统计2.3.2方差与标准差
高中数学必修2-3第二章2.3 2.3.2离散型随机变量的方差
2．3.2 离散型随机变量的方差1．问题导航(1)离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？(2)方差具有哪些性质？两点分布与二项分布的方差分别是什么？ (3)如何计算简单离散型随机变量的方差？ 2．例题导读(1)例4求随机变量的均值和方差、标准差，请试做教材P 68练习1题． (2)例5是均值和方差的实际应用，请试做教材P 68练习3题．1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X 的分布列为①方差D (X )＝∑n i ＝1(x i －E (X ))2p i . ②标准差为________D （X ）．(2)方差的性质：D (aX ＋b )＝________a 2D (X )． 2．两个常见分布的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝________p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝________np (1－p )．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若a 是常数，则D (a )＝0.( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为( )A.43B.83C.89D ．1答案：C3．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是( )A ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝1B ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝1C ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝2 D ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝2 答案：D4．已知随机变量X ________.答案：3.561．方差与标准差的作用随机变量的方差与标准差一样，都是反映随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散程度的，方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越不集中，稳定性越差，波动性越大．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差；[解] 由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120，P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320，P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.[互动探究] 在本例条件下，若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解：由D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)＝11，E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1，及E (ξ)＝1.5，D (ξ)＝2.75，得2.75a 2＝11，1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.1．求离散型随机变量X 的均值、方差的步骤： (1)理解X 的意义，写出X 的所有可能的取值； (2)求X 取每一个值的概率； (3)写出随机变量X 的分布列；(4)由均值、方差的定义求E (X )，D (X )．2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了1．(1)已知随机变量ξ若E (ξ)＝23，则D (ξ)的值为________．解析：由分布列的性质，得 12＋13＋p ＝1，解得p ＝16. ∵E (ξ)＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－232×12＋⎝⎛⎭⎫1－232×13＋⎝⎛⎭⎫2－232×16＝1527＝59. 答案：59(2)甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望．解：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718.P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324.两点分布与二项分布的方差一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30 s ，求司机总共等待时间η的期望与方差． [解] (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B (6，13)，故E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×(1－13)＝43.(2)由已知η＝30ξ，故E (η)＝30E (ξ)＝60(s)，D (η)＝900D (ξ)＝1 200.解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )；若ξ服从二项分布，即ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )．2．(1)(2015·高考广东卷)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．解析：由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.答案：13(2)在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．解：用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分，则由题意知ξ～B(10，0.8)，η＝3ξ＋2.因为E(ξ)＝10×0.8＝8，D(ξ)＝10×0.8×0.2＝1.6，所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×8＋2＝26(分)，D(η)＝D(3ξ＋2)＝32×D(ξ)＝9×1.6＝14.4.均值、方差的综合应用甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y 的分布列如下：(1)求a，b的值；(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．[解](1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4.(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(X)＞E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)＞D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数ξ的数学期望和方差分别为E (ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D (ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数η的数学期望和方差分别为E (η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3； D (η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (ξ)＝E (η)，D (ξ)＞D (η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动性大，乙保护区的违规事件次数更集中和稳定，说明乙保护区的管理水平较好．试求D (X )和D (2X －1)．[解] E (X )＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8，所以D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.所以D (2X －1)＝4D (X )＝4×1.56＝6.24.[错因与防范] (1)解答本例易将方差的性质用错，即D (aZ ＋b )＝aD (Z )＋b . (2)解决此类问题方法，应利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )，将求E (aX ＋b )，D (aX ＋b )的问题转化为求E (X )，D (X )的问题，从而可以避免求aX ＋b 的分布列的繁琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算．4．已知随机变量X ～B (100，0.2)，那么D (4X ＋3)的值为( ) A ．64 B ．256 C ．259 D ．320解析：选B.由X ～B (100，0.2)知n ＝100，p ＝0.2， 由公式得D (X )＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16， 因此D (4X ＋3)＝42D (X )＝16×16＝256.1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：选D.随机变量ξ∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6解析：选B.由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X . 因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定． 答案：乙4．若随机变量X 的分布列为：(1)求m 的值；(2)求E (X )和D (X )．解：(1)由随机变量分布列的性质，得0.1＋0.2＋0.4＋m ＋0.1＝1，解得m ＝0.2.(2)E (X )＝－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0，D (X )＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平C ．离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平D ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值解析：选C.由离散型随机变量的数学期望与方差的定义可知，C 正确．故选C. 2．设X ～B (n ，p )，若D (X )＝4，E (X )＝12，则n 和p 分别为( ) A ．18和23B ．16和12C ．20和13D ．15和14解析：选A.∵X ～B (n ，p )，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝12，np （1－p ）＝4，解得p ＝23，n ＝18.3．已知X 的分布列如下表所示，则下列式子：①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确的有( )A.0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选C.E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故只有①③正确． 4．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k ·(13)n －k ，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8B ．12 C.29D ．16解析：选A.由题意可知ξ～B (n ，23)，∴23n ＝E (ξ)＝24.∴n ＝36. ∴D (ξ)＝n ×23×(1－23)＝29×36＝8.5．(2015·滨州高二期末检测)若随机变量X 的分布列为：P (X ＝m )＝13，P (X ＝n )＝a ，若E (X )＝2，则D (X )的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算解析：选A.依题意有a ＝1－13＝23，所以E (X )＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (X )＝13(m－2)2＋23(n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (X )有最小值为0.6．(2014·高考浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．解析：设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.答案：257．(2015·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析：由独立重复试验的方差公式可以得到 D (ξ)＝np (1－p )≤n (p ＋1－p 2)2＝n4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以D (ξ)max ＝100×12×12＝25,D （ξ）max ＝25＝5.答案：1258．随机变量ξ的分布列如下，其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝53，则D (ξ)的值为________．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b .又因为a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13.又因为E (ξ)＝a ＋2b ＋3c ＝53，所以a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以ξ的分布列为所以D (ξ)＝(1－53)2×12＋(2－53)2×13＋(3－53)2×16＝59.答案：599．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取1个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，求ξ的分布列、期望值及方差．解：ξ的可能值为0，1，2，P (ξ＝0)＝C 02C 310C 312＝611；P (ξ＝1)＝C 12C 210C 312＝922；P (ξ＝2)＝C 22C 110C 312＝122.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12，D (ξ)＝(0－12)2×611＋(1－12)2×922＋(2－12)2×122＝322＋988＋988＝1544.10．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D （ξ）＝62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：因为每一株沙柳成活率均为p ，种植了n 株沙柳，相当于做n 次独立重复试验，因此ξ服从二项分布ξ～B (n ，p )．(1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为：(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)， 得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132.[B.能力提升]1．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布列大致如下表所示：甲：乙：试分析两名学生的成绩水平．解：∵E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80， ∵E (X )＝E (Y )，D (X )＜D (Y )，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．2．如表，左边为四大名著，右边为名著作者，一位小学语文教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者的连线游戏，作为奖励，参加连线的同学每连对一个奖励一朵小红花．假定一名小学生对四大名著没有了解，只是随机地连线，试求该学生得到小红花数X 的分布列及其均值、方差．解：可能为0个，1个，2个，4个．P (X ＝0)＝9A 44＝924，P (X ＝1)＝C 14×2A 44＝824， P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝624，P (X ＝4)＝1A 44＝124. 故X 的分布列为：∴E (X )＝0×924＋1×824＋2×624＋4×124＝1， D (X )＝924×(0－1)2＋824×(1－1)2＋624×(2－1)2＋124×(4－1)2＝9＋0＋6＋924＝1. 3．某学校为高二年级开展第二外语选修课，要求每位同学最多可以选报两门课程．已知有75%的同学选报法语课，有60%的同学选报日语课．假设每个人对课程的选报是相互独立的，且各人的选报相互之间没有影响．(1)任选1名同学，求其选报过第二外语的概率；(2)任选3名同学，记ξ为3人中选报过第二外语的人数，求ξ的分布列、期望和方差． 解：设事件A ：选报法语课；事件B ：选报日语课．由题设知，事件A 与B 相互独立，且P (A )＝0.75，P (B )＝0.6.(1)法一：任选1名同学，该同学一门课程都没选报的概率是P 1＝P (A －B －)＝P (A )·P (B )＝0.25×0.4＝0.1.所以该人选报过第二外语的概率是P 2＝1－P 1＝1－0.1＝0.9.法二：任选1名同学，该同学只选报一门课程的概率是P 3＝P (AB )＋P (AB )＝0.75×0.4＋0.25×0.6＝0.45，该人选报两门课程的概率是P 4＝P (AB )＝0.75×0.6＝0.45.所以该同学选报过第二外语的概率是P 5＝P 3＋P 4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人的选报是相互独立的，所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B (3，0.9)，P (ξ＝k )＝C k 3×0.9k ×0.13－k ，k ＝0，1，2，3， 即ξ的分布列是ξ的期望是E(ξ)＝(或ξ的期望是E(ξ)＝3×0.9＝2.7)，ξ的方差是D(ξ)＝3×0.9×(1－0.9)＝0.27.。
苏教版数学高一苏教版必修3素材2.3.2方差与标准差
庖丁巧解牛知识·巧学一、样本方差与样本标准差1.极差（全距）是数据组的最大值与最小值的差.它反映了一组数据的变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.2.方差是各数据与平均数的差x i -x （i=1，2，…，n ）平方的平均数.它反映了一组数据围绕平均数波动的大小.一般地，设样本数据分别是x 1，x 2，x 3，…，x n ，样本的平均数为x ，则方差s 2=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+- .3.标准差是各个样本数据到平均数的一种平均距离.一般用s 表示.标准差s=nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- .深化升华 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性.例如，在比较两人的成绩时，标准差小就意味着成绩稳定；在描述产品的质量时，标准差越小，说明产品的质量越稳定. 二、计算标准差的计算步骤 （1）算出样本数据的平均数；（2）算出每个样本数据与样本平均数的差x i -x （i=1，2，…，n ）； （3）算出(x i -x )2（i=1，2，…，n ）；（4）算出(x i -x)2（i=1，2，…，n ）这n 个数的平均数，即为样本方差s 2=nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- ；（5）算出方差的算术平方根，即为样本标准差s=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+- .说明：①标准差的大小受样本中每个数据的影响，如数据之间变化大，求得的标准差也大，反之则小.标准差、方差都较好地反映了一组数据的离散程度，标准差、方差越大，数据的离散程度越大，反之，标准差、方差越小，数据的离散程度越小.②在计算标准差时，在各数据上加上或减去一个常数，其数值不变.③当每个数据乘以或除以一个常数a ，则所得的标准差是原来标准差的a 倍或1/a.④标准差的大小不会超过极差，其取值范围是［0，+∞），若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.⑤若对数据处理时的计算量较大，要借助科学计算器或计算机，一般科学计算器上都设有计算平均数、方差、标准差的按键，使用时要看说明书（不同的计算机，参数可能不同）进入统计状态就可以求值了.因为方差与原始数据的单位不一致，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然标准差、方差都较好地反映了一组数据的离散程度，但在解决实际问题时标准差应用广泛. 联想发散（1）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，方差为s 2，则ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的方差为a 2s 2；特别地，当a=1时，则有x 1+b ，x 2+b ，…，x n +b 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性； （2）方差的另一表示形式：s 2=n1(x 12+x 22+…+x n 2-2nx ). 三、对总体平均数、标准差的估计如何获得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断. 如要考察一批灯泡的质量，我们可以从中随机抽取一部分作为样本；要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目作为样本.误区警示 需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的.如一个总体包含6个个体，现在要从中抽出3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异.这就会影响到我们对总体情况的估计. 典题·热题知识点一 方差与标准差的计算例1 求下列各组数据的方差与标准差（结果保留到小数点后一位）： （1）1，2，3，4，5，6，7，8，9；（2）11，12，13，14，15，16，17，18，19； （3）10，20，30，40，50，60，70，80，90. 并分析由这些结果可得出什么一般的结论？思路分析：通过三组数据的特点总结出一般规律，利用方差、标准差求解. 解：（1）99321++++= x =5，s 2=91［(1-5)2+(2-5)2+…+(9-5)2］=6.7， s=7.6=2.6. （2）x =919131211++++ =15.s 2=91［（11-15）2+（12-15）2+…+（19-15）2］=6.7， s=7.6=2.6. （3）990302010++++= x =50.s 2=91［(10-50)2+(20-50)2+…+(90-50)2］=666.7， s=7.666=25.8.巧妙变式 一组数据加上相同的数后，方差、标准差不变，都乘以相同的倍数n 后，方差变为原来的n 2倍，标准差变为原来的n 倍.即一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，标准差为s ，则x 1+a,x 2+a, …,x n +a 方差为s 2，标准差为s ；nx 1,nx 2,…,nx n 方差为n 2s 2，标准差为ns. 知识点二 利用方差、标准差对样本进行分析例2 对自行车运动员甲乙在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如甲 273830373531 乙33 29 38 34 2836试判断选谁参加某项重大比赛更合适.思路分析：可以从平均成绩及方差、标准差方面来考察样本数据的水平及稳定性. 解：他们的平均速度为：甲x =61（27+38+…+31）=33. 乙x =61(33+29+…+36)=33.他们的平均速度相同，再看他们的方差：s 甲2=61［(-6)2+52+（-3）2+42+22+(-2)2］=347. s 乙2=61［(-4)2+52+12+(-5)2+32］=337.则s 甲2＞s 乙2，即s 甲＞s 乙. 故乙的成绩比甲稳定. 所以选乙参加比赛更合适. 标准差、方差是反映数据波动程度的量,它们取值的大小,说明数据的离散程度.即样本数据对于平均数的平均波动幅度.例3 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图2-3-1：图2-3-1（1）求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差； （2）比较两名同学的成绩，谈谈你的看法.思路分析：首先由茎叶图读出数据，再利用科学计算器求出平均数、标准差，依据结果进行比较，并与茎叶图比较统计作用.解：（1）用科学计算器得甲x =87，s 甲=12.7，乙x =95，s 乙=9.7.（2）由甲x =87＜乙x =95，且s 甲=12.7＞s 乙=9.7，故甲的数学学习状况不如乙的数学学习状况.“从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是99；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是86.因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好.误区警示 通过以上实例分析，可以看出反映样本数据的基本特征量众数、中位数、平均数、标准差是从不同的方面或角度来“看待”样本数据的，对于不同的样本它们各有优、缺点.在实际问题中平均值使用频率较高，但它受极端值的影响较明显，故容易掩盖实际情况，此时常常用标准差来进一步刻画样本数据的离散程度，以便更准确地反映样本数据的真实情况，在实际生活中，也往往利用这个道理来比较水平的高低、质量好坏等.由于平均数和标准差更容易刻画样本数据的数字特征，所以对求解样本数据的平均数、标准差的运算必须熟练，必要时可使用计算器.例4 甲、乙两工人同时加工一种圆柱零件，在他们所加工的零件中各抽取10个进行直径检测，测得数据如下（单位：mm ）：甲：19.9，19.7，19.8，20.0，19.9，20.2，20.1，20.3，20.2，20.1； 乙：20.0，20.2，19.8，19.9，19.7，20.2，20.1，19.7，20.2，20.4. （1）分别计算上面两个样本的平均数和方差； （2）若零件规定直径为20.0±0.5（mm ），根据两个样本的平均数和方差，说明谁加工的零件的质量较稳定.思路分析：此题数据较大，但发现所有数据都在某个数值上下摆动，可利用s 2=nx n x x x n])[(222221'-'++'+' .推导如下：一般地，如果将一组数据x 1,x 2，…，x n 同时减去一个数a ， 得到x 1′=x 1-a,x 2′=x 2-a, …，x n ′=x n -a, 所以x =n 1(x 1+x 2+…+x n )=n1(x 1′+x 2′+…+x n ′+na)=x '+a. 得公式s 2=nx n x x x n ])[(222221'-'++'+' 可使计算简便.解：因为样本数据在20.0上下波动，故取a=20.0，列表如下 .甲x =0.02+20.0=20.02（mm ），乙x =0.02＋20.0=20.02（mm ），s 甲2=0.1×［0.34-10×0.022］=0.033 6（mm 2）， s 乙2=0.1×［0.52-10×0.022］=0.051 6（mm 2）. ∵s 甲2＜s 乙2，∴甲工人加工零件的质量比较稳定.巧解提示 比较两人加工零件的质量的稳定性，这里通过平均数比较不出来，需要使用方差来比较，方差越大说明波动性较大，质量越不稳定.一般地，方差和标准差通常用来反映一组数据的波动大小，在统计中，样本的方差和标准差通常用来估计总体数据的波动大小.当数据较大且数据都在某个数值上下摆动时可考虑利用s 2=nx n x x x n ])[(222221'-'++'+' .计算方差可减少数据运算量. 问题·探究交流讨论探究 问题估计总体的数字特征过程中,我们经常用到样本均值与样本标准差,这两个有什么差别吗? 探究过程：学生甲：我认为它们两个在表达式上就不同,假设经过随机抽样得到样本为x 1、x 2, …,x n , 则样本均值nx x x x n+++=21.样本标准差s=2s =nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- .学生乙：我看出来它们还有一些不同的地方,先来看下面的例子.(1)有两个学生A 和B,两个人两次连续考试的平均分都是60分,A 是40分和80分, B 是65分和55分.显然A 的成绩忽上忽下,而B 的成绩较稳定.(2)有两组学生(每组3人),一次数学考试成绩如下(单位：分)： 甲组3人得分分别为60 80 100 乙组3人得分分别为79 80 81显然,甲组学生和乙组学生的平均分都为80,但是这两组学生分数有很大的差异,甲组学生的成绩波动较大,相对于平均分数的差异很大,即分散程度(离中趋势)较大,而乙组学生的成绩波动较小,相对于平均分数的差异较小,即分散程度较小.因此,我们仅用平均值来描述这一组分数的特征是不够的,还要考虑一组分数相对于平均值的差异的大小.在考试研究中,均值反应了考生团体成绩集中的位置,根据以上分析,显然还需有一个刻画考生团体成绩离散程度的量,显然在刚才举的例子(1)中,B A x x =,但s A =2)6080()6040(22-+-=20,s B =2)6055()6065(22-+-=5.在(2)中,甲x =乙x ,甲组学生的s 甲=38003)80100()8080()8060(222=-+-+-. 乙组学生的s 乙=323)8081()8080()8079(222=-+-+-. 探究结论：明显地发现样本平均数能反映总体的水平，而标准差对于衡量分散程度很有用.。
高中数学必修三教案：2.3.2 方差与标准差(1)
2.3.2方差与标准差（1）教学目标：1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用，2．学会计算数据的方差、标准差；3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．教学重点：用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差．教学难点：理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125．提出问题：哪种钢筋的质量较好？二、学生活动由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差． 三、建构数学 1．方差：一般地，设一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，其平均数为－x ，则称－ 212)(1x x n s ni i -=∑=为这个样本的方差．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．2．标准差：21)(1-=-=∑x x n s ni i 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 3．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 四、数学运用例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为[（9.8－10）2 ＋（9.9－10）2＋（10.1－10）2＋（10－10）2＋（10.2－10）2]÷5＝0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[（9.4－10）2＋（10.3－10）2＋（10.8－10）2＋（9.7－10）2＋（9.8－10）2]÷5＝0.24因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．例2为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．分析用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命．解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)这些组中值的方差为1/100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.60(天2)．故所求的标准差约462128 （天）6.答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.巩固深化，反馈矫正：（1）课本第71页练习第2，4，5题；（2）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为；五、归纳整理，整体认识1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：（1）用样本平均数估计总体平均数．（2）用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．样本容量越大，估计就越精确．2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
统计学的方差和标准差
统计学的方差和标准差统计学中，方差和标准差是两个重要的概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
在实际应用中，我们经常会用到这两个指标来评估数据的分布情况。
接下来，我们将详细介绍方差和标准差的概念、计算方法以及它们在统计学中的应用。
方差是用来衡量数据离散程度的一个指标。
它的计算公式为，方差 = Σ(xi-μ)²/n，其中xi代表每个数据点，μ代表数据的均值，n代表数据的个数。
方差的计算过程是先求出每个数据点与均值的差值，然后对这些差值的平方求和，最后再除以数据的个数。
方差的值越大，代表数据的离散程度越大，反之则代表数据的离散程度越小。
标准差是方差的平方根，它也是用来衡量数据离散程度的指标。
标准差的计算公式为，标准差 = √方差。
标准差和方差一样，都是用来描述数据的离散程度，但是标准差的单位和原始数据的单位是一样的，而方差的单位是原始数据单位的平方。
在实际应用中，方差和标准差常常用来评估数据的分布情况。
例如，我们可以用标准差来衡量一组数据的离散程度，如果标准差较大，说明数据的波动较大，反之则说明数据的波动较小。
另外，方差和标准差还可以用来比较不同数据集之间的离散程度，从而帮助我们进行数据分析和预测。
在统计学中，方差和标准差也经常用来进行假设检验和方差分析。
在假设检验中，我们可以利用标准差来评估样本的离散程度，从而判断总体均值的差异是否显著。
而在方差分析中，我们可以利用方差来比较不同组之间的差异，从而进行多组数据的比较和分析。
总之，方差和标准差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们评估数据的离散程度，进行数据分析和预测，以及进行假设检验和方差分析。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的指标来评估数据的分布情况，从而更好地进行数据分析和决策。
2.3.2 离散型随机变量的方差
三、自学检测：6min P68练习1，2
1.直接用公式：E(X)=2
n
D(x) [xi E(X )]2 pi ＝1.2 i1
X DX 1.2 30
5
2.直接用公式：D（X）=[c-E(X)]2×1=0
方差 方差反映了X取值的稳定 与波动，集中与离散程度
(1) E ( a X b ) a E X b
计算 公式
(2)若X服从两点分 布，则 EX=p
(3)若X~B（n,p） 则EX= np
(1) D ( aX b ) a 2 D X
(2)若X服从两点分布， 则 DX=p(1-p)
(3)若X~B（n,p） 则 DX= np(1－p)
【综合应用】
某一大学毕业生参加某一公司的笔试,共有5个问题需
要解答,如该同学答对每个问题的概率均为 2 ,且每个
3
问题的解答互不影响.
(1)求该同学答对问题的个数ξ 的期望与方差.
(2)设答对一个题目得10分,否则扣1分,求该同学得分
η 的期望与方差.
【解题指南】 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验,答 对问题的个数ξ 服从二项分布,求η 的期望与方 差可通过ξ 与η 的线性关系间接求出.
探究点1 离散型随机变量的方差的概念
问题一：统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击
中目标靶的环数X1，X2的分布列分别如下：
X1 5
6
7
8
9
10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2 5
统计学中的方差与标准差计算
统计学中的方差与标准差计算方差和标准差是统计学中常用的两个概念，用来描述数据分布的离散程度。
在数据分析和推断中，方差和标准差的计算非常重要，能够帮助我们更好地理解数据的性质和变异程度。
本文将介绍方差和标准差的定义、计算方法以及其在统计学中的应用。
一、方差的定义和计算方法方差是用来度量数据的离散程度的统计指标，它描述了数据与其平均值之间的偏离程度。
方差的计算公式如下：方差= (∑(x - μ)²) / n其中，x代表数据点，μ代表数据的平均值，n代表数据的总个数。
方差计算的步骤如下：1. 计算数据的平均值：对给定的数据集，首先计算所有数据点的平均值。
2. 计算每个数据点与平均值的差值：将每个数据点与平均值的差值求出。
3. 计算差值的平方：对每个差值进行平方运算。
4. 对平方差值求和：将所有平方差值相加。
5. 求平均值：将平方差值的和除以数据的总个数，得到方差的值。
二、标准差的定义和计算方法标准差也是用来度量数据的离散程度的一种统计指标，它是方差的算术平方根。
标准差的计算公式如下：标准差= √方差标准差的计算步骤可以与方差的计算步骤相同，只是在最后一步计算方差的值时，需要对其进行平方根运算。
三、方差和标准差的应用方差和标准差作为度量数据离散程度的指标，在统计学和数据分析中有广泛的应用。
它们可以帮助我们判断数据分布的集中程度和波动程度，从而更好地了解数据的特征和规律。
1. 方差和标准差在描述数据分布方面的应用：通过计算方差和标准差，可以了解数据集中值与平均值之间的差距，从而得知数据集的离散程度。
方差和标准差越大，表示数据离散程度越高；方差和标准差越小，表示数据离散程度越低。
2. 方差和标准差在比较数据集方面的应用：方差和标准差也可以用于比较两个或多个数据集之间的离散程度。
通过计算不同数据集的方差和标准差，可以得出它们之间的差异和变异程度大小。
3. 方差和标准差在异常值检测方面的应用：通过计算方差和标准差，可以发现数据集中的异常值。
统计学中的标准差与方差的概念与计算方法
统计学中的标准差与方差的概念与计算方法统计学是研究数据收集、分析和解释的科学领域。
在统计学中，标准差和方差是两个重要的概念，用于描述和量化数据的离散程度。
本文将介绍标准差和方差的概念，并讨论它们的计算方法。
一、标准差的概念与计算方法标准差是一种衡量数据变异性的度量。
它告诉我们数据分布的广度，即数据点在平均值周围的分散程度。
标准差可以用于比较不同数据集之间的差异，或者在同一数据集中不同变量之间的差异。
标准差的计算方法如下：1. 首先，计算数据集的平均值（记为mean）。
2. 接下来，计算每个数据点与平均值的差异，即每个数据点减去平均值。
3. 然后，将每个差异平方，得到平方差。
4. 对平方差求和，并除以数据点的个数。
5. 最后，将所得结果开方，即得到标准差。
标准差的计算公式如下：σ = √(Σ(xᵢ - mean)² / n)其中，σ表示标准差，xᵢ表示第i个数据点，mean表示平均值，n表示数据点的个数。
二、方差的概念与计算方法方差也是一种用于衡量数据的离散程度的统计量。
方差描述了数据点与平均值之间的差异，它是标准差的平方。
方差的大小反映了数据的波动性。
方差的计算方法如下：1. 首先，计算数据集的平均值（记为mean）。
2. 接下来，计算每个数据点与平均值的差异，即每个数据点减去平均值。
3. 然后，将每个差异平方，得到平方差。
4. 对平方差求和，并除以数据点的个数。
方差的计算公式如下：σ² = Σ(xᵢ - mean)² / n其中，σ²表示方差，xᵢ表示第i个数据点，mean表示平均值，n表示数据点的个数。
三、标准差和方差的应用标准差和方差在统计学中有广泛的应用。
它们可以帮助我们理解数据的分布和变异程度，从而进行更深入的数据分析和决策。
1. 标准差的应用：标准差可以用于测量数据集内部的差异程度。
在自然科学、社会科学和经济学等领域中，标准差常用于衡量数据的不确定性。
高中数学2.3.2方差与标准差
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)s 甲
2
1 ＝ [(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22 10
－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2] 1 1 ＝ ×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝ 10 10 ×1 042＝104.2(cm2)， s
2.3.2 方差与标准差
【课标要求】 1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用，学会计 算数据的方差与标准差； 2．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中 提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释；
3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；
4．形成对数据处理过程进行初步评价的意识． 【核心扫描】
掉前的使用天数如下表：
天数 151～180 181～210 211～240 241～270 1 11 18 20 灯管数
天数 271～300 301～330 331～360 361～390 25 16 7 2 灯管数
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？ 审题指导 本题考查用各组中值估计总体的平均数及标准差 的统计方法．
长度及标准差．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解 各组中值分别为 45,85,125,165,205,245,285,325,365， 那么 1 平均数为 (45×10＋85×2＋125×4＋165×3＋205×3＋245×7 60 ＋285×8＋325×10＋365×13)＝237(mm)． 将组中值对于此平均数求方差： 1 s ＝ [10×(45－237)2 ＋2×(85－237)2 ＋4×(125－237)2 ＋ 60
统计学方差与标准差公式整理
统计学方差与标准差公式整理统计学方差和标准差是在数据分析中广泛使用的重要指标，用于度量数据集的离散程度。
本文将整理和介绍统计学方差和标准差的计算公式，并通过实例进行说明。
1. 方差公式方差是衡量数据集离散程度的指标，用于表示数据与其平均值之间的差异程度。
统计学方差的计算公式如下：方差= (∑(xi-平均值)²) / n其中，xi代表数据集中的每个数据点，平均值表示数据集的平均值，n代表数据集中的数据点个数。
下面通过一个实例来计算方差：假设有一组数据：[5, 7, 9, 11, 13]，我们先计算平均值：平均值 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13) / 5 = 9接下来，带入方差公式进行计算：方差 = ((5-9)² + (7-9)² + (9-9)² + (11-9)² + (13-9)²) / 5= (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5= 40 / 5= 8因此，该数据集的方差为8。
2. 标准差公式标准差是方差的平方根，用于度量数据集的离散程度。
统计学标准差的计算公式如下：标准差= √方差继续以上述数据集为例，计算标准差：标准差= √8 ≈ 2.83因此，该数据集的标准差为约2.83。
3. 方差与标准差的应用方差和标准差在实际应用中有广泛的用途。
它们可以用于：3.1 确定数据集的离散程度：方差和标准差能够帮助我们判断数据集中的数据点与平均值之间的差异程度，从而了解数据的离散程度。
3.2 对比不同数据集的离散程度：通过对比不同数据集的方差和标准差，我们可以判断不同数据集的离散程度，进而进行数据分析和决策。
3.3 进行假设检验：在统计推断中，方差和标准差可以用于进行假设检验，判断样本数据是否具有统计学上的显著性。
3.4 风险管理：在金融领域，方差和标准差被广泛应用于风险管理，用于衡量投资组合的风险水平。
总结：本文介绍了统计学方差和标准差的计算公式，并通过实例进行了说明。
方差和标准差的区别
方差和标准差的区别方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
在实际应用中，很多人容易混淆这两个概念，甚至将它们视为同一概念。
然而，方差和标准差之间存在着一些重要的区别。
本文将从定义、计算方法、意义和应用等方面来详细阐述方差和标准差的区别。
首先，方差是衡量数据离散程度的一种统计量，它是各个数据与其平均值之差的平方的平均值。
方差的计算公式为，方差=Σ（Xi-X̄）^2/n，其中Xi为每个数据点，X̄为数据的平均值，n为数据的个数。
而标准差则是方差的平方根，它的计算公式为，标准差=√方差。
可以看出，标准差是方差的开平方，它们之间存在着数学上的直接关系。
其次，方差和标准差在解释数据的离散程度时有一些不同。
方差的数值是原始数据单位的平方，而标准差的数值是和原始数据具有相同单位。
这也就意味着，方差的数值相对于原始数据来说更大，因为它是原始数据的平方。
而标准差的数值则更贴近于原始数据，更容易被人理解。
另外，方差和标准差在实际应用中也有一些不同。
在某些情况下，方差可能会受到极端值的影响，因为方差的计算中包含了数据与平均值的差的平方。
而标准差则相对稳健一些，因为它是方差的平方根，对极端值的影响相对较小。
因此，在一些对离群值比较敏感的情况下，更适合使用标准差来衡量数据的离散程度。
总的来说，方差和标准差都是衡量数据的离散程度的重要统计量，但它们之间存在着一些重要的区别。
方差是数据的平方量，受极端值的影响较大，而标准差则是方差的平方根，相对更稳健。
在实际应用中，应根据具体情况选择合适的统计量来描述数据的离散程度。
综上所述，方差和标准差虽然在计算方法和意义上有一些相似之处，但在数学性质、解释数据的离散程度和实际应用中存在着一些重要的区别。
正确理解和使用这两个概念，有助于更准确地描述和分析数据的离散程度，为统计分析提供更可靠的依据。
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例1：甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量 如下（单位：t/hm2 ），试根据这组数据估计哪一种水稻品种 的产量比较稳定．
品种 甲 乙
第一年 9．8 9．4
第二年 9．9 10．3
第三年 10．1 10．8
第四年 10
9．7
第五年 10．2 9．8
解：x 甲 1 （ 9 .8 9 .9 1.1 0 1 0 1.2 0 ) 10
统计2.3.2方差与标准差
一、极差
引例：有甲乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本 检查它们的抗拉强度，如下表：
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
哪种钢筋的质量较好？比较稳定？
105 110 115 120 125 130 135 140
100 105 110 115 120 125 130 135 140 145
统计2.3.2方差与标准差
甲 乙
105 110 115 120 125 130 135 140
甲
100 105 110 115 120 125 130 135 140 145
方 1 n [ 差 x 1 ( ， x ， )2 (x 2 ， x ， )2 . .(x .n ， x ， )2 ] S 2
1 nx1 2x2 2xn 2n(x)2
统计2.3.2方差与标准差
三、方差的运算性质：
如果数据 x1,x2,,xn 的平均数为 x ，
方差为 s 2 ，则
（1）新数据 x1b,x2b,,xnb的平均数为
x13,x23,,xn3的方_差 4__为 _
(2)若x1,x2,,xn的方差 2，为 那么 这组数据4均 后乘 的以 方_差 3_2_为 _
情况．这个结果通常称为方差（variance）．
方差的计算式就是
S 2 n 1 [x ( 1 x )2 (x 2 x )2 .. ( .x n x )2 ]
其中 S 2表示一组数据的方差， 表示一组数 据的平均数，x1、x2、… xn表示各个数x 据．
统计2.3.2方差与标准差
二、方差 方差越小，数据的波动越小。
这些组中值的方差为
s 2 1 [ 1 ( 1 2 6 ) 2 6 5 1 ( 1 8 1 2 9 ) 2 6 5 2 ( 8 3 2 7 ) 2 ] 6 5 28 . 6 1 ( 天 2 ） 0 2 100
s s2 21.2 68 0 4(6天）
答：略
统计2.3.2方差与标准差
思考：某一农家养了五头猪，质量分别为：
315，317，308，310，295；则方差是（ ）
A.1445
B.309
C.8.63
D.59.6
注： 方差的另外一种形式
(2)若 x1 ， x2， ..x.n的 , 方 S2;差 x1 x1为 a,x2 x2a,, xn xna；证 x1 ,x明 2 ,..xn ： 的 ., 方S差 2；也
乙
说明甲比乙稳定
思 考 ： 什么样的指标可以反映一组数据 变化范围的大小？
一组数据的最大值与最小值的差称为极差； 极差越大，数据越分散，极差越小，数据 越集中．
极差＝最大值－最小值 统计2.3.2方差与标准差
引例2：甲、乙两名战士在相同的条件下各射靶10次， 每次命中环数如下： 甲：8、6、7、8、6、5、9、10、4、7； 乙：6、7、7、8、6、7、8、7、9、5； 根据上面数据分析两名战士的射击情况;
5
s 甲 2 [9 .8 ( 1 ) 2 0 ( 9 .9 1 ) 2 0 ( 1 .1 0 1 ) 2 0 ( 1 1 0 ) 2 0 ( 1 .2 0 1 ) 2 ] 0 5 0 .02
x 乙 1 （ 9 .4 1.3 0 1.8 0 9 .7 9 .8 ) 10 5
x b ；方差为 s 2
（2）新数据 ax1,ax2,,axn；平均数为 a x
方差为 a 2 s 2 （3）新数据 a x 1 b ,a x2 b ,,a xn b
的平均数为 a x b 方差为 a 2 s 2
统计2.3.2方差与标准差
四、课堂练习
(1)若 x1,x2,,xn的方4差 ，为 那么
天数 灯泡数
151～ 180
1
181～ 210
11
211～ 240
18
241～ 270
20
271～ 300
25
301～ 330
16
331～ 360
7
361～ 390
2
解：各组组中值依次为165，195，225，255，285，315，345， 375，由此算得平均数为
1 6 1 o o 5 1 9 1o 5 1 o 2 2 1o 5 8 o 2 5 2o 5 0 o 28 2 5 o 5 o 5 3 1 1o 5 6 o 3 4 7 o 5 o 3 7 2 o 5 o 2.9 6 2 768
解得 x甲7， x乙7
乙
甲
9887777665 0 456677889
10
统计2.3.2方差与标准差
如果一组数据与其平均值的离散程度较小， 我们就说它比较稳定．
思 考 :什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散 程度？
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最 后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的
一般地，
设则一称 组1 n x 样x 本1 2数据x s2 2 2 x 1n1 , in1x x (n 2 x2 i ,n x，( )x 2其),2 平x均n数为
,
为这个样本的方差，
其算术平方根
s
1 n
n i1
(xi
x)2
为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差。
统计2.3.2方差与标准差
s 乙 2 [9 .4 ( 1 ) 2 0 ( 1 .3 0 1 ) 2 0 ( 1 .8 0 1 ) 2 0 ( 9 .7 1 ) 2 0 ( 9 .8 1 ) 2 ] 0 5 0 .24
因为x甲x乙，所以统甲 计2.3水 .2方差稻 与标准的 差 较 产稳 量定 比。
例2：为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后 必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天 数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．