河北省石家庄市复兴中学2018届高三上学期期中数学试卷理科含解析

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【真题】2018年河北省衡水市安平中学高三(上)数学期中试卷含答案(理科)

2017-2018学年河北省衡水市安平中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B 等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）若复数，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．3．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．24．（5分）已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B．C．D．5．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．67．（5分）已知点O是边长为1的等边△ABC的外心，则（+）•（+）等于（）A．B．C．D．8．（5分）在等比数列{a n}中，a5=，4a4+a6=2，若a m，a n满足=4a1，则+的最小值是（）A．B．2 C．D．9．（5分）如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6+B．8+C．4+D．4+10．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．2111．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于（）A．5πB．20πC．8πD．16π12．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．14．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了．15．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是．16．（5分）已知平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线AB1，且平面α⊥平面C1BD，平面α∩平面ADD1A1=AS，则∠A1AS的正切值为．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AD=2，AB=4，∠ABC=60°．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）E是侧棱PB上一点，记=λ（0＜λ＜1），是否存在实数λ，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d≠0，S7=35，且a2，a5，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若T n为数列{}的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n≥0成立，+1求实数λ的取值范围．20．（12分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=．（1）求sin∠C的值；（2）若△ABD的面积为7，求AB的长．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[1，a]上的最大值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣bx，在（1）的条件下，若函数g（x）恰有3个零点，求b的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+b（a，b∈R）有两个不同的零点x1，x2．（1）求f（x）的最值；（2）证明：．2017-2018学年河北省衡水市安平中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B 等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．2．（5分）若复数，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【解答】解：∵=，∴z的虚部为．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=0+2×1=2．最大值故选：D．4．（5分）已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数=1+，∴f（x）+f（﹣x）=2，∵，∴f（﹣a）=，故选：C．5．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．7．（5分）已知点O是边长为1的等边△ABC的外心，则（+）•（+）等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，取AB，AC的中点分别为D，E．则，．OD===OE，∠DOE=120°．∴（+）•（+）==×cos120°=﹣．故选：D．8．（5分）在等比数列{a n}中，a5=，4a4+a6=2，若a m，a n满足=4a1，则+的最小值是（）A．B．2 C．D．【解答】解：设首项是a1，公比是q，则由a5=，4a4+a6=2，得a1q4=①，4a1q3+a1q5=2②，由①②解得：q=2，而a m，a n满足=4a1，则q m+n﹣2=16=24，故m+n=6，+=1，故+=（+）（+）=+++≥+2=+=，当且仅当n=2m时“=”成立，故选：A．9．（5分）如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6+B．8+C．4+D．4+【解答】解：由三视图可知几何体为两个半圆锥与一个长方体的组合体．半圆锥的底面半径r=1，高为2，长方体的棱长为1，2，2，∴几何体的体积V=×2+1×2×2=+4．故选：C．10．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（4t+）≤17﹣4=13，当且仅当4t=即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于（）A．5πB．20πC．8πD．16π【解答】解：由题意，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，余弦定理可得：cos∠BAC=解得：BC=可得S ABC=AB•ACsin60°=．△ABC外接圆的半径r，则2r=∴r=1∵PA⊥平面ABC，棱锥的体积为，那么：PA=h==4．可得：球的半径R==．那么球的表面积S=4πR2=20π．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【解答】解：根据题意，函数f（x）=的图象如图：令g（x）=|+a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．14．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了96里．【解答】解：设他第一天走a1里，由题意{a n}是公比为的等比数列，由等比数列前n项和公式得：=378，解得a1=192，∴．故答案为：96里．15．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是（0，] ．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）∴，∴0＜a≤故答案为：（0，]．16．（5分）已知平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线AB1，且平面α⊥平面C1BD，平面α∩平面ADD1A1=AS，则∠A1AS的正切值为．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD⊥AC1，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面AA1C，又A1C⊂平面AA1C，∴A1C⊥BD，同理，A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD，以A1A为侧棱补作一个正方体AEFG﹣A1PQR，使得侧面AQRA1与平面ADD1A1共面，连结AQ，则AQ∥A1C，连结B1Q，交A1R于点S，则侧面AQS即为平面α，AS即为平面α与平面ADD1A1的交线，∵AQ∥A1C，∴AQ⊥平面C1BD，又AQ⊂α，∴平面α⊥平面C1BD，∴∠A1AS的正切值tan∠A1AS=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．【解答】解：（1）由已知．利用正弦定理得：，整理得：，即：，由于：sinB≠0，0＜A＜π，则：cosA=，解得：A=．（2），=，=，=，由于：A=，解得：，所以：，求得：，则：，解得：，即：．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AD=2，AB=4，∠ABC=60°．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）E是侧棱PB上一点，记=λ（0＜λ＜1），是否存在实数λ，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，在三角形ABC中，由AB=4，BC=2，∠ABC=60°，得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=16+4﹣8=12．∴AC2+BC2=12+4=16=AB2，即AB⊥BC．又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；（2）解：以A为原点，分别以AD，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵PA=3，AD=2，AC=，∴A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，3），B（﹣2，，0）．设E（x，y，z），由=λ，得．∴（x，y，z﹣3）=λ（﹣2，，﹣3）=（﹣2λ，λ，﹣3λ），∴x=﹣2λ，y=，z=3﹣3λ．则E（﹣2λ，，3﹣3λ）．，=（﹣2λ，，3﹣3λ），．设平面ADE的一个法向量为，由，取z1=1，得；设平面ADP的一个法向量为，由|cos＜＞|=||=||=，得5λ2﹣18λ+9=0，解得λ=3（舍）或λ=．∴存在实数，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°．19．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d≠0，S7=35，且a2，a5，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；≥0成立，（2）若T n为数列{}的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：，d≠0，化为，解得，∴a n=2+（n﹣1）=n+1．（2）==．∴T n=++…+=．≥0，即﹣λ（n+2）≥0．化为：λ≤．不等式T n﹣λa n+1∵=≤=．当且仅当n=2时取等号．≥0成立，∵存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1∴实数λ的取值范围是．20．（12分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=．（1）求sin∠C的值；（2）若△ABD的面积为7，求AB的长．【解答】解：（1）因为，…（2分）又因为，所以：=，…（6分）（2）在△ADC中，由正弦定理得，故，…（8分），…（10分）在△ADB中，由余弦定理得：，所以，AB=．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[1，a]上的最大值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣bx，在（1）的条件下，若函数g（x）恰有3个零点，求b的取值范围．【解答】解：（1）依题意，f′（﹣）=0，即+a﹣3=0，∴a=4．∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x．令f′（x）=3x2﹣8x﹣3=0，得x1=﹣，x2=3．则当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=﹣6．（2）函数g（x）有3个零点⇔方程f（x）﹣bx=0有3个不相等的实根．即方程x3﹣4x2﹣3x=bx有3个不等实根．∵x=0是其中一个根，∴只需满足方程x2﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根．∴，∴b＞﹣7且b≠﹣3，故实数b的取值范围是b＞﹣7且b≠﹣3．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+b（a，b∈R）有两个不同的零点x1，x2．（1）求f（x）的最值；（2）证明：．【解答】解：（1），∵f（x）有两个不同的零点，∴f（x）在（0，+∞）内必不单调，故a＞0，此时，∴f（x）在上单增，上单减，∴，无最小值．（2）证明：由题知，两式相减得，即，故要证，即证，即证，不妨设x1＜x2，令，则只需证，设，则，设，则，∴h（t）在（0，1）上单减，∴h（t）＞h（1）=0，∴g（t）在（0，1）上单增，∴g（t）＞g（1）=0，即，在t∈（0，1）时恒成立，原不等式得证．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u=为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2024-2025学年河北省石家庄市高一上学期期中数学检测试题(含解析)

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共402024-2025学年河北省石家庄市高一上学期期中数学检测试题分）1.已知集合{A x y ==，{}21B y y x ==+，则（）A. A B =∅B. A B A =C. A B A= D. R B A⊆ð【答案】B 【解析】【分析】分别求出集合,A B ，结合补集以及集合的交集、并集运算，一一判断各选项，即得答案.【详解】由题意可得{[2,)A x y ∞===+，{}21[1,)B y y x ∞==+=+，故[2,)A B ⋂=+∞，A 错误;由于A B ⊆，故A B A = ，A B B = ，所以B 正确，C 错误；R (,1)B =-∞ð，则R B ð不是A 的子集，D 错误，故选：B2. “1n =”是“幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数,可得2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，由此求出n 的值，由充分、必要条件的定义判断即可.【详解】由题意，当1n =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，故充分性成立；若幂函数()()222333f x n n xn =-+⋅-在()0,∞+上是减函数，则2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，解得1n =或2n =，故必要性不成立，因此"1n ="是"幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数"的一个充分不必要条件.故选：B3. 已知函数2()41f x x kx =+-在区间[1,2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A. (,16][8,)-∞-⋃-+∞ B. [16,8]--C. (,8)[4,)-∞-⋃-+∞ D. [8,4]--【答案】A 【解析】【分析】2()41f x x kx =+-的对称轴为8k x =-，根据二次函数的性质可得18k -≤或28k-≥，解出即可得出实数k 的取值范围【详解】2()41f x x kx =+-，其对称轴为8k x =-若函数2()41f x x kx =+-在区间[1,2]上是单调增函数，则18k-≤，∴8k ≥-若函数2()41f x x kx =+-在区间[1,2]上是单调减函数，则28k-≥，∴16k ≤-所以，实数k 的取值范围是(,16][8,)-∞-⋃-+∞.故选：A.4. 已知152a =，253b =，1517c =，则（）A. a b c << B. b c a <<C. b a c << D. c a b<<【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小即得.【详解】525139b ==，而函数15y x =在(0,)+∞上单调递增，2917<<，因此1115552917<<，所以a b c <<.故选：A5. 已知点(1,2)M 在直线1(0,0)mx ny m n +=>>上，则21m n+的最小值为（）A. 6 B. 8C. 9D. 10【答案】B 【解析】【分析】点(1,2)M 在直线1(0,0)mx ny m n +=>>上得到21m n +=，然后结合基本不等式1的妙用求解；【详解】因为(1,2)M 在1(0,0)mx ny m n +=>>，所以21m n +=，()82422241n m m n m n m n ⎛⎫++ ⎪⎭+=++≥+⎝=,当且仅当122m n ==时等号成立.故选：B.6. 函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D 7. 已知()()2372,1,1a x a x f x ax x x ⎧-++<=⎨-+≥⎩在(),-∞+∞上满足()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（）A. ()0,3 B. 1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 2,39⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】的为【分析】根据题中条件，先判断函数()f x 单调递减，再由分段函数解析式，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为()()2372,1,1a x a x f x ax x x ⎧-++<=⎨-+≥⎩在(),∞∞-+上满足()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在(),∞∞-+上单调递减，需满足以下三个条件：（1）()372y a x a =-++在(),1∞-上单调递减，只需30a -<；（2）2y ax x =-+在[)1,+∞上单调递减，此时显然0a ≠，函数2y ax x =-+的对称轴为12x a=，所以只需112a≤且0a >；（3）在1x =处，第一段的函数值要大于等于第二段的函数值，即3721a a a -++≥-+；因此由3011203721a a a a a a -<⎧⎪⎪≤⎪⎨⎪>⎪-++≥-+⎪⎩，解得132a ≤<，即实数a 的取值范围为1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B8. 已知函数()1f x x =+，若()()122f m f m -+>，则m 的取值范围是（）A. ()1,-+∞B. ()1,+∞ C. (),1∞-- D. (),1-∞【答案】A 【解析】【分析】由题意构造函数()()1g x f x x =-=+，首先得出()g x 的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解.【详解】令()()1g x f x x =-=，因为()g x 的定义域为R 关于原点对称，且()()()g x x x g x -=+-=-=-，所以()g x 是R 上的奇函数，注意到幂函数y y x ==都是R 上的增函数，所以()g x 是R 上的增函数，而()()()()()()()1221121122f m f m f m f m g m g m g m -+>⇔-->--⇔->-=-⎡⎤⎣⎦，所以12m m ->-，解得1m >-，综上所述，m 的取值范围是()1,-+∞.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知关于x 的不等式 ²230ax bx c ++>的解集为{}|31x x -<<，则下列结论正确的是（）A. 0a b +<B.4120a b c ++>C. 不等式20ax c +>的解集为 1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭D. 不等式 220bx cx a --<的解集为 1{|1}2x x -<<【答案】AB 【解析】【分析】根据不等式的解集可得31-、是²230++=ax bx c 的两个根，利用韦达定理求出0a b a c a <⎧⎪=⎨⎪=-⎩，再逐项判断可得答案.【详解】因为不等式 ²230ax bx c ++>的解集为{}|31x x -<<，所以31-、是²230++=ax bx c 的两个根，且23123313a ba ca⎧⎪<⎪-⎪=-+=-⎨⎪⎪=-⨯=-⎪⎩，得0a b a c a<⎧⎪=⎨⎪=-⎩，对于A ，20a b a +=<，故A 正确；对于B ，41241270++=+-=->a b c a a a a ，故B 正确；对于C ，由20ax c+>得()2210-=->ax a a x ，因为0a <，所以210x -<，解得12x <，可得不等式20ax c+>的解集为1|2⎧⎫<⎨⎬⎩⎭x x ，故C 错误；对于D ，由220--<bx cx a 得()2210+-<a x x ，因为0a <，所以2210x x +->，解得12x >，或1x <-，所以不等式 220--<bx cx a 的解集为 1{|2x x >，或}1x <-，故D 错误.故选：AB.10. 下列说法正确的是（）A. 若()f x 的定义域为()2,4-，则()2f x 的定义域为()1,2-B. ()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C. 函数2y x =17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 函数()f x 满足()()221f x f x x --=-，则()213f x x =+【答案】AD 【解析】【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A ；利用同一函数的定义判断B ；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域可判断C ；利用方程组法求解函数解析式判断D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为()2,4-，对于函数()2f x ，则224x -<<，解得12x -<<，即函数()2f x 的定义域为()1,2-，故A 正确；对于B ，()2x f x x =定义域为{}0x x ≠，()g x x =定义域为R ，所以()2x f x x=和()g x x =不是同一个函数，故B 错误；对于C，令t =，则21x t =-，0t ≥，所以()2221172122248y t t t t t ⎛⎫=--=--+=-++⎪⎝⎭因为0t ≥，所以222y t t =--+在[)0,∞+上单调递减，所以2y ≤，所以函数2y x =的值域为(],2-∞，故C 错误；对于D ，因为()()221f x f x x --=-①，所以()()221f x f x x --=--②，②2⨯得()()2442f x f x x --=--③，①+③得，()323f x x -=--，解得()213f x x =+，故D 正确；故选：AD.11. （多选）若函数()f x 在()0,∞+上满足：对任意的1x ，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，恒有()()2112120x f x x f x x x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（）A. ()1f x =-B. ()3232f x x x x=+-C. ()f x =D. ()2f x x x=+【答案】ABD 【解析】【分析】先通过分析，得到若()f x y x=在()0,∞+上单调递增，则函数()f x 为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.【详解】不妨设120x x >>，则由题意可得()()2112>x f x x f x ，即()()1212f x f x x x >，由单调性定义可知，函数()f x y x=在()0,∞+上单调递增，即若()f x y x=在()0,∞+上单调递增，则称函数()f x 为“理想函数”．A 选项中()1f x y x x ==-，该函数在()0,∞+上单调递增，符合“理想函数”的定义；B 选项中()232f x y x x x==+-，该函数在()0,∞+上单调递增，符合“理想函数”的定义；C 选项中()f x y x ===()0,∞+上单调递减，不符合“理想函数”的定义；D 选项中()1==+f x y x x．该函数在()0,∞+上单调递增，符合“理想函数”的定义．故选：ABD ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 若幂函数()y f x =过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()y f x =的单调递增区间为__________.【答案】(),0-∞【解析】【分析】设幂函数解析式()ay f x x ==，结合幂函数过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭可得a ，再根据幂函数的单调性求解即可.【详解】设幂函数解析式()ay f x x ==，因为幂函数过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，故124a =，故2a =-，即()2y f x x -==，故y =f (x )的单调递增区间为(),0∞-.故答案为：(),0∞-13. 已知函数53()4f x ax bx cx =++-，(10)6f =，则(10)f -=_________.【答案】14-【解析】【分析】根据函数的奇偶性求函数值.【详解】设53()g x ax bx cx =++，则()()4f x g x =-，且()g x 为奇函数，即()()g x g x -=-.又()(10)1046f g =-=⇒()1010g =；所以()()101010g g -=-=-，所以()(10)10410414f g -=--=--=-.故答案为：14-14. 设函数()22f x ax x c =-+，不等式()0f x >的解集为()(),13,-∞-⋃+∞，若对任意[]()21,2,4x f x m ∈-≤-恒成立，则实数m 的取值范围为__________.【答案】(,2][2,)-∞-+∞ 【解析】【分析】先根据不等式的解集求得1,3a c ==-，得到()223f x x x =--，再把对任意[]1,2x ∈-，()24f x m ≤-恒成立，结合二次函数的性质，转化为240m -≥恒成立，即可求解.【详解】由函数()22f x ax x c =-+，且不等式()0f x >的解集为()(),13,-∞-⋃+∞，即1,3-是方程220ax x c -+=两个实数根，可得21313a c a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得1,3a c ==-，所以()223f x x x =--，又由()2223(1)4f x x x x =--=--，且[]1,2x ∈-，当1x =-时，函数()f x 取得最大值，最大值为()max 0f x =，因为对任意[]()21,2,4x f x m ∈-≤-恒成立，即240m-≥恒成立，解得2m ≤-或2m ≥，所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞ .故答案为：(,2][2,)-∞-+∞ .四、解答题（本大题共5小题，共77分）15. 已知集合U 为实数集，{5A x x =≤-或}8x ≥，{}121B x a x a =-≤≤+.（1）若5a =，求()U A B ⋂ð；（2）设命题p ：x A ∈；命题q ：x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}48x x ≤< （2）()[),29,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）由题意可得{}411B x x =≤≤，再利用补集与交集定义计算即可得；（2）由题意可得集合B 是集合A 的真子集，再分B =∅及B ≠∅讨论并计算即可得.【小问1详解】当5a =时，{}411B x x =≤≤，且{}58U A x x =-<<ð，故(){}48U A B x x ⋂=≤<ð；【小问2详解】∵命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A 的真子集，当B =∅，即121a a ->+，即2a <-时，此时满足题意；当B ≠∅，即121a a -≤+，即2a ≥-时，只需215a +≤-或18a -≥，即3a ≤-或9a ≥，又2a ≥-，所以9a ≥；综上所述，实数a 的取值范围为()[),29,-∞-⋃+∞.16. 根据市场调查知，某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x 万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为()R x 万元，且()2100,020,21009000,20.kx x R x k x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．（1）求出k 的值，并写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）2k =，()228050,020,18000205020,20.x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨-->⎪⎩（2）当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．【解析】【分析】（1）根据利润定义，结合所给函数()R x 的含义即可求解，（2）利用二次函数的性质求解最值，以及基本不等式求解最值，即可比较大小求解.【小问1详解】由题意可得()()2050W x xR x x =--，的当5x =时，()51005R k =-，所以()()5552055050025150300W R k =-⨯-=--=，解得2k =．所以()()228050,020,205018000205020,20.x x x W x xR x x x x x ⎧-+-<≤⎪=--=⎨-->⎪⎩【小问2详解】当020x <≤时，()228050W x x x =-+-，其图象开口向下，对称轴为20x =，所以当20x =时，()W x 取得最大值750万元；当20x >时，()18000900205020205020205020850W x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当900x x=，即30x =时，等号成立，此时()W x 取得最大值850万元，因为850750>，所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．17. 已知函数()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =+.（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式(2)(21)0f t f t -++＞成立，求实数t 的取值范围；（3）若函数()()21([2,1])g x f x ax x =-+∈--，求函数()g x 的最大值()h a .【答案】（1）222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪-+<⎩；（2）1(,)3+∞；（3）()247,322,2322,2a a h a a a a a a -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩.【解析】【分析】（1）设0x <，则0x ->，得到()()22f x f x x x =--=-+且()00f =，即可得到函数的解析式；（2）由（1）作出函数()f x 的图象，得到函数()f x 在定义域上为单调递增函数，把不等式(2)(21)0f t f t -++>，转化为(2)(21)f t f t ->--，即可求解.（3）当[2,1]x ∈--，得到函数2()(22)1g x x a x =-+-+，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.【详解】（1）因为函数()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =+，设0x <，则0x ->，可得()()22[()2()]2f x f x x x x x =--=--+-=-+，且()00f =，所以函数()f x 的解析式为222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪-+<⎩.（2）由（1）可得函数222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪-+<⎩，作出函数()f x 的图象如图所示：可得函数()f x 在定义域上为单调递增函数，又由函数()f x 为奇函数，所以不等式(2)(21)0f t f t -++>，可化为(2)(21)(21)f t f t f t ->-+=--，所以221t t ->--，解得13t >，即实数t 的取值范围是1(,)3+∞.（3）当[2,1]x ∈--，可得函数22()()21221(22)1g x f x ax x x ax x a x =-+=-+-+=-+-+，则函数()g x 开口向下，且对称轴的方程为1x a =-，当12-≤-a 时，即3a ≥，函数()g x 在区间[2,1]--单调递减，所以当2x =-时，函数()g x 取得最大值，最大值为()(2)47h a g a =-=-；当211a -<-<-时，即23a <<，函数()g x 在区间[2,1]a --单调递增，在区间[1,1]a --单调递减所以当1x a =-时，函数()g x 取得最大值，最大值为()2(1)22h a g a a a =-=-+；当11a -≥-时，即2a ≤，函数()g x 在区间[2,1]--单调递增，所以当1x =-时，函数()g x 取得最大值，最大值为()(1)22h a g a =-=-，所以函数()g x 的最大值()247,322,2322,2a a h a a a a a a -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩.【点睛】有关二次函数的最值问题的求解策略：1、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定，轴动区间定，轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；2、二次函数的单调性问题主要依据二次函数的图象的对称轴进行分类讨论求解.18. 函数()f x 的定义域为(0,+∞)，且对一切0x >，0y >都有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1x >时，有()0f x >.（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并加以证明；（3）若(4)2f =，求()f x 在[1,16]上的值域.【答案】（1）(1)0f =；（2）()f x 在(0,+∞)上是增函数，证明见解析；（3）[0,4].【解析】【分析】（1）0x y =>，根据函数性质即可求出(1)f ；（2）根据单调性的定义及()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可证明函数为增函数；（3）根据函数的单调性及函数满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质可求出函数值域.【详解】(1) 当0x >，0y >时，()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴令0x y =>，则(1)()()0f f x f x =-=(2)设12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，210x x >> ，211x x ∴>，210x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，()()21f x f x ∴>，即()f x 在(0,+∞)上是增函数(3)由(2)知()f x 在[1,16]上是增函数，min max ()(1)0,()(16)f x f f x f ∴===，(4)2f = ，由()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，知(4)(16)(4)f f f =-，(16)2(4)4f f ∴==，()f x ∴在[1,16]上的值域为[0,4].【点睛】本题主要考查了抽象函数的单调性证明，抽象函数值域，属于中档题.19. 已知函数()f x ，若存在非零常数k ，对于任意实数x ，都有()()f x k f x x ++=成立，则称函数()f x 是“k M 类函数”．（1）若函数()f x ax b =+是“1M 类函数”，求实数,a b 的值；（2）若函数()g x 是“2M 类函数”，且当[]0,2x ∈时，()(2)=-g x x x ，求函数()g x 在[]2,6x ∈时的最大值和最小值；（3）已知函数()f x “k M 类函数”，是否存在一次函数()h x Ax B =+（常数,A B R ∈，0A ≠），使得(2)()F x k F x +=，其中()()()F x f x h x =+，说明理由．【答案】（1）11,24a b ==- （2）max ()3g x =，min 1()4g x =-. 是（3）存在1()2h x x B =-+，使得函数()()()F x f x h x =+.【解析】分析】（1）由题知，对于任意实数x ，有(21)20a x a b -++=成立，解方程组21020a a b -=⎧⎨+=⎩即得解；（2）求出2()56g x x x =-+，[2,4]x ∈，2()1022g x x x =-+-，[4,6]x ∈，再利用二次函数求得最值，即得解；（3）求出()()(21)2F x k F x A x Ak B ++=+++，得到12A =-时，()(2)F x F x k =+，即得解.【小问1详解】由题得，对于任意实数x ，都有(1)()f x f x x ++=，即(1)a x b ax b x ++++=，所以ax a b ax b x ++++=，即(21)20a x a b -++=，所以21020a a b -=⎧⎨+=⎩.所以11,24a b ==-【小问2详解】由题得，对于任意实数x ，都有(2)()g x g x x ++=，(2)(2)g x x x x ∴++-=，2(2)g x x x ∴+=-，因为[0,2]x ∈，所以2[2,4]x +∈，设2[2,4]t x t =+∈，，所以2x t =-，所以22()(2)(2)56g t t t t t =---=-+，[2,4]t ∈，所以2()56g x x x =-+，[2,4]x ∈，对称轴为52x =，()g x 在52,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增；同理2()1022g x x x =-+-，[4,6]x ∈，对称轴为5x =，()g x 在[]4,5x ∈上单调递增，在[]5,6x ∈上单调递减；由题得51(2)0,,(5)3,(6)224g g g g ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，【所以max ()3g x =，min 1()4g x =-.【小问3详解】由题得()()f x k f x x ++=，因为()()()()F x f x h x f x Ax B =+=++，所以()()F x k f x k Ax Ak B +=++++，所以()()()()22F x k F x f x k f x Ax Ak B ++=+++++，所以()()22F x k F x x Ax Ak B ++=+++，所以()()(21)2F x k F x A x Ak B ++=+++，令12A =-得，1()()22F x k F x k B ++=-+，1()(2)22F x k F x k k B +++=-+，所以()(2)F x F x k =+，所以()F x 是周期函数.所以12A =-，所以1()2h x x B =-+.所以存在1()2h x x B =-+，使得函数()()()F x f x h x =+.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，函数的值域，判断证明抽象函数的周期性，解题的关键是理解“k M 类函数”的定义，及函数周期性的定义，考查学生的理解思维能力及运算求解能力，属于较难题.。

2018届河北省衡水第一中学高三上学期分科综合考试数学(理)试题 Word版含解析

2017～2018学年度高三分科综合测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，选A.2. 已知复数的实部为，则复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】试题分析：，所以实部为，则，因此复数，则，在复平面内对应点的坐标为，位于第三象限。

考点：复数的运算。

3. 若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，.选C.4. 已知实数满足约束条件，则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中的两边分别交于点，且交其对角线于点，若，，，则（）A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】由几何关系可得：，则：，即：，则=.本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若，则，．A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为.本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】根据二分法，程序运行中参数值依次为：，，，，，，，，此时满足判断条件，输出，注意是先判断，后计算，因此输出的，故选B．8. 已知函数，其中表示不超过的最大整数，则关于函数的性质表述正确的是（）A. 定义域为B. 偶函数C. 周期函数D. 在定义域内为减函数【答案】C【解析】由于表示不超过的最大整数，如，，则，所以定义域为错误；当时，，，，，是偶函数错误，由于，所以函数的的图象是一段一段间断的，所以不能说函数是定义域上的减函数，但函数是周期函数，其周期为1，例如任取，则，，则，则，选C.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则（）A. 3B.C.D. 4【答案】B10. 已知函数的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为和，则该函数图像距离轴最近的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图像过，则，，则或，又距离原点最近的两个点的坐标分别为和，则，，过，则，，，，取，得，则，其对称轴为，即，当时，该函数图像距离轴最近的一条对称轴方程是，选B.11. 某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC如图，其中，，平面，计算可得，，放在外接球中，把直角三角形恢复为正方形，恰好在一个球小圆中，AC为球小圆的直径，分别过和做圆的垂面，得出矩形和矩形，两矩形对角线交点分别为，连接并取其中点为，则为球心，从图中可以看出点共面且都在的外接圆上，在中，，，利用正弦定理可以求出的外接圆半径，，，平面，则，则球的半径，外接球的表面积为，选A. 【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法，恢复底面为正方形，放在一个球小圆里，这样画图方便一些，最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面平面，和我们做的平面是同一个平面，另外作平面和平面的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点所连线段的中点就是球心，再根据正、余弦进行计算就可解决.12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，函数在定义域内单调递增，方程即：，即，结合函数的单调性有： .本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为__________．【答案】【解析】设正的外接圆圆心为，连接，则，角是与平面所成的角为，由正的边长为可知，所以在中，球的表面积为，故答案为.14. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于__________．【答案】2【解析】的展开式中，，令，展开式中含有常数项，当时，取最小值为；令，展开式中含有常数项，当时，取最小值为2；综上可知：取最小值为2；15. 在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为__________．【答案】3【解析】，，，，，，，则，又，则，；当且仅当时取等号，则的最小值为3.16. 已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，若，则__________．【答案】【解析】设，则,将代入可得:,即,由题意直线与抛物线相切,则其判别式,即，所以切线的方程为,即.同理可得: .所以，即.又两切线都经过点可得,则是方程的两根,故,所以,因又因为,同理可得,即共线,而,则,即,故在中,高,应填答案。

河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)

2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为　﹣=1　．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为　+1　．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为　2　．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

2017-2018年上海市复兴高中高三上期中数学试卷(有答案)

复兴高中高三上期中一. 填空题1. 设集合{}34,A x x x =-≤∈R ，{}|0B x x =≤，则A B =2. 不等式111x <-的解是 3. 函数2xy =(2)x ≥的反函数是 4. 方程sin cos x x =的解是5. 若等差数列{}n a 前9项的和为27，且108a =，则=d6. 函数()22sin sin 2f x x x =+的值域是7. 若数列{}n a 满足112a =，212323n n a a a na n a ++++=，则2017a =8. 已知22sin 2sin cos 4ααβ-+=，那么αβ+= 9. 以下三个关于x 的方程：（1）22210x ax a a -+-+=；（2）240ax x a -+=；（3）10ax a ++=. 恰好其中两个方程有实数解，那么实数a 的取值范围是10. 已知函数3()f x x x =+，关于x 的不等式2(2)()0f mx f x ++-<在区间[1,5]上有解，则实数m 的取值范围为11. 已知数列}{n a 、}{n b 的通项公式分别是3nn a =，43n b n =+，把数列}{n a 、}{n b 的公共项从小到大排列成新数列}{n c ，那么数列}{n c 的第n 项是}{n b 中的第项12. 已知函数()f x =的定义域是[]0,a ，对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有12|()()|1f x f x -<成立，那么实数a 的取值范围是二. 选择题13. 已知a 是实数，如果lim n n a →∞存在，那么（）A. lim 0n n a →∞= B. lim 1n n a →∞< C. ||1a ≤ D. ||1a <14. 在△ABC 中，sin A m =，sin B n =，其中,m n 是常数，满足0,1m n <<，那么sin C 的值（）A. 可能不存在B. 有且只有一个C. 至少一个D. 至少两个15. 已知数列{}n a 的通项公式是nn a b c =+，*n ∈N ，其中,b c ∈R ，那么{}n a 是等比数列的必要条件是（）A. 0c =B. 0b ≠C. 0bc =D. 0b c +≠16. 已知函数()2f x ax bx c =++，a b c >>，0a b c ++=，集合{}()0,A m f m m =<∈R ，则（）A. 任意m A ∈，都有(3)0f m +>B. 任意m A ∈，都有(3)0f m +<C. 存在m A ∈，使得(3)0f m +=D. 存在m A ∈，使得(3)0f m +< 三. 解答题17. 已知集合{}24(1)1,A x x x x =-≥-∈R ，集合21log 2,1B x x x ⎧⎫=<∈⎨⎬-⎩⎭R ，又设全集U =R ，求UA B .18. 已知斜率等于1的直线l 和椭圆2212x y +=交于B A 、两点，O 为坐标原点. （1）设点M 是线段AB 的中点，当直线l 经过椭圆的右焦点F 时，求直线OM 的斜率；（2）当()0OA AO AB ⋅-=时，求直线l 的方程.19. 如图，△ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3（百米），底AB 的长为4（百米），现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等. （1）若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度；（2）求分成的四边形的面积的最小值.20. 对于定义在[0,)+∞上的函数()f x ，若函数()()y f x ax b =-+满足： ① 在区间[0,)+∞上单调递减，② 存在常数p ，使其值域为(0,]p ，则称函数()g x ax b =+是函数()f x 的“渐近函数”.（1）判断函数()1g x x =+是不是函数223()1x x f x x ++=+，[0,)x ∈+∞的“渐近函数”，说明理由；（2）求证：函数()10012g x x =不是函数()2f x =+的“渐近函数”；（3）若函数()f x x =[0,)x ∈+∞，()g x ax =，求证：当且仅当2a =时，()g x 是()f x 的“渐近函数”.21. 设集合k A 是由数列{}n a 组成的集合，其中数列{}n a 同时满足以下三个条件： ①数列{}n a 共有k 项，n a ∈R ； ②1230k a a a a ++++=；③1231k a a a a ++++=（1）若等比数列{}20n b A ∈，求等比数列{}n b 的首项、公比和项数；（2）若等差数列{}n c 是递增数列，并且{}2n k c A ∈，常数k ∈*N ，求该数列的通项公式；（3）若数列{}n m d A ∈，常数m ∈*N ，2m ≥，求证：3121112322m d d d d m m++++≤-.参考答案一. 填空题1. []1,0-2. 1x <或2x >3. 2log ,4y x x =≥4. ,4x k k Z ππ=+∈ 5. 16. 1⎡⎣7.122017 8. ,2k k Z ππ-∈ 9. [)()()2,00,12,-+∞10. 18m < 11. 21334n +-12. 03a <<+二. 选择题13. C 14. C 15. D 16. A三. 解答题17、解：由()2411x x -≥-得13x ≤≤，即[]1,3A =， …… 4分又由21log 21x <-得54x >，即5,4B ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭， …… 10分所以51,4U AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

河北定州中学2018届高三(承智班)上-期中考试数学试卷(含答案)

河北定州中学2017—2018学年度高三上学期数学期中考试试题一、选择题1．函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（）A. 有极大值无极小值B. 有极小值无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值2．已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.3．已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称4．设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5．已知，若，则当取得最小值时，（）A. 2B. 4C. 6D. 86．已知数列满足，，其前项和为，则下列说法正确的个数为（）①数列是等差数列；②；③.A. 0B. 1C. 2D. 37．设O 为坐标原点， P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点， M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（）A.2 B. 23C. 3D. 18．若函数()f x x =，则函数()12log y f x x =-的零点个数是（） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个9．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 正方形D. 正六边形 10．已知函数()()2312cos sin 2sin cos 222f x x x πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在3,86ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，若8f m π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围为（） A. 3,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. [)1,+∞ D. 2,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭11．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.12．已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（）A. B. C. D.二、填空题13．已知，若关于的方程恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________.14．已知圆22:1O x y +=的弦AB 长为2，若线段AP 是圆O 的直径，则AP AB ⋅=u u u v u u u v____；若点P 为圆O 上的动点，则AP AB ⋅u u u v u u u v的取值范围是_____．15．在数1和2之间插入n 个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为n A ，令*2log ,n n a A n N =∈．(1)数列{}n a 的通项公式为n a =____________；(2) 2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________．16．已知ABC ∆的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()222c b b =-，则AO BC ⋅u u u v u u u v的取值范围是__________．三、解答题17．函数.（1）求的单调区间；（2）若，求证：.18．已知函数.（1）求在区间上的最值；（2）若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围.19．设公差大于0的等差数列的前项和为.已知，且成等比数列，记数列的前项和为. （1）求；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.20．在平面直角坐标系xOy 中， F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点， M 是抛物线C 上的任意一点，当M 位于第一象限内时， OFM ∆外接圆的圆心到抛物线C 准线的距离为32. （1）求抛物线C 的方程；（2）过()1,0K -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且[]()2,3KA KB λλ=∈u u u r u u u r，点G 为x 轴上一点，且GA GB =，求点G 的横坐标0x 的取值范围。

2018届河北省定州中学高三上学期期中考试数学 Word版含解析

2018届河北省定州中学高三上学期期中考试数学一、选择题1．已知函数()π1cos 212x f x x x +⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，则201612017k k f =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的值为（）． A. 2016 B. 1008 C. 504 D. 02．定义在上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.3．设()f x 满足()()-=f x f x -，且在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，当[]1,1a ∈-时都成立，则t 的取值范围是（） A. 1122t -≤≤ B. 2t ≥或2t ≤-或0t = C. 12t ≥或12t ≤-或0t = D. 22t -≤≤ 4．已知函数()()()21,,2x x f x e a e e aex b a b R =+--+∈（其中e 为自然对数底数）在1x =取得极大值，则a 的取值范围是（）A. 0a <B. 0a ≥C. 0e a -≤<D. a e <-5．已知()221x x a f x -=+为奇函数， ()()2ln g x x b =-，若对()()1212,,x x R f x g x ∀∈≤恒成立，则b 的取值范围为（）A. (],e -∞B. (],0-∞C. [],0e -D. [),e -+∞6．已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--有三个不同的零点1x ， 2x ， 3x （其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（） A. 1a - B. 1a - C. 1- D. 17．已知函数()()()sin sin cos sin f x x x =+， x R ∈，则下列说法正确的是（）A. 函数()f x 是周期函数且最小正周期为πB. 函数()f x 是奇函数C. 函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎣D. 函数()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数 8．设双曲线C ： 221169x y -=的右焦点为F ，过F 作渐近线的垂线，垂足分别为M ， N ，若d 是双曲线上任一点P 到直线MN 的距离，则d PF的值为（） A. 34 B. 45 C. 54D. 无法确定 9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i = ，且1210a a a <<< ，若485i a M =，则i =（）A. 4B. 5C. 6D. 710．设函数()2xf x e x a =+-（a R ∈），e 为自然对数的底数，若曲线sin y x =上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（） A. 11,1e e -⎡⎤-++⎣⎦ B. []1,1e + C. [],1e e + D. []1,e11．已知0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0x e x λλ-≥恒成立，则λ的最大值为( )A. eB. 3C. 2eD. 3e 12．已知()21yf x =-为奇函数， ()y f x =与()yg x =图像关于y x =对称，若120x x +=，则()()12g x g x +=（）A. 2B. -2C. 1D. -1二、填空题13．函数，，若使得，则__________.14．如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.15．已知函数，，则的取值范围是__________.16．体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________．三、解答题17．设函数()ln f x x x =-， ()21xg x xe x =--. （1）关于x 的方程()2103f x x x m =-+在区间[]1,3上有解,求m 的取值范围；（2）当0x >时， ()()g x a f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围.18．设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积()20525b b -<<. （1）求点M 的轨迹方程；（2）在点M 的轨迹上有一点P 且点P 在x 轴的上方， 120APB ∠=︒，求b 的范围.19．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和()01,2,n S n >= .（1）求q 的取值范围；（2）设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小. 20．如图，圆C ： ()2210x a x y ay a -++-+=．（1）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（2）求圆心C 的轨迹方程；。

河北省石家庄一中2018学年高一上学期期中考试数学试卷含解析

2018-2018学年河北省石家庄一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（C U A）∩（C U B）=（）A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}2．（5分）设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a3．（5分）若函数f（x）=为奇函数，则a=（）A．1 B．C．D．4．（5分）如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型（）A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型5．（5分）函数f（x）=log2（2x）的最小值为（）A．0 B．C．D．6．（5分）函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）是偶函数，它在B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1] 12．（5分）已知函数f（x）=则方程f+1=0解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若a2x+1＞（）2x，其中a＞1，则x的取值范围是．14．（5分）已知f（2x）=x+1，则f（x）= ．15．（5分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=2x+1，则当x ∈（﹣∞，0）时，f（x）= ．16．（5分）定义区间（a，b），，的长度均为d=b﹣a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣，其中x∈R．设f（x）=•{x}，g（x）=x﹣1，当0≤x≤k时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为5，则k的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算下列各式：（1）；（2）．18．（12分）设集合A={x|0＜x﹣m＜2}，B={x|﹣x2+3x≤0}，分别求满足下列条件的实数m的取值范围：（1）A∩B= ；（2）A B=B．19．（12分）石家庄市为鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费，每月用电不超过100度时，按每度0.52元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.6元计算．（1）设月用电x度时，应缴电费y元，写出y关于x的函数关系式；（2）小明家第一季度缴纳电费情况如表：问小明家第一季度共用电多少度？20．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．（Ⅰ）求f（x）的解析式（Ⅱ）是否存在常数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是和？如存在，求出m，n 的值；如不存在，说明理由．21．（12分）已知函数y=+lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为M，（1）求M；（2）当x∈M时，求函数f（x）=a•2x+2+3•4x（a＜﹣3）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=a x﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．（1）求实数a；（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；（3）对于定义在（1，4]上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式2≤h（x2）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范围．2018-2018学年河北省石家庄一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2018•辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（C U A）∩（C U B）=（）A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（C U A）∩（C U B）【解答】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}，所以（C U A）∩（C U B）={7，9}故选B【点评】本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则2．（5分）（2018•天津）设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）若函数f（x）=为奇函数，则a=（）A．1 B．C．D．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】求得函数f（x）的定义域，由奇函数定义域关于原点对称，可得a，检验即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=为奇函数，可得（3x+1）（x﹣a）≠0，即x≠﹣且x≠a，且f（x）的定义域敢于原点对称，可得a=，则f（x）=，即f（x）==，满足f（﹣x）=﹣=﹣f（x），即f（x）为奇函数．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性函数的判断，注意运用定义法，首先定义域关于原点对称，属于基础题．4．（5分）（2018•山东模拟）如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型（）A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】压轴题；图表型．【分析】利用表格中的自变量与函数值的对应关系，发现自变量增加一个单位，函数值是均匀增加的，可以确定该函数模型是一次函数模型．【解答】解：随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．故选A．【点评】本题考查给出函数关系的表格法，通过表格可以很清楚地发现函数值随着自变量的变化而变化的规律．从而确定出该函数的类型．5．（5分）（2018秋•朝阳区校级期中）函数f（x）=log2（2x）的最小值为（）A．0 B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：由条件可知函数的定义域为（0，+∞），则f（x）=log2（2x）=log2x•（）=log2x•（2+2log2x），设t=log2x，则函数等价为y=t（1+t）=t2+t=（t+）2﹣，故当t=﹣时，函数取得最小值﹣，故选：C【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据对数的运算法则，利用换元法是解决本题的关键．6．（5分）（2018•四川）函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．【解答】解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．【点评】本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．7．（5分）（2018•重庆一模）已知f（x）是偶函数，它在时f（x）=（）x，∴f（log28）=f（﹣1）=（）﹣1=2．故选：D【点评】本题考查了函数的周期性，考查了函数奇偶性的性质，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，是中档题．10．（5分）（2018秋•滕州市期中）定义在R上的奇函数f（x），满足f（）=0，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为（）A．B．C． D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中f （）=0，且在（0，+∞）上单调递减，可得f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，分类讨论后，可得xf（x）＞0的解集【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，∵当x＜0，当﹣＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0当x＞0，当0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0综上xf（x）＞0的解集为故选B【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想，判断出f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减是解题的关键．11．（5分）（2018•揭东县校级模拟）已知函数f（x）=mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是（）A． B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]【考点】二次函数的图象．【专题】常规题型；计算题；压轴题；分类讨论．【分析】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，应先结合m是否为零对函数是否为二次函数进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得问题解答．【解答】解：由题意可知：当m=0时，由f（x）=0 知，﹣3x+1=0，∴＞0，符合题意；当 m＞0时，由f（0）=1可知：，解得0＜m≤1；当m＜0时，由f（0）=1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点综上可知，m的取值范围是：（﹣∞，1]．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、函数与方程的思想以及问题提转化的能力．值得同学们体会和反思．12．（5分）已知函数f（x）=则方程f+1=0解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】首先画出分段函数f（x）的图形，由题意知：f（f（x））=﹣1，可解得：f（x）=﹣2 或 f（x）=；利用数形结合法可直接判断交点个数；【解答】解：根据f（x）表达式画出f（x）图形如右图．由题意知：f（f（x））=﹣1，可解得：f（x）=﹣2 或 f（x）=；当f（x）=﹣2时，f（x）图形与直线y=﹣2有两个交点；当f（x）=时，f（x）图形与直线y=有两个交点；综上，f（f（x））+1=0有4个解；故选：D【点评】本题主要考查了分段函数的图形画法，以及方程根与图形交点的转换与数形结合思想的应用，属中等题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若a2x+1＞（）2x，其中a＞1，则x的取值范围是x＞﹣．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】根据指数函数的单调性，把不等式化为a2x+1＞a﹣2x，即2x+1＞﹣2x，求出解集即可．【解答】解：不等式a2x+1＞（）2x化为a2x+1＞a﹣2x，又a＞1，所以2x+1＞﹣2x，解得x＞﹣，所以x的取值范围是x＞﹣．故答案为：．【点评】本题考查了根据指数函数的单调性求解不等式的应用问题，是基础题目．14．（5分）已知f（2x）=x+1，则f（x）= log2x+1 ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】对应思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】利用换元法结合指数和对数的转化关系进行求解即可．【解答】解：设t=2x，则x=log2x，则由f（2x）=x+1得f（t）=log2t+1．即f（x）=log2x+1．故答案为：log2x+1．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用换元法结合对数和指数幂的关系是解决本题的关键．15．（5分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=2x+1，则当x ∈（﹣∞，0）时，f（x）= ﹣2﹣x﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；函数思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】任取x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞），利用f（x）为定义在R上的奇函数，当x ∈（0，+∞）时，f（x）=2x+1，即可得出结论．【解答】解：任取x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞）∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=2x+1，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x﹣1．故答案为﹣2﹣x﹣1．【点评】考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，是函数奇偶性的一个重要应用．16．（5分）定义区间（a，b），，的长度均为d=b﹣a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣，其中x∈R．设f（x）=•{x}，g（x）=x﹣1，当0≤x≤k时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为5，则k的值为7 ．【考点】区间与无穷的概念．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】先化简f（x）=•{x}=•（x﹣）=x﹣2，再化简f（x）＜g（x），再分类讨论：①当x ∈•{x}=•（x﹣）=x﹣2，g（x）=x﹣1，f（x）＜g（x）⇒x﹣2＜x﹣1即（﹣1）x＜2﹣1，当x∈=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈=2，﹣1＞0，上式可化为x＜+1=3，∴当x∈和？如存在，求出m，n的值；如不存在，说明理由．【考点】二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用条件f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，建立方程组，求f（x）的解析式（Ⅱ）利用二次函数的单调性和值域之间的关系建立，方程关系．【解答】解：（Ⅰ）由题设，方程f （x）=x有等根，即ax2+（b﹣1）x=0有等根，∴△=0⇒b=1．（2分）又f （2）=0，∴4a+2b=0，∴a=﹣．（4分）故f （x）=﹣x2+x．（5分）（Ⅱ）∵f （x）=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+≤，∴2n≤，即 n≤．（8分）而当n≤时，f （x）在上为增函数，设满足条件的m，n存在，则即，又m＜n≤，由上可解得 m=﹣2，n=0．即符合条件的m，n存在，其值为m=﹣2，n=0．（13分）【点评】本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的图象和性质，要求熟练掌握二次函数的图象和性质的应用．21．（12分）（2018秋•西湖区校级期末）已知函数y=+lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为M，（1）求M；（2）当x∈M时，求函数f（x）=a•2x+2+3•4x（a＜﹣3）的最小值．【考点】复合函数的单调性；对数函数的定义域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）利用被开方数非负，真数大于0，建立不等式组，即可求得函数的定义域；（2）换元，利用配方法，结合函数的定义域，分类讨论，即可求得结论．【解答】解：（1）由题意，，解得1≤x≤2，∴M=（1，2]；（2）令t=2x（t∈（2，4]），f（x）=g（t）=﹣4at+3t2=3（t+）2﹣1°﹣6＜a＜﹣3，即2＜﹣＜4时，g（t）min=g（﹣）=﹣；2°a≤﹣6，即﹣≥4时，g（t）min=g（4）=48+16a∴f（x）min=．【点评】本题考查函数的定义域，考查函数的最值，考查配方法的运用，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=a x﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．（1）求实数a；（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；（3）对于定义在（1，4]上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式2≤h（x2）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范围．【考点】函数的图象与图象变化；反函数．【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）令x=a，则f（a）=2，从而可知f（x）过定点（a，2），再由题设即可求得a值；（2）根据图象平移规则：左加右减，上加下减即可求得g（x）表达式，从而可得h（x）的解析式；（3）令t=log3x，则t∈，不等式2≤h（x2）+m+6 恒成立，可转化为关于t的二次不等式恒成立，进而转化为求函数的最值解决，利用二次函数的性质易求其最值；【解答】解：（1）由已知a2﹣a+1=2，∴a=2．（2）∵f（x）=2x﹣2+1，∴g（x）=2x，∴h（x）=log2x（x＞0），（3）要使不等式有意义：则有1＜x≤4且1＜x2≤4，∴1＜x≤2，据题有在（1，2]恒成立，∴设t=log2x（1＜x≤2），∴0＜t≤1，∴（t+2）2≤2t+tm+6在（0，1]时恒成立．即：在时恒成立，设，t∈（0，1]单调递增，∴t=1时，有y max=1，∴m≥1．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数图象变换及反函数，考查学生分析问题解决问题的能力，解决恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值解决．。

河北定州中学2018届高三(高补班)上-期中考试数学试卷(含答案)

河北定州中学2017-2018学年第一学期数学期中考试试题一、选择题1．设向量,,a b c v v v 满足2a b ==vv ， 2a b ⋅=-v v ， (),60a c b c --=︒v v v v ，则c v 的最大值等于（）A. 4B. 2C.2 D. 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x <时， ()f x 满足，()()()2f x xf x xf x '+<，则()f x 在R 上的零点个数为（）A. 5B. 3C. 1或3D. 13．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等差数列，若11a =， n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++ 的最小值为（）A. 3B. 4C. 232-D.924．已知函数()ln xf x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（） A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()0,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (),e -∞5．P 是双曲线22:2C x y -=左支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线， P 在l 上的射影为2,Q F 是双曲线C 的右焦点，则2PF PQ +的最小值为（）A.22B. 2C. 32D. 222+111111 6．已知函数()2cos 24f x x x π=+-在[)0,2上的最大值为a ，在(]2,4上的最小值为b ，则a b +=（）A. 2-B. 1-C. 1D. 2 7．．已知向量，，若，则的值是（）A.B. 0C. 1D. 28．己知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，()()122121nnn a n a a b +=--，且()2*0,63n n n n a S a a n N >=+∈，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是（）A.17 B. 149 C. 49 D. 84419．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23xf x e x f x '=++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（）A. 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 1,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D. 21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.143π B. 103π C. 83πD. 2π 11．函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（）A. 有极大值无极小值B. 有极小值无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值 12．已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题13．已知椭圆22221(0),,x y a b A B a b+=>>是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点()0,0P x ，则0x 的取值范围是__________．（用,a b 表示）14．已知圆()222:1C x y r +-=与曲线sin y x =有唯一的公共点，且公共点的横坐标为α，若2sin24cos ααλα-=⋅，则λ=__________．15．已知，若关于的方程恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________.16．已知圆22:1O x y +=的弦AB 长为2，若线段AP 是圆O 的直径，则AP AB ⋅=u u u v u u u v____；若点P 为圆O 上的动点，则AP AB ⋅u u u v u u u v的取值范围是_____．三、解答题17．已知函数为常数， .（1）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.（2）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=，如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点()3,D m -.（1）求22m k +的最小值；（2）若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点.19．已知函数()22m xf x x m=-，且0m ≠．（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()00，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 有最值，写出m 的取值范围．（只需写出结论）20．在平面直角坐标系xOy 中， F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点， M 是抛物线C 上的任意一点，当M 位于第一象限内时， OFM ∆外接圆的圆心到抛物线C 准线的距离为32. （1）求抛物线C 的方程；（2）过()1,0K -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且[]()2,3KA KB λλ=∈u u u r u u u r，点G 为x 轴上一点，且GA GB =，求点G 的横坐标0x 的取值范围.参考答案ADBAC DABCC 11．D 12．B13．2222,a b a b a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 14．4- 15．16． 2 1212⎡⎤-+⎣⎦，17．（1）；（2）的取值范围是（1），即，又所以，此时，所以上递减，上递增，又，所以（2）因为，所以，即所以在上单调递增，所以问题等价于对任意，不等式成立设，则当时，，所以在区间上单调递减，此时所以不可能使恒成立，故必有，因为若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.18．（1）2.（2）见解析（1）设0y kx t k =+（＞），联立直线和椭圆方程，消去y ，得到关于的x 一元二次方程，利用韦达定理，求出点E 的坐标和OE 所在直线方程，求点D 的坐标，利用基本不等式即可求得22m k + 的最小值；（2）由（1）知OD 所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点G 的坐标，并代入2OG OD OE =⋅ ，得到t k = ，因此得证直线过定点；试题解析：（1）设直线l 的方程为(0)y kx t k =+>，由题意， 0t >，由方程组22{ 13y kx tx y =++=，得()222316330k x ktx t +++-=，由题意0∆>，所以2231k t +>，设()()1122,,,A x y B x y ，由根与系数的关系得122631kt x x k +=-+，所以122231ty y k +=+，由于E 为线段AB 的中点，因此223,3131E E kt tx y k k =-=++，此时13E OE E y k x k ==-，所以OE 所在直线的方程为13y x k=-，又由题意知()3,D m -，令3x =-，得1m k=，即1mk =，所以2222m k mk +≥=，当且仅当1m k ==时上式等号成立，此时由0∆>得02t <<，因此当1m k ==且02t <<时， 22m k +取最小值2. （2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为13y x k =-，将其代入椭圆C 的方程，并由0k >，解得G ⎛⎫ ⎝，又1,3,E D k ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝，由距离公式及0t >得222229131k OG k ⎛⎫⎛⎫+=+= +⎝，OD k ==，231OE k ==+，由2OG OD OE =⋅，得t k =，因此直线l 的方程为()1y k x =+，所以直线l 恒过定点()1,0-. 19．(1) 0x y += ;(2)详见解析;(3) 0m < （Ⅰ）当1m =时，由题设知()21xf x x =-. 因为()()22211x f x x+'=--，所以()00f =， ()01f '=-.所以()f x 在0x =处的切线方程为0x y +=.（Ⅱ）因为()22m x f x x m =-，所以()()2222x m f x m x m '+=-- . 当0m >时，定义域为((),-∞⋃⋃+∞ .且()()22220x mf x mxm +-'=-<故()f x的单调递减区间为((),,,-∞+∞ ……5分当0m <时，定义域为R . 当x 变化时， ()f x '， ()f x 的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间为(,-∞，)+∞，单调递增区间为(．综上所述，当0m >时， ()f x 的单调递减区间为((),,,-∞+∞；当0m <时，故()f x 的单调递减区间为(,-∞， )+∞，单调递增区间为(．（Ⅲ）0m <20．（1）2:4C y px =（2）1311,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦根据题意，点Q 在FO 的垂直平分线上，所以点Q 到准线的距离为32422p p p +=⇒=，所以2:4C y px =.（2）设()()112212,,,,A x y B x y KA KB y y λλ=⇒=u u u r u u u r，设直线:1l x my =-代入到24y px =中得2440y my -+=，所以()()221221221191641,42,23y y m y y y y m λλλλλλ+⎡⎤+==+=⇒=⇒++∈⎢⎥⎣⎦，又AB 中点()221,2m m -，所以直线AB 的垂直平分线的方程为()2221y m m x m ⎡⎤-=---⎣⎦，可得20131121,43x m ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.。

河北省衡水市安平中学2018届高三上学期期中考试数学理试题含答案精品

安平中学2017-2018学年第一学期高三期中考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1. 已知集合{}()(){}1,2,3,|120A B x Z x x ==∈+-<，则A B = （） A ． {}1 B ． {}1,2 C ． {}0,1,2,3 D ．{}1,0,1,2,3-2. 若复数|43|34i z i+=-，则z 的虚部为（）A ．-4B ．45-C ．4D ．453. 若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．1C ．32D ．24. 已知函数113)(22+++=x x x x f ，若32)(=a f ，则=-)(a f （）A ．32 B ．32- C ．34 D ．34- 5. 已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6.曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 7. 已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则()()OA OB OA OC +⋅+uu r uur uu r uuu r等于（）A ．19B ．19-C．- D ． 16-8. 在等比数列{}n a 中，5461,422a a a =+=，若,m n a a14a =，则14m n+的最小值是（）A ．32B ．2C ．73D ．2569.如图是一个由两个半圆锥和一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A ． 263π+B ． 83π+C ．243π+D ．43π+10. 已知1,,AB AC AB AC t t ⊥==，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．2111. 已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积，2=AB ，1=AC ，60=∠BAC ，则此球的表面积等于（） A ．5π B ．20π C ．8π D ．16π12. 已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则的取值范围是（）A ．[2,2]- B．[- C．[- D．[- 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13. 若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，错误！未找到引用源。

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2018-2018学年河北省石家庄市复兴中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{1，2} C．{﹣1，﹣2} D．（0，+∞）2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x18≥0 D．存在x0∈R，使得x18＜03．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）= C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx4．已知点P（，﹣）在角θ的终边上，且θ∈=a2+4，则实数a=（）A．0 B．2 C．﹣2 D．0或29．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B． C． D．10．若函数f（x）满足f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x，则f′（1）的值为（）A．0 B．2 C．1 D．﹣111．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）上恰有一个极大值和一个极小值．则ω的取值范围是（）A．（，1] B．（1，] C．（，] D．（，]12．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题中横线上）13．直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是．14．不等式的解集是．15．曲线y=与直线y=x，x=2所围成图形面积为．16．已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈时，f（x）=2x，则f（﹣9）= ．17．设f（x）与g（x）是定义在同一区间上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在上是“关联函数”，则m的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知条件p：A={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}，条件q：B={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}．（1）若A∩B={x|0≤x≤3}，求实数m的值；（2）若q是￢p的充分条件，求实数m的取值范围．19．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣2x（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x∈，求实数a的值．（2）函数f（x）定义在R上且f（x）=﹣f（x+），当≤x≤3时，f（x）=log2（ax2﹣2x+2），若f（35）=1，求实数a的值．21．备受瞩目的巴西世界杯正在如火如荼的进行，为确保总决赛的顺利进行，组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72m2（如图所示）．要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m．设该矩形区域的长为x（单位：m），租用铁栏杆的总费用为y（单位：元）（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小最小费用．22．设f（log a x）=，（0＜a＜1）（1）求f（x）的表达式，并判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性；（3）对于f（x），当x∈（﹣1，1）时，恒有f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求m的取值范围．23．已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．（1）已知函数f（x）在点（l，f（1））处与x轴相切，求实数m的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）在（1）的结论下，对于任意的0＜a＜b，证明：＜﹣1．2018-2018学年河北省石家庄市复兴中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．{1，2} C．{﹣1，﹣2} D．（0，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】集合A表示的是对数函数的定义域，令真数大于0求出A，利用交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵A={x|y=lnx}={x|x＞0}又∵B={﹣2，﹣1，1，2}，∴A∩B={1，2}故选B2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x18≥0 D．存在x0∈R，使得x18＜0【考点】命题的否定；全称命题．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x18＜0．故选D．3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到答案．【解答】解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．已知点P（，﹣）在角θ的终边上，且θ∈=a2+4，则实数a=（）A．0 B．2 C．﹣2 D．0或2【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数的表达式，先求f（0），再求f，解关于a的方程即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=20+1=2，∴f=f（2）=4+2a=a2+4，∴a=0或a=2．故选：D．9．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在上的逐渐增大，故函数f（x）在上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在上的逐渐减小，故函数f（x）在上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．10．若函数f（x）满足f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x，则f′（1）的值为（）A．0 B．2 C．1 D．﹣1【考点】导数的几何意义；函数的值．【分析】先根据f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x求导，再把x=1代入，求f′（1）的值【解答】解；求函数f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x的导数，得，f′（x）=x2﹣2f′（1）x ﹣1，把x=1代入，得，f′（1）=1﹣2f′（1）﹣1∴f′（1）=0故选A11．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）上恰有一个极大值和一个极小值．则ω的取值范围是（）A．（，1] B．（1，] C．（，] D．（，]【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）恰有一个极大值和一个极小值，结合周期的求法，得T＜2π≤，由此可得到结论．【解答】解：由题意可得T＜2π≤，即•＜2π≤•，求得＜ω≤，故选：D．12．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数的零点；数列的求和．【分析】作出函数的图象，利用对称性，即可得出结论．【解答】解：如图所示，两个图象在点（1，0）对称，然后﹣2到4一共有4个交点，对称的两交点横坐标和为1的2倍，4个点就是两对对称点，所以和为4．故选B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题中横线上）13．直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）．【考点】二次函数的性质．【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）14．不等式的解集是．【考点】其他不等式的解法．【分析】法一是移项后平方，注意等价转化为不等式组，化简求交集即可；法二是化简为等价不等式组的形式，求不等式组的解集．【解答】解：法一：原不等式等价于解得0≤x≤2．法二：故答案为：15．曲线y=与直线y=x，x=2所围成图形面积为﹣ln2 ．【考点】定积分．【分析】作出曲线与直线y=x、x=2的图象，求出它们的交点坐标，可得所求面积为函数x﹣在区间上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：∵曲线和曲线y=x的交点为A（1，1）直线y=x和x=2的交点为B（2，2）∴曲线与直线y=x，x=2所围成图形面积为S==（﹣ln2）﹣（﹣ln1）=故答案为：16．已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈时，f（x）=2x，则f（﹣9）= ﹣2 ．【考点】奇偶函数图象的对称性；函数的值．【分析】先由图象关于直线x=﹣2对称得f（﹣4﹣x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+8）=f（x），得f（x）是以8为周期的周期函数，从而f（﹣9）=﹣f（1），从而求出所求．【解答】解；∵图象关于直线x=﹣2对称∴f（﹣4﹣x）=f（x）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴f（﹣4﹣x）=﹣f（﹣x），即﹣f（﹣4+x）=f（x），故f（x﹣8）=f=﹣f（x﹣4）=f（x），进而f（x+8）=f（x）∴f（x）是以8为周期的周期函数．f（﹣9）=﹣f（1）=﹣2故答案为：﹣217．设f（x）与g（x）是定义在同一区间上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在上是“关联函数”，则m的取值范围．【考点】函数的零点；函数的值．【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故答案为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知条件p：A={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}，条件q：B={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}．（1）若A∩B={x|0≤x≤3}，求实数m的值；（2）若q是￢p的充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）根据集合的交集，判断出区间端点的值和大小，得到m的值，即本题结论；（2）根据充要条件关系得到m的取值范围的关系，判断出区间端点值的大小，得到m取值范围，即本题结论．【解答】解：（1）由已知得：A={x|m﹣2≤x≤m+2}．B={x|﹣1≤x≤3}，∵A∩B=，∴，∴，∴m=2．（2）∵q是¬p的充分条件，∴B⊆∁R A，而∁R A={x|x＜m﹣2或x＞m+2}，∴m﹣2＞3或m+2＜﹣1，∴m＞5或m＜﹣3．∴实数m的取值范围为m＞5或m＜﹣3．19．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣2x（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x∈，求实数a的值．（2）函数f（x）定义在R上且f（x）=﹣f（x+），当≤x≤3时，f（x）=log2（ax2﹣2x+2），若f（35）=1，求实数a的值．【考点】交集及其运算；对数的运算性质．【分析】（1）结合题意，得出不等式ax2﹣2x+2＞0的解集为（﹣2，）．说明a为负数且，可得实数a的值；（2）由f（x）=﹣f（x+），得f（x）=﹣f（x+）=f（x+）=f（x+3），得f （x）的周期为3，知f（35）=f（2），由此能求出a．【解答】解：（1））∵P∩Q=[，），P∪Q=（﹣2，3]，∴Q=（﹣2，）．即不等式ax2﹣2x+2＞0的解集为=（﹣2，）．∴a＜0且，∴a=﹣．（2）∵函数f（x）定义在R上且f（x）=﹣f（x+），∴f（x）=﹣f（x+）=f（x+）=f（x+3），∴f（x）的周期为3，f（35）=f（3×11+2）=f（2）=log2（a•22﹣4+2）=1，所以a=1．21．备受瞩目的巴西世界杯正在如火如荼的进行，为确保总决赛的顺利进行，组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72m2（如图所示）．要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m．设该矩形区域的长为x（单位：m），租用铁栏杆的总费用为y（单位：元）（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小最小费用．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m．可得y表示为x的函数；（Ⅱ）由均值不等式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意有：y=100（+x﹣2），其中x＞2；（Ⅱ）由均值不等式可得：y=100（+x﹣2）=100（+x﹣2）≥100（2﹣2）=2200，当且仅当=x，即x=12时取“=”综上：当x=12时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元．22．设f（log a x）=，（0＜a＜1）（1）求f（x）的表达式，并判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性；（3）对于f（x），当x∈（﹣1，1）时，恒有f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断．【分析】（1）利用换元法，设log a x=t，则x=a t，代入化简即可，再利用奇偶性的定义证明即可，（2）函数为增函数，利用定义证明即可，（3）利用函数为奇函数和增函数，得到不等式组，解得即可．【解答】解：（1）设log a x=t，则x=a t，∴f（t）===∴f（x）=∴f（﹣x）=（a﹣x﹣a x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，（2）函数为增函数，∵f（x）=设x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（）=（﹣+﹣），∵0＜a＜1时，∴a2﹣1＜0，＞1，∴﹣＞0，+﹣＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；（3）∵f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，∴f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1），∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；∴解得，1＜m，故m的取值范围为（1，）．23．已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．（1）已知函数f（x）在点（l，f（1））处与x轴相切，求实数m的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）在（1）的结论下，对于任意的0＜a＜b，证明：＜﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出原函数的导函数，由函数f（x）在点（l，f（1））处与x轴相切，可得f′（1）=0，从而求得m的值；（2）由（1）中求得的函数f（x）的导函数，对m进行分类，m≤0时，有f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）递增；m＞0时，由导函数大于0和小于0分别求出函数的增区间和减区间；（3）把（1）中求出的m值代入函数解析式，把＜﹣1转化为，令后转化为lnt﹣t+1＜0，t＞1，即f（t）＜0，t＞1．由（2）中的函数的单调性得到证明．【解答】（1）解：由f（x）=lnx﹣mx+m，得．∵f（x）在点（l，f（1））处与x轴相切，∴f′（1）=1﹣m=0，即m=1；（2）解：∵．当m≤0时，，知函数f（x）在（0，+∞）递增；当m＞0时，，由f′（x）＞0，得，由f′（x）＞0，得．即函数f（x）在上递增，在上递减；（3）证明：由（1）知m=1，得f（x）=lnx﹣x+1，对于任意的0＜a＜b，＜﹣1可化为，其中0＜a＜b，⇔，其中0＜a＜b，⇔⇔lnt﹣t+1＜0，t＞1，即f（t）＜0，t＞1．由（2）知，函数f（x）在（1，+∞）递减，且f（1）=0，于是上式成立．故对于任意的0＜a＜b，成立．2018年8月22日。