带电旋转椭球电势和电场强度的数值研究
均匀带电的球体内部电势
均匀带电的球体在球体内任一点产生的电势可以按照以下方式进行计算：
首先，球体由均匀带电的球壳和内部的带电球体组成。
假设球体的半径为R，单位为米，电荷密度为ρ，单位为库/平方米。
内部的带电球体的电荷总量为Q，单位为库仑。
内部的带电球体在球体内任一点的电场强度的大小可以通过高斯定律得到：E·(4πr2/ε0)=Q/S。
其中r是点到球心的距离，S是球体的截面积（在这个问题中可以视为一个面），ε0是空气的介电常数（ε0≈8.85×10^-12F/m）。
根据这个公式，电场强度可以用来计算电势：E=k0.5r2/r3。
因此，V=E·r。
将这个公式代入，我们就可以得到内部任一点的电势V：V=kρRR2/ε0R3=kρR3/ε0。
其中k是一个常数，约为8.987×10^9N·m2/C2（即真空中的静电力常数）。
由于均匀带电的球体内部是一个等位面，所以这个电势在整个球体内是相等的。
因此，这个电势的值与球体的半径R无关。
因此，均匀带电的球体内部的电势只取决于电荷量和半径两个因素。
这个值的大小可以用公式V=kρR3/ε0来计算。
在实际应用中，可以根据这个公式来求出不同半径和电荷量的球体内部的电势值。
以上是对均匀带电的球体内部电势的理论分析，如果需要更具体的应用场景分析或者实验数据支持，可能需要查阅相关的专业文献或者咨询相关的专业人士。
均匀带电圆盘电场的数值研究
均匀带电圆盘电场的数值研究沈华嘉【摘要】用通用软件Mathematica对均匀带电圆盘电场的空间分布进行数值研究，对比了勒让德级数解与叠加原理-直接积分两种方法的数字化结果。
结果显示：由勒让德级数解很难绘制出正确的电场强度的空间分布图，而使用积分表达式则可快速获得正确的结果。
%The spatial distribution of the electric field from a uniform charged disc is numerically studied.The numerical results of Legendre series are compared with ones of the direct integral method. Our results show that it is difficult to draw the correct spatial distribution mapof the electric field intensity by using the Legendre series,while using the integral expression the correct results can be quickly obtained.【期刊名称】《广东第二师范学院学报》【年(卷),期】2016(036)005【总页数】4页(P67-70)【关键词】均匀带电圆盘;电场;数字化;勒让德级数;积分表达式【作者】沈华嘉【作者单位】广东第二师范学院物理与信息工程系，广东广州 510303【正文语种】中文【中图分类】O441.3均匀带电圆盘电场的空间分布，是电磁场理论教学的重要例子. 人们用各种不同的方法——方程法、叠加法以及延拓法，把电势表示为以勒让德多项式为基的级数[1-2] (简称为勒让德级数解). 文献[3]把这种级数表示方式推广应用到均匀带电圆环片的情况，并根据关系式=-u给出了电场强度的勒让德级数解. 然而，均匀带电圆盘的电势和电场勒让德级数解的收敛情况如何,借助现代电子计算机能不能得到正确的电场空间分布，则未见有具体讨论. 本文应用著名软件Mathematica对均匀带电圆盘电势和电场强度的勒让德级数解进行详细的数字化研究，并与叠加原理-直接积分的结果作比较.根据文献[2]，均匀带电圆盘的电势可表达为以勒让德多项式为基的级数,,式中q为圆盘的带电量，a为圆盘的半径，θ为球坐标系的极角．计算电势的梯度就可得到电场强度=-U.实际上，本问题的电势可以使用叠加原理-积分法来计算. 薄圆盘可以看成由无穷多个同心圆环组成，如图1所示.由于具有轴对称性，只需考虑xoz平面内观测点P(x,0,z)的电势和电场强度．圆盘上源点P′的坐标为(ρcos φ,ρsin φ,0)，观测点P到源点P′的距离为.把式(2)代入点电荷的电势公式，由叠加原理得均匀带电圆盘的电势积分表达式φ.先给出电势积分表达式的数字化.设圆盘带正电，为了计算的方便，取长度单位为a，电势单位为U0=q/(4π2ε0a), 电场强度单位为E0=q/(4π2ε0a2). 式(3)是一个复杂的积分, 不能用初等函数表示，可进行数值积分. 为了方便，记,则电势和电场强度分别为,和(x,z).根据式(4)～式(6)，由通用软件Mathematica可快速得到电势和电场强度数字化结果，图2～图4分别是电势的空间分布、电场强度大小的空间分布、等势线和电场强度方向的分布，它们形象美观地描述了均匀带电圆盘电场的空间分布.现在开始研究勒让德级数解的数字化.式(1)是两个以勒让德多项式为基的级数，数值计算的首要问题就是如何快速给出任意阶勒让德多项式. 幸运的是，在Mathematica里勒让德多项式的产生并非难事，无论是直接调用系统内设函数Legendre[2n,x], 还是使用著名的罗德里格斯(Rodrigues)公式都可以快速获得2n阶勒让德多项式，例如0、2、4、6阶勒让德多项式分别如下它们看上去整齐简单，然而，随着阶数的增加，它变得越来越复杂. 当阶数高到一定程度(例如100阶)时，它的复杂程度将超出了我们的想象.为了获得xoz平面内直观分布图，必须把极坐标系转换成直角坐标系(z/r).将式(7)和式(8)代入式(1)，利用Mathematica快速产生勒让德多项式、求和运算以及数字绘图功能，可把式(1)所示的电势表达式数字化. 我们无法求出级数U1和U2的所有项，可以先取级数前21项(截断到n=M=20)，即计算到40阶勒让德多项式，此时由级数表达式(1)得到的电势空间分布与使用电势积分表达式(3)所得到的结果(图2)是一致的.从理论上讲，使用式(6)计算电势的梯度就可得到电场强度. 然而, 当截断到40阶勒让德多项式时，在r<a的区域内(特别是当z接近于0,即接近圆盘时)，由式(1)和式(6)所得的计算结果出现许多斑块和尖峰，如图5所示，需要提高截断阶数才有可能获得更准确的结果，当然所耗计算时间也将大幅度增加，计算成本值得重视. 提高计算量至100阶勒让德多项式，结果如图6所示，电场强度大小的分布图有所改善(斑块减少)，但不十分明显；继续提高计算量，当截断到200阶勒让德多项式，数值结果如图7所示，电场强度大小的分布图有了较大改善，但是在圆盘面附近，波动起伏仍十分明显；继续提高截断阶数，结果进一步改善，勒让德级数的结果更进一步接近积分表达式的结果(图3)，当计算到600阶时结果如图8所示，整体已经比较接近图3，但在圆盘面附近仍有比较明显的波动起伏.本文应用通用软件Mathematica，对均匀带电圆盘电势和电场强度的勒让德级数解进行数字化研究，并与叠加原理-积分法(积分表达式)的结果进行了比较. 结果表明：使用积分表达式可以快速把电势和电场强度数字化(计算并绘制出图2～图4三幅精美分布图只需几秒钟时间). 但使用勒让德级数解则很难把电场强度数字化，现总结如下，以便对勒让德级数有更清晰的认识.1)对于电势空间分布，使用勒让德级数解，比较容易获得正确的数字化结果，只需截断到第40阶勒让德多项式就可获得正确结果.2) 对于电场强度的空间分布，使用勒让德级数解，很难获得正确的数字化结果. 就均匀带电圆盘的电场强度而言，在r<a的区域内(特别是当z接近于0,即接近圆盘时)，使用级数U1计算到第600阶勒让德多项式(仅绘制图8，在作者的计算机上耗时就长达80 min)，仍然得不到准确数字化结果, 可见U1不是一个好级数.【相关文献】[1] 吴崇试．均匀带电薄圆盘的电势问题[J]．大学物理, 2000, 19(11)：1-4.[2] 林璇英，张之翔．电动力学题解[M]. 2版．北京：科学出版社，2007:152-157.[3] 贾秀敏．均匀带电圆环片的空间静电场[J]．大学物理, 2010, 29(8)：29-30.。
带电导体椭球的静电场
1
带电导体椭球的静电场
1］指出带电导体椭球外的的电势 φ （ ξ ） 文献［ 只与椭球坐标的 ξ 有关， 而与 η 和 ζ 无关， 即 ξ 相同 而 ξ 相同的空间点构成 的空间点的电势是相同的， 与导体椭球共焦的椭球面， 故带电导体椭球外电场 的等势面为与导体椭球面共焦的椭球面族， ξ =0 为 b、 c的 导体椭球面本身． 所以， 对于半轴分别为 a、 a2 + ξ ， B= 槡 b2 + ξ ， C= 导体椭球 d 与半轴为 A = 槡 c + ξ 的导体椭球 D 当带电量相同时大椭球外的 槡 （ 包括大椭球面） 有相同的等势面， 因而也有相同的 B、 C 电场强度， 故带电导体椭球 d 在半轴分别为 A、 的椭球面上的电势与带电导体椭球 D 的电势相等， 该面的电场强度也与大椭球表面的电场分布相同 ． 2］ b、 c， 文献［ 给出半轴分别为 a、 带电量为 Q 的 导体椭球表面的的电场强度为 x2 y2 z2 －1 x y z Q + + i + j + 2 k （ 1） E= 4πε0 abc a4 b4 c4 a2 b2 c
[ 槡（ x + d）
x +d
2
+ y2
+
x －d （ x － d ） 2 + y2 槡
]
[
]
∫
∫
E= － φ = ·
Q 8πε0
[槡 （ x + d） 2 + y2 + 槡 （ x － d） 2 + y2 ]
+ （ x － d） i + yj
4
2
－ （ 2d）
几种典型带电体的场强和电势公式
几种典型带电体的场强和电势公式
本文介绍了几种电荷分布所产生的场强和电势。
首先是均匀分布的球面电荷，对于球面外的情况，电场强度矢量为
1/4πεr*q/r^2，对于球面内的情况，电场强度矢量为q/4πεR^3.电势分布方程为q/4πεr（球外）和q/4πεR（球内）。
其次是均匀分布的球体电荷，对于球体内的情况，电场强度矢量为1/4πεR*q/r^2，对于球体外的情况，电场强度矢量为1/4πεr*q/r^2.电势分布方程为q/8πεR（r R）。
第三种情况是均匀分布的无限大平面电荷，电场强度矢量为σ/2ε（±i），电势分布方程为σ(r-r0)/2ε。
如果以带电平面为零电势参考点，则电势表达式为-Ux（x≥0）和Ux（x≤0），其中Ux=σx/2ε。
第四种情况是均匀分布的无限长圆柱柱面电荷，对于柱面外的情况，电场强度矢量为λ/2πεr，对于柱面内的情况，电场强度矢量为λ/2πεR。
电势分布方程为ln(r/a)*λ/2πε（r>a）和
ln(R/a)*λ/2πε（r<a），其中a为零电势参考点。
最后一种情况是均匀分布的无限长带电圆柱体，对于圆柱体内的情况，电场强度矢量为ρr/2ε，对于圆柱体外的情况，电场强度矢量为ρR^2/r/2ε。
电势分布方程为-ρr^2/4ε（r≤R）和-ρR^2/2εln(r/R)（r>R）。
球体内部的电场强度
球体内部的电场强度1. 引言电场是物理学中一个重要的概念，用来描述电荷对周围空间的影响。
在球体内部，存在一个由球体内部电荷分布所产生的电场。
本文将详细介绍球体内部的电场强度的计算方法和特性。
2. 球体内部电场强度的计算方法为了计算球体内部的电场强度，我们需要先了解球体上任意一点处的电场强度。
根据库仑定律，两个点电荷之间的电场强度与它们之间距离的平方成反比。
对于一个球体来说，可以将其看作是由无数个微小元素组成，每个微小元素都可以看作是一个点电荷。
首先，我们需要确定球心处的电场强度。
由于对称性，我们知道在球心处的电场强度是零。
接下来，我们考虑球面上某一点P处的微元dE对P点产生的贡献。
设球面上某一微元dS上有一个微小量dq = σdS（σ为面密度），则微元dE对P 点产生的贡献可以通过库仑定律计算得到：dE = k * dq / r^2其中k为库仑常数，r为P点到微元dS的距离。
球体内部的电场强度可以通过对球体表面上所有微元dE进行积分来得到。
由于球体对称性的存在，我们可以将球体分成无穷多个相同的微小球壳，并计算每个微小球壳对P点产生的电场强度，然后将这些贡献相加。
3. 球体内部电场强度的特性3.1 对称性球体内部的电场强度具有球对称性。
也就是说，在球体内部任意一点，其电场强度大小和方向都只与到球心的距离有关，而与位置无关。
3.2 零电荷情况当球体内没有任何电荷时，根据叠加原理，我们知道在整个球内部电场强度为零。
这是因为在没有电荷存在时，不存在产生电场的源头。
3.3 均匀带电情况当球体带有均匀分布的总电荷Q时，我们可以通过将整个带电球看作是由无穷多个微小元素组成来计算其内部的电场强度。
首先考虑一个半径为r处厚度为dr的薄圆环，其上的电荷量为dq = σdS，其中σ为面密度，dS为圆环上的微元面积。
根据库仑定律，薄圆环对球心处的电场强度元素可以表示为：dE = k * dq / r^2 = k * σ * dS / r^2将微元面积dS在整个球面上进行积分，即可得到球体内任意一点处的电场强度。
均匀带电半球面底面上的电场与电势
均匀带电半球面底面上的电场与电势均匀带电半球面是一个非常常见的物理模型，它的电场和电势具有一些特殊的性质。
下面我们将对它们进行详细的介绍。
均匀带电半球面是指一个半径为R，总电荷量为Q的半球面。
我们需要求解在半球面上的点P处的电场强度E。
由于半球面具有旋转对称性，我们可以通过高斯定律求解它的电场强度。
在半球面内部，高斯面选取的是以点P为球心的半径小于R的球面。
由于高斯面内没有自由电荷，因此高斯定理可以写为：∮E·dS = 0其中，∮代表对高斯面的积分。
其中，ε0是真空中的介电常量。
由于半球面具有旋转对称性，垂直于半球面的所有矢量（包括电场矢量）都必须垂直于半球面。
因此，P点处的电场矢量只会沿着P点到半球面上最近电荷元素P'（如图所示）形成的径向单位矢量r。
这个矢量可以用球面坐标表示为：r = sinθcosφi + sinθsinφj + cosθk其中，θ是单位矢量和z轴之间的夹角，φ是单位矢量在xy平面上的方位角。
将电场矢量表示成径向矢量r的形式后，我们可以将∮E·dS分解为E∮dS和∮EdS两个部分。
由于E在整个高斯面上都是恒定的，因此∫dS可以直接计算为高斯面积。
因此，我们可以将高斯定理写为：由于高斯面的面积S = 4πR²，因此我们可以将上式改写为：E = Q/(4πε0R²)这个式子可以用来计算半球面上任意一点P处的电场强度。
需要注意的是，这个结果只对半球面内部和半球面上的点适用。
对于半球面外部的点，由于电荷分布方式不同，电场强度的计算方法也不同。
与上面相似，我们也可以通过高斯定律计算半球面上任意一点P处的电势。
电势的定义式为：其中∫E·dl是从无穷远处到点P的路径积分。
由于半球面内部的电场为零，因此只需要计算半球面外部的电势即可。
我们可以将路径积分分解为两部分：从无穷远处到半球面上任意一点P'的路径积分，和从点P'到点P的路径积分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第３５卷第５期
２０１５年１Ｏ月
广东第二师范学院学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ
Ｖｏ１．３５ ＮＯ．５
Ｏｃｔ．２Ｏ１５
带电旋转椭球电势和电场强度的数值研究
江俊勤
（广东第二师范学院物理系，广东广州５１０３０３）
摘要：用叠加原理和数值分析方法，对带电旋转椭球电势和电场强度进行全面的研究，绘制出
电势和电场强度的空间分布图．
关键词：带电旋转椭球；电势和电场强度；椭圆积分；数值分析
中图分类号：０ ４４１．１文献标识码：Ａ文章编号：２０９５—３７９８（２０１５）０５—００６８—０５
计算并给出典型带电体系的电势和电场空间分布，一直是电场教学与研究的热点．多年来，人们用各种
手段详细地研究了均匀带电细圆环的电场分布Ｅｌ－３］、均匀带电圆盘和薄宽圆环的电势的空间分布 ．本文
把文献Ｅ７］的方法推广应用到更复杂的带电体系，用叠加原理和数值计算方法研究带电旋转椭球面所产生
的静电场的空间分布（包括电荷均匀分布于椭球面和带电导体椭球两种情况），绘制形象直观的彩色立体图．
电荷均匀分布于椭球面
当电荷分布于球体表面时，电荷是均匀分布的，球体都是等势体，由高斯公式容易得知：球内电场为零，
球外电场分布和电荷集中于球心的点电荷激发的电场相同．
图１带电椭球与坐标系
当电荷分布于椭球表面时，电场情况将复杂得多，但计算方法和物理原理并不
难理解：把椭球表面的电荷分割（微分）成无穷多个电荷源（可视为点电荷），将各个
点电荷在观测点Ｐ（ｚ，Ｙ，ｚ）处所产生的电势或电场强度叠加起来（积分），就得到椭
球表面的全部电荷激发的电势或电场强度，如图１所示．当然，这个曲面积分的计算
是比较复杂的，这正是本文将要介绍的重点．
现在先考虑一种近似的简单情况，设电荷仍是均匀分布的，即电荷面密度是常
数．
用参数方程描述椭球面是一种比较方便的方法： —ｎ ｓｉｎ ０ ＣＯＳ ， 一６ｓｉｎ
ｓｉｎ ，ｚ ＝＝＝ｆＣＯＳ ０．在计算电势和电场强度之前，先要处理的是椭球面上面积元的计
算，根据坐标系变换关系，椭球面上的面元为
ｄＳ一 ｄＯｄｃｐ， （１）
收稿日期：２０１５－０５ １０
基金项目：广东省高等学校专业综合改革试点项目（物理学）
作者简介：江俊勤，男，广东揭阳人，广东第二师范学院物理系教授
・
７２ ・ 广东第二师范学院学报 第３５卷
于人们理解和掌握带电旋转椭球所激发静电场的分布规律．本文的方法为电磁场数字化研究提供了一种有
效的途径：物理原理和计算方法简单易懂、计算和绘图快速、结果准确而且形象直观（在计算机上电势和电场
强度大小的分布是彩色立体图）．
参考文献：
［１］程昌林，王慧，李业风．均匀带电细圆环的电场．大学物理，２００３，２２（６）：１５—１６．
［２３刘诚杰，刘景世．均匀带电细圆环电场的分布．大学物理，２００５，２４（８）：１９—２Ｏ，２４．
Ｅ３］江俊勤．也谈均匀带电细圆环的电场分布．大学物理，２００７，２６（１１）：３９—４１．
［４］李清玉，李永铸，单嵛琼．均匀带电薄圆盘上的电势［Ｊ］．云南师范大学学报，２００２，２２（６）：３９—４０．
［５］厉爱蛉，姜黎霞．均匀带电圆盘电位的空间分布［Ｊ］．山东农业大学学报（自然科学版），２００３，３４（４）：
５５９—５６１．
［６］贾秀敏．均匀带电圆环片的空间静电场ＥＪ］．大学物理，２０１０，２９（８）：２９—３０．
［７］江俊勤．均匀带电薄圆盘和薄宽圆环静电势的数值研究口］．广东第二师范学院学报，２０１１，３１（３）：
３１—３３．
［８］林璇英，张之翔．电动力学题解［Ｍ］．２版．北京：科学出版社，２００７：１０７．
Ａ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃ
Ｆｉｅｌｄ Ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｏｆ Ｃｈａｒｇｅｄ Ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ Ｅｌｌｉｐｓｏｉｄ
ＪＩＡＮＧ Ｊｕｎ—ｑｉｎ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ，
Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，５１０３Ｏ３，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ａｎｄ
ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈａｒｇｅｄ ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ ｅｌｌｉｐｓｏｉｄ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅ ｓｐａｔｉａｌ
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ａｒｅ ｐｌｏｔｔｅｄ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｈａｒｇｅｄ ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ ｅｌｌｉｐｓｏｉｄ；ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｓｔｒｅｎｇｔｈ；ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｉｎｔｅｇｒａｌ；
ｎｕｍｅｒｉｃａ１ ａｎａｌｙｓｉｓ