导数经典例题训练
函数与导数
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数)(xfy与函数)(xg的图象关于3x对称，则)(xg的表达式为
（ ）
/
A．)23()(xfxg B．)3()(xfxg
C．)3()(xfxg D．)6()(xfxg
2．已知二次函数y＝ax2＋(a2＋1)x在x＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是 （ ）
A．2516 B．258 C．254 D．252
3．（08年全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是
（ ）
4．（08年全国一7）设曲线11xyx在点(32)，处的切线与直线10axy垂直，则a
（
）
A．2 B．12 C．12 D．2 s
t O
A． (
st O s
t O s
t O
B． $
C．D． 5．（08年山东卷3）函数y＝lncosx(-2π＜x＜)2的图象是
（ ）
6．（08年福建11）如果函数y=f(x)的图象如右图，
}
那么导函数/()yfx的图象可能是 （ ）
7．已知xaaaxlog10，则方程的实根个数是
（ ）
A．1个
B．2个 C．3个 D．1个或2个或3个
8．（08年湖南卷10）设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的nN*,定义(1)(1),(1)(1)xnnnnxCxxxxx1,,则当x3,32时，函数xnC的值域是
（ ）
A．16,283 B．16,563
， C．284,328,56 D．16284,,2833
9．（08年辽宁卷6）设P为曲线C：223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，则点P横坐标的取值范围为
（ ）
A．112， B．10， C．01， D． 112，
10.（08年辽宁卷12）设()fx是连续的偶函数，且当x>0时()fx是单调函数，则满足3()4xfxfx的所有x之和为
（ ）
A．3 B．3 C．8 D．8
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．
（
11．)2log(2)9(log)(91ffxxfa，则满足函数的值是__________________．
12．（08年江苏14）13)(3xaxxf对于1,1x总有0)(xf成立，
则a= ．
13．（08年上海卷11）方程x2+2x－1＝0的解可视为函数y＝x+2的图像与函数y＝1x的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,4xi)
（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 ．
14．（08年北京13）如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))ff_________；
函数()fx在1x处的导数(1)f_________． 2 B C <
Ay
x 1 O 3 4 5 6 1 $ 3 4 15．（08年湖南卷14）已知函数3()(1).1axfxaa
（1）若a＞0,则()fx的定义域是 ;
（2）若()fx在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设函数2(1)(),(1)xaxxfxxbx若该函数在实数集R上可导，求实数a、b的值和该函数的最小值．
《
17．(本小题满分12分)
已知f(x)＝2x－1的反函数为1f(x)，g(x)＝log4(3x＋1)．
#
⑴若f－1(x)≤g(x)，求x的取值范围D；
⑵设函数H(x)＝g(x)－121f(x)，当x∈D时，求函数H(x)的值域．
、
18．（08年安徽20）（本小题满分14分）
设函数323()(1)1,32afxxxaxa其中为实数。
（Ⅰ）已知函数()fx在1x处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）已知不等式'2()1fxxxa对任意(0,)a都成立，求实数x的取值范围。
,
]
19．(本小题满分14分) （08年湖北卷20） 水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为124(1440)50,010,()4(10)(341)50,1012.xttetVtttt
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1iti表示第1月份（1,2,,12i）,同一年内哪几个月份是枯水期
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取2.7e计算）.
…
*
20．(本小题满分14分) （08年陕西卷21）已知函数21()kxfxxc（0c且1c，kR）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是xc．
（Ⅰ）求函数()fx的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数()fx的极大值M和极小值m，并求1Mm≥时k的取值范围．
·
21．（本小题满分14分）（08年天津卷21）
已知函数432()2fxxaxxb（xR），其中Rba,． （Ⅰ）当103a时，讨论函数()fx的单调性；
（Ⅱ）若函数()fx仅在0x处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a，不等式1fx在[1,1]上恒成立，求b的取值范围．
。
{
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 }
6 7 8 9 10
答案 D B A D 【
A A
B D D C
二、填空题
11．22； 12．4； 13．(－∞, －6)∪(6,+∞)；
14． 2， 2； 15．（1）3,a;(2) ,01,3．
|
三、解答题
16．解：依题意
21(1)'(1)21,()(1)1,1,(),1(1)limxxxxfafxfaabfxxx且 作图易得函数的最小值是f(12)＝－14
17． 解：(Ⅰ)∵12)(xxf
∴)1(log)(21xxf (x＞－1)
由)(1xf≤g(x) ∴13)1(012xxx
解得0≤x≤1 ∴D＝[0，1]
(Ⅱ)H(x)＝g(x)－)123(log21113log21)(21221xxxxf
∵0≤x≤1 ∴1≤3－12x≤2
！
∴0≤H(x)≤21 ∴H(x)的值域为［0，21］
18．解: (1) '2()3(1)fxaxxa，由于函数()fx在1x时取得极值，所以
'(1)0f， 即 310,1aaa∴
(2) 方法一
由题设知：223(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立
即22(2)20axxx对任意(0,)a都成立
设 22()(2)2()gaaxxxaR, 则对任意xR，()ga为单调递增函数()aR
所以对任意(0,)a，()0ga恒成立的充分必要条件是(0)0g
即 220xx，20x∴
于是x的取值范围是|20xx
]
方法二
由题设知：223(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立
即22(2)20axxx对任意(0,)a都成立
(完整版)导数求导练习题
同步练习
1．若f（x）=sinα－cosx，则f′（α）等于
A．sinα B．cosα
C．sinα+cosα D．2sinα
2．f（x）=ax3+3x2+2，若f′（－1）=4，则a的值等于
A．319 B．316
C．313 D．310
3．函数y=xsinx的导数为
A．y′=2xsinx+xcosx B．y′=xx2sin+xcosx
C．y′=xxsin+xcosx D．y′=xxsin－xcosx
4．函数y=x2cosx的导数为
A．y′=2xcosx－x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx
C．y′=x2cosx－2xsinx D．y′=xcosx－x2sinx
5.若y=(2x2-3)(x2-4),则y’= .
6. 若y=3cosx-4sinx ,则y’= .
7．与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程是______．
8．质点运动方程是s=t2（1+sint），则当t=2时，瞬时速度为___________．
9.求曲线y=x3+x2-1在点P（-1，-1）处的切线方程.
同步练习
1．函数y=22xax（a>0）的导数为0，那么x等于
A．a B．±a
C．－a D．a2
2．函数y=xxsin的导数为
A．y′=2sincosxxxx B．y′=2sincosxxxx
C．y′=2cossinxxxx D．y′=2cossinxxxx
3.若21,2xyx则y’= .
4.若423335,xxyx则y’= .
5.若1cos,1cosxyx则y’= .
(完整版)导数的经典练习题
1 -2 2 x y
O 1 -1 -1 1 导数经典练习题及详解答案
1．函数y=x+2cosx在[0，2]上取得最大值时，x的值为
（ ）
A． 0 B． 6 C． 3 D． 2
2．函数xxyln的单调递减区间是（ ）
A． ),(1e B．),(1e C．),0(1e D．),(e
3．点P在曲线323xxy上移动，设点P处切线倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）
A．[0,2] B．[0,2)∪[43,π)
C．[43,π) D．(2,43]
4．已知函数()yxfx的图象如右图所示(其中'()fx是函数()fx的导函数)，下面四个图象中()yfx的图象大致是（ ）
5.对于函数12xy，下列结论中正确的是（ ）
A．y有极小值０，且０也是最小值 B．y有最小值０，但０不是极小值
C．y有极小值０，但０不是最小值 D．０既不是极小值，也不是最小值
6、若0)32(02dxxxk，则k=( )
A、 1 B、 0 C、 0或1 D、以上都不对
7．已知函数)2,2(),()()(xxfxfxf且当满足时，,sin)(xxxf则（ ）
A．)3()2()1(fff B．)1()3()2(fff O
-2 2 x y
1 -1
-2 1 2
O x y
-2 -2 2 1 -1 1 2
O -2 4
x y
1 -1
-2 1 2
O -2 2 x y
-1 2 4
A B C D 2 C．)1()2()3(fff D．)2()1()3(fff
8．设函数axxxfm)(的导函数12)(xxf，则数列*)}()(1{Nnnf的前n项和是 A．1nn B．12nn C．1nn D．nn1
导数经典练习100例
导数及其应用
1．已知直线1xy与曲线)ln(axy相切，则a（ ）
A．-1 B．-2 C．0 D．2
2．设函数]65,0[,142cos3sin3)(23xxxxf，则导数)1('f的取值范围是（ ）
A．]343[， B．]63[， C．]634[， D．]3434[，
3．2222dxxxm，则m等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．曲线3:(0)Cyxx在点1x处的切线为l，则由曲线C、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）．
A．1 B．112 C． 43 D．34
5．定义方程()'()fxfx的实数根0x叫做函数()fx的 “新驻点”，若函数()gxx，()ln(1)hxx，3()1xx的“新驻点”分别为,,，则,,的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．若fx在R上可导，2223fxxfx，则30fxdx( )
A．16 B．54 C．﹣24 D．﹣18
7．若)(xf满足23'22)2(,)(2)(efexxxfxfxx．则0x时，)(xf （ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
8．已知函数2()ln(1)fxaxx在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式(1)(1)1fpfqpq恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
(完整版)高等数学——导数练习题
高等数学——导数练习题
1
一．选择题
1.若kxxfxxfx)()(lim000，则xxfxxfx)()2(lim000等于( )
A.k2 B.k C.k21 D.以上都不是
2.若f（x）=sinα－cosx，则𝑓′(𝑎)等于 ( )
A．sinα B．cosα
C．sinα+cosα D．2sinα
3.f（x）=ax3+3x2+2，若𝑓′(−1)=4,则a的值等于( )
A．319 B．316
C．313 D．310
4.函数y=xsinx的导数为( )
A．y′=2xsinx+xcosx B．y′=xx2sin+xcosx
C．y′=xxsin+xcosx D．y′=xxsin－xcosx
5.函数y=x2cosx的导数为( )
A．y′=2xcosx－x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx
C．y′=x2cosx－2xsinx D．y′=xcosx－x2sinx
6.函数y=22xax（a>0）的导数为0，那么x等于（ ）
A．a B．±a
C．－a D．a2
7. 函数y=xxsin的导数为（ ）
A．y′=2sincosxxxx B．y′=2sincosxxxx
C．y′=2cossinxxxx D．y′=2cossinxxxx
8.函数y=2)13(1x的导数是（ ）
A．3)13(6x B．2)13(6x C．－3)13(6x D．－2)13(6x 高等数学——导数练习题
2
9.已知y=21sin2x+sinx，那么y′是（ ）
A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值，又有最小值的偶函数
导数大题经典练习及答案
导数大题专题训练
2 ，－2g(x)－ax，＝－x1．已知f(x)＝xlnx 的取值范围；，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a(Ⅰ)对一切x∈(0＞1lnx＋＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＝－(Ⅱ)当a 成立．
的单调区垂直，求函数y=f (x)f (1)）处的切线与直线y=x+2P.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点（1，2、已知函数a=1当R）.g (x)=f (x)+x―b（b∈成立，试求间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)a的取值范围；（Ⅲ）记1― .，e]上有两个零点，求实数b的取值范围在区间时，函数g (x)[e
2 上的最小值；在a=0，求函数f (x)[1，e]（Ⅰ）若af (x)=lnx+(x3． 设函数－a)，∈R. 在上存在单调递增区间，试求实数（Ⅱ）若函数f (x)a的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x)的极值点.
、已知函数.4设，若对任意，均存在，使得，求的)Ⅲ(求的单调区间；)Ⅱ(若曲线在和处的切线互相平行，求的值；)Ⅰ(
取值范围.
5、已知函数
(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围；
(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．
6、已知函数．
(1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围；
(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令 ，则，
在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，
即，所以.
(Ⅱ)当，，由得.
①当时，在上，在上
因此，在处取得极小值，也是最小值. .
由于因此，
②当，，因此上单调递增，所以，
数学-导数经典20题
导数经典20题
目录
导数经典20题 ............................................................................................................................... 1
一、【不等式恒成立-单变量】5道 ....................................................................................... 3
二、【不等式恒成立-双变量】5道 ..................................................................................... 13
三、【不等式证明】5道 ...................................................................................................... 23
四、【零点问题】5道 .......................................................................................................... 32
一、【不等式恒成立-单变量】
【第01题】
（2017•广东模拟）已知()
lna
fxx
x=+．
（1）求()
fx的单调区间和极值；
（2）若对任意0x>，均有()
2lnlnxaxa−≤恒成立，求正数a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的
极值即可；
（2）问题转化为2lnln1aa≤+，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）（0x>），
()
221axa
fx
xxx−
导数大题经典练习及答案 2
导数大题专题训练
1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，
(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立．
2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.
3． 设函数f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）若函数f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求函数f (x)的极值点.
4、已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
5、已知函数
(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围；
(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．
6、已知函数．
(1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围；
(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令 ，则，
在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，
即，所以.
(Ⅱ)当，，由得.
①当时，在上，在上 因此，在处取得极小值，也是最小值. .
由于因此，
②当，，因此上单调递增，所以，
……9分
(Ⅲ)证明：问题等价于证明
数学导数练习题和答案
数学导数练习题和答案
1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的导数。
解：首先应用幂函数的导数规则，\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。
2. 计算函数 \( g(x) = \sin(x) + e^x \) 的导数。
解：利用三角函数和指数函数的导数规则，\( g'(x) = \cos(x) +
e^x \)。
3. 确定函数 \( h(x) = \ln(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解：对数函数的导数为 \( \frac{1}{x} \)，因此 \( h'(1) = 1
\)。
4. 求函数 \( k(x) = \frac{1}{x} \) 的导数。
解：使用商的导数规则，\( k'(x) = -\frac{1}{x^2} \)。
5. 计算复合函数 \( F(x) = (x^2 + 1)^3 \) 的导数。
解：应用链式法则，\( F'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x =
6x(x^2 + 1)^2 \)。
6. 求函数 \( G(x) = \sqrt{x} \) 的导数。
解：使用根号函数的导数规则，\( G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\)。
7. 计算函数 \( H(x) = e^{2x} \) 的导数。
解：指数函数的导数规则表明，\( H'(x) = 2e^{2x} \)。
8. 确定函数 \( I(x) = \tan(x) \) 的导数。
解：正切函数的导数为 \( \sec^2(x) \)，因此 \( I'(x) =
\sec^2(x) \)。
9. 求函数 \( J(x) = \arcsin(x) \) 的导数。
解：反正弦函数的导数为 \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)，所以 \( J'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)。
导数专题(经典23题)
第 1 页 23个函数与导函数类型专题
1、函数第1题已知函数ln()x1fxx1x，若x0，且x1，ln()xkfxx1x，求k的取值范围.
解析：⑴ 将不等式化成()(*)k模式
由ln()xkfxx1x得：lnlnx1xkx1xx1x，化简得：ln22xxk1x1
①
⑵ 构建含变量的新函数()gx
构建函数：ln()22xxgxx1 （x0，且x1）
其导函数由'''2uuvuvvv求得：'()(lnln)()22222gxxxxx1x1
即：'()[()()ln]()22222gxx1x1xx1()ln()222222x1x1xx1x1 ②
⑶ 确定()gx的增减性
先求()gx的极值点，由'()0gx0得：ln20020x1x0x1
即： ln20020x1xx1 ③
由基本不等式lnxx1代入上式得：20020x1x1x1
故：20020x1x10x1即：()()0201x110x1
由于2011x1，即20110x1，故：0x10，即0x1
即：()gx的极值点0x1
在0xx1时，由于22x11x1有界，而lnx0无界 第 2 页 故： ln22x1x0x1
即：在0xx1时，'()gx0，()gx单调递减；
那么，在00xx时，()gx单调递增.
满足③式得0x恰好是0x1
⑷ 在(,)x1由增减性化成不等式
在(,)x1区间，由于()hx为单调递减函数，
故：()lim()x1gxgxlnlim2x12xxx1
应用不等式：lnxx1得：
ln()limlimlim22x1x1x12xx2xx12x1x1x1x1
导数凹凸反转经典例题
导数凹凸反转经典例题
导数在凹凸性上的应用主要涉及到函数的二阶导数。若函数在某区间的二阶导数大于0，则函数在此区间为凹函数；若二阶导数小于0，则为凸函数。以下是三个关于导数凹凸反转的经典例题及其答案：
例题1：
f(x)=x3
求该函数在x=0附近的凹凸性。
答案1：
首先求一阶导数：f′(x)=3x2
再求二阶导数：f′′(x)=6x
对于x<0，有f′′(x)<0，函数在此区间为凸函数；
对于x>0，有f′′(x)>0，函数在此区间为凹函数。
因此，在x=0处，函数从凸变为凹。
例题2：
f(x)=x4−2x2
求该函数在实数范围内的凹凸性变化点。
答案2：
首先求一阶导数：f′(x)=4x3−4x
再求二阶导数：f′′(x)=12x2−4
令二阶导数为0，解得：x=±33
对于x<−33和x>33，有f′′(x)>0，函数为凹函数；
对于−33 因此，在x=−33和x=33处，函数的凹凸性发生变化。 例题3： f(x)=ln(x) 判断该函数在(0,+∞)上的凹凸性。 答案3： 首先求一阶导数：f′(x)=x1 再求二阶导数：f′′(x)=−x21 在(0,+∞)区间内，有f′′(x)<0，因此函数在此区间为凸函数，无凹凸性反转点。