高三数学导数与积分知识点及典型例题

09高三数学总复习讲义——导数概念与运算

知识清单 1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值

x

y

??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x

y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0

处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0

lim →?x x y

??=0

lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。

说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x

y

??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；

（2）求平均变化率

x

y ??=x x f x x f ?-?+)

()(00；

（3）取极限，得导数f’(x 0)=x

y

x ??→?0lim 。

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /

（x 0）（x －x 0）。 3．几种常见函数的导数:

①0;C '= ②()1

;n n x

nx

-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x

e e '=⑥()ln x

x

a a a '=; ⑦()1ln x x '=

; ⑧()1

l g log a a o x e x

'=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'

'

'

v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('

'

'

uv v u uv +=

若C 为常数,则'

'

'

'

'

0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)('

'

Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：??

?

??v u ‘=2

''v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X

09级高三数学总复习讲义——导数应用

知识清单

1． 单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 如果'

f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(

如果在某区间内恒有'

f 0)(=x ，则)(x f 为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：

一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数?)(x 在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? )(x 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分

（1）概念：设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

I n ＝

∑n

i f

1

＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函

数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：

?

b

a

dx x f )(，即?b

a

dx x f )(＝∑=∞

→n

i n f 1

lim (ξi )△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做

被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。 基本的积分公式：

?dx 0＝C ；

?dx x m ＝

11

1

++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）

； ?x 1

dx ＝ln x ＋C ；

?

dx e x

＝x e ＋C ； ?dx a x

＝a a x

ln ＋C ；

?xdx cos ＝sin x ＋C ；

?xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。 （2）定积分的性质 ①?

?=b

a b

a

dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；

②?

??±=±b

a b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；

③

?

??+=b

a

c a

b

c

dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x ＝a ，x ＝b （a

=

b

a

dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，

x ＝b （a

?

?-b

a

b

a

dx x f dx x f )()(21。

课前预习

1．求下列函数导数 （1）)11(32

x x x x y ++

= （2）)11)(

1(-+=x

x y （3）2cos 2sin x

x x y -=

（4）y=x x sin 2 （5）y ＝x

x x x x 9

532-+-

2．若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++= 3．过点（－1，0）作抛物线2

1y x x =++的切线，则其中一条切线为（ ） （A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+= 4．半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2

,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则

(πr 2

)`＝2πr ○

1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于 ○

1的式子： ； ○

2式可以用语言叙述为： 。 5．曲线1y x

=

和2

y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 。

6．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）

≥0，则必有（ ） A ．f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C ．f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1）

7．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数

)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ． 4个 8．已知函数()11ax

x f x e x

-+=

-。

（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。

9．3

2

()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）

(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4 10．设函数f(x)= 3

2

23(1)1, 1.x a x a --+≥其中 （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）讨论f(x)的极值。

11．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的

坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,）

，该平面上动点P 满足?4PA PB =u u u r u u u r

,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求 (I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.

12．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

13．计算下列定积分的值 （1）?--3

12)4(dx x x

（2）?-2

1

5)1(dx x ；

（3）dx x x ?+20

)sin (π

；

（4）dx x ?-22

2cos π

π；

14．（1）一物体按规律x ＝bt 3

作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功。

（2）抛物线y=ax 2

＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ． 典型例题

一 导数的概念与运算

EG ：如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ）

A. 6m/s

B. 18m/s

C. 54m/s

D. 81m/s 变式：定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：x D ?∈，?常数0M >， 都有|()|f x ≤M 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界. 【文】（1）若已知质点的运动方程为at t t S ++=

1

1

)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围. 【理】（2）若已知质点的运动方程为at t t S -+=

12)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时

刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围. EG ：已知x

f x f x x f x ?-?+=→?)

2()2(lim ,1)(0则的值是（ ）

A. 4

1

- B. 2 C. 41 D. －2

变式1：()()()为则设h

f h f f h 233lim ,430

--='→（ ）

A ．－１

Ｂ．－2 C ．－3 D ．1

变式2：()()()

0000

3,lim x f x x f x x f x x x

?→+?--??设在可导则等于

（ ）

A ．()02x f '

B ．()0x f '

C ．()03x f '

D ．()04x f '

根据所给的函数图像比较012(),,h t t t t 曲线在附近得变化情况。 变式：函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. )2()3()3()2(0/

/

f f f f -<<<

B. )2()2()3()3(0/

/

f f f f <-<< C. )2()3()2()3(0/

/

f f f f -<<< D. )3()2()2()3(0/

/

f f f f <<-< O 1 2 3 4 x EG ：求所给函数的导数：

()

33

2991

log ; ; sin ((1); 2; 2sin 25n x

x x y x x y x e y x y x y e y x x --=+==

=+==+（文科）理科）。

变式：设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是

A ．(－3,0)∪(3,+∞)

B ．(－3,0)∪(0, 3)

C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)

D ．(－∞,－ 3)∪

(0, 3)

EG ：已知函数ln y x x =.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线的方程. 变式1：已知函数x

e y =.

（1）求这个函数在点e x =处的切线的方程； （2）过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切线的方程.

变式2：函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )

A.

18 B. 41 C. 2

1

D. 1 EG ：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

3232(1)()3; (2) ()23; (3) ()sin ,(0,);(4)()2324 1.

f x x x f x x x f x x x x f x x x x π=+=--=-∈=+-+

变式1：函数x

e

x x f -?=)(的一个单调递增区间是

A.[]0,1-

B. []8,2

C. []2,1

D. []2,0

变式2：已知函数53

123

-++=

ax x x y (1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a 的是 .

(2)若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是 . 变式3： 设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=2

3

)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线. （Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；

（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围. EG ：求函数3

1()443f x x x =

-+的极值. 求函数31

()443

f x x x =-+在[]0,3上的最大值与最小值..

变式1： 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

变式2：已知函数3

2

()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值

5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所

示.求：

（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.

变式3：若函数4)(3

+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 极值3

4

-， （1）求函数的解析式；

（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围．

x ?

a

b

x

y

)

(f y =O

变式4：已知函数3

2

1()22

f x x x x c =--+，对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）

EG ：利用函数的单调性，证明：ln ,0x

x x e x <<> 变式1：证明：()x x x ≤+≤+-

1ln 1

1

1，1x >- 变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x 的方程f(x)=x 2+x+a 在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围. EG ： 函数(),3)(3

R x x x x f ∈+=若(

)()012

>-+mx f mx

f 恒成立,求实数m 的取值范围

变式1:设函数(),3)(3

R x x x x f ∈+=若()()??

?

?

?≤≤>-+2001sin πθθm f m f 恒成立，

求实数m 的取值范围.

变式2:如图,曲线段OMB 是函数2

()(06)f x x x =≤≤的图象,BA x ⊥轴于点A,曲线段OMB 上一点M 2

(,)t t 处的切线PQ 交x 轴于点P,交线段AB 于点Q ， (1)若t 已知,求切线PQ 的方程 (2)求QAP ?的面积的最大值

变式3:用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900

角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？

变式4:某厂生产某种产品x 件的总成本3

75

21200)(x x c +

=（万元）

，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？ EG ：计算下列定积分：（理科定积分、微积分）

2

321

10220

11

(1)x; (2)(2)x; (3)sin dx;

(4)sin dx; (5)sin d x d x x x x xdx

ππ

π

π

-?

????

变式1：计算：；

（1）

dx x

x x ?

+2

sin cos 2cos π

；（2）dx x ?-202

4

变式2： 求将抛物线x y =2

和直线1=x 围成的图形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积.

变式3：在曲线()02

≥=x x y 上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为12

1

，

试求：（1）切点A 的坐标；（2）在切点A 的切线方程.

实战训练

1. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如右图所示，则导函数y=f '(x )的图象可能为( )

2. 已知曲线S :y =3x －x 3

及点(2,2)P -,则过点P 可向S 引切线的条数为( )

(A )0 (B )1 (C)2 (D)3

3. C 设S 上的切点00(,)x y 求导数得斜率，过点P 可求得:2

00(1)(2)0x x +-=. 4. 函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）.

3()(,)22A ππ ()(,2)B ππ 35()(,)22

C ππ

()(2,3)D ππ

5. y =2x 3

－3x 2

+a 的极大值为6，那么a 等于( ) (A )6 (B )0 (C)5 (D)1

6. 函数f (x )＝x 3

－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( ) (A )1，－1 (B )3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19 7.设l 1为曲线y 1=si nx 在点(0，0)处的切线，l 2为曲线y 2=cos x 在点(

2

π

,0)处的切线，则l 1与l 2的夹角为___________.

8. 设函数f (x )=x 3+ax 2+bx －1，若当x =1时，有极值为1，则函数g(x )=x 3+ax 2

+bx 的单调递减区间为 .

9．（07湖北）已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1

22

y x =+，则(1)(1)f f '+=

10．（07湖南）函数3

()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是

11．（07浙江）曲线3

2

242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 9．. 已知函数

32()(,)f x x ax b a b R =-++∈

（Ⅰ）若函数)(x f 图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33a << （Ⅱ）若[]0,1x ∈，函数()y f x =图像上任意一点处的切线的斜率为k ，试讨论1k ≤的充要条件。

12．(07安徽)设函数f （x ）=-cos 2

x -4t sin 2x cos 2

x +4t 2+t 2

-3t +4,x ∈R,其中t ≤1，将f (x )的最小值记为g (t ).

(Ⅰ)求g (t )的表达式；(Ⅱ)诗论g (t )在区间（-1,1）内的单调性并求极值. 实战训练B

1．（07福建）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，

()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）

A ．()0()0f x g x ''>>，

B ．()0()0f x g x ''><，

C ．()0()0f x g x ''<>，

D ．()0()0f x g x ''<<，

2．（07海南）曲线1

2

e x y =在点2

(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．

2

9e 2

Ｂ．24e

Ｃ．2

2e

Ｄ．2

e

3．（07海南）曲线x

y e =在点2

(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．2

94

e

Ｂ．2

2e

Ｃ．2

e

Ｄ．2

2

e

4．（07江苏）已知二次函数2

()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则

(1)

'(0)

f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3

2

5．（07江西）5．若π

02

x <<

，则下列命题中正确的是（ ） A ．3sin πx x < B ．3sin πx x > C ．224sin πx x < D ．2

24sin π

x x >

6．（07江西）若π

02

x <<，则下列命题正确的是（ ）

A ．2sin πx x <

B ．2sin πx x >

C ．3sin πx x <

D ．3

sin π

x x >

7．（07辽宁）已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值

B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值

C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值

D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值

8．（07全国一）曲线313y x x =

+在点413??

???

，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）

A ．

1

9

B ．

29 C ．

13

D ．

23

9．（07全国二）已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1

2

，则切点的横坐标为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．（07浙江）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

11． (07北京)()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是 12．（07广东）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是

13．（07江苏）已知函数3

()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为

,M m ，则M m -=

14．（07福建）设函数2

2

()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；

（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，

恒成立，求实数m 的取值范围． 15．(07广东)已知a 是实数，函数2

()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间

[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．