高中数学必修三知识点大全

知识点串讲

必修三

第一章：算法

1. 1.1 算法的概念

1、算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。

2、任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。

解析：根据质数的定义判断

解：算法如下：

第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。

3、一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。

解：算法或步骤如下：

S1 人带两只狼过河；

S2 人自己返回；

S3 人带一只羚羊过河；

S4 人带两只狼返回；

S5 人带两只羚羊过河；

S6 人自己返回；

S7 人带两只狼过河；

S8 人自己返回；

S9 人带一只狼过河．

1． 1．2程序框图

1、基本概念：

（1起止框是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。

（2表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。

（3它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。

（4判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”及“否”（也可用“Y”及“N”）两个分支。

2、顺序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句及语句之间，

框及框之间是按从上到下的顺序进行的。

3、已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。

算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p 的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。 解：程序框图：

2

4、条件结构：根据条件选择执行不同指令的控制结构。

5、求x 的绝对值，画出程序框图。

输入x

- x

6、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。

循环结构分为两类：

（1）一类是当型循环结构，如图（1）所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P1是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P1不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构。

（2）另一类是直到型循环结构，如图（2所示，它的功能是先执行，然后

P2仍然不成立，则继续执行A框，直到

此时不再执行A框，从b点离开循环结构。

A A

P1？

成立 P2？不成立不成立成立

当型循环结构直到型循环结构

（1）（2）

7、输入3个实数按从大到小的次序排序。

解：程序框图：

8、给出50个数，1，2，4，7，11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，以此类推. 要求计算这50个数的和. 将下面给出的程序框图补充完整.

（1）________i < = 50_________________

（2）_____p= p + i____________________

（8题图）

1. 2.1输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句

在程序中的第1行中的INPUT 语句就是输入语句。这个语句的一般格式是：

INPUT 语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：

例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成： INPUT “数学，语文，英语”；a ，b ，c

注：①“提示内容”及变量之间必须用分号“；”隔开。

②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，

”隔开。但最后的变

量的后面不需要。

2、输出语句

在程序中，第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。它的一般格式是：

输出语句的用途：

（1）输出常量，变量的值和系统信息。（2）输出数值计算的结果。

3、赋值语句

用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。

除了输入语句，在该程序中第2行的赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是：

赋值语句中的“=”叫做赋值号。

赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变

量，使该变量的值等于表达式的值。

注：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。

②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。

③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）

④赋值号“=”及数学中的等号意义不同。

4、编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。

分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程。

算法：程序：

5、交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。

分析：引入一个中间变量X,将A的值赋予X,又将B的值赋予A，再将X的值赋予B，

从而达到交换A，B的值。（比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个

空桶）

程序：

1. 2.2条件语句

1、条件语句

算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句.它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE-END IF 格式）

INPUT A INPUT B PRINT A ，B X=A A=B B=X

PRINT A ，B

IF 条件 THEN 语句体1 ELSE 语句体2 END IF 满足条件？

语句体1

语句体2

是 否

当计算机执行上述语句时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN

后的语句1，否则执行ELSE 后的语句2.其对应的程序框图为：（如上右图） 在某些情况下，也可以只使用IF-THEN 语句：（即IF-THEN-END IF 格式）

计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，

就执行THEN 后的语句体，否则执行END IF 之后的语句.其对应的程序框图为：（如上右图）

2、编写一个程序，求实数x 的绝对值. 程序：

IF 条件 THEN 语句体 END IF

3、下面程序运行后实现的功能为_______________

1.2．3循环语句

1、WHILE语句的一般格式是

INPUT“a，b，c =”;a，b，c

IF b>a THEN

t=a

a=b

b=t

END IF

IF c>a THEN

t=a

a=c

c=t

END IF

IF c>b THEN

t=b

b=c

c=t

END IF

PRINT a，b，c

END

2、当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE及WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。

3、UNTIL语句的一般格式是

图是

4、直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。

5、编写程序，计算自然数1+2+3+……+99+100的和。

分析：这是一个累加问题。我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL

型语句。

程序（WHILE语句）：

i=1

sum=0

WHILE i<=100

sum=sum+i

i=i+1

WEND

PRINT sum

END

程序（UNTIL语句）：

i=1

sum=0

DO

sum=sum+i

i=i+1

LOOP UNTIL i>100

PRINT sum

END

6、设计一个算法：求满足1＋2 ＋ 3 ＋…＋ n＞10000的最小正整数n，并写出相应的程序。

解：i = 0

sum = 0

DO

i = i + 1

sum = sum + i

LOOP UNTIL sum>10000

PRINT i

END

1. 3算法案例

1、辗转相除法:例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。

解：8251＝6105×1＋2146

6105＝2146×2＋1813

2146＝1813×1＋333

1813＝333×5＋148

333＝148×2＋37

148＝37×4＋0

则37为8251及6105的最大公约数。

2、更相减损术:用更相减损术求98及63的最大公约数.

解： 98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝21

21－7＝14

14－7＝7

所以，98及63的最大公约数是7。

3、（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数及差相等而得到

4、秦九韶算法

秦九韶计算多项式的方法

令，则有

，

其中

.这样，我们便可由依次求出

；

显然，用秦九韶算法求n 次多项式的值时只需要做n 次乘法和n 次加法运算 5、k 进制转换为十进制的方法：

，

6、十进制转化为k 进制数b 的步骤为：

第一步，将给定的十进制整数除以基数k ，余数便是等值的k 进制的最低位； 第二步，将上一步的商再除以基数k ，余数便是等值的k 进制数的次低位； 第三步，重复第二步，直到最后所得的商等于0为止，各次所得的余数，便是k 进制各位的数，最后一次余数是最高位，即除k 取余法.

7、已知一个五次多项式为

8.07.16.25.325)(2

345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。

解：将多项式变形：8.0)7.1)6.2)5.3)25(((()(-+-++=x x x x x x f 按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：

5

0=v ，272551=+?=v ，5.1385.35272=+?=v ，9.6896.255.1383=-?=v

2.34517.159.6894=+?=v ，2.172558.052.34515=-?=v 所以，当x = 5时，多项

式的值等于17255.2

8、将二进制数110011(2)化成十进制数 解：根据进位制的定义可知

12345)2(212120202121110011?+?+?+?+?+?=

121161321+?+?+?= 51=

所以，110011（2）=51。

第二章：统计 2. 1.1简单随机抽样

1、简单随机抽样的概念：

一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n ≤N ），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

思考：简单随机抽样的每个个体入样的可能性为多少？（n/N ） 2、抽签法

一般地，抽签法就是把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签

放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。

抽签法的一般步骤：

（1）将总体的个体编号;

（2）连续抽签获取样本号码.

思考：你认为抽签法有什么优点和缺点；当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？

解析：操作简便易行，当总体个数较多时工作量大，也很难做到“搅拌均匀”

3、随机数法

利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法.

怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的 500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。

第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001， (799)

第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。

16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78