平面简谐波
10-2平面简谐波函数
y
0.1m
t t0
u x
o
y0 0.1cos(t )
解:
ห้องสมุดไป่ตู้
y0 0.1cos(t )
2
t 0
2
y
t 0
y0 0.1 cos[ (t t0 )
0.1m
t t0
2
]
u
t t0
A o
2
o x
x
x y ( x, t ) 0.1cos[ (t t0 ) ] u 2
推广至三维空间
2 2 2
2
——波函数
2
1 2 2 2 2 2 x y z u t
任何物理量 ，不管是力学量、电学量、热 普遍 意义 学量或其它的量，只要它与时间和坐标的关 系满足上述方程，这一物理量就以波的形式 传播，而偏导数 2 t 2的系数的倒数的平 方根就是这种波的传播速度。
u
M
o
x t 0 2
x
x
点P在 t 时刻的位移为
y P A cos[ t 0 2
x
]
沿OX轴正向传播的平面简谐波的波函数
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
沿OX轴负向传播的平面简谐波的波函数
y
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
*§10.2 平面简谐波的波函数
平面简谐波：在均匀、无吸收的介质中，当波 源作简谐振动时，在介质中所形成的平面波。 一、波的表达式（波函数）
数学上如何描述简谐波？？
平面简谐波的能量
大学物理波动学基础第4讲平面简谐波的能量平面简谐波的能量在波的传播过程中, 介质中各质元的能量如何变化？遵循怎样的规律？平面简谐波的能量波动的过程是能量传播的过程.介质中各质点在各自平衡位置附近振动动能介质间相互作用产生弹性形变势能一、平面简谐波传播时媒质中体积元的能量(一)能量设平面简谐波在密度为ρ的弹性介质中沿 x 正方向传播: ϕ = 0⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=u x t A y ωcos 在 x 处取体积元 ΔV ,质量为Vx S m ∆==∆ρρd当波传到此 ΔV 时, 有⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=∂∂=u x t A t y ωωsin v 所以体积元动能为()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆=∆u x t A V m E ωωρ2222k sin 2121v 经推导(略), 体积元弹性形变势能也为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆u x t A V E ωωρ222p sin 21体积元的总能量为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆+∆=∆u x t A V E E E ωωρ222pk sin (1)能量的传播 (2)(2)周期性的变化(二)能量变化同相位形变最大、振速最大（势能最大、动能最大）形变最小、振速为零（势能为零、动能为零）Oxyab(三)振动与波动中能量变化的区别振动: 能量守恒波动: 能量传播过程——时大时小, 不守恒 ——(一)能量密度单位体积内波的能量————能量密度 w :()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∆∆==u x t A V E t x ωωρ222sin ，w w 能量密度的平均值:22021d 1ωρA t T T ==∫w w 机械波的能量与振幅平方, 频率平方以及介质密度成正比.二、波的能量密度 能流密度（二）能流和能流密度能流: 单位时间内垂直于波线方向流过某一面积的能量.uSP w =平均能流：uSP w = 能流密度: 在单位时间内垂直于波线方向的单位面积上通过的平均波的能量.SP I =()u SuS I ⋅=⋅=w w (1)大小:(2)方向:(3)单位：2mW −⋅(4)能流密度也称为波的强度。
平面简谐波的波动方程
解（１）将题给的波动方程改写成
y
0.02
cos
2
25 2
t
0.1 2
x
而波动方程的标准方程为
y
Acos 2
t T
x
二式比较得
A 0.02m
T 2 0.08s 25
2 10m
0.1
u 250m s1
T
（2）质元的振动速度为
v y 0.02 25 sin 25t 0.1xm s1
方程表示距原点为x 处的质元在不同时刻
的位移. y-t 曲线称之为位移时间曲线.
y
o
t
T
如果t 给定，则y 只是x 的函数, 这时波 动方程表示在给定时刻波射线上各振动质 元的位移，即给定时刻的波形图.
y
o
x
如果x 和t 都变化，则波动方程表示波射 线上各振动质元在不同时刻的位移，即波形 的传播.
dI Idx
I dI
x
dx
I0 I
0
ln I ax I0
I0
I
I I0eax
o
dx
x
I
I0
o
x
10.2.3 例题分析
1.一平面简谐波沿x 轴的正向传播已知波 动方程为
y 0.02cos 25t 0.1xm
求：（1）波的振幅、波长、周期及波速;
（2）质元振动的最大速度;
（3）画出t =1 s 时的波形图.
均能量密度: 能量密度在一个周期内的 平均值.
w 1
T
T 0
A2
2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2
2
3. 能流密度
10-2平面简谐波的波函数
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动t 落Δ后t 时刻t 的ux,位P移点，在由t此时得刻的位移是O点在
y A
u
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo
(t
t)
A cos[ (t
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解从形式上看：波动是波形的传播.
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
大学物理 §§1100--22 平平面简面谐波简的谐波函波数 的波函数
一 平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振
动 y 随时间 t 变化的表达式。 y Acos[(t x) ]
u
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y A
u
P
uu
Acos[(t x ) ( x0 )]
理学u院 物理u系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
例4 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
平面简谐波的波函数解读
5
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数二源自波函数的物理含义2π
2πx y A cos t
1 x一定， t 变化 令
x
y
则 y A cost
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y( x, t ) y( x, t T ) （波具有时间的周期性）
8m C B
第十章
0
2.0
t 1.0 s
第十章
x/m
-1.0
时刻波形图
波动
14
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
y cos[π t π] (m)
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
一
平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O 处质点的振动方程为
yO A cost
u
P
A
y
x
A
O
x
第十章
波动
1
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
yO A cost
yO 表示质点O 在 t 时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上 P 点(坐标 x ), P 点比 O 点的 x 振动落后 t , P 点在 t 时刻的位移是 O 点
y
o
第十章 波动
x
8
物理学
第五版
平面简谐波的势能和动能
平面简谐波的势能和动能
平面简谐波是指一维问题中波分布方程解有同量级、线性相互作用和没有变化背景的特殊解，其空间分布在特定的正交坐标系中定义，其形状为直线或椭圆。
简谐波在空间中周期性变幻，其中每一点对波粒子的总动能及势能均为相等的常值。
由于简谐波的空间分布是定常的，因此它具有恒定的势能。
平面简谐波的势能，可以从牛顿的力学及其动量定理衍生出来，根据动量定理，物体的动量相等于其空间坐标及时间坐标的梯度的和，而通过分析简谐波的空间分布，它的动量向量为零，因此其势能可由U＝-∫p⋅dx 来定义，其中P 表示波粒子的动量，x表示其坐标轴方向上的位移。
当物体存在其他物体及其他外界力（如重力）时，简谐波空间分布有可能出现变化，可以通过下式计算势能
U＝ -∫(P⋅dx＋fV)
其中fV表示与波粒子的相对速度有关的外界力的势能。
平面简谐波的动能可以说是一种恒定的动能，并且它受到平面简谐波在空间上分布形状的影响。
由它特殊线性分布，可以表示成动能的形式为：
E＝E₀＊cos(k⋅x-wt+α)
其中E₀表示波粒子的动量，k表示波粒子的波矢量，v为波粒子的速度，w为其角频率，α为初相位常数，x表示波粒子的空间位移。
平面简谐波的动能受到平面简谐波的性质的影响，可以进一步表示成：
由于简谐波受到其他外界恒量的影响，因此其动量也可以通过外力的动能来表示：
E＝E₀＋fV
其中E₀表示波粒子的动量，f为外力，v为波粒子的空间分布。
综上所述，平面简谐波的势能和动能是恒定的，受简谐波在空间上分布形状的影响以及其他外力所影响。
平面简谐波的波动方程
m
0.5 10
yc 3102 c os(4 π t 13 π)
m
5
将点 D 坐标:x=9m代入波动方程
y 3102 cos2π( t x )
m
0.5 10
yD 3102 c os(4πo 9 π)
m
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y 3102 cos2π( t x ) 0.5 10
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 设原点处振动方程为
y Acos(t )
O
y
t 0
y 0, v 0
y cos(t )
π
2
所以波动方程为
2
y Acos[(t x ) ] Acos[2 ( t x ) ]
T
2π
C
u B 2π d dC
TC
思考:t=T/4时, a,b,c各质点运动方向如何?
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y t =T/4
A+∆t
u
求 O、a、b、c 各
b
点振动初相位(t=0).
Oa
c
(π ~ π )
A
A
O
A
O
y o π
y
a
π 2
A
O
y
O
y
A
t=T/4
m (以A为 坐标原点)
u
10m
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
B点落后C点 :B
C
2 π
平面简谐波的表达式
Ox*
相位落后法
A
点p P 比 点2 π O x 落 后 的 相 位2 π T x u p O u x 2 π x
点 P 振动方程 ypAcos[t(u x)]
波 yAcos(t[x)] u沿x轴正向
函 数
yAcos(t[ux)]
π [ 2 (- ) . t 1 1 5 ( 0 . 0 c 0 - ) 1 x 1 m 1 ] s π [ 2 (- ) . t 1 2 5 ( 0 . 0 c 0 - ) 1 x 1 m 2 ] s
x2x120 cm 0ux2x1 25c0m s1
Tt2t10.8s
u
u沿 x轴负向
波动方程的其它形式
y(x), tA co2π s(t[x)]
T λ
y ( x ,t) A co t k s x ) ((角波数
k
2
π
)
质点的振动速度，加速度
v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x)]
解：方法上相位差为 2π的两
点间的距离.
π [2 (.-) 5 1 t (0 0 .0c s1 -m ) 1 x 1 ] π [2 (.-) 5 1 t0
(0.0c1m -)1x2]2π x2x120c0m
周期为相位传播一个波长所需的时间
把题中波动方程改写成
y (5 c)m co 2 π [s 2 ( .s-1 5 )t 0 (0 .0c1 -1 m )x ]
2
2
比较得
T 2 s0.8s 2cm20c0mu25c0ms1
2.5
0.01
T
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平面简谐波
平面简谐波是一种由沿着同一方向运动的波源发出的波，可以被描述为振幅在空间内
相等且经过同一时间周期的波形。
这种波形通常由正弦或余弦函数表示，因此也被称为正
弦波或余弦波。
平面简谐波的传播方向通常被称为波矢方向，其振幅通常被称为波矢大小。
当平面简
谐波从波源处发出时，其速度通常已知，并且可以通过波长和频率的关系来计算。
平面简谐波最常见的应用是在电磁波的传播过程中，尤其是在无线通信和雷达系统中。
电磁波可以经过不同的介质（如空气，水和金属）传播，但在这些介质中都遵循平面简谐
波的基本原理。
在无线通信中，发射器会产生一个特定频率的平面简谐波，该波会经由空气传播到接
收器，接收器会接收并处理信号。
这种方式是无线通信的基础，也是电视和电台广播的基
本工作原理。
平面简谐波在其他领域中也很常见。
例如，在音频系统中，声波可以被描述为正弦波。
通过理解平面简谐波的基本原理，我们可以更好地理解波的传播，并使用它来实现各种实
用的应用。