三角函数的综合应用
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一道三角函数问题的 若干思考方向
——三角函数的综合应用
一、温故：概念与公式
同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系: sin2 cos2 1 (2)商数关系: sin =tan
cos
二、典例：
已知 sin 2 cos 3 ，则有 tan = ( )
A. 2 2
B. 2
C. - 2 2
D. - 2
如何审题？
（1） 条件的形式是什么？
sin 2 cos 3
（2） 表面信息？ 同角关系，关于α的方程
（3） 还能看出深层次信息吗？
“加”与“乘”的结合
设计方案
(1)目标是什么？ 求tan α的值
(2)用哪些公式可以达到目标？ 同角关系，和差倍半公式，……
三、可能的思路与解答步骤：
思路1： 利用同角关系，联立方程组 思路1*：抑或直接化归同名
思路3：构造分式齐次式，利用同除法
思路4：直接使用万能公式计算半角正切值
• 简析：
同角三角函数的商数关系(弦与切)是构建 齐次式的依据，对条件平方的目的，是为了 再次对“1”进行转化，创造出“齐次”的结 构；这样的思想再与倍角公式相结合，便是 思路4中的“万能公式”的由来。
进一步思考： 条件中的结构形如“asin α+bcos α”， 能否利用辅助角公式化归？
思路2：利用对偶式，构造方程组
设 cos 2 sin t
• 简析：
组建方程组是解决三角函数求值问题的 常见策略，
思路1利用三角函数同角恒等式，是一种 典型的通式通法；
思路2中构造对偶式的原则通常是将sinα 与cosα互换，将“加和”与“相减”互换， 实际上最终目的依然是回归到同角关系上。
进一步思考： 能否将条件直接转化为与tan α有关的方程？
进一步思考： 在之前的解题过程中，处理的对象通常是
关于三角函数的二次方程，通常这类问题会产 生两解(可能涉及取舍)，但答案只有一解，这 是一种巧合吗？
能否跳出三角函数知识模块的限制，用更 广阔的视野再次审视题目条件结构？
1sin 2 cos
这是由“加和”连接的两个“乘积” 你在哪里见过这种结构？
进一步思考： 既然可以将条件中的(cos α,sin α)看做向量，
何尝不能从解析几何的角度考察问题？
思路7：将(cos α,sin α)视为平面上的点， 联想到直线与圆的关系
• 数形本是两相依，焉能分作两边飞？ ——华罗庚
变式 2：
函数 f x sin 3 ，
cos
求 f x 的值域.
思路6：构造向量数量积结构，发现向量关系 思路6拓展：柯西不等式
• 简析： 条件中式子的结构特征类似于“x1x2+y1y2”, 这正是向量的数量积的坐标表达式， 同时，数量积又可视为其模长与夹角的关系， 这是“算两次”的思想(fubini定理)的体现， 即为思路6的来由.
★柯西不等式来源于Fra Baidu bibliotek量数量积于模长的关系
四、反思与总结：
最简单的东西，可能也是最本质、最基 本的东西。通过对简单的把握，建立思维体 系；通过推理，得出的结果往往是丰富多彩 的，这就是数学思维。
谢谢！
思路5：利用辅助角公式结合三角函数性质解题
变式 1：
函数 f x asin x cos x ，若 x 时， 6
f x 取到最大值，则实数 a =?
• 简析：
一般地，形如“asin α+bcos α”的式子 都可以通过构造辅助角而化归为“一个角的 一个三角函数”，这是解决三角函数性质问 题(值域、对称、周期、单调等)最基础也是 最重要的通式通法。
——三角函数的综合应用
一、温故：概念与公式
同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系: sin2 cos2 1 (2)商数关系: sin =tan
cos
二、典例：
已知 sin 2 cos 3 ，则有 tan = ( )
A. 2 2
B. 2
C. - 2 2
D. - 2
如何审题？
（1） 条件的形式是什么？
sin 2 cos 3
（2） 表面信息？ 同角关系，关于α的方程
（3） 还能看出深层次信息吗？
“加”与“乘”的结合
设计方案
(1)目标是什么？ 求tan α的值
(2)用哪些公式可以达到目标？ 同角关系，和差倍半公式，……
三、可能的思路与解答步骤：
思路1： 利用同角关系，联立方程组 思路1*：抑或直接化归同名
思路3：构造分式齐次式，利用同除法
思路4：直接使用万能公式计算半角正切值
• 简析：
同角三角函数的商数关系(弦与切)是构建 齐次式的依据，对条件平方的目的，是为了 再次对“1”进行转化，创造出“齐次”的结 构；这样的思想再与倍角公式相结合，便是 思路4中的“万能公式”的由来。
进一步思考： 条件中的结构形如“asin α+bcos α”， 能否利用辅助角公式化归？
思路2：利用对偶式，构造方程组
设 cos 2 sin t
• 简析：
组建方程组是解决三角函数求值问题的 常见策略，
思路1利用三角函数同角恒等式，是一种 典型的通式通法；
思路2中构造对偶式的原则通常是将sinα 与cosα互换，将“加和”与“相减”互换， 实际上最终目的依然是回归到同角关系上。
进一步思考： 能否将条件直接转化为与tan α有关的方程？
进一步思考： 在之前的解题过程中，处理的对象通常是
关于三角函数的二次方程，通常这类问题会产 生两解(可能涉及取舍)，但答案只有一解，这 是一种巧合吗？
能否跳出三角函数知识模块的限制，用更 广阔的视野再次审视题目条件结构？
1sin 2 cos
这是由“加和”连接的两个“乘积” 你在哪里见过这种结构？
进一步思考： 既然可以将条件中的(cos α,sin α)看做向量，
何尝不能从解析几何的角度考察问题？
思路7：将(cos α,sin α)视为平面上的点， 联想到直线与圆的关系
• 数形本是两相依，焉能分作两边飞？ ——华罗庚
变式 2：
函数 f x sin 3 ，
cos
求 f x 的值域.
思路6：构造向量数量积结构，发现向量关系 思路6拓展：柯西不等式
• 简析： 条件中式子的结构特征类似于“x1x2+y1y2”, 这正是向量的数量积的坐标表达式， 同时，数量积又可视为其模长与夹角的关系， 这是“算两次”的思想(fubini定理)的体现， 即为思路6的来由.
★柯西不等式来源于Fra Baidu bibliotek量数量积于模长的关系
四、反思与总结：
最简单的东西，可能也是最本质、最基 本的东西。通过对简单的把握，建立思维体 系；通过推理，得出的结果往往是丰富多彩 的，这就是数学思维。
谢谢！
思路5：利用辅助角公式结合三角函数性质解题
变式 1：
函数 f x asin x cos x ，若 x 时， 6
f x 取到最大值，则实数 a =?
• 简析：
一般地，形如“asin α+bcos α”的式子 都可以通过构造辅助角而化归为“一个角的 一个三角函数”，这是解决三角函数性质问 题(值域、对称、周期、单调等)最基础也是 最重要的通式通法。