弹性力学讲义

弹性力学01绪论1.1弹性力学的内容1.2弹性力学的几个基本概念 1.3弹性力学中的基本假定。

1.1、弹性力学的内容弹性力学：研究弹性体由于受外力、边界约束或温度等原因而发生的应力、变形和位移。

研究弹性体的力学：有材料力学、结构力学、弹性力学。

它们的研究对象分别如下： ①材料力学：研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。

②结构力学：在材料力学基础上研究杆系结构（如桁架、钢架等）③弹性力学：研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。

在研究方法上，弹性力学和材料力学也有区别：弹力研究方法：在区域V 内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程；在边界s 上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。

材力也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设(如平面截面假设)来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。

因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。

从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件。

例如：材料力学：研究直梁在横向载荷作用下的平面弯曲，引用了平面假设，结果：横截面上的正应力按直线分布。

()zM x yI σ⋅=弹性力学：梁的深度并不远小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，横截面的正应力并不按直线分布，而是按曲线变化的。

22()345z M x y y y q I h h σ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭这时，材料力学中给出的最大正应力将具有很大的误差。

弹性力学在力学学科和工程学科中，具有重要的地位：弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。

弹性力学是工程结构分析的重要手段。

尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。

工科学生学习弹力的目的：1）理解和掌握弹力的基本理论； 2）能阅读和应用弹力文献；3）能用弹力近似解法(变分法、差分法和有限单元法)解决工程实际问题： 4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。

1.2、弹性力学中的几个基本概念1）外力：其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。

分为体积力和表面力，简称体力和面力。

体力：作用于物体体积内的力。

以单位体积内所受到的力来量度，,,x y z f f f 。

量纲：22L MT --。

符号：坐标正向为正。

如：重力和惯性力。

limV Ff V∆∆=∆→ 面力：作用于物体表面上力。

以单位面积所受到的力来量度，,,x y z f f f 。

量纲：12L MT --。

符号：坐标正向为正。

如：流体压力和接触力。

limS Ff S∆∆=∆→【例题1】表示出下图中正的体力和面力2）应力内力：假象切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力距），称为内力。

应力：截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。

量纲：12L MT --。

分为正应力σ，和切应力τ。

limA Fp A∆∆=∆→ 符号规定：正面：截面上的外法线沿坐标轴的正方向。

正面上的应力以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。

负面：截面上的外法线沿坐标轴的负方向。

负面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。

应力 应力和面力 应力和面力，在正面上，两者正方向一致；在负面上，两者正方向相反。

正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同应力以顺时针为正。

连接前后两面中心的直线ab 作为矩轴，列出力矩平衡方程，得2202y zyz z xzy y xzττ∆∆∆∆-∆∆=得：=yz zy ττ。

同理可得：==xy yxxz zx ττττ。

切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面角线的切应力是互等的(大小相等，正符号也相同)。

在材料力学中是大小相等，符号相反。

3）形变形变：形状的改变。

以通过一点的沿坐标正向微分线段的正应变ε和切应变γ来表示。

线应变：单位长度的伸缩或相对伸缩,亦称正应变，用ε表示，以伸长为正。

切应变：各线段之间的直角的改变，用γ表示，以直角减小为正，用弧度表示。

正的正应力对应正的线应变。

正的切应力对应正的切应变。

∠BAC减小，∠BDC减小。

4）位移u v w来表示。

量纲为L，以坐标正向为正。

位移：一点位移的移动，用,,一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、形变分量和位移分量都随该点的位置而变，因而都是位置坐标的函数。

1.3、弹性力学中的基本假定在弹性力学的问题里，通常是已知物体的边界(形状和大小)，物体的弹性常数，物体所受的体力，物体边界上的约束情况或面力, 而应力分量、形变分量和位移分量则是需要求解的未知量.1）考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在体积V内分别建立三套方程。

①建立微分方程：根据微分体的平衡条件；②建立几何方程：根据微分线段上形变与位移之间的几何关系；③建立物理方程：根据应力与形变之间的物理关系。

2）在弹性体的边界上，建立边界条件。

①应力边界条件：在给定面力的边界上，根据边界上的微分体的平衡条件；②位移边界条件：在给定的约束边界上，根据边界上的约束条件。

求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

弹性力学假定：为使问题求解成为可能，通常必须按照所研究的物体性质，以及求解问题的范围，略去一些影响很小的次要因素，作出若干基本假定。

1）连续性：假定物体是连续的，各物理量可以用连续函数表示。

2）完全弹性：①完全弹性：外力取消，变形恢复，无残余变形；②线性弹性：应力与应变成正比，即应力与应变关系可用胡克定律表示(物理线性)。

3）均匀性：假定物体是均匀的。

即弹性模量、泊松比等与位置无关。

4）各向同性：假定物体是各向同性的，即弹性模量、泊松比与方向无关。

5）小变形假定：假定位移和形变都是微小的。

①位移微小，位移<<物体尺寸，如：梁的扰度<<梁高；②变形微小，应变<<1，如正应变ε<<10－3<<1，切应变<<1弧度(57.3°)。

满足3）和4）即表示材料的弹性模量、泊松比等是常数。

符合1）~4）假定的弹性体，我们称之为理想弹性体。

假定的作用：1）简化平衡条件：考虑为分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。

2）简化几何方程：如： 对于微小转角：21cos 112αα=-+≈L31tan 3αααα=++≈L31sin 13!ααα=-+≈L对于微小正应变：231111+x x x x xεεεεε=-+-+≈-L 这样，弹性力学里的几何方程和微分方程都简化为线性方程，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。

弹力的主要解法：1）解析法：根据弹性体的静力学、几何学、物理学等条件，，建立区域内的微分方程组和边界条件，并应用数学分析方法求解这类微分方程的边值问题，得出的解答是精确的函数解。

2）变分法(能量法)：根据变形体的能量极值原理，导出弹性力学的变分方程，并进行求解。

这也是一种独立的弹性力学问题的解法。

由于得出的解答大多是近似的，所以常将变分法归入近似的解法。

3）差分法：是微分方程的近似数值解法，它将弹力中导出的微分方程及其边界条件化为差分方程(代数方程)进行求解。

4）有限单元法：是近半个世纪发展起来的非常有效、应用非常广泛的数值解法。

它首先将连续体变换为离散化结构，再将变分原理应用于离散化结构，并使用计算机进行求解的方法。

5）实验方法：模型试验和现场试验的各种方法。

对于许多工程实际问题，由于边界条件、外荷载及约束等较为复杂，所以常常应用近似解法：变分法、差分法、有限单元法等求解。

02平面问题的基本理论：2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平衡微分方程2.3 平面问题中一点的应力状态 2.4 几何方程 刚体位移 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理2.8 按位移求解平面问题2.9 按应力求解平面问题 相容方程 2.10 常体力情况下的简化 应力函数2.1 平面应力问题与平面应变问题1）弹力空间问题共有应力、应变、位移15个未知函数，且均为(),,f x y z 。

①应力：,,,,,x y z xy yz zx σσστττ，共6个。

②应变：,,,,,x y z xy yz zx εεεγγγ，共6个。

③位移：,,u v w ，共3个。

2）弹力平面问题共有应力、应变、位移8各未知函数，且均为(),f x y 。

①应力：,,x y xy σστ，共3个。

②应变：,,x y xy εεγ，共3个。

③位移：,u v ，共2个。

有两类问题可以简化成平面问题： 1）平面应力问题： 条件是：①等厚度的薄板；②体力作用于体内，平行于板面，并沿厚度不变；③面力及约束作用于板边，平行于板面，并沿厚度不变;因为两板面上无面力和约束作用，故：()2,,0zzx zy z δσττ=±=由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z 向外力，可认为：()(),,0zzxzy V σττ=在中故只有平面应力,,x y xy σστ存在。

由于板为等厚度，外力、约束沿z 向不变，故应力,,x y xy σστ仅为(),f x y 。

所以平面应力问题归纳如下：①应力中只有平面应力,,x y xy σστ存在；②且仅为(),f x y 。

如：弧形闸门闸墩 深梁2）平面应变问题： 条件是：①很长的常截面柱体；②体力,x y f f 作用于体内，平行于横截面，且沿长度方向不变； ③面力,x yf f作用于柱面，平行于横截面，且沿长度方向不变。

④约束作用于柱面，平行于横截面，且沿长度方向不变。

截面、外力、约束沿z 向不变，外力、约束平行于与xy 面，柱体非常长。

故任何z 面（截面）均为对称面。

所以：0w =，只有,u v ；（平面位移问题），由00z w ε==→。

由于：,0,0zx zy zx zy ττγγ==→。

所以，只有,,x y xy εεγ。

（平面应变问题）所以平面应变问题归纳如下：①应力中只有平面应变分量,,x y xy εεγ存在；②且仅为(),f x y 。

2.2 平衡微分方程在弹性力学中分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

首先考虑平面问题的静力学方面，建立微分体的平衡微分体方程——应力分量与体力分量之间的关系式。

平衡微分方程：表示物体内任一点的微分体的平衡条件。

在任一点(),x y 取出一微小的平行六面体，作用于微分体上的力如下图：泰勒展开式：'''2'''3000000011()()()()()()()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x x =+-+-+-+L 一般而论 , 应力分量是位置坐标x 和y 的函数, 因此, 作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同, 有微小的差。