2014年5月份厦门市质检卷理数扫描版含答案
2014-2015福建省厦门市高三(上)质量检查(含答案)
厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测数学（理科）试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：V Sh =柱.其中S 为底面面积，h 为高．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1．设集合{}|20A x x =+>，|B x y ⎧==⎨⎩,则A B = A ．{|2}x x >- B ． {|3}x x < C ．{|32}x x x ><-或 D ． {|23}x x -<< 2. 已知命题:p 0x R ∃∈，01sin 2x ≥，则p ⌝是 A ．1,sin 2x R x ∀∈≤B ．1,sin 2x R x ∀∈< C ．001,sin 2x R x ∃∈≤D ．001,sin 2x R x ∃∈< 3.已知向量()1a m,= ,()22b m ,= ,+0a b λ= 则m =A. 0B. 2C. 0或2D. 0-2或 4.曲线23y x =与直线1,2x x ==及x 轴所围成的封闭图形的面积是 A. 1 B.3 C. 7 D. 85.函数()sin y x x x R =+∈的图象的一条对称轴经过点A. ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π B. ⎪⎭⎫⎝⎛0,6π C. 03,π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,3π 6. 已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是 A ．若,//l m αα⊥，则l m ⊥ B. 若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ C ．若//,l m m α⊂，则//l α D ．若//,//l m αα，则l // m 7.等差数列{}n a 中，3a 和9a 是方程2160x x c -+=(64)c <的两实根， 则该数列前11项和11S =A ．58B ．88C ．143D ．1768.在直角坐标系中，函数()1 sinf x xx=-A9 . 椭圆2:13Ea+=的右焦点为F B两点.若△FAB周长的最大值是8，则m的值为A. 0B.1C.D. 210. 设函数[]35211*()(1),(0,1,)3!5!(21)!nnnx x xf x x x n Nn--=-+-+-∈∈-，则A.23()sin()f x x f x≤≤ B.32()sin()f x x f x≤≤C. 23sin()()x f x f x≤≤ D.23()()sinf x f x x≤≤第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11.已知sin2cosαα=,则tan4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭.12.三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于_____.13. 已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的渐近线与圆22(5)9x y-+=相切，则双曲线C的离心率为.14.已知数列{}n a中，13a=，()130nn na ab b++=>，*n N∈.①当1b =时，712S =； ②存在R λ∈,数列{}nn a bλ-成等比数列；③当()1b ,∈+∞时，数列{}2n a 是递增数列； ④当()01b ,∈时， 数列{}n a 是递增数列.以上命题为真命题的是 （写出所有真命题对应的序号）.（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案．．．．．．．．．．．．．．，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分． 15. （1）（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111A -⎛⎫=⎪⎝⎭，且103xA y -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则x y +=___________. （2）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为cos 1ρθ=，圆C 的参数方程为:22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），则圆心C 到直线的距离等于_____________(3)（选修4-5：不等式选讲）已知,x y R +∈且22x y +=的最大值等于_____．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题12分） 已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点（0，12）,且相邻两条对称轴间的距离为2π. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；(Ⅱ)在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1cos 22A f A ()-=， 且1,3bc b c =+=，求a 的值. 17. （本小题12分）如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线交于点O, DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证：AC ⊥ BE ；(Ⅱ)若120o ADC ∠=，2DE =，BE 上一点F 满足//OF DE求直线AF 与平面BCE 所成角的正弦值.A18. （本小题12分）已知梯形OABC 中，21OA OC AB ===,OC //AB ，3π=∠AOC ,设OA OM λ=,μ=()00,λμ>>, ()12OG OM ON =+,如图： (Ⅰ)当1124,λμ==时，点O,G,B 是否共线，请说明理由； (Ⅱ) 若OMN ∆,求OG 的最小值.19. （本小题13分）营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60，90]（单位：克），脂肪的摄入量控制在[18，27]（单位：克）.某学校食堂提供的伙食以食物A 和食物B 为主， 1千克食物A 含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元； 1千克食物B 含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元.(Ⅰ)如果某学生只吃食物A ，他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；(Ⅱ) 根据营养学家的建议，同时使得花费最低，学生每天需要同时吃食物A 和食物B 各多少千克.20. （本小题13分）已知抛物线E :x y 42=,点(),0F a ，直线:,l x a =-，0a >，且a 为常数. (Ⅰ) 当1a =时，P 为直线l 上的点,R 是线段PF 与y 轴的交点.若点Q 满足:,RQ FP PQ l ⊥⊥,判断点Q 是否在抛物线E 上，并说明理由；(Ⅱ)过点F 的直线交抛物线E 于A,B 两点, 直线OA ,OB 分别与直线x a =-交于M ,N 两点.，求证：以MN 为直径的圆恒过定点并求定点的坐标.21. （本小题14分）设函数()*()ln 1,2,1n f x ax x n N n a =--∈≥> .（Ⅰ）当2a =，2n =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个零点12x ,x .(i)求a 的取值范围； (ii)求证：2212n x x e->（e 为自然对数的底数）.厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测（理科）试题参考答案及评分标准二、填空题：三、解答题： 16．（本小题满分12分）本题主要考查三角函数的对称性、周期性与单调性，两角和与差的正弦公式及余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想与数形结合思想． 解：（Ⅰ）由()f x 的图象过点（0，12），得1sin 2ϕ= 又02πϕ<<，6πϕ∴=……………………………………………………………….………1分由相邻两条对称轴间的距离为2π，知()f x 的周期T=π…………………………………….2分 则2ππω=，2ω∴=……………………………………………………………………………3分()sin(2)6f x x π∴=+…………………………………………………………………………4分令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，………………………………………………..….5分得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈…………………………………………..….6分（Ⅱ）由1cos 22A f A ()-=，可得1sin()cos 62A A π+-=11cos cos 22A A A +-=11cos 22A A -=…………………………..…7分 化简得，1sin()62A π-=………………………………………………………………………8分50,666A A ππππ<<∴-<-<……………………………………………………….……9分66A ππ∴-=，即3A π=………………………………………………………….………….10分又bc =1，b+c=3，据余弦定理可得22222cos ()36a b c bc A b c bc =+-=+-= …………………………………………….11分a ∴=…………………………………………………………………………………..…..12分17．（本小题满分12分）本题考查空间线面位置关系以及利用空间向量这一工具解决立体几何中有关长度、角度、垂直、平行问题的能力.考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了转化与化归思想以及方程思想的应用能力. (Ⅰ)证明：,DE ABCD AC ABCD ⊥⊂平面平面， DE AC ∴⊥ …………….……..…….1分四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，……………………………………………………..2分 又DEBD D =，E AC BD ∴⊥平面 ，……………………………………………..…… 4分BE BDE ⊂平面，∴AC BE ⊥ …………………5分（Ⅱ）（解法一）,//DE ABCD OF DE ⊥平面 ，O F A B C D ∴⊥平面，以O 为原点，以,,OA OB OF 分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：………………………………………….…6分依题意可得(0,1,0),((0,1,2),(0,0,1)A B C E F -，(AF =，(1,0)BC =-，(0,1,1)BF =-, …………………………………7分设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则0n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩………………8分取(1,3,n =- ,……………………………………………………………………...……9分则2cos ,7||||AF n AF n AF n ⋅-<>===, ………………………………………….…11分 设直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则21sin |cos ,|AF n θ=<>=12分 (Ⅱ)（解法二）,//DE ABCD OF DE ⊥平面，OF ABCD ∴⊥平面，..6分由题意可得 112O F D E ==，AO OC ==1BO OD ==，..……7分xABE CE ==……………………………………….……8分2AF ==，212BCE S BC ∆==………………………………………………….…9分 连接AE ，设点A 到平面BCE 的距离为d ,A BCE E ABC V V --=，即1111(1)23332BCE ABC S d S DE ∆∆⋅=⋅=⨯⨯⨯ ,解得7d = ，………….…11分 所以直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则sin d AF θ==. ………………..……12分 18．（本小题满分12分）本题考查平面向量基本定理、几何性质、模与数量积的运算，以及基本不等式等知识的综合应用，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法.解法一：(Ⅰ)当11,24λμ== 时，12OB OA AB OA OC =+=+………………………….…..2分 （或：依题意2,//OC AB OC AB =12OB OC OA ∴=+ )111111()()()222442OG OM ON OA OC OA OC =+=+=+..3 4O B O G ∴=…………………………………………….……...4分//OB OG ∴……………………………………………………..5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………..6分 (Ⅱ) 1sin 23OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= ………………………………8分 ()()1122OG OM ON OA OC λμ=+=+ ()22222124OG OA OC OC OA λμλμ=++⋅…………………………..……………………..9分 ()2222112cos 434πλμλμλμλμ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭……………………………………10分33416λμ≥=……………………………………….…...11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43 …………………………….…….12分 解法二：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系…………….…..1分(Ⅰ)15(0,0),(1,0),((,24O A C B ………………….………….…2分54OB ⎛∴= ⎝⎭()()111111151,0,,222448221616OG OM ON OA OC ⎛⎫⎛⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………3分 4OB OG ∴=……..………………………………………………………………………………4分 //OB OG ∴……………………………………………………………………………………….5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………………………………………….6分(Ⅱ) 1sin 23416OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= …………………….……….8分()12,0,24M N G λμλμμμ⎛⎫⎛⎫+∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………….…….……9分=()22222144λμμλμλμ⎫+⎛⎫+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………………….…..……10分 33416λμ≥= …………………………………………….…11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43…………………………..………12分19．（本小题满分13分）本题主要考查二元一次不等式（组）的区域表示，线性规划问题等相关概念，考查学生应用线性规划思想解决实际生活问题的能力以及数据处理能力，同时考查了数形结合、转化与化归等数学思想方法.解：(Ⅰ) 如果学生只吃食物A ，则当蛋白质摄入量在[60，90]（单位：克）时，则食物A 的重量在[1，1.5] （单位：千克），其相应的脂肪摄入量在[9，13.5] （单位：克），不符合营养学家的建议；……………………….2分 当脂肪摄入量在[9，27] （单位：克）时，则食物A 的重量在[2，3] （单位：千克），相应的 蛋白质摄入量在[120，180] （单位：克），不符合营养学家的建议. ………………………….4分 (Ⅱ)设学生每天吃x 千克食物A ，y 千克食物B ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0272791890306060y x y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0332322y x y x y x ，分作出其相应的可行域，如图阴影部分所示…....8分 每天的伙食费为2015z x y =+……..………….9分由⎩⎨⎧=+=+2322y x y x 解得42(,)55M作直线0:20150l x y +=，平移0l 过点M 时，z 有最小值………………………………………………………………………………………..10分所以min 4220152255z =⨯+⨯=………………………………………………….………….…12分所以学生每天吃0.8千克食物A ，0.4千克食物B ，既能符合营养学家的标准又花费最少.………………………………………………………13分20．（本小题满分13分）本题主要考查抛物线的定义和几何性质、直线的方程、圆的方程等基本知识.本题通过用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查学生运算求解能力以及应用解析几何知识解决问题的能力.考查数形结合思想与方程思想等数学思想.(Ⅰ)解法一:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线1分因为O 点为FC 的中点且O R ∥PC,所以R 点为线段PF 的中点.又因为R Q ⊥PF,所以QR 为PF 的垂直平分线,可知PQ=QF. ………4分根据抛物线定义,Q 点在抛物线E :x y 42=上,如图所示. ………5分解法二:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线 设P 点坐标为(0,1y -),则直线PF 的方程为)1(210--=x y y ……………………….……….2分 R 点坐标(0,021y ),直线RQ 的方程为00212y x y y +=…………………………….…………..3分 又直线PQ 的方程为0y y =.故Q 点坐标为),41(020y y ………………………………………….4分 把Q 点代入x y 42=,满足方程,即Q 点在抛物线E :x y 42=上………………………….……5分 (Ⅱ)解法一: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .①当直线AB 的斜率不存在时,设直线AB 的方程为a x =,求得)2,(a a A ,)2,(a a B -)2,(),2,(a a N a a M ---,显然以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………………..………6分 ②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为)(a x k y -=,代入x y 42= 得0)42(22222=++-k a x ak x k .设)2,(11x x A )2,(22x x B -由韦达定理得2212221,42a x x kak x x =+=+………….……7分 又求得212,2x K x K OB OA -==.故直线OA 的方程:x x y 12=,直线OB 的方程:x x y 22-= ………………………………8分得到)2,(),2,(12x a a N x a a M ---………………………………………………………………..9分由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=, …………………………………………………..………………………….10分 求得),2,(2x a m a ---=)2,(1x a m a --=代入上式得…………………..………11分04)(2122=-+x x a m a ,⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).……………………….………13分 解法二: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(221y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………………7分 又求得214,4y K y K OB OA ==.故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= …………………….………………8分 得到)4,(),4,(21y aa N y a a M ----…………………………………………………………….……9分 由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=,………………………………………………………………………….……….10分 求得),4,(1y a m a ---=)4,(2y am a ---=.代入上式得………………………………11分016)(2122=++y y a m a ⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..………….………13分解法三: 设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(222y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………..………6分又求得214,4y K y K OB OA ==. 故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= ………………………….….………7分 得到)4,(),4,(21y a a N y a a M ----……………………………………………………….………8分 以MN 为直径的圆的圆心(a -,)22(21y a y a +-),半径|22|21y ay a r -=…………….……………9分 故圆的方程2212212)22()22()(y a y a y a y a y a x -=++++ 化简得016)(4)(212212122=+++++y y a y y y y a y a x ……………………………………………11分由韦达定理结论可得04)(422=-+++a y a x yt满足题目要求只须对于任意非零实数t 上式恒成立.解得⎩⎨⎧=--=02y a a x ,⎩⎨⎧=-=02y a a x .故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..……………….13分 21．（本小题满分14分）本题考查函数与导数的基础知识、导数的应用、方程的解及不等式证明等问题，考查运算求解能力，考查了分类与整合、化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想． （Ⅰ）依题意得：由已知得()0x ,∈+∞，2,2n a ==，21144122()x x x f x x x⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭'∴== ………………………………………….……… 1分令 ()0f x '>，得12x >；令()0f x '<，得102x <<, …………………..………………… 2分则函数()f x 在102,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，…………………………..… 3分11ln 222f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值,且无极大值..………………….………………..…4分（Ⅱ）(i)11()n f x nax x -'=-，1a >，令11()010n n f x nax nax x -'=-=⇒-=，设0x =，…………..………………..…… 5分函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x ,+∞上单调递增，函数()f x 存在两个零点，∴函数的最小值0()0f x <，………………….…………….… 6分则()0111()1ln 1f x a na na n n=⋅-=+-， 即()11ln 10na n n +-<，111n a e n-∴<<，…………………………………………...……… 7分 又11n n na ee-+<<，111n nn e na +-⎛⎫> ⎪⎝⎭ ， 111+10nn n n n n f e a e n ++--⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝， (8)分011nx na=<，且1a >，()110f a ∴=->， 根据零点存在性定理可知()f x 在()00x ，和()0,x +∞各有一个零点………………………..…9分（ii ）解法一：不妨设1x >2x ,依题意得：1122ln 1...........ln 1..........n n ax x ax x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②，①-②得：()1212ln ln n na x x x x -=-，①+②得：()()1212ln 2nn a xx x x +=+，…………………………………………..……… 10分又1212ln ln n nx x a x x -=-，()()()12121212ln ln ln 2n nn nx x x x x x x x -+∴+=-，设121x t x =>，()12ln x x ∴=()1ln 21n n t t t +⋅--，……………………………… …………..… 11分 欲证2212n x x e ->，只要证：()122ln 2x x n >-，即证：()12ln 1n n t t t n+⋅>-，……………… 12分即证：21ln 1n n t t n t ->⋅+，设()()21ln 11n n t g t t t n t -=-⋅>+，()()()()()()2212221411220111nnnn n n n t t t ntg t t n t t t t t -+--'=-⋅==>+++， ()g t ∴ 在()1,+∞上递增，()()10g t g ∴>= ， ……………………………..…....… 13分21ln 1n n t t n t -∴>⋅+， ()12ln 1n n t t t n+∴⋅>- ，2212nx x e-∴> …………………………………………………..… 14分。
2014年福建省厦门市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分1．（5分）执行如图的程序框图，如果输人的x为3，那么输出的结果是（）A．8B．6C．1D．﹣12．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，集合B＝{x|2x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数y＝1﹣2sin2x是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数4．（5分）学校为了了解学生每天课外阅读的时问（单位：分钟），抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的课外阅读时间都在[10，50），其频率分布直方图如图所示，其中时间在[30，50）的学生有67人，则n的值是（）A．100B．120C．130D．3905．（5分）已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离是（）A．B．C．1D．26．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．m∥n，n⊂α，则m∥αC．m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．m∥α，n⊂a，则m∥n7．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．88．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）＝﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，圆A：（x+2）2+y2＝36，点B（2，0），点D是圆A上的动点，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，设m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），给出下列结论：①f（﹣2）＝﹣2；②f（n）是偶函数；③f（n）在定义域上是增函数；④f（n）图象的两个端点关于圆心A对称．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．共20分．11．（4分）若复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于．12．（4分）（）6的展开式中，常数项为．（用数字作答）13．（4分）已知数列{a n}中，a n+1＝2a n，a3＝8，则数列{log2a n}的前n项和等于．14．（4分）记曲线y＝x2与y＝围成的区域为D，若利用计算机产生（0，1）内的两个均匀随机数x，y，则点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于．15．（4分）已知函数f（x）＝x2（e x+e﹣x）﹣（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），则满足f （x）＞0的实数x的取值范围为．三、解答题：本大助共5小题．共80分．．16．（13分）如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB＝∠F AB＝90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA＝AB＝BE＝2，BC ＝1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．17．（13分）甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率；乙每次投中的概率都是，甲乙每次投中与否相互独立．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，求实数a的取值范围．19．（13分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A﹣C﹣P和滑雪练习道A﹣E﹣P（如图）．已知cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，cos∠APE＝，公路AP长为10（单位：百米），滑道EP长为6（单位：百米）．（Ⅰ）求滑道CP的长度；（Ⅱ）由于C，E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP 上找一处D，修建连接道DC，DE，问DP多长时，才能使连接道DC+DE最短，最短为多少百米？20．（14分）如图，点A，B分别是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x一2）2十y2＝9经过椭圆E的左焦点F1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．（i）求•的取值范围；（ii）是否存在定圆r，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆r，若存在，求出圆r的方程；若不存在，说明理由．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知点A（1，2）在矩阵M＝[]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．选修4-4坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ+12＝0，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．选修4一5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围．2014年福建省厦门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分1．（5分）执行如图的程序框图，如果输人的x为3，那么输出的结果是（）A．8B．6C．1D．﹣1【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行x＝3﹣2＝1；第二次运行x＝1﹣2＝﹣1，满足x＜0，∴执行y＝（﹣1）3＝﹣1．∴输出y＝﹣1．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，集合B＝{x|2x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x＜0}＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}，∴A⊊B，即“x∈A”是“x∈B”充分不必要条件．故选：A．3．（5分）函数y＝1﹣2sin2x是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数【解答】解：y＝1﹣2sin2x＝cos2x，∵ω＝2，∴T＝＝π，∵余弦函数为偶函数，∴函数为最小正周期为π的偶函数．故选：B．4．（5分）学校为了了解学生每天课外阅读的时问（单位：分钟），抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的课外阅读时间都在[10，50），其频率分布直方图如图所示，其中时间在[30，50）的学生有67人，则n的值是（）A．100B．120C．130D．390【解答】解：由频率分布直方图得，每天课外阅读时间在[10，20）和[20，30）的频率分别为0.010×（20﹣10）＝0.10，0.023×（30﹣20）＝0.23；∴每天课外阅读时间在[30，50）的频率为：1﹣（0.10+0.23）＝0.67，∴抽取的学生数n＝67÷0.67＝100；故选：A．5．（5分）已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离是（）A．B．C．1D．2【解答】解：设P到y轴的距离为a，则P到焦点的距离为2a，∴由抛物线的定义可得a+1＝2a，∴a＝1，即P的横坐标为1，代入抛物线方程，可得P的纵坐标为±2，∴点P到x轴的距离是2．故选：D．6．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．m∥n，n⊂α，则m∥αC．m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．m∥α，n⊂a，则m∥n【解答】解：若α⊥β，m⊂α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故A错误；若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故B错误；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，n⊂a，则m与n可能平行也可能异面，故D错误；故选：C．7．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b＝2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴＝＝当a＝时，取最小值为4故选：B．8．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝，此时d2＝8，由，解得，即O在直线x+y﹣4＝0的垂足为B（2，2），则（2，2）满足不等式ax﹣y﹣2≤0即可．即2a﹣2﹣2≤0，解得a≤2，即正实数a的取值范围是0＜a≤2，故选：A．9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）＝﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由1＞＞0，∴函数f（x）＝﹣2＜0，函数的图象在x轴下方，∴B正确．a＝0时D正确．由a是实数，函数f（x）＝﹣2∴当a→0时，y→﹣1，当a≠0时，由无限的思想可知，当x→+∞时，y→﹣2，当x→﹣∞时，y→﹣1，A正确；∴满足题目要求的图象，A、B、D．故选：C．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，圆A：（x+2）2+y2＝36，点B（2，0），点D是圆A上的动点，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，设m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），给出下列结论：①f（﹣2）＝﹣2；②f（n）是偶函数；③f（n）在定义域上是增函数；④f（n）图象的两个端点关于圆心A对称．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∵m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），∴f（﹣2）＝﹣2正确；②∵m＝f（n），n∈[﹣8，4]不关于原点对称，∴f（n）是偶函数错误；③由图形知，点D向右移动，点F也向右移动，f（n）在定义域上是增函数，正确；④由图形知，当D移动到圆A与x轴的左右交点时，分别得到函数图象的左端点（﹣8，﹣3），右端点（4，3），故f（n）图象的两个端点关于圆心A对称，正确．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．共20分．11．（4分）若复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于1﹣2i．【解答】解：∵复数z满足（l+2i）z＝|3+4i|，∴（1﹣2i）（1+2i）z＝，化为5z＝5（1﹣2i），∴z＝1﹣2i．故答案为：1﹣2i．12．（4分）（）6的展开式中，常数项为15．（用数字作答）【解答】解：∵T r+1＝（﹣1）r•，∴由6﹣3r＝0得r＝2，从而得常数项C6r＝15，故答案为：15．13．（4分）已知数列{a n}中，a n+1＝2a n，a3＝8，则数列{log2a n}的前n项和等于．【解答】解：∵数列{a n}中，a n+1＝2a n，∴＝2，∴{a n}是公比为2的等比数列，∵a3＝8，∴，解得a1＝2，∴，∴log2a n＝n，∴数列{log2a n}的前n项和：S n＝1+2+3+…+n＝．故答案为：．14．（4分）记曲线y＝x2与y＝围成的区域为D，若利用计算机产生（0，1）内的两个均匀随机数x，y，则点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于．【解答】解：根据积分的几何意义可知区域D的面积为＝（）|＝，正方形OABC的面积为1×1＝1，则由几何概型的概率公式可得点（x，y）恰好落在区域D内的概率等于，故答案为：15．（4分）已知函数f（x）＝x2（e x+e﹣x）﹣（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），则满足f （x）＞0的实数x的取值范围为（﹣1，﹣）．【解答】解：构造函数g（x）＝x2（e x+e﹣x），则g（x）＝x2（e x+e﹣x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，则由f（x）＞0，得x2（e x+e﹣x）＞（2x+1）2（e2x+1+e﹣2x﹣1），即g（x）＞g（2x+1），∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x+1|），即|x|＞|2x+1|，即x2＞（2x+1）2，∴3x2+4x+1＜0，解得﹣1，故答案为：（﹣1，）．三、解答题：本大助共5小题．共80分．．16．（13分）如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB＝∠F AB＝90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA＝AB＝BE＝2，BC ＝1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴DA⊥平面ABEF，∵EF⊂平面ABEF，∴DA⊥EF．（Ⅱ）DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系，∴B（0，2，0），E（2，2，0），D（0，0，2），C（0，2，1），∴，设平面DCE的法向量，则，令x＝1，得平面DCE的一个法向量，又，cos＜＞＝，∴直线BE与平面DCE所成角的正弦值为．17．（13分）甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率；乙每次投中的概率都是，甲乙每次投中与否相互独立．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．【解答】解：（1）设事件A i表示“乙第i次投中”，（i＝1，2，3）则P（A i）＝，（i＝1，2，3），事件A1，A2，A3相互独立，P（乙直到第3次才投中）＝P（）＝（1﹣）•（1﹣）•＝．（2）设乙投中的次数为η，则η～B（3，），∴乙投中次数的数学期望Eη＝3×＝．设甲投中的次数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3，∵甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率，∴甲前2次投中次数股从二项分布B（2，），且每次投中与否相互独立，P（ξ＝0）＝（1﹣）•（1﹣）•（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝+＝，P（ξ＝2）＝+＝，P（ξ＝3）＝＝，∴甲投中次数的数学期望Eξ＝＝，∴Eη＞Eξ，∴在比赛前，从胜负的角度考虑应该支持乙．18．（13分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≤0时，f（x）＝x2+2x+3，其单调递增区间为[﹣1，0]；x＞0时，f（x）＝x2e﹣x，∴f′（x）＝﹣x2e﹣x（x﹣2）令f′（x）＞0，可得x＜2，∴单调递增区间为（0，2），∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣1，0]和（0，2）；（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，等价于函数f （x）的值取遍每一个正数．注意到x≤0时，f（x）＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴x＞0时，f（x）的值域必须包含（0，2）．x＞0时，f′（x）＝xe ax（ax+2）①a≥0，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，f（x）的值域为（0，+∞），符合题意；②a＜0，f′（x）＞0，可得0＜x＜﹣，令f′（x）＜0，可得x＞﹣，∴函数在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上递减，∴f（x）max＝f（﹣）＝，∴（x）的值域为（0，]，∴（0，]⊃（0，2），∴≥2，∴﹣≤a＜0，综上，实数a的取值范围是[﹣，+∞）．19．（13分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A﹣C﹣P和滑雪练习道A﹣E﹣P（如图）．已知cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，cos∠APE＝，公路AP长为10（单位：百米），滑道EP长为6（单位：百米）．（Ⅰ）求滑道CP的长度；（Ⅱ）由于C，E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP 上找一处D，修建连接道DC，DE，问DP多长时，才能使连接道DC+DE最短，最短为多少百米？【解答】解：（Ⅰ）∵cos∠ACP＝一，cos∠APC＝，∴sin∠ACP＝，sin∠APC＝，∴sin∠P AC＝sin（∠ACP+∠APC）＝，∵，∴CP＝5，即滑道CP的长度为5百米；（Ⅱ）设DP＝x，x∈[0，10]，∵EP＝6，CP＝5，cos∠APC＝，cos∠APE＝，∴DE＝＝，DC＝＝∴DE+DC＝+＝，当且仅当x＝4时，（DE+DC）min＝3+2．20．（14分）如图，点A，B分别是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x一2）2十y2＝9经过椭圆E的左焦点F1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．（i）求•的取值范围；（ii）是否存在定圆r，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆r，若存在，求出圆r的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意知a＝2，圆B：（x﹣2）2+y2＝9中，令y＝0，得F1（﹣1，0），∴b2＝4﹣1＝3，∴椭圆E：．（Ⅱ）（i）当直线为x轴时，．设直线AP：x＝ty﹣2，与E：联立，得（3t2+4）y2﹣12ty＝0，∴y p＝，x p＝，AP：x＝ty﹣2中，令x＝0，得，∴＝（1，）•（）＝，综上所述，的取值范围是[0，2）．（ii）假设存在定圆r满足题意，根据椭圆的对称性，猜想定圆r的圆心在x轴上，当P恰好为B时，圆P就是定圆B：（x﹣2）2+y2＝9，交x轴于D（5，0），当P无限接近于A时，圆P就是圆A：（x+2）2+y2＝1，交x轴于C（﹣3，0）．∴定圆r的圆心为CD中点F2（1，0），恰好为E：的右焦点，∴猜想定圆r：（x﹣1）2+y2＝16．下证：圆P始终内切于定圆r，∵|PF2|+|PF1|＝4，∴|PF2|＝4﹣|PF1|得证．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知点A（1，2）在矩阵M＝[]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．【解答】解：（Ⅰ）由题意，[]＝，∴，∴，∴M＝；（Ⅱ）M的特征多项式为f（λ）＝（λ﹣1）（λ﹣4），令f（λ）＝0，可求得特征值为λ1＝1，λ2＝4，设λ1＝1对应的一个特征向量为＝，则由λ1＝M，得﹣x﹣2y＝0可令x＝2，则y＝﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1＝1对应的一个特征向量为＝，同理可得矩阵M的一个特征值λ2＝4对应的一个特征向量为＝．选修4-4坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ+12＝0，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，可得x2+y2﹣8x+12＝0，即（x﹣4）2+y2＝4；（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y﹣2＝0．圆心到直线的距离等于＝，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+2．选修4一5：不等式选讲23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝2，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝2，不等式f（x）＜1，化为|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．不等式的解集为：{x|1＜x＜3}．（Ⅱ）由f（x）＝|x﹣a|，设g（x）＝f（x）+|x+1|，即g（x）＝|x﹣a|+|x+1|，其几何意义就是数轴上的点到a与﹣1的距离之和，不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，就是距离之和的最小值也大于3，即|a+1|≥3，解得，a≥2或a≤﹣4，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．。
2013-2014年厦门高二数学(理科)数学质量检测
厦门市2013—2014学年（上）高二质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：B A B A C D B C C A二、填空题：11.2:,220p x R x ax ⌝∀∈+-≠ ；13．18； 14．2321<<-a ； 15．60︒； 16． 552- 三、解答题：17（Ⅰ）解：依题意可设椭圆E 的方程: 22221x y a b+=()0a b >>，┄┄┄┄┄1分半焦距1c =，又离心率12e =， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 即12c a =，2a \=，23b \= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 椭圆E 的方程: 22143x y +=.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分（Ⅱ）设点()()1122,,,A x y B x y ，依题意得直线l的斜率k ，其方程为)1y x =-，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分联立直线与椭圆的方程组：)221431x y y x ìï+=ïíï=-ïî，化简得2580x x -=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分\12850x x ì=ïíï=î┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分12165AB x =-=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 18.解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．则有 11(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A C C A ，11(0,2,1),,,0,2B B E D ⎫⎪⎪⎝⎭┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分 （1）易得，1112),(0,2,1)AB A B A E ==-=-┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分∴11110,0AB A B AB A E ⋅=⋅=．∴1111,AB AB AB A E ⊥⊥． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分又∵11111,,A B A E A A B A E =⊂ 平面1A BE ． ∴1AB ⊥平面1A BE ．┄┄┄┄┄6分（2）设侧面11AAC C 的法向量为(,,)n x y z =． ∵11(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A C C A ．∴1(0,2,0),(0,2,2),(1,1)AC AC B E ===-． 由10,0n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0.y y z =⎧⎨+=⎩解得0,0.y z =⎧⎨=⎩．┄┄┄┄┄8分 不妨取(1,0,0)n =， ┄┄┄┄┄9分 设平面A 1EB 与平面AA 1C 1C 所成的锐二面角的平面角为α，∴111||cos |cos ,A |||||n AB n B n AB α⋅====⋅┄┄11分 ∴sin α∴平面A 1EB 与平面AA 1C 1C．┄┄┄┄12分 解二：（1）设AB 的中点为D ，AB 1与A 1B 相交于O ,连接OE,OD,CD∵三棱柱各侧面都是正方形， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ∴BB 1⊥平面ABC ． ∵CD 在平面ABC 内，∴1BB CD ⊥．由已知得AB=BC=AC ， ∴CD ⊥AB ． ∴CD ⊥平面A 1ABB 1∵O 为AB 1的中点，D 为AB 的中点，∴OD ∥BB 1，且OD =12BB 1 又E 是CC 1中点，∴EC ∥BB 1 且EC =12BB 1，∴EC ∥OD 且EC =OD ．∴四边形ECDO 为平行四边形， ∴EC ∥CD ．∴EO ⊥平面A 1ABB 1． ∴EO ⊥AB 1． ∵侧面是正方形 ∴AB 1⊥A 1B ．又EO ∩A 1B=O,EO 和A 1B 在平面A 1EB 内，∴AB 1⊥平面A 1EB ．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （２）作AH ⊥A 1E 于点H ，连接OH ． ∵AB 1⊥平面A 1EB , A 1E 在平面A 1EB 内 ∴AB 1⊥A 1E又∵AH 和AO 是平面AHO 内的相交直线． ∴A 1E ⊥平面AHO ． ∴A 1E ⊥OH∴平面A 1EB 与平面AA 1C 1C 所成的锐二面角的平面角 为∠AHO∵每个侧面均为正方形,不防设棱长为aO EC 1B 1A 1D C BA∴AO=2a 2 A 1E = 5a 2 由S △AA1E =12AH ·A 1E =12AA 1·AC=12a 2得AH=2 5 a5∴sin ∠AHO=AO HO =∴平面A 1EB 与平面AA 1C 1C ┄┄┄┄┄12分 19解(1)解法一: 12(1)n nb S +=, 12(2)(2)n n b S n -=≥由(1)-(2)得n n n b b b 21=-+, 13(2)n nb n b +∴=≥,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 又22,1121===S b b ,故⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,12n n b n n .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分解法二: ,21n n S b =+ ,31n n S S =+31=∴+nn S S . 数列{}n S 是首项为１，公比为３的等比数列：13(*)n n S n N -=∈┄┄┄4分当2n ≥时, ),2(32221≥⨯==--n S b n n n⎩⎨⎧≥⨯==∴-2,321,12n n b n n . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分(2)由(1)得⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯==-2,321,12n n n C n n .观察得 ,92,21,1,14321====C C C C ┄┄┄7分证法一：当2≥n 时,n n n n C C n n n n 3132321211+=⨯÷⨯+=--+1<. 得2≥n 时,n n C C <+1. 故当2≥n 时,}{n C 是单调递减数列. ┄┄┄┄┄┄10分 数列}{n c 中存在最大项为121==C C . ┄┄┄12分 证法二：当2≥n 时,=-+n n C C 11113221323321---⨯-=⨯-⨯+n n n nn n 0<.得2≥n 时,n n C C <+1. 故当2≥n 时,}{n C 是单调递减数列. ┄┄┄┄┄10分 数列}{n c 中存在最大项为121==C C . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分20（Ⅰ）解：在ACD 中，90ACD°?,45ADC ?,CD CAD \为等腰直角三角形,AC , ┄┄┄3分在BCE 中，45CEB? ,75BCE ? ,3CE =,60CBE ? ,sin 45sin 60BC CE\=,BC , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 ABC 中，45ACB °?,AB ==8分（Ⅱ）ACEB BCE BCA S S S =+3752° ┄┄┄┄┄12分 21. （Ⅰ）解：设点()()1122,,,A x y B x y ，由椭圆定义可得21FB x =+，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分24x \=，点()4,4B ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分45k =，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 直线l 的方程：()415y x =+，化简得4540x y -+= 与抛物线方程联立，245404x y y xì-+=ïí=ïî；2540y y -+=，410D=>，存在两个交点，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分\直线l 的方程： 4540x y -+=；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分（不验证扣1分）（Ⅱ）设直线l 的方程：()y k x a =-，()00,M x y ，与抛物线方程联立，()24y k x a y xì=-ïíï=î ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分消去x 得：2440ky y ka --=，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分21ak D=+，且 121244y y k y y aì+=ïíï=-î，（※）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 //OM FB ，02OM OP y FBOFy \==,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分021y a y a-\=-，12221y y ay a +-\=-，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 12221a y y y a-\+=- ，与（※）联立消元得：2231a k a -=，┄┄┄┄┄┄11分 22310a k a-=>,又0a < ，210a \-<，1a <-┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分222211110a ak a a-D=+=+=>，则交点,A B 存在┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分0k >,k \(),1a ??┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分22【解】（Ⅰ）作出区域D 的图形，如右图阴影部分所示（含边界）.由方程组⎩⎨⎧=-=-+,0,01y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,22,21y x ，即)21,21(A ，所以4121121=⨯⨯==∆OAB S S .┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分（Ⅱ）依题意得:(0,0)a zy x a b b b=-+>>；（1） 当1-≤-ba,即0>≥b a 时，直线)0,0(>>+=b a by ax z 经过图中B 点时，直线by ax z +=的纵截距达到最大，从而z 达到最大，又)0,1(B ，所以1m ax ==a z ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分所以5141414=+≥+=+ab b a ， 所以当1==b a 时，514min=⎪⎭⎫⎝⎛+b a .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （2）当1ab-≥-即0b a ≥>时，直线)0,0(>>+=b a by ax z 经过图中A 点时， 直线by ax z +=的纵截距达到最大，从而z 达到最大，又)21,21(A ，所以12121m ax =+=b a z ，即2=+b a .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分所以4114114()()[5()]22b a a b a b a b a b+=⨯++=⨯++┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分令b t a=(1)t ≥，易证函数14T t t =+在区间[1,)+∞上单调递增，则当1t =时，min 5T =。
福建省厦门市届高三上学期质检检测数学理试题(word版)
厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测数学理一、选择题1、设集合{}1x x 20x y 3-x A B A B ⎧⎫==+>==⋂=⎨⎬⎩⎭，，则（ ） . {}2.->x x A {}3.<x x B {}32.>-<x x x C 或 {}32.<<-x x D2、已知命题001p x sinx p 2R ∃∈≥⌝：，，则是（ ） . 21sin ,.00≤∈∃x R x A 21sin ,.00<∈∃x R x B 21sin ,.≤∈∀x R x C 21sin ,.<∈∀x R x D 3、已知向量()2a m 1b m ,2,a b 0m R λλ==∈+==（，），，若存在使得，则（ ） . A.0 B.2 C.0或2 D.0或-24、曲线2y 3x =与直线x 1x 2==，及x 轴所围成的封闭图形的面积等于（ ） .A.1B.3C.7D.85、函数()2x y 2cos -1x 23R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴经过点（ ） . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6.πA ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6.πB ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3.πC ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3.πD 6、确的是表示平面，下列说法正表示两条不同的直线，已知αm l ,（ ） .m l m l A ⊥则若,,.αα αα⊥⊂⊥l m m l B 则若,,.ααl m m l C 则若,,.⊂ m l m l D 则若,,.αα7、等差数列{}n a 中，3a 和9a 是关于方程()216064x x c c -+=<的两根，则该数列的前11项和11S （ ） .A.58B.88C.143D.1768. 在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是（ ） .9.椭圆E ：13222=+y a x 的右焦点为F,直线m x y +=与椭圆E 交于A,B 两点。
2014年福建省厦门市同安区初中学业质量检查数学试卷含答案解析(word版)
2014年福建省厦门市同安区初中学业质量检查数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有7题，每小题3分，共21分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的）1．（3分）下列各数中正数是（）A． 2 B．﹣ C． 0 D．﹣分析：根据实数的分类对各选项进行逐一分析即可．解答：解：A、2是正数，故本选项正确；B、﹣是负数，故本选项错误；C、0既不是正数，也不是负数，故本选项错误；D、﹣是负数，故本选项错误．故选A．点评：本题考查的是实数的定义，即有理数和无理数统称实数．2．（3分）下列运算正确的是（）A． m4•m2=m8B．（m2）3=m5C． m3÷m2=m D． 3m﹣m=2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；B、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；C、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；D、合并同类项得到结果，即可作出判断．解答：解：A、m4•m2=m6，本选项错误；B、（m2）3=m6，本选项错误；C、m3÷m2=m，本选项正确；D、3m﹣m=2m，本选项错误，故选C点评：此题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，以及合并同类项，熟练掌握法则是解本题的关键．3．（3分）下列事件中是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是偶数B．打开电视机，正在播动画片C．掷一枚骰子，得到数字为偶数D．通常加热到100℃时，水沸腾考点：随机事件．分析：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．解答：解：A、是随机事件，不符合题意；B、是随机事件，不符合题意；C、是随机事件，不符合题意；D、是必然事件，符合题意，故选：D．点评：本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）立体图形中，它的三视图能是如图的是（）A．圆锥B．球C．圆柱D．三棱锥考点：由三视图判断几何体．分析：由主视图和左视图确定是柱体、锥体、球体，再由俯视图确定具体形状．解答：解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆锥；故选A．点评：此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．5．（3分）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C=80°，则∠A等于（）A． 120° B． 100° C． 80°D． 90°考点：圆内接四边形的性质．专题：计算题．分析：根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C=180°，然后把∠C的度数代入计算即可．解答：解：根据题意得∠A+∠C=180°，所以∠A=180°﹣80°=100°．故选B．点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．6．（3分）下列函数中，y随x的增大而增大的是（）A． y=﹣x+1 B． y=x C． y=x2﹣1 D． y=考点：二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．分析：A、由于y=﹣x+1中k＜0，由此可以确定y随x的增减性；B、由于y=x中k＞0，由此可以确定y随x的增减性；C、由于y=x2﹣1以对称轴为分界线确定y随着x的增减性；D、由于y=中k＞0由此可以确定在每个象限里的y随x的增减性．解答：解：A、y=﹣x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小．故本选项错误；B、y=x，正比例函数，k＞0，故y随着x增大而增大．故本选项正确；C、y=x2﹣1，二次函数，当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小．故本选项错误；D、y=，反比例函数，k＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小．故本选项错误；故选：B．点评：本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．7．（3分）在平面直角坐标系中，将线段OA绕原点O逆时针旋转90°，记点A（﹣1，）的对应点为A1，则A1的坐标为（）A．（，1）B．（1，）C．（﹣，﹣1）D．（﹣1，﹣）考点：坐标与图形变化-旋转．分析：根据题意画出草图，将线段OA转化到直角三角形中，利用旋转的性质求解．解答：解：如图．∵A（﹣1，），∴OB=1，AB=．将线段OA绕原点O逆时针旋转90°，即将△OAB绕原点O逆时针旋转90°到达图中△OA1B1的位置．根据旋转的性质，OB1=1，A1B1=．∴点A1（﹣，﹣1）．故选C．点评：坐标系内的点绕原点逆时针旋转90°后，对应点之间的关系是：横坐标变为纵坐标；纵坐标取相反数变为横坐标．二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）8．（4分）|﹣2|=2．考点：绝对值．分析：根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，﹣2的绝对值就是表示﹣2的点与原点的距离．解答：解：|﹣2）=2，故答案为：2．点评：此题主要考查了绝对值的概念，正确理解绝对值的意义是解题的关键．9．（4分）若式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．解答：解：依题意得x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．点评：此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．10．（4分）已知∠A=40°，则∠A的余角的度数是50°．考点：余角和补角．分析：设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°，再根据∠A=40°求出∠B的度数即可．解答：解：设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°，∵∠A=40°，∴∠B=90°﹣40°=50°．故答案为：50°．点评：本题考查的是余角的定义，即如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．11．（4分）地球绕太阳公转的速度约为110000千米/时，将这个数用科学记数法表示为1.1×105．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将110000用科学记数法表示为：1.1×105．故答案为：1.1×105．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（4分）一个圆形转盘被平均分成红、黄、蓝3个扇形区域，转动指针，停止后指针指向红色区域的概率是．考点：几何概率．分析：首先确定红色区域在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．解答：解：由于一个圆平均分成3个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有3种等可能的结果，在这3种等可能结果中，指针指向写有红色的扇形有1种可能结果，所以指针指到红色的概率是．故答案为：．点评：本题将概率的求解设置于自由转动的转盘的游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．概率=所求情况数与总情况数之比．13．（4分）方程组的解是．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：方程组利用加减消元法求出解即可．解答：解：，①+②得：2x=4，即x=2，将x=2代入①得：y=1，则方程组的解为．故答案为：．点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．14．（4分）如图，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，则∠B=60°．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据图形可得sin∠B=，代入计算出sin∠B的值，然后即可得出∠B的度数．解答：解：∵sin∠B===，∴∠B=60°．故答案为：60°．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据直角三角形，求出sin∠B 的值．15．（4分如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=26，BD=10，E、F分别是线段OD、OA的中点，则EF的长为6．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出AO．DO的长，再利用勾股定理得出AD的长，进而利用三角形中位线定理与性质得出EF的长．解答：解：∵在平行四边形ABCD中，∠ODA=90°，AC=26，BD=10，∴AO=CO=13，BO=DO=5，故AD===12，∵E、F分别是线段OD、OA的中点，∴EF是△ADO的中位线，∴EF AD，则EF的长为：6．故答案为：6．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，得出AD的长是解题关键．16．（4分）（）如图，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形，点C、E、D分别在OA、OB、上，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为﹣．考点：正方形的性质；扇形面积的计算．分析：根据题意可得出阴影部分的面积=（扇形的面积﹣正方形的面积）÷2，依此列式计算即可求解．解答：解：扇形半径为：=，阴影部分的面积=（﹣1×1）÷2=（﹣1）÷2=﹣．故答案为：﹣．点评：考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．17．（4分））如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣（x＜0）交于点A，与x轴交于点B，则OA2﹣OB2=2．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：由直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣（x＜0）交于点A可知：x+y=b，xy=﹣1，又OA2=x2+y2，OB2=b2，由此即可求出OA2﹣OB2的值．解答：解：∵直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣（x＜0）交于点A，设A的坐标（x，y），∴x+y=b，xy=﹣1，而直线y=﹣x+b与x轴交于B点，∴OB=b∴又OA2=x2+y2，OB2=b2，∴OA2﹣OB2=x2+y2﹣b2=（x+y）2﹣2xy﹣b2=b2+2﹣b2=2．故答案为：2．点评：此题难度较大，主要考查一次函数与反比例函数的图形和性质，也考查了图象交点坐标和解析式的关系．三、解答题（本大题有9题，共89分）18．（7分）计算：﹣（﹣2）2+（）0．考点：实数的运算；零指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用乘方的意义计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=3﹣4+1=0．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（7分）在如图的平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3），C（1，﹣2），请在如图上画出△ABC和与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．考点：作图-轴对称变换．专题：作图题．分析：根据平面直角坐标系找出点A、B、C的位置，然后顺次连接即可，再根据网格结构找出点A、B、C关于x轴对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可．解答：解：△ABC和与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20．（7分）如图，已知∠ABD=40°，∠ADB=65°，AB∥DC，求∠ADC的度数．考点：平行线的性质．分析：由AB与DC平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，由∠ADB+∠BDC求出∠ADC度数．解答：解：∵AB∥DC∴∠BDC=∠ABD=40°，∵∠ADB=65°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=115°．点评：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．21．（6分）先化简，再求值：[（a﹣2b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）]÷4b，其中a=2，b=﹣1．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．解答：解：原式=[a2﹣4ab+4b2﹣a2+4b2]÷4b=（﹣4ab+8b2）÷4b=﹣a+2b，当a=2，b=﹣1时，原式=﹣2+2×（﹣1）=﹣4．点评：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算能力和化简能力．22．（6分）水资源越来越缺乏，全球提倡节约用水，水厂为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，有关数据如下表：月用水量（m3）10 13 14 17 18户数 2 2 3 2 1如果该小区有500户家庭，根据上面的统计结果，估计该小区居民每月需要用水多少立方米？（写出解答过程）．考点：用样本估计总体；加权平均数．分析：先根据样本求出10户家庭的平均用水量，再乘以该小区的总户数即可．解答：解：根据题意得：=14（立方米），14×500=7000（立方米），答：该小区居民每月需要用水7000立方米．点评：此题考查了用样本估计总体，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．23．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC 的位置关系，并说明理由．考点：直线与圆的位置关系．分析：过A作AD⊥BC，垂足为点D，利用勾股定理求得线段AD的长与⊙O的半径比较后即可确定直线与圆的位置关系．解答：解：⊙A与直线BC相交．过A作AD⊥BC，垂足为点D．∵AB=AC，BC=16，∴BD=BC=×16=8，在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，∴AD===6，∵⊙O的半径为7，∴AD＜r，⊙A与直线BC相交．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是求得圆心到直线的距离．24．（6分）袋子中装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外其余都相同．小明和小英做摸球游戏，约定一次游戏规则是：小英先从袋中任意摸出1个球记下颜色后放回，小明再从袋中摸出1个球记下颜色后放回，如果两人摸到的球的颜色相同，小英赢，否则小明赢．（1）请用树状图或列表格法表示一次游戏中所有可能出现的结果；（2）这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分析：（1）2次实验，每次实验都有3种情况，列举出所有情况即可；（2）看两人摸到的球的颜色相同的情况占所有情况的多少即可求得小明赢的概率，进而求得小英赢的概率，比较即可．解答：解：（1）根据题意，画出树状图如下：或列表格如下：小明小英红1 红2 黄红1 红1红1 红1红2 红1黄红2 红2红1 红2红2 红2黄黄黄红1 黄红2 黄黄，所以，游戏中所有可能出现的结果有以下9种：红1红1，红1红2，红1黄，红2红1，红2红2，红2黄，黄红1，黄红2，黄黄，这些结果出现的可能性是相等的；（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：由（1）可知，一次游戏有9种等可能的结果，其中两人摸到的球颜色相同的结果有5种，两人摸到的球颜色不同的结果有4种．∴P（小英赢）=，P（小明赢）=，∵P（小英赢）≠P（小明赢），∴这个游戏对双方不公平．点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．25．（6分）如图，点E为平行四边形ABCD中DC延长线上的一点，且CE=DC．连结AE，分别交BC、BD于点F、G．若BD=6，求DG的长．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：利用平行四边形的性质得出DE=2AB，进一步判定△ABG∽△EDG，得出=，进一步整理得出答案即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD∵CE=DC∴AB=CD=CE∴DE=2AB∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∠ABG=∠EDG，∠BAG=∠DEG∴△ABG∽△EDG∴=∵BD=6∴=∴DG=4．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质．注意掌握数形结合思想的应用．26．（6分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用当x（20﹣x）=110时，得出△的符号，进而得出答案．解答：解：不能．理由：设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，当x（20﹣x）=110时x2﹣20x+110=0，△=b2﹣4ac=202﹣4×110=﹣40＜0，故此一元二次方程无实数根．则能否围成一个面积为110cm2的矩形．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键．27．（6分））如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为点E、F．请判断AP与EF的数量关系，并证明你的判断．考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质．分析：连接PC，根据正方形的性质可得∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，然后求出四边形PFCE是矩形，根据矩形的对角线相等可得PC=EF，再利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，从而得解．解答：解：如图，连接PC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，又∵PE⊥DC，PF⊥BC，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°，∴四边形PFCE为矩形，∴PC=EF，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP=PC，∴AP=EF．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．28．（6分））如图，BC是半圆O的直径，点A在半圆O上，点D是AC的中点，点E在上运动．若AB=2，tan∠ACB=，请问：分别以点A、E、D为直角顶点的等腰三角形AED 存在吗？请逐一说明理由．考点：圆的综合题．分析：先运用三角函数求出AB，AD，CD之间的关系，再分三种情况说明①利用假设存在以点A为直角顶点的等腰三角形与已知得出矛盾，②以点E为直角顶点的等腰三角形存在，运用三角形全等证明．③利用假设存在以点A为直角顶点的等腰三角形与已知得出矛盾．解答：解：∵BC为半⊙O的直径∴∠BAC=90°∴tan∠ACB=∵tan∠ACB=，AB=2∴AC=4∵D为AC中点∴AD=CD=AC=2∴AB=AD=CD=2①以点A为直角顶点的等腰三角形不存在若存在，则∠CAE=90°∵∠BAC=90°∴B、A、E成一条直线∴B、A、E不可能在同一个圆上，即点E不在⊙O上因此以点A为直角顶点的等腰三角形不存在②如图1，以点E为直角顶点的等腰三角形存在，∵BC为半⊙O的直径∴∠BEC=∠4+∠5=90°∵∠AED=∠3+∠5=90°∴∠3=∠4，又∵∠1=∠2，AB=DC，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS）∴AE=DE，∴△AED为等腰直角三角形．③以点D为直角顶点的等腰三角形不存在如图2，连接EC假设点D为直角顶点的等腰三角形存在则ED=AD=2，∠DAE=∠AED=45°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE=EC，∴∠CED=∠AED=45°，∴∠AEC=90°，∴AC为直径∵AC＜BC，不为直径∴假设不成立∴以点D为直角顶点的等腰三角形不存在．综上所述，只有当以点E顶点时存在等腰直角三角形AED．点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是运用三角形全等及假设法来证明等腰直角三角形AED是否存在．29．（10分）已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，a）（a＞0），过点A作AB⊥x 轴，垂足为点B，将线段AB沿x轴正方向平移，与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点F（p，q）．（1）当F点恰好为线段的中点时，求直线AF的解析式（用含a的代数式表示）；（2）若直线AF分别与x轴、y轴交于点M、N，当q=﹣a2+5a时，令S=S△ANO+S△MFO（其中O是原点），求S的取值范围．考点：反比例函数综合题．分析：（1）先把点A（2，a）代入反比例函数y=（x＞0）求出k的值，再根据F为线段的中点可知F的纵坐标为，把y=代入y=可得出x的值，进而得出点F的坐标，利用待定系数求出直线AF的解析式即可；（2）根据点F（p，q）在反比例函数y=的图象上且q=﹣a2+5a可得出F点的坐标，故可得出直线AF的解析式，进而得出M、N的坐标，过A作AG⊥y轴于点G，则可得出AG，ON，OM，FH的长，根据S=S△ANO+S△MFO=•ON•AG+OM•FH可得出关于S、a的二次函数，根据a的取值范围即可得出结论．解答：解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，a）（a＞0），∴k=2a，∴y=，∵F为线段的中点，∴F的纵坐标为，把y=代入y=得x=4∴F（4，），设直线AF的解析式为y=k1x+b，∴，解得，∴直线AF的解析式为y=﹣x+；（2）∵F（p，q）在反比例函数y=的图象上，∴q=，∵q=﹣a2+5a，∴p=，∴F（，﹣a2+5a）∴直线AF的解析式为：y=x+（6a﹣a2），∴N（0，6a﹣a2），M（，0），过A作AG⊥y轴于点G，方法一：则AG=2，ON=6a﹣a2，OM=，FH=﹣a2+5aS=S△ANO+S△MFO=•ON•AG+OM•FH=×2×（6a﹣a2）+••（﹣a2+5a）=﹣2a2+12a=﹣2（a﹣3）2+18方法二：∵H（，0），G（0，a），MN=2，FH=﹣a2+5a，AG=2，NG=﹣a2+5a，∴∠AGN=∠FHM=90°，∴△AGN≌△MHF，∵点A、F在双曲线y=上，∴S△AOG=S△OFH=a，∴S△AON=S△OFM，∴S=2S△AON=2×ON•AG=2×（6a﹣a2）×2=﹣2a2+12a．∵q＞0，q＜a，∴4＜a＜5．∴由函数性质可知，10＜S＜16．点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识是解答此题的关键．30．（10分）菱形与正方形的形状有差异，我们将菱形与正方形的接近程度记为“接近度”．设菱形相邻的两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形与正方形的“接近度”定义为|m﹣n|．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b＜0）交y轴于点A（与原点O不同），以AO为边作菱形OAPQ．（1）当c=﹣b时，抛物线上是否存在点P，使菱形OAPQ与正方形的“接近度”为0，请说明理由．（2）当c＞0时，对于任意的b，抛物线y=x2+bx+c上是否存在点P，满足菱形OAPQ 与正方形的“接近度”为60？若存在，请求出所有满足条件的b与c的关系式；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）表示出点A的坐标，再根据正方形的四条边都相等且每一个角都是直角取点P的坐标，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行验证即可；（2）根据“接近度”的定义求出m、n的值，然后分点P在y轴右侧时，∠OAP=120°和∠OAP=60°两种情况求出点P的坐标，再代入抛物线解析式求出b、c的关系式，然后根据b＜0求出c 的取值范围，进行验证即可；点P在y轴左侧时，只有∠OAP=120°，表示出点P的坐标，再代入抛物线解析式得到b、c的关系式，然后根据b＜0求出c的取值范围，再进行验证．解答：（1）解：（1）存在．当c=﹣b时，点A的坐标为（0，﹣b），取P（﹣b，﹣b），当x=﹣b时，y=（﹣b）2+b×（﹣b）﹣b=﹣b，故点P在抛物线上，且OA=AP，OA⊥P，∴m=n=90，∴抛物线上存在点P，使菱形OAPQ与正方形的“接近度”为0；（2）解：∵菱形OAPQ与正方形的“接近度”为60，∴|m﹣n|=60，又∵m+n=180，∴m=120，n=60或m=60，n=120，当P在y轴右侧时：①当∠OAP=120°时，P1（c，c）且在y=x2+bx+c上，∴（c）2+b×c+c=c，∴b=﹣c，∵b＜0，∴﹣c＜0，解得c＞，即当c＞时，b与c的关系式为b=﹣c；②当∠OAP=60°时，P2（c，c），且在y=x2+bx+c上，∴（c）2+b×c+c=c，∴b=﹣﹣c，∵b＜0，∴﹣﹣c＜0，解得c＞﹣，举例：当b=﹣时，c=﹣＜0，不满足对任意b，c＞0，不符合题意；当P在y轴左侧时：只可能存在∠OAP=120°，P3（﹣c，c）且在y=x2+bx+c上，∴（﹣c）2+b×（﹣c）+c=c，∴b=c﹣，∵b＜0，∴c﹣＜0，解得c＜，举例：当b=﹣1时，c=﹣，不满足对任意b，c＞0，不符合题意；综上所述，b与c的关系式为b=﹣c．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，难点在于（2）分情况讨论并根据b是负数求出c必须是正数关系式才成立．。
2014年厦门市翔安区初中学业质量检查数学试卷含答案解析
2014年福建省厦门市翔安区初中学业质量检查数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有7题，每小题3分，共21分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的）1．（3分）计算：﹣2+3=（）A． 1 B．﹣1 C． 5 D．﹣5分析：根据异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，可得答案．解答：解：﹣2+3=+（3﹣2）=1．故选：A．点评：本题考查了有理数的加法，先确定和的符号，再进行绝对值得运算．2．（3分）四个几何体中，三视图都是相同图形的是（）A．长方体B．圆柱C．球D．三棱柱考点：简单几何体的三视图．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：A、长方体的三视图分别为长方形，长方形，正方形，不符合题意；B、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，不符合题意；C、球的三视图均为圆，正确；D、正三棱柱的主视图为两个长方形的组合体，左视图为长方形，俯视图为三角形，错误，故选：C．点评：本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．3．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≠2B． x＞2 C．x≥2D．x≠0考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣2≠0，解得x≠2．故选A．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．（3分）“明天下雨的概率为80%”这句话指的是（）A．明天一定下雨B．明天80%的地区下雨，20%的地区不下雨C．明天下雨的可能性是80%D．明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨考点：概率的意义．分析：根据概率的意义找到正确选项即可．解答：解：“明天下雨的概率为80%”说明明天下雨的可能性是80%，即P（A）=80%．故选C．点评：关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．5．（3分）正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）A．B．C．D． 2考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：找出以∠AOB为内角的直角三角形，根据正弦函数的定义，即直角三角形中∠AOB的对边与斜边的比，就可以求出．解答：解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=，∴sin∠AOB===．故选B．点评：通过构造直角三角形来求解，利用了锐角三角函数的定义．6．（3分）不等式组的解集是（）A． x＞﹣1 B．﹣1＜x＜2 C． x＜2 D． x＜﹣1或x＞2考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：由①得，x＞﹣1，由②得，x＜2，∴原不等式组的解集是﹣1＜x＜2．故选B．点评：主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．7．（3分）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b 的值为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5考点：坐标与图形变化-平移．专题：压轴题．分析：直接利用平移中点的变化规律求解即可．解答：解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，故a+b=2．故选：A．点评：本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）8．（4分）﹣的相反数是．考点：相反数．分析：求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．解答：解：根据相反数的定义，﹣的相反数是．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．9．（4分）“节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约8000000吨，这个数据用科学记数法可表示为8×106吨．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将8000000用科学记数法表示为：8×106．故答案为：8×106．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（4分）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．考点：二次函数的性质．分析：直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．解答：解：因为y=（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）．点评：主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．11．（4分）如图，点D、E分别是△ABC中AB、AC边的中点，已知DE=3，则BC= 6．考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，ED=BC，进而由DE的值求得BC．解答：解：∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵DE=2，∴BC=2DE=6．故答案是：6．点评：本题主要考查三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．12．（4分）已知反比例函数y=（x＞0），请你补充一个条件k=1（答案不唯一），使y的值随着x值的增大而减小．考点：反比例函数的性质．专题：开放型．分析：本题考查反比例函数的图象和性质．解答：解：由于x＞0，根据反比例函数的性质，y的值随着x值的增大而减小时，k＞0，可取k=1，k=2，k=3等．点评：定义：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．因为y=是一个分式，所以自变量x的取值范围是x≠0．而y=有时也被写成xy=k或y=kx﹣1．性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y 随x的增大而增大．k＞0时，函数在x＜0上为减函数、在x＞0上同为减函数；k＜0时，函数在x＜0上为增函数、在x＞0上同为增函数．定义域为x≠0；值域为y≠0．③因为在y=（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交．④在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1=S2=|k|．⑤反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x，y=﹣x（即第一、三象限，第二、四象限角平分线），对称中心是坐标原点．13．（4分））某市6月2日至8日的每日最高温度如图，则这组数据的中位数是29℃．考点：中位数；折线统计图．分析：先根据图表写出2日到8日的气温，然后根据中位数的概念求解．解答：解：2日到8日的气温为：27，30，28，29，30，29，30，这组数据按照从小到大的顺序排列为：27，28，29，29，30，30，30，则中位数为：29℃．故答案为：29℃．点评：本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．14．（4分）已知m2﹣n2=6，m+n=3，则m﹣n的值是2．考点：平方差公式．分析：直接利用平方差公式求出即可．解答：解：∵m2﹣n2=6，m+n=3，∴（m﹣n）（m+n）=6，则m﹣n的值是2．故答案为：2．点评：此题主要考查了平方差公式的应用，熟练利用公式法求出是解题关键．15．（4分）某市按以下规定收取每月的水费：用水量不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份实际用水8吨．考点：一元一次方程的应用．分析：水费平均为每吨1.4元大于1.2元，说明本月用水超过了6吨，那么标准内的水费加上超出部分就是实际水费．根据这个等量关系列出方程求解．解答：解：设该用户5月份实际用水x吨，则1.2×6+（x﹣6）×2=1.4x，7.2+2x﹣12=1.4x，0.6x=4.8，x=8．答：该用户5月份实际用水8吨．故答案为8．点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上（不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是2.4．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．分析：连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．解答：解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=BC•AC=AB•CP，即×4×3=×5•CP，解得CP=2.4．故答案为：2.4．点评：本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．17．（4分）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在OB上，若将△ABC沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则点C的坐标是（0，1.5）．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：利用三角形全等性质．解答：解：由题意得：A（﹣3，0），B（0，4）；∴OA=3，OB=4．那么可得AB=5．易得△ABC≌△ADC，∴AD=AB=5，∴OD=AD﹣OA=2．设OC为x．那么BC=CD=4﹣x．那么x2+22=（4﹣x）2，解得x=1.5，∴C（0，1.5）．点评：本题用到的知识点为：翻折前后的三角形全等．三、解答题（本题有9题，共89分）18．（7分）|﹣1|﹣2÷+（﹣2）2．考点：有理数的混合运算．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用除法法则计算，最后一项利用乘方的意义计算即可得到结果．解答：解：原式=1﹣2×3+4=1﹣6﹢4=﹣1．点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（7分）画出如图中的△ABC关于y轴对称的图形．考点：作图-轴对称变换．专题：作图题．分析：根据网格结构找出点B、C关于y轴的对称点的位置，然后与点A顺次连接即可．解答：解：△ABC关于y轴对称的图形△AB′C′如图所示．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20．（7分）如图，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，求∠C．考点：三角形的外角性质；平行线的性质．分析：根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质进行求解．解答：解：∵∠A=20°，∠E=35°，∴∠EFB=∠A+∠E=55°，∵AB∥CD，∴∠C=∠EFB=55°．点评：此题考查了三角形的外角的性质以及平行线的性质．三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；两条直线平行，则同位角相等．21．（6分）为了解“节约用水”活动开展一个月来的成效，某单位随机调查了20名职工家庭一个月来的节约用水情况，如下表所示：节约水量（吨）0.5 1 1.5 2职工数（人）10 5 4 1请你根据上表提供的信息估计该单位100位职工的家庭一个月大约能节约用水多少吨？考点：用样本估计总体；加权平均数．分析：根据加权平均数的计算公式求出样本的平均数，再乘以100，即可得出答案．解答：解：根据题意得：（0.5×10+1×5+1.5×4+2×1）÷20×100=0.9×100=90（吨）．答：该单位100位职工家庭一个月大约节约用水90吨．点评：此题考查了加权平均数和用样本估计总体，根据加权平均数的计算公式求出样本的平均数是本题的关键；用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．22．（6分）先化简，再求值：（a+b）2+a（a﹣2b），其中a=1，b=．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．解答：解：（a+b）2+a（a﹣2b）=a2+2ab+b2+a2﹣2ab=2a2+b2，当a=1，b=时，原式=2×12+（）2=4．点评：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较典型，难度适中．23．（6分）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．24．（6分）在学习概率知识时，王老师布置了这样一道题目：在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个．要求同学按两种规则摸球：①摸出一个球后放回，再摸出一个球；②一次性摸两个球．那么，请你通过计算说明哪种方法摸到两个红球的概率较大？考点：列表法与树状图法．分析：列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可知道哪种方法摸到两个红球的概率较大．解答：解：①：摸出一个球后放回，再摸出一个球时，，共有16种等可能的结果数，其中两个都是红球的占4种，所以两次都摸到红球的概率=；②一次性摸两个球时，∴一共有12种情况，有2种情况两次都摸到红球，∴两次都摸到红球的概率是=．∵＞，∴两次摸球的概率较大．点评：本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比25．（6分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm．（1）求∠CBD的度数；（2）求下底AB的长．考点：梯形；等腰三角形的性质．分析：（1）求∠CBD的度数，根据BC=CD，得到∠CDB=∠ABD，根据AB∥CD，只要求出∠ABD的度数就可以．（2）Rt△ABD中，∠ABD=30°，则AB=2AD．解答：解：（1）∵∠A=60°，BD⊥AD∴∠ABD=30°（2分）又∵AB∥CD∴∠CDB=∠ABD=30°（4分）∵BC=CD∴∠CBD=∠CDB=30°（5分）（2）∵∠ABD=∠CBD=30°∴∠ABC=60°=∠A（7分）∴AD=BC=CD=2cm∴AB=2AD=4cm．（9分）点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．26．（6分）为了预防流感，学校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）成正比，燃烧后，y与x成反比（如图），现测得药物10min燃烧完，此时，教室内每立方米空气含药量为16mg．已知每立方米空气中含药量低于4mg时对人体无害，那么从消毒开始经多长时间后学生才能进教室？考点：反比例函数的应用．分析：由于当每立方米空气中含药量低于16mg时，对人体方能无毒害作用，把y=16代入反比例函数解析式中即可求出从燃烧开始，经多长时间学生才可以回教室．解答：解：设燃烧后的函数解析式为y=，∵图象经过点（10，16），∴k=160，∴y=．由，得x=40∴从消毒开始要经过40分钟后学生才能进教室．点评：此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法即可求出它们的关系式．27．（6分）如图，已知菱形AOBD的A、B、D三点在⊙O上，延长BO至点P，交⊙O于点C，且BP=3OB．求证：AP是⊙O的切线．考点：切线的判定．专题：证明题．分析：连接OD、AO，根据菱形的性质得AO=OB=BD=DA，则可判断△OAD和△OBD都为等边三角形，所以∠AOD=∠BOD=60°，则∠AOP=60°，于是又可判断△AOC为等边三角形，所以AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，由PB=3BO得到CP=OC=AC，根据等腰三角形的性质得∠P=∠CAP，然后利用三角形外角性质有∠P+∠CAP=∠ACO=60°，得到∠CAP=30°，所以∠OAP=90°，最后利用切线的判定定理得到AP为⊙O的切线．解答：证明：连接OD、AO，如图，∵四边形AOBD为菱形，∴AO=OB=BD=DA，∴△OAD和△OBD都为等边三角形，∴∠AOD=∠BOD=60°，∴∠AOP=60°，又∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形，∴AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，∵PB=3BO，OC=OB，∴CP=OC=AC，∴∠P=∠CAP，∵∠P+∠CAP=∠ACO=60°，∴∠CAP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP为⊙O的切线．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质．28．（6分）如图，已知A（a，m）、B（2a，n）是反比例函数y=（k＞0）与一次函数y=﹣x+b图象上的两个不同的交点，分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB，若已知1≤a≤2，则求S△OAB的取值范围．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：先根据函数图象上点的坐标特征得出m=，n=，=﹣a+b，=﹣a+b，于是k=a2，再由反比例函数系数k的几何意义可知S△OAC=S△OBD，那么S△OAB=S△OAC﹣S+S梯形ABDC=S梯形ABDC=2a2，根据二次函数的性质即可求解．△OBD解答：解：∵A（a，m）、B（2a，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴m=，n=，∵A（a，m）、B（2a，n）在一次函数y=﹣x+b图象上，∴=﹣a+b，=﹣a+b，解得：k=a2，∴S△OAB=S△OAC﹣S△OBD+S梯形ABDC=S梯形ABDC=（+）（2a﹣a）=××a=k=×a2=2a2．当1≤a≤2时，S△OAB=2a2，随自变量的增大而增大，此时2≤S△OAB≤8．点评：本题考查了函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，梯形的面积，二次函数的性质，综合性较强，难度适中．29．（10分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，CE=DC，易证得∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，则可证得△ABF≌△ECF；（2）首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．解答：解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴∠BAE=∠AEC，又∵CE=CD，∴AB=CE，在△ABF和△ECF中，，∴△ABF≌△ECF（AAS）；（2）当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形．点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．30．（10分）如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1、x2均为正数，且满足（其中x1＞x2），那么称这个方程有“邻近根”．（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；（2）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣1）x﹣1=0有“邻近根”，求m的取值范围．考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法；正比例函数的性质；反比例函数的性质．分析：（1）先解方程得到x1=，x2=1，则满足，所以可判断方程有“邻近根”；（2）根据判别式的意义得到m≠0且△=（m﹣1）2﹣4m×（﹣1）=（m+1）2≥0，利用求根公式解得x1=1，或，x2=1，则m＜0，然后讨论：若x1=1，，则，是关于m的正比例函数，根据正比例函数性质得到﹣2＜m＜﹣1；若，x2=1，则，是关于m的反比例函数，根据反比例函数性质得，最后综合得到m的取值范围．解答：解：（1）方程有“邻近根”．理由如下：∵，∴（x﹣1）（x﹣）=0，∵x1＞x2，∴x1=，x2=1，这时x1＞0，x2＞0，且，∵，∴满足，∴方程有“邻近根”；（2）由已知m≠0且△=（m﹣1）2﹣4m×（﹣1）=（m+1）2≥0，∴∴x1=1，或，x2=1，∵一元二次方程ax2+bx+c=0有“邻近根”，∴x1、x2均为正数，∴m＜0若x1=1，，则，是关于m的正比例函数，∵﹣1＜0，∴随m的增大而减小．当1＜﹣m＜2时，∴﹣2＜m＜﹣1；若，x2=1，则，是关于m的反比例函数，∵﹣1＜0，∴在第二象限，随m的增大而增大．当时，∴．…（9分）综上，m的取值范围是﹣2＜m＜﹣1或．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和正比例与反比例函数性质．。
2014年厦门市思明区初中毕业班质量检查(数学试题)及答案(2021年整理)
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2014年厦门市思明区初中毕业班质量检查数 学(试卷满分：150分 考试时间:120分钟）注意事项:1．全卷三大题,26小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B 铅笔作图．一、选择题（本大题有7小题,每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1。
—2的绝对值是A ．2B ．-2C ．±2D ．122。
据厦门市旅游局统计，2013年厦门市共接待境内外游客约46 710 000人次．数据46 710 000用科学记数法表示为 A 。
4671×107B ． 4。
671×107C ． 4.671×106D ． 4。
671×1053。
如图1是一个立体图形的三视图，则这个立体图形是A ．圆锥B ．球C ．圆柱D ．三棱锥 4。
下列说法正确的是A ．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件B ．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式C ．若一个游戏的中奖率是1%,则做100次这样的游戏一定会中奖D ．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差1.02=甲S ，2.02=乙S ，则甲组数据比乙组数据稳定5。
福建省厦门市高三数学5月适应性考试试题 理 新人教A版
2014年高中毕业班适应性考试数学（理科）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名； 2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置． 1.已知集合{}i A ,1-=，i 为虚数单位，则下列选项正确的是 A ．A i ∈1 B ．A ii∈+-11 C ．A i ∈5 D ．A i ∈- 2. “d c b a >>,”是“a c b d +>+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知{2,3}a ∈，{1,2,3}b ∈，执行右边程序框图，则输出的结果共有A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种4．已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+ 内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布2(90,15)N ，则此次成绩在（60，120）范围内的学生大约有 A ．997人B ．972人C ．954人D ．683人5．设()f x 是周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，()(2)f x x x =-，则(5)f -等于 A. 1 B.1- C.3 D.3-6．甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是A ．16B ．12C ．8D ．6 7．数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n ∏，且(1)n n n +∏=，则5S 等于 A ．31 B ．62 C ．124 D ．126 8．在ABC ∆中， AD 是BC 边上的高，给出下列结论：否是（第3题图）①0)(=-⋅；≥+；③B =；其中结论正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．39．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．．的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1C ．1APD ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+10．已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O ,圆2O 都相切，动圆的圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1e ，2e （12e e >），则122e e +的最小值是B.3238 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11．把函数sin 2y x =的图象向右平移3个单位后，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为 ．12．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这 20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ．则P （A|B ）的值是 ．13．已知函数2 21,0,(),0.x x x x f x e x ⎧-++>=⎨≤⎩则满足()1f x ≤的实数x 的取值范围是 .14．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥02,2,0y ax y x 表示区域为D ，且圆422=+y x 在D 内的弧长为2π，则实数a 的值等于 ．PD 1C 1B 1A 1DCBA（第9题图）（第12题图）15．A 、B 两地相距1千米，B 、C 两地相距3千米，甲从A 地出发，经过B 前往C 地，乙同时从B 地出发，前往C 地．甲、乙的速度关于时间的关系式分别为14()1v t t =+和2()v t t =（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：①出发后1小时，甲还没追上乙 ② 出发后1小时，甲乙相距最远 ③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C 地 ④甲追上乙后，先到达C 地 其中正确的是 ．（请填上所有描述正确的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答． 16．（本小题满分13分） 已知函数()4sin()cos 16f x x x π=-+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且()1f A =，4B π=，又2AC =，求BC 边的长．17. （本小题满分13分）如图1，直角梯形ABCD 中，090,//=∠BAD CD AB ，2==AD AB ，4=CD ，点E 为线段AB 上异于B A ,的点，且AD EF //，沿EF 将面EBCF 折起，使平面⊥EBCF 平面AEFD ，如图2.（Ⅰ）求证：//AB 平面DFC ；（Ⅱ）当三棱锥ABE F -体积最大时，求平面ABC 与平面AEFD 所成的锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点F 和上顶点B ．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（第17题图）（Ⅱ）过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点，求OM OQ ⋅的最大值.19．（本小题满分13分）自驾游从A 地到B 地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B ，乙线路是A-E-F-G-H-B ，其中CD 段，EF 段，GH 段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD 段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据． （Ⅰ）求CD 段平均堵车时间a 的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．（第18题图） （表1）20．（本小题满分14分）已知函数cos ()(0)xf x x x =>，()sin (0)g x x ax x =->. （Ⅰ）函数cos ()(0)xf x x x=>的零点从小到大排列，记为数列{}n x ，求{}n x 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若()()f x g x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设点P 是函数()x ϕ与()x ω图象的交点，若直线l 同时与函数()x ϕ，()x ω的图象相切于P 点，且函数()x ϕ，()x ω的图象位于直线l 的两侧，则称直线l 为函数()x ϕ，()x ω的分切线.探究：是否存在实数a ，使得函数()f x 与()g x 存在分切线？若存在，求出实数a 的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知在矩阵M 对应的变换作用下，点A (1,0)变为A ′(1,0)，点B (1,1)变为B ′(2,1)． （Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求2M ，3M ，并猜测nM （只写结果，不必证明）． （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x αy α=+⎧⎨=⎩（α为参数，0απ≤≤）．（Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标. （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知,,a b c R +∈，且3a b c ++=，222a b c ++的最小值为M ． （Ⅰ）求M 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式|4||1|x x M +--≥.2014年高中毕业班适应性考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置． 1～10：CABCB ABDCA9．提示：⊥1DC 面11BCD A ，∴A 正确；⊥11A D 面11A ABB ，∴B 正确；当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，∴C 错；将面B AA 1与面11A ABB 沿B A 1展成平面图形，线段D A 1即为1PD AP +的最小值，解三角形易得D A 1=22+， ∴D 正确.故选C.10.提示：①动圆与两定圆都内切时：1122||4||||4||MO R MO MO r MO R r =-⎧⇒+=-⎨=-⎩，所以24e r =-②动圆与两定圆分别内切，外切时：1122||4||||4||MO R MO MO r MO R r =-⎧⇒+=+⎨=+⎩，所以24e r =+ 122202,44r e e r r<<∴=>=-+ 处理1：12114e e +=，再用均值求122e e +的最小值；处理2：1224244e e r r+=+=-+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11．()sin(26)f x x =- 12．5913．(,0][2,)-∞+∞ 14．1．④15．提示：经过x 小时，甲乙走过的路程分别为104()4ln(1)1xS dt x t ==++⎰， 220 2xx S tdt ==⎰，令4ln(1)41x x e +=⇒=-，232x x =⇒=令24ln(1)12x x +=+，设2()4ln(1)12x F x x =+--…三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．16．本题考查三角恒等变换、三角函数图象及其性质、解三角形等基础知识；考查学生运算求解能力；考查数形结合思想和分类整合思想．满分13分．解:(Ⅰ)()4sin()cos 16f x x x p =-+1cos )cos 12x x x =-+ -----------1分2cos 21x x cos x =-+2cos2x x =--------------------3分 2sin(2)6x p=---------------------4分 令222262k xk p ppp p -???-----------------------5分 解得 (Z)63k x k k p p p p -＃+?∴函数()f x 的递增区间是[,](Z)63k k k p p p p -+? .--------------------------6分(Ⅱ)由()1f A =得, 1sin(2)62A p -=,∵0A p << , ∴6A p = 或2A p = . -------8分 (1)当6A p=时,由正弦定理得, 2sinsin 6sin sin sinB sin 4BC ACAC A BC A Bpp ×=?==；---------------------------------10分 (2) 当2A p=时,由正弦定理得, 2sinsin 2sin sin sinB sin 4BC ACAC A BC A Bpp ×=?== .----------------------------------12分 综上，BC =或BC = ------------------------------------------------------13分17．本题考查立体几何中的线面、面面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想．满分13分．（Ⅰ）证明：∵CF BE //，⊄BE 面DFC ，⊂CF 面DFC ，∴//BE 面DFC ，--------------------2分同理//AE 面DFC ，--------------------3分又E AE BE = ，∴面//ABE 面DFC ， --------------------4分又⊂AB 面ABE ，∴//AB 面DFC . --------------------5分（Ⅱ）法一：∵面⊥EBCF 面AEFD ，又EF CF ⊥，面 EBCF 面EF AEFD =，∴⊥CF 面AEFD .以FE 所在直线为x 轴，FD 所在直线为y 轴，FC 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyzF -，-----------------------7分设)20(<<=x x AE ，则x EB -=2，2)2(213131⨯-⨯=⨯=∆-x x EF S V ABE ABE F 31)1(312+--=x ， ∴当1=x 时，三棱锥ABE F -体积最大.-----------------------9分∵)3,0,0(),1,0,2(),0,1,2(C B A ， ∴)3,1,2(),2,0,2(-=-=， ---------10分设平面CBA 的法向量),,(000z y x m = ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0m CA m CB ， ∴⎩⎨⎧=-+=-032000000z y x z x ， 令10=x ，得平面CBA 的一个法向量)1,1,1(=m，-------------------------11分又面AEFD 的一个法向量为)2,0,0(=FE ，∴33232,cos =⨯=>=<m，--------------------------12分∴平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦是33. --------------------13分法二：∵面⊥EBCF 面AEFD ，又EF CF ⊥，面 EBCF 面EF AEFD =，∴⊥CF 面AEFD以FE 所在直线为x 轴，FD 所在直线为y 轴，FC 所在直线为z 轴，建立空间直 角坐标系xyz F -． -------------------------2分设)20(<<=x x AE ，则x EB -=2.（Ⅰ）)2,,0(),2,,0,2(),0,,2(x x x B x A --=-， -------------------------3分面DCF 的一个法向量为)0,0,2(=，---------------------------4分00)2(0)(02=⨯-+⨯-+⨯=⋅x x FE AB ，∴FE AB ⊥，又⊄AB 面DFC ，∴//AB 面DFC .--------------------------7分 （Ⅱ）同法一．18．本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．满分13分．解：（Ⅰ）在22:(1)(1)2C x y -+-=中，令0y =得(2,0)F ，即2c =，令0x =，得(0,2)B ，即2b =， -------------------2分由2228a b c =+=，∴椭圆Γ：22184x y +=. ------------------4分（Ⅱ）法一：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx -5分22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x = ---------------6分 22(1)(1)2y kx x y =⎧⎨-+-=⎩得：22(1)(22)0k x k x +-+=，∴1x =， ---------7分 ∴11(,)22x kx OM OQ ⋅=⋅22212121(,)()0)2x kx x x k x x k =+=>. -------9分=设2221()12k k k k ϕ++=+，2/22422()(12)k k k k ϕ--+=+，令2/22422()0(12)k k k k ϕ--+=>+，得112k -<<． 又0k >，∴()k ϕ在1(0,)2单调递增，在1(,)2+∞单调递减. -----------11分∴当12k =时，max 13()()22k ϕϕ==，即OM OQ ⋅的最大值为. -------13分法二：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx ---5分22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x =分 ()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅ =222(1,1)(,)(1)x kx k x ⋅=+=0)k > ---------------9分=设1(1)t k t =+>，则222222(1)1131112212243224()3()3[()]33k t k t t t t t +===≤+-+-+-+.当且仅当12,3t =即max []OM OQ ⋅=法三：设点00(,)Q x y ，000,0x y >>，()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅ --------------------6分 =0000(1,1)(,)x y x y ⋅=+ . -----------------7分 又2200184x y +=， 设00b x y =+与2200184x y +=联立得：220034280x bx b -+-= . --------------9分令2201612(28)0b b b ∆=⇔--=⇒=±分又点00(,)Q x y 在第一象限，∴当0x =时，OM OQ ⋅取最大值. -----13分 19．本题考查利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型等基础知识；考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解决实际问题的能力，以及运算求解能力；考查数形结合数学思想方法. 满分13分． 解：（Ⅰ）a =863824240.5 1.5 2.5 3.5 4.5100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ------------2分499584108100100100100100=++++=3． ----------------4分 （Ⅱ）设走甲线路所花汽油费为ξ元， 则500(1)(50060)50060E x x x ξ=-++=+． ----------------5分法一：设走乙线路多花的汽油费为η元，∵EF 段与GH 段堵车与否相互独立，∴11(0)(1)(1) , (20)(1)44P y P y ηη==--==-⋅，11(40)(1) , (60)44P y P y ηη==-==，----------------7分11110(1)(1)20(1)40(1)604444E y y y y η∴=⋅--+⋅-+⋅-+⋅405y =+． ----8分∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为(545)54555040E E y ηη+=+=+．--9分 依题意，选择走甲线路应满足 (55040)(50060)0y x +-+≥， ------------10分即6450x y --≤，又211 , 032x y <<<<，P ∴（选择走甲线路）21151(1)(1)732264218(1)32-⋅-⋅-⋅==-⋅． ----------------13分法二：在EF 路段多花汽油费的数学期望是20240y y ⨯=元， ---------------6分在GH 路段多花汽油费的数学期望是120154⨯⨯=元， ----------------7分因为EF 、GH 路段堵车与否相互独立，所以走乙路线多花汽油费的数学期望是405y +元． ----------------8分以下解法同法一．20．本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法．满分14分． 解：（Ⅰ）∵cos 0x x =，0x > ∴cos 0x = ∴2x k ππ=+，k Z Î． -------------1分∴(1)2n x n ππ=+-，----------------2分∴2(1)222n n n n n S πππ-=+=． ----------------4分（Ⅱ）∵()()f x g x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，∴2sin cos x x xa x -≥在(0,)x ∈+∞上恒成立． ----------------5分设2sin cos ()x x x x x ϕ-=， ∴23cos (2)()x x x x ϕ+'=， ---------------6分∴()x ϕ在(0,)2π单调递增，3(,)22ππ单调递减，3(,)()22k k k Z ππππ+++∈单调递增，35(,)()22k k k Z ππππ+++∈单调递增，∴()x ϕ的极大值为1(2)()222k k N k πϕπππ+=∈+，∴()x ϕ的最大值为2()2πϕπ=， ∴2a π≥． ----------------8分（Ⅲ）若函数()f x 与()g x 存在分切线，则有“()()f x g x ≥”或“()()f x g x ≤”在(0,)+∞上恒成立，∵当0x →时，cos ()xf x x=→+∞，()sin 0g x x ax =-→． ∴0(0,)x ε∃∈，使得()()f x g x >， ∴()()f x g x ≤在(0,)+∞不恒成立． ∴只能是()()f x g x ≥在(0,)+∞上恒成立． ------------9分∴由（Ⅱ）可知2a π≥， ∵函数()f x 与()g x 必须存在交点， ∴2a π=．----10分当2a π=时，函数()f x 与()g x 的交点为(,0)2π,∵2()()22f g πππ''=-=， ∴存在直线21y x π=-+在点(,0)2π处同时与()f x 、()g x 相切， ∴猜测函数()f x 与()g x 的分切线为直线21y x π=-+． ----------11分证明如下： ①∵22cos 2()(1)x x xf x x xππ+---+=，设22()cos h x x x x π=+-，则4()sin 1h x x x π'=-+-． 令4()sin 1t x x x π=-+-，则有4()cos 0t x x π'=-+>．∴()h x '在(0,)+∞上单调递增，∴()h x '在(0,)+∞上有且只有一个零点． 又∵()02h π'=，∴()h x 在(0,)2π单调递减，在(,)2π+∞单调递增，∴()()02h x h π≥=，∴2()(1)0f x x π--+≥，即2()1f x x π≥-+在(0,)+∞上恒成立．∴函数()f x 的图象恒在直线21y x π=-+的上方． ---------------13分②∵2()(1)sin 10g x x x π--+=-≤在(0,)+∞上恒成立，∴函数()g x 的图象恒在直线21y x π=-+的下方．∴由此可知，函数()f x 与()g x 的分切线为直线21y x π=-+，∴当2a π=时，函数()f x 与()g x 存在分切线，为直线21y x π=-+． ---------14分21. （1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的乘法等基础知识；考查运算求解能力；函数与方程、特殊与一般的数学思想．满分7分 解：（Ⅰ）设a b M c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1100a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1211a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， -------------1分∴1021a c a b c d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩， 解得1101a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ ． -------------2分 ∴1101M ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ------------------3分（Ⅱ）2111112010101M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，-------------------4分32111213010101M M M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，-----------------6分猜测101n n M ⎛⎫=⎪⎝⎭．----------------7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线的极坐标方程、圆的参数方程及其几何意义、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识；考查运算求解能力；数形结合思想．满分7分．解：（Ⅰ）∵sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1o s s i n ,2ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭----------------1分12x y -=即所求直线l0y -=．----------3分（Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为：()()221101x y y -+=≤≤ ， ---------------4分∴()22011y x y -=-+=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去）． -------------------6分所以，直线l 与曲线C的交点的直角坐标为32⎛ ⎝⎭． -----------------7分 （3）选修4-5：不等式选讲本小题主要考查利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力；化归与转化、分类与整合的思想．满分7分． 解：（Ⅰ）根据柯西不等式，有：()()()22222221119a b c a b c ++++≥++=，------1分∴2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时等号成立． ----------------2分即3M =． -----------------3分（Ⅱ）|4||1|3x x +--≥可化为()()4413x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或()41413x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或()1413x x x ≥⎧⎨+--≥⎩， -----------5分解得，x ∈∅或01x ≤<或1x ≥， ----------------------6分所以，综上所述，原不等式的解集为[)0,+∞． -----------------------7分。
2014福建省普通高中毕业班质量检查(理科数学)试卷及答案
1．A ； 2．B ； 3．A ； 4．A ；5．A ；6．D ；7．C ；8．D ；9．C ；10．A ． 11．1+i ； 12．20； 13．8； 14．2nn +； 15．①． 16．解法一：（I ）()2cos cos 222x x x f x m =++11cos 22x x m =+++ 1sin 62x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． ……………………3分因为()f x 的图象过点（56π，0），所以51sin 0662m ππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得12m =-. ………5分所以()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由22262k x k πππ-+π≤+≤+π，得22233k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z . 故()f x 的单调递增区间是22,233k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ……………7分（Ⅱ）由（I ）得，()1cos 2f x x x =+.所以01cos 2t S x x dx ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎰ ……………9分01sin 22t x =-+11sint 0sin 022⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ……………12分 所以()sin 32S t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（203t π<<）. ……………13分 解法二：(Ⅰ)因为函数()f x 的图象过点（56π，0），所以506f ⎛⎫π= ⎪⎝⎭.又25555cos cos 6121212f m ⎛⎫π=ππ+π+ ⎪⎝⎭5151cos 6262m =π+π++1122m m =++=+. ………………3分 所以102m +=，解得12m =-. ………………5分以下同解法一.（II ）由（I ）得()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以0sin 6tS x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ……………9分 0cos 6t x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos 6t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ………………12分 所以()cos 6S t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭（203t π<<）. ………………13分17．本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的18． ……………..2分 所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为0033171()()88p C =-……………..5分169512=． ……………..6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.36=（万元）． ……………..8分又该地区吸烟者人数为11008⨯万， ……………..10分 所以该地区年均烟草消费税为41100100.40.36180008⨯⨯⨯⨯=（万元）．……………..12分 又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税， 所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．……………..13分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．解：（I ）取AB 中点O ，连接OM ，OC.∵M 为A 1B 1中点，∴MO ∥A 1A ，又A 1A ⊥平面ABC ，∴MO ⊥平面ABC ，∴MO ⊥AB …………….2分 ∵△ABC 为正三角形，∴AB ⊥CO 又MO ∩CO=O ，∴AB ⊥平面OMC 又∵MC ⊂平面OMC ∴AB ⊥MC ……………5分（II ）以O 为原点，以OB ，OC ，M O 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意(0,0,0),(2,0,0),(2,0,0),O A B C M -． …………….6分设)(0P t t ≤≤，则(0,23,26),(4,0,0),(0,2)MC AB OP t =-==．………….7分要使直线MC ⊥平面ABP ，只要0,0.MC OP MC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩即20-=，解得t =…………….8分 ∴P 的坐标为．∴当P 为线段1CC 的中点时，MC ⊥平面ABP ．…………….10分 （Ⅲ）取线段AC 的中点D，则(1D -，易知DB ⊥平面11A ACC ，故(3,DB =为平面PAC 的一个法向量．……….11分又由（II）知MC =-为平面PAB 的一个法向量． …………….12分 设二面角B AP C --的平面角为α，则3cos 6MC DB MC DBα⨯===． ∴二面角B AP C -- ． …………….13分 19．本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设M (,)x y ，P (,)p p x y ，因为PQ 垂直x 轴于点Q ，M 为直线l 上一点，且2PQ MQ =， 所以p x x =，p y =，…………….2分因为点P 在圆22:2O x y +=上，所以222p p x y +=即22)2x +=，整理得2212x y +=． 故曲线Γ的方程为2212x y +=．…………….4分 （Ⅱ）设三角板的直角顶点放置在圆O 的圆周上的点(,)N a b 处，则222a b +=，又设三角板的另一条直角边所在直线为l '． （ⅰ）当1a =时，直线NF x ⊥轴，:1l y '=±，显然l '与曲线Γ有且只有一个公共点．……………5分 （ⅱ）当1a ≠时，则1NF b k a =-. 若0b =时，则直线l '：x =l '与曲线有且只有一个公共点；………6分若0b ≠时，则直线l '的斜率1ak b-=， 所以()1:a l y b x a b -'-=-，即12a ay x b b--=+ ，……………7分 由221,212,x y a a y x b b ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩得()()2222212112102a a a a x x b b b ⎡⎤⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++⋅+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即()()()()2222221412220b a x a a x a b ⎡⎤⎡⎤+-+--⋅+--=⎣⎦⎣⎦． （*）又222b a =-， ……………8分所以方程（*）可化为()()()()2222412410a x a a x a -+--⋅+-=，所以()()()()22241216210a a a a ∆=-----=⎡⎤⎣⎦， ……………9分所以直线l '与曲线Γ有且只有一个公共点．综上述，该同学的结论正确。