梯形的几何重心公式

梯形的几何重心公式：Y=h（2a+b）/3（a+b）

a：较短的底边；

b：较长的底边；

h：梯形的高。

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

精品

几何常用定理

1. 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2. 射影定理（欧几里得定理）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的高，则有射影定理如下：①CD 2=AD ·DB;②BC 2=BD ·BA;③AC 2=AD ·AB;④AC ·BC=AB ·CD （等积式，可用面积来证明）。 3. 三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分。 4. 四边形两边中点的连线和两条对角线中点的连线交于一点。 5. 间隔的连接六边形的边的中点所做出的两个三角形的重心是重合的。 6. 三角形各边的垂直平分线交于一点。三角形五心重心定义：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。外心定义：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。垂心定义：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。内心定义：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。旁心定义：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。三角形的内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外接三角形。三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心三角形有且只有一个内切圆。内切圆的半径公式： ()()()s a s b s c r s ???=(s 为三角形周长的一半)

三角形的外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心三角形有且只有一个外接圆。设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL。三角形的垂心三角形的三条高线交于一点。三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。三角形的旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心。三角形有三个旁切圆，三个旁心。 7. （九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中点、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上。

形心重心的理论计算公式

§3-4 重心和形心一、重心的概念： 1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。 2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。二、重心座标的公式： (1)、重心座标的公式三、物体质心的坐标公式在重心坐标公式中，若将G=mg，G i＝m i g代入并消去g，可得物体的质心坐标公式如下：四、均质物体的形心坐标公式若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V i，则G=ρgV,G i＝ρgV i，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：

式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y； ∑A i.y i＝A.y c＝S x 则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下： 1、对称法凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。 2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。（1）、悬挂法利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。悬挂法确定物体的重心方法见图 (2）、称重法对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定

梯形与重心

梯形与重心知识点一：梯形要点诠释：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。知识点二：等腰梯形要点诠释：两腰相等的梯形叫等腰梯形。知识点三：直角梯形要点诠释：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。知识点四：等腰梯形的性质要点诠释： 1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。 2.等腰梯形的对角线相等。知识点五：等腰梯形的判定要点诠释： 1.梯形的定义。 2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。知识点六：四边形的分类要点诠释：知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心要点诠释： 1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。 2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。三、规律方法指导知识点回顾：

2 ?梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究, 类型一：梯形中的辅助线 1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于Jr ,它的两底分别是L■一，和「Ed，

求它的腰长思路点拨：已知：如图，在梯形 ABC ［中，』応一 ,?'1 / C - . r' :■ . -…. 求：AB 的长. 解析：过点A 作/I C I 1' D 交BC 于E, ???四边形ABCD 是等腰梯形， AB=CD ??? AD// BC 又??? m ?四边形AECD 是平行四边形? ?，■ -I ：-：：-' ..J-V ：- * _：■ ?厶一二 ??? ― -HN', ?二二】是等边三角形. 又???丄J —’w ?二丄 / √L ? 一二- 总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时，无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；举一反三：【变式1】（平移对角线）已知梯形 ABCe 的面积是32,两底与高的和为一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为【答案】梯形 ABCD 中, AD// BC, BD ⊥ BC. 由题得：x+y+z=16 , 仗+ "二32 2 设 AD=X BC=y DB=z, （熟记梯形面积公式）解得 χ+y=8 , z=8, 过D 作DE// AC 交BC 的延长线于 ?四边形ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） E. 16,如果其中 B

认识平面几何的61个著名定理

【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】 ★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） ★2、射影定理（欧几里得定理） ★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 ★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 ★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 ★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半 ★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2) 16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段，则有n×AB 2+m×AC 2=BC×（AP 2+mn ） 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上 ★19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD

三角形的重心定理及其证明

三角形的重心定理及其证明积石中学王有华同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设ABC V 中，L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 的中点. 求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且 AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点. 现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点. 另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点. 另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1. 这个点G 被叫做ABC V 的重心. 证明2（向量法）：（如图2）在ABC V 中，设AB 边上的中B C

线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为 G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点，所以向量BG u u u r ∥BM u u u u r ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ=uuu r uuu u r ，即 1()AG AB AM AB λ-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r 所以，11(1)AG AM AB λλ=+-u u u r u u u u r u u u r =111(1)2 AC AB λλ+-u u u r u u u r 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+-u u u r u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-uu u r uuu r 所以 111(1)2AC AB λλ+-u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-u u u r u u u r 又因为 AB uuu r 、 AC u u u r 不共线，所以 1221112112λλλλ=-=-??? 所以 1223λλ== ，所以 1133AG AB AC =+uuu r uu u r uuu r . 因为L 是BC 的中点，所以GL GA AC CL =++u u u r u u u r u u u r u u r =111()332AB AC AC CB -+++u u u r u u u r u u u r u u u r =121()332AB AC AB AC -++-uuu r uuu r uuu r uuu r =1166 AB AC +uuu r uuu r ，即2AG GL =u u u r u u u r ，所以A 、G 、L 三点共线.故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1 C

三角形重心性质定理题教案资料

三角形重心性质定理 1．三角形重心性质定理课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？（提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。证法1：（根据课本上的提示证明）（点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。）（点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。） 2.三角形重心性质定理的应用 ⑴求线段长例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC 于点E，若BC=6cm，则GE= cm。解： ⑵求面积例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。解：

练习：1.如图5，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。 2.如图6，在△ABC 中，G 是重心，点D 是BC 的中点，若△ABC 的面积为6cm 2，则△CGD 的面积为。巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题. 一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++…12n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求 23411112222++++ (12) n +的值. 解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12 n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12) n +112n =-. 【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.

形心重心计算公式

网络教程绪论第一章静力学基本概念第二章平面力系第三章重心和形心第四章轴向拉伸与压缩第五章剪切与挤压第六章圆轴的扭转第七章平面弯曲内力第八章梁的强度与刚度第九章强度理论第十章组合变形第十一章质点的运动第十二章刚体基本运动第十三章点的合成运动第十四章刚体平面运动第十五章功和动能定理第十讲重心和形心目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。教学重点：分割法和负面积法计算形心。教学难点：对计算形心公式的理解。教学内容： §3-4 重心和形心一、重心的概念： 1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。 2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。二、重心座标的公式： (1)、重心座标的公式三、物体质心的坐标公式在重心坐标公式中，若将G=mg，G i＝m i g代入并消去g，可得物体的质心坐标公式如下：

四、均质物体的形心坐标公式若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V i，则G=ρgV,G i＝ρgV i，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y； ∑A i.y i＝A.y c＝S x 则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下： 1、对称法凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。 2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。（1）、悬挂法

形心重心的理论计算公式

其重心的位置。例如，用称重法来测定连杆重心位置。如图。设连杆的重力为G ,重心C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力F B, 则由∑M A(F)=0 F B.L－G.x c＝0 x c＝F B.L/G (3)、分割法：工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。此法称为分割法。下面是平面图形的形心坐标公式： (4)、负面积法：仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。 3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。

重心法举例

一、简单重心法（运输量重心法）单一物流中心选址---重心法公式：x0 = ( ∑ xiwi ) / ( ∑ wi) y0 = ( ∑ yiwi ) / ( ∑ wi) ( x0 , y0 ) ----新设施的地址 ( xi , yi ) ----现有设施的位置 wi ----第i个供应点的运量例题：某物流园区，每年需要从P1地运来铸铁，从P2地运来钢材，从P3地运来煤炭，从P4地运来日用百货，各地与某城市中心的距离和每年的材料运量如表所示。请用重心法确定分厂厂址。解： x0 = ( 20×2000+60×1200+20×1000+50×2500 ) / ( 2000+1200+1000+2500) = 35.4 y0 = ( 70×2000+60×1200+20×1000+20×2500 ) / ( 2000+1200+1000+2500) = 42.1 所以，分厂厂址的坐标为(35.4 , 42.1) 二、迭代重心法（“运输量—运输距离—运输费率”重心法）单一物流中心选址---迭代重心法单一物流中心选址---迭代重

公式：X = ( ∑Q i R i X i/D i) / ( ∑Q i R i/D i ) Y= ( ∑Q i R i Y i/D i) / ( ∑Q i R i/D i ) D i= ( ( X i-X)2+(Y i-Y)2 )1/2 F = ∑Q i R i D i (Xi , Yi)----现有目标的坐标位置 Qi----运输量 Ri----运输费率 F----总运费 (X , Y)----新仓库的位置坐标 Di----现有目标到新仓库的距离解题方法：（1）令Di=1 A、求出仓库的初始位置； B、将求出的仓库位置（X，Y）代入Di公式中，求出客户到仓库初始位置的距离； C、计算出仓库初始位置的总运费ΣQiRiDi； ( 2 ) 迭代计算： A、将Di代入原公式，求出仓库的新位置坐标（X ，Y）； B、将求出的（X ，Y）代入Di公式中求出Di； C、计算出仓库新位置的总运费ΣiQiRiDi …不断迭代，直到求出的仓库位置和总运费越来越接近于不变，即为所得；注意：牵涉到运输费率要用重心法做；但如无费率，又要求用迭代重心法计算，则令费率为1。例题：某企业的两个工厂P1、P2分别生产A、B两种产品，供应三个市场M1、M2、M3。已知条件如表一所示。现需设置一个中转仓库，A、B两种产品通过该仓库间接向三个市场供货。请使用迭代重心法求出仓库的最优选址。表一

有关三角形重心的公式结论

三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33 x x x y y y G ++++. 13.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k ??=+=-?????=+=-????''OP OP PP ?=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k . 14.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++. (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 15. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ?的外心222 OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=. （3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=. （5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+. 四．基本方法和数学思想 1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。（1）向量式：a ∥b (b ≠0)?a =λb ;（2）坐标式：a ∥b (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), （1）向量式：a ⊥b (b ≠

重心坐标的公式

由重心坐标的公式： i i C a x X G ? = ∑ 261 2.48499.2,0.3, 1.2 b b B G kN X m Y m =???=== ()3 0.250.47 2.224 6.39 c a m =+??= 6.3926166.14 c G kN =?=

110.25 2.228 1.810.22 2.22826.39 c C f X ???+????= 10.70.7 2.92 1.44 1.703 c C f X ++==?= 210.25 2.228 2.260.22 2.22826.39 C C f Y ???+????= 2 2.15 2.15 1.93 2.08 2.213 C C f Y ++==?= ()30.230.45 2.224 6.04 D a m =+??= 6.0426157.04D G kN =?= 20.23 2.228 1.810.50.23 2.2286.04 D f X ???+????= 10.230.230.450.3 1.743 D D f X ++==?= 20.23 2.2280.1150.50.23 2.2286.04 D f Y ???+????= 20.230.230.450.30.183D D f Y ++==?= 499.20.3166.14 1.7157.04 1.710.85499.2166.14157.04i i a x X a ??+?+?===++∑ 499.2 1.2166.14 2.21157.040.18 1.21499.2166.14157.04i i a y Y a ??+?+?===++∑ 则整个图形的重心在（0.85、1.3）处

梯形的几何重心公式

F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 梯形的几何重心公式：Y=h（2a+b）/3（a+b） a：较短的底边； b：较长的底边； h：梯形的高。

仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях. 以下无正文

苏教版初中数学梯形和重心

梯形和重心一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： ● 掌握梯形，等腰梯形，直角梯形的概念和等腰梯形的性质和判定，会用梯形的有关知识进行计算和证明． ● 会求梯形的面积． ● 培养化归的思想和添加辅助线的能力． ● 会找线段，三角形，平行四边形的重心，掌握三角形重心的性质并能加以应用．重点： ● 掌握等腰梯形的性质和判定，并能不断优化推理论证．难点： ● 把梯形或其它多边形的问题转化为三角形或平行四边形的问题求解，优化几何基本图形的组合； ● 熟练掌握梯形的常见辅助线添法．学习策略： ● 经历探索梯形的有关性质、概念的过程，发展数学中的转换、化归思维方法，体会平移，轴对称的有关知识在梯形中应用。二、学习与应用（一）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：（二）平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾---复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

知识点一：梯形要点诠释：一组对边平行，另一组对边的四边形叫梯形．知识点二：等腰梯形要点诠释：两腰的梯形叫等腰梯形．知识点三：直角梯形要点诠释：有一个角是的梯形叫直角梯形．知识点四：等腰梯形的性质要点诠释：（1）等腰梯形同一个底上的两个角．（2）等腰梯形的两条对角线．知识点五：等腰梯形的判定要点诠释：（1）两腰的梯形是等腰梯形．（2）同一底上两个角的梯形是等腰梯形．知识点六：四边形的分类要点诠释：知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏．详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#246430．

几何中的著名定理大全

几何中的著名定理 1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB 分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1 24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略） 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB 于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1. 28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M 29、塞瓦定理的逆定理：（略） 30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。 32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线）

形心重心的理论计算公式

§３-４重心与形心一、重心得概念: 1、重心得有关知识,在工程实践中就是很有用得,必须要加以掌握。 2、重力得概念:重力就就是地球对物体得吸引力。 3、物体得重心:物体得重力得合力作用点称为物体得重心、无论物体怎样放置,重心总就是一个确定点,重心得位置保持不变、二、重心座标得公式: (1)、重心座标得公式三、物体质心得坐标公式在重心坐标公式中,若将G=mg,Ｇi=mｉｇ代入并消去ｇ,可得物体得质心坐标公式如下: 四、均质物体得形心坐标公式若物体为均质得,设其密度为ρ,总体积为V,微元得体积为V i,则G=ρgV,G i＝ρgＶi,代入重心坐标公式,即可得到均质物体得形心坐标公式如下: 式中V=∑Vi、在均质重力场中,均质物体得重心、质心与形心得位置重合。五、均质等厚薄板得重心(平面组合图形形心)公式: 令式中得∑A i、ｘi=A、x c=S y; ∑Ａi。y i＝A。y c=Sｘ则Ｓy、S x分别称为平面图形对y轴与ｘ轴得静矩或截面一次矩。六、物体重心位置得求法工程中,几种常见得求物体重心得方法简介如下: 1、对称法凡就是具有对称面、对称轴或对称中心得简单形状得均质物体,其重心一定在它得对称面、对称轴与对称中心上。对称法求重心得应用见下图。 2、试验法对于形状复杂,不便于利用公式计算得物体,常用试验法确定其重心位置,常用得试验法有悬挂法与称重法。 (1)、悬挂法

利用二力平衡公理,将物体用绳悬挂两次,重心必定在两次绳延长线得交点上。悬挂法确定物体得重心方法见图 (2)、称重法对于体积庞大或形状复杂得零件以及由许多构件所组成得机械,常用称重法来测定其重心得位置。例如,用称重法来测定连杆重心位置。如图。设连杆得重力为G,重心Ｃ点与连杆左端得点相距为Xc,量出两支点得距离Ｌ,由磅秤读出B端得约束力F B, 则由∑M A(F)＝0 ＦB.Ｌ－Ｇ、x c＝0 x c＝F B。L／Ｇ (3)、分割法: 工程中得零部件往往就是由几个简单基本图形组合而成得,在计算它们得形心时,可先将其分割为几块基本图形,利用查表法查出每块图形得形心位置与面积,然后利用形心计算公式求出整体得形心位置。此法称为分割法。下面就是平面图形得形心坐标公式: (4)、负面积法: 仍然用分割法得公式,只不过去掉部分得面积用负值。 3、查表法在工程手册中,可以查出常用得基本几何形体得形心位置计算公式。下面列出了几个常用得图形得形心位置计算公式与面积公式。四、求平面图形得形心举例

著名的几何定理

著名的几何定理 1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心和各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss 为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=1 24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略） 25、梅涅劳斯定理的使用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 26、梅涅劳斯定理的使用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S 连接面成的三条直线，分别和边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA ×ARRB()=1.

重心计算

第九章第六次课教学内容：§9-4二、三重积分的应用教学目的：（1）掌握二重积分计算空间曲面面积。（2）会求重心及转动惯量，对质点的引力。重点：空间曲面面积的求法难点：重积分的物理应用。关键：（1）掌握二重积分计算空间曲面面积。（2）根据微元法，理解和掌握重心及转动惯量，对质点的引力的意义和求法。教学过程： §4、重积分的应用一．几何应用 1．体积 ⑴以D 为底，(,)0z f x y =≥为顶的曲顶柱体的体积：(,)D V f x y d σ=?? ⑵空间区域Ω的体积：V dv Ω =??? 2．面积 ⑴平面区域D 的面积：D A d σ=?? ⑵空间曲面的面积：设空间曲面方程为：(,)z f x y =，(,)x y D ∈；函数(,)f x y 的一阶偏导数在D 上连续，求此曲面的面积。 ①将曲面任意分割为n 个小的曲面：1S ?，2S ?，...,n S ?,其中i S ?既表示第i 张小曲面又表示第i 张小曲面的面积，则1n i i S S ==?∑； ②设i D ?第i 张小曲面i S ?在xoy 坐标面上的投影区域，(,)i i i D ξη?∈?，对应的曲面上的点为(,,)i i i i S ξηζ∈?，其中(,)i i i f ζξη=；过(,,)i i i ξηζ作曲面的切平面，当(,)i i i D ξη∈? 时，小片切平面的面积记为i A ?，则i i A S ?≈?；设n 表示曲面上(,,)i i i ξηζ点处的切平面的法向量， i γ表示该法向量与z 轴正方向的夹角，02 i π γ≤≤ ，则cos i i i A γσ?=?；应为曲面方程(,)z f x y =，故法向量{,,1}x y n f f =-- cos i γ= 1 cos i i i i S A σγ?≈?= ?i σ= 由所考虑小片曲面的任意性，通常写作S σ?≈~~~~空间曲面的面积微元，记作 i

形心重心计算公式

第十讲重心和形心目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。教学重点：分割法和负面积法计算形心。教学难点：对计算形心公式的理解。教学内容： §3-4 重心和形心一、重心的概念： 1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。 2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。二、重心座标的公式： (1)、重心座标的公式三、物体质心的坐标公式在重心坐标公式中，若将G=mg，G i＝m i g代入并消去g，可得物体的质心坐标公式如下：四、均质物体的形心坐标公式

若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V i，则G=ρgV,G i＝ρgV i，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y； ∑A i.y i＝A.y c＝S x 则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下： 1、对称法凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。 2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。（1）、悬挂法利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。