积分别填入上面的表格中，你能发现它们的关系吗？ ［生］C 的面积=A 的面积+B 的面积． （表格略）［师］很好！但是A ，B ，C 的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图，你能发现什么？［生］在前面您说过这节课我们主要研究直角三角形，而在这三个图中，都是三个正方形围着一个直角三角形．［师］的确如此，从图中我们能够发现：三个正方形好像是“长”在直角三角形的三边上．［生］这说明三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的．［师］那么，（3）的结论即C的面积=A的面积+B的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家能够讨论、交流．［生］C是斜边上的正方形，所以C的面积是斜边的平方；A，B是两直角边上的正方形，所以A，B的面积分别是这两条直角边的平方．根据A，B，C的面积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两直角边的平方和．［师］但是，我们也不难发现上面3个图中的直角三角形是等腰直角三角形？假如不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？2．做一做（1）观察图4，图5，并填写下表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图4图5你是怎样得到上面结果的？与同伴交流．（2）三个正方形A，B，C的面积之间的关系？（让学生先独立思考，然后填写上面的表格．最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C的求法）［师生共析］根据图4，图5可填表如下：我们先来观察图4，不难看出A ，B 分别含有16个小方格，9个小方格，所以A 、B 的面积分别为16个单位面积，9个单位面积，但斜边上的正方形C 的面积的计算较为复杂，我们可用以下几种方法求得：第一种方法：将正方形C 分割成4个直角边长分别为3、4全等的直角三角形和中间的一个小方格，利用计算三角形面积的公式可得正方形C 的面积为4×（21×3×4）+1=24+1=25个单位面积．第二种方法：直接数正方形C 中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方法中，我们将正方形分割成5局部，直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一个小方格，其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼凑成一个长和宽分别为3和4的长方形，含有12个小方格，同理Ⅱ、Ⅳ也可拼凑成12个小方格，所以正方形C 中共有12+12+1=25个小方格即C 的面积为25个单位面积．第三种方法：可将直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C 的边外翻，就得到一个边长为7个单位长度的正方形，这时正方形C 的面积就为（49－1）÷2+1=25个单位面积．图5与图4同理．我们从上表不难发现16+9=25，4+9=13即C 的面积=A 的面积+B 的面积．［师］图4和图5中的三个正方形A ，B ，C 也是由中间的直角三角形“长”出来的，你能从三个正方形的面积关系与直角三角形的三边联系吗？［生］图4中的正方形A ，B ，C 的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．由图5我们也可得出同样的结论．3．议一议［师］我们通过对前面几个直角三角形的讨论，分析，你能归纳出直角三角形三边长度存有的关系吗？用自己的语言表达你的重大发现与同伴交流．［生］在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方．［师］这是由前面几个特例猜测出来的，是否合理呢？我们不妨作几个直角三角形检验一下．例如，作一个分别以5厘米、12厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？［生］1．作一个直角∠MCN；2．以C为圆心，分别以5厘米、12厘米为半径画弧交CM、CN于点A，B；3．连结AB．用刻度尺量出斜边AB的长度（强调注意测量的误差）为13厘米．经检验斜边AB2=132=169，两直角边平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169．即两直角边的平方和等于斜边的平方．［师］很好．同学们不妨多作几个不同的直角三角形，用上面的方法检验直角三角形三边的关系．［师生共析］通过特例猜测、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容——勾股定理：假如直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．4．读一读（课本P6）古代人就对勾股定理有过深入的研究，几大文明古国都有相对应的勾股定理的记载．我国是最早发现勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角．假如勾（即直角三角形中较短的直角边）等于3，股（即直角三角形中较长的直角边）等于4，那么弦（即直角三角形中的斜边）等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式．所以，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”．在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理．相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，所以他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜．但所以也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示．关于勾股定理的记载还有很多，同学们假如有兴趣，可查阅相关这方面的资料。