分式不等式地解法讲义
讲义-第二章《方程与不等式》
第二章 方程与不等式★2.1一元二次方程1. 定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
2. 整式 单项式：数或字母的乘积，如4，a ，4a ，23aa 2 多项式 :若干个单项式的和或差 如4a+2c ，a-5b分式：形如aa 的式子，且A ，B 为整式，B 中有字母。
√且√下含有字母的式子3. 解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的常用方法：（1）配方法：二次项系数化为1⇨移向（把常数项移到方程右边）⇨配方（方程的两边各加上一次项系数一半的平方），把方程化成（x+m ）2=n 的形式⇨用直接开平方的方法求解。
（2）求根公式法：a =−a ±√a 2−4aa2a注意条件△=b 2-4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根，△=b 2-4ac=0时，方程有2个相等的实数根，△=b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。
（3）因式分解法或直接开平方法：适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。
如：x 2=9x ，4 x 2=5等4. 注意：一元二次方程的实数根或者有2个，或者没有。
例如x 2=2x ，不能把x 约去，否则会丢根。
★2.2不等式1. (复习)任意两个实数a,b 具有的基本性质：a-b ＞0⇔a ＞b a-b ＜0⇔a ＜b a-b=0⇔a=b2. 比较两个实数或代数式的大小的方法：通常用做差比较法。
方法是：把要比较的两个实数（或代数式）做差，然后进行化简，或配方，或因式分解，直到能判断实数或代数式的符号为止，最后根据结果的符号来判断大小。
3.不等式的基本性质：（1）a ＞b ⇔a+c ＞b+c （或a-c ＞b-c ） 不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
（2）a ＞b ，c ＞0⇔ac ＞bc （或a a ＞a a） 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
（3）a ＞b ，c ＜0⇔ac ＜bc （或a a ＜a a ） 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)等式性质与不等式性质(解析版)
第06讲等式性质与不等式性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养；2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养；3．运用不等式的性质解决有关问题．知识点1不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言><≥≤3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．知识点2等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性a b b a=⇔=可逆2传递性,a b b c a c==⇒=同向3可加、减性a b a c b c =⇔±=±可逆4可乘性a b ac bc=⇒=同向5可除性,0a b a b c c c=≠⇒=同向知识点3不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a 可逆2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 同向3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6正数同向可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7正数乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点4比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．考点一：用不等式（组）表示不等式关系例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（）A ．54100x y +<B ．54100x y +≥C ．54100x y +>D ．54100x y +≤【答案】B【解析】由已知可得，3024600x y +≥，所以有54100x y +≥.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km ，其中靠近灭火前线5km 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h ，设需摩托车运送的路段平均速度为km h x ，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x 应该满足的不等式为（）．A ．40160x>+B ．40160x<+C ．355160x+>D ．355160x+<【答案】D【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即355160x+<，故选：D ．【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ，且体积不超过372000cm ，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a ，b ，c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（）A ．130a b c ++<且72000abc <B ．130a b c ++>且72000abc >C ．130a b c ++≤且72000abc ≤D ．130a b c ++≥且72000abc ≥【答案】C【解析】由长、宽、高之和不超过130cm 得130a b c ++≤，由体积不超过372000cm 得72000abc ≤.故选：C.【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为()5m x -.因为两段绳子长度之差不小于1m ，所以()5105x x x ⎧--≥⎪⎨<<⎪⎩，化简得：25105x x ⎧-≥⎨<<⎩.故选：D考点二：比较实数（代数式）的大小例2.（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤()a b ≠，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为1m ，2m ，则1m 与2m 的大小关系为（）A ．12m m =B ．12m m >C ．12m m <D ．无法确定【答案】C【解析】由题意可得，0a >，0b >，a b ¹，12021010abm a b a b==++，288162a b a bm ++==，()()221224()()0222ab a b ab a b a b m m a b a b a b +-+---=-==<+++ ，12m m ∴<．故选：C ．【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a ，b ，m 都是正数，且a b <，记,a m ax y b m b+==+，则（）A ．x y>B ．x y=C ．x y < D ．x 与y 的大小与m 的取值有关【答案】A【解析】由0,0,0a b m >>>，且a b <，即0b a ->，可得()()0m b a a m a b m b x b b m y --=+-=>++，即x y >，故选：A.【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小【答案】2222a b a ba b a b-->++【解析】00,0a b a b a b >>⇒+>-> ，()()2222220,0a b a b a b a b a b a b a b+---∴=>>+++，222222222()211a b a b ab a b a b a b a b a b-++∴==+>-+++，2222a b a ba b a b--∴>++.【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知0a >，0b >a b =时取等号）=()()3322x y x y x xy y +=+-+，可得分子)33a b =+=，a b+==进一步对其分子利用基本不等式可得a b+≥=，且等号成立当且仅当a b =，1≥，a b =时取等号）.考点三：利用不等式的性质判断命题真假例3.（23-24高一上·河北石家庄·月考）若||||a b >，则下列不等式成立的是（）A ．0a b ->B ．11a b<C ．a b>D ．22a b >【答案】D【解析】因为||||a b >，所以22a b >，D 正确；当2,1a b =-=时，满足||||a b >，但是a b <，A,C 不正确；当2,1a b =-=-时，满足||||a b >，但是11a b>，B 不正确；故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a b c c >，则a b >C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若0b a >>，则a c ab c b+>+【答案】B【解析】对于A ：当0c =时，2c =0，若a b >，则220ac bc ==，故A 错误；对于B ：因为22a b c c>，所以20c ≠，即20c >，所以a b >，故B 正确；对于C ：当1a =，0b =，1=-，2d =-时，满足a b >，c d >，但是ac bd <，故C 错误；对于D ：当0c =时，a c ab c b+=+，故D 错误.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（）A ．若a b >，则ac bc <B ．若a b >，则11a b<C ．若a b >，则22a b >D ．若22ac bc >，则a b>【答案】AB【解析】取2,2,1a b c ==-=可得，a b >，但22ac bc =>-=，A 错误；取2,2a b ==-可得，a b >，但111122a b=>-=，B 错误；因为a b >，又0b ≥，所以22a b >，故22a b >，C 正确；由22ac bc >，可得20c >，所以a b >，D 正确；故选：AB.【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若0a b >>，0c <，则下列不等关系正确的是（）A ．a c b c +>+B ．22a bc c >C ．ac bc>D ．11a b b a+>+【答案】ABD【解析】对A,0a b >>，0c <，由不等式性质易知a c b c +>+，故A 正确；对B,0a b >>，0c <,则22210,a bc c c >∴>，故B 正确；对C,0a b >>，0c <，由不等式性质易知ac bc <，故C 错误；对D,若0a b >>，则()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab ,故D 正确.故选：ABD.考点四：利用不等式的性质求范围例4.（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知23a <<，21b -<<-，则2a b -的取值范围是（）A ．[]6,7B ．()2,5C ．[]4,7D ．()5,8【答案】D【解析】由题意可知426a <<，12b <-<，所以528<-<a b ，故选：D【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知3b a b <<-，则ab的取值范围为（）A ．03a b<<B ．03a b≤<C ．3a b >D ．13a b<<【答案】B【解析】因为3b a b <<-，所以0b <，则有10b<，将不等式3b a b <<-的两边同时乘1b ，可得31a b-<<，所以03a b ≤<.故选：B ．【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（）A ．{}410x x -<<B ．{}36x x -<<C ．{}214x x -<<D ．{}210x x -≤≤【答案】D【解析】由12a b -≤-≤，14a b ≤+≤，得()()06a b a b ≤-++≤，即026a ≤≤，()224a b -≤-≤，所以()22210a b a -≤-+≤，即24210a b -≤-≤，故选：D【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2236x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，则113z x y =+的取值范围是（）A ．58933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．5|273z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．8933z z ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}327z z ≤≤【答案】D【解析】设)231156(3)(x y x x y n y m +=-++，则25)(113(36)x y m n y m n x +++=-，所以2511363m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，于是1133(56)23)(x y y x x y +++=-又63(23)18x y ≤+≤，3569x y -≤-≤，所以33(56)2723)(x y x y ++≤-≤，即311327x y ≤+≤.故{}327z z ≤≤．故选：D ．考点五：利用不等式的性质证明不等式例5.（23-24高一上·河北保定·月考）设,,a b c ∈R ，0a b c ++=，1abc =.(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)若a b >，证明33a b >.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明:∵()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，∴()22212ab bc ca a b c ++=-++.a ，b ，c 不同时为0，则2220a b c ++>，∴()222102ab bc ca a b c ++=-++<；（2）()()3322a b a b a ab b -=-++.∵222213024a ab b a b b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为0a b ==，而a b >，∴等号无法取得，即222213024a b a ab b ⎛⎫=++> ⎪⎝+⎭+，又a b >，∴()()33220a b a b a ab b -=-++>，∴33a b >.【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知a b c d >>>，求证：11a db c<--；(2)已知0,0,0a b c d e >><<<，求证：e e a c b d>--.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）a b c d >>>Q ，即,a b d c >->-，0a d b c ∴->->，则11a db c<--.（2）0,0,0a b c d e >><<< ，0c d ∴->->，0,0,0a c b d b a c d ∴->->-<-<，则()()()()()()()()()()0e b d e a c e b d a c e b a c d e ea cb d ac bd a c b d a c b d -----+-+--===>--------，.e ea cb d∴>--【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知0b a >>，证明：2a a b b a<+；（2）若a ，b ，c 为三角形的三边长，则2a b c b c a c a b++<+++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()()22a b a ab a a b a ab b a b b a b b a +---==+++，由0b a >>，得0a b -<，而0b >，0b a +>，0a >，则()()0a a b b b a -<+，所以2a ab b a<+．（2）,,a b c 为ABC 的三边长，则有0a b c +>>，0a c b +>>，0b c a +>>，由（1）知：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以2c a b a b b c c a++<+++．【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式：(1)若0,0a b >>，求证：22a b a b b a++≥；(2)若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：()()22eea cb d >--．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明：因为()()()2223322a b a b a b a b a b ab a b b a ab ab +-⎛⎫+--+-+== ⎪⎝⎭，又因为0,0a b >>，所以()()20a b a b ab+-≥，所以22a b a b b a++≥．（2）证明：由()()()()()()222222e b d a c eea cb d ac bd ⎡⎤---⎣⎦-=----()()()()()()22e a b c d b a c d a c b d ⎡⎤⎡⎤+-+-+-⎣⎦⎣⎦=--，因为0a b >>，0c d <<，所以0a b +>，0c d +<，0b a -<，0c d -<，所以()()0a b c d +-+>，()()0b a c d -+-<．因为0e <，所以()()()()0e a b c d b a c d ⎡⎤⎡⎤+-+-+->⎣⎦⎣⎦又因为()()220a c b d -->，所以()()220eea cb d ->--，即()()22eea cb d >--．考点六：不等式性质的实际应用例6.（23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A ，B 两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A 型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B 型货箱，据此安排A ，B 两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（）A ．A 货箱28节，B 货箱22节B ．A 货箱29节，B 货箱21节C ．A 货箱31节，B 货箱19节D ．A 货箱30节，B 货箱20节【答案】C【解析】设A 、B 货箱分别有x ，y 节，则503525153015351150x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，A ：共50节且352825221530⨯+⨯=，1528352211901150⨯+⨯=>，满足；B ：共50节且3529252115401530⨯+⨯=>，1529352111701150⨯+⨯=>，满足；C ：共50节且3531251915601530⨯+⨯=>，1531351911301150⨯+⨯=<，不满足；D ：共50节且3530252015501530⨯+⨯=>，153035201150⨯+⨯=，满足；故选：C.【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h ；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h ；生产每袋需用原料20kg ，年底库存原料600t ，明年可补充1200t ；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长13．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（）A ．70000到75000袋之间B ．70000到80000袋之间C ．80000到85000袋之间D ．80000到90000袋之间【答案】D【解析】设明年的产量为x 袋，则()420021001600001360012001000x x x ⎧≤⨯⎪⎪⎛⎫≥+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤+⨯⎩，所以8000090000x ＃，故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间，故选：D.【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（）A ．18B ．20C ．22D ．28【答案】C【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为,,,x y z t ，且,,,N x y z t *∈，于是1,12,123y x z y x t z y x ≥+≥+≥+≥+≥+≥+，则46x y z t x +++≥+，又23x t x >≥+，解得3x >，因此min 4x =，此时22x y z t +++≥，所以当4,5,6,7x y z t ====时，min ()22x y z t +++=，即该钉钉群人数的最小值为22.故选：C【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：(2)利用（1）中的结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b c b c a c a b++<+++.【答案】(1)a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>，证明见解析；(2)证明见解析；【解析】（1）糖水变甜了得出不等式a a mb b m+<+，(0,0)b a m >>>.证明：()()()a a m a b m b a m bb m b b m ++-+-==++()()()ab am ba bm m a b b b m b b m +---=++.0,0,0b a a b b >>∴-<> .0,0m b m >∴+> ，()0()m a b b b m -∴<+，a a m b b m+∴<+.（2）设ABC 的三边长分别为,,a b c ，则有,,a b c a c b b c a +>+>+>，由（1）已证不等式可得：c c c a b a b c +<+++，a a a b c a b c +<+++，b b ba c ab c+<+++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以，2c a b a b b c c a+++++.一、单选题1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41500.5x⨯<B ．41500.5x⨯≥C ．41500.5x⨯≤D ．41500.5x⨯>【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41500.5x ⨯≥.故选：B.2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设2254M a a =++，(1)(3)N a a =++，则M 与N 的大小关系为（）A ．M N >B ．M N =C ．M N <D ．无法确定【答案】A【解析】因为()()()222132********M N a a a a a a a ⎛⎫-=++-++=++=++> ⎪⎝⎭，所以M N >.故选：A.3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知,,R,a b c a b ∈>，则下列一定成立的是（）A ．11a b <B ．2ab b >C ．b c ba c a+>+D ．()()2211a cbc +>+【答案】D【解析】对于A ，当1,2a b ==-，则11a b>，故A 不正确；对于B ，当0b =时，由a b >可得20ab b ==，故B 不正确；对于C ，当2,1,0a b c ===时，b c ba c a+=+，故C 不正确；对于D ，因为210c +>恒成立，所以由a b >可得()()2211a c b c +>+，故D 正确.故选：D.4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a ，b ，则下列选项中正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11a b<【答案】C【解析】对于A 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故A 错误；对于B 选项，1,a b ==-，满足a b >，此时221,1a b ==，不满足22a b >，故B 错误；对于C 选项，0a b >≥，所以222a b b >=，故C 正确；对于D 选项，1,1a b ==-，满足a b >，此时,1111a b==-，不满足11a b <，故D 错误，故选：C.5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知15,31a b -<<-<<，则以下错误的是（）A ．155ab -<<B ．46a b -<+<C ．28a b -<-<D ．553ab-<<【答案】D【解析】因为1,153a b -<<-<<，所以13b -<-<，对于A ，1515330a ab b -<<⎧⇒-<<⎨-<<⎩，1500a ab b -<<⎧⇒=⎨=⎩,151501a ab b -<<⎧⇒-<<⎨<<⎩,综上可得155ab -<<，故A 正确；对于B ，314156a b --=-<+<+=，故B 正确；对于C ，112358a b --=-<-<+=，故C 正确；对于D ，当14,2a b ==时，8ab=，故D 错误；故选：D.6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A ．2328x y ≤-≤B ．3328x y ≤-≤C ．2327x y ≤-≤D ．53210x y ≤-≤【答案】A【解析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即可得()()153222x y x y x y -=++-，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以2≤()()153222x y x y x y -=++-8≤，故选：A ．二、多选题7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数a ，b ，c 满足()0a b b >≠且0a >，0c >，则下列不等式正确的是（）A ．11a b <B ．ac bc-<-C ．b c ba c a+>+D ．22222b a a b+>【答案】BC【解析】对于A ，若1,1a b ==-，则1111a b=>=-，所以A 错误，对于B ，因为a b >，所以a b -<-，因为0c >，所以ac bc -<-，所以B 正确，对于C ，因为a b >，0a >，0c >，所以()0c a b ->，()0a a c +>，所以()()()0()()b c b a b c b a c c a b a c a a a c a a c ++-+--==>+++，所以b c ba c a+>+，所以C 正确，对于D ，若1,1a b ==-，则2222112b aa b+=+=，所以D 错误，故选：BC8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（）A ．若0,a b c >>∈R ，则22c c a b<B ．若0,a b c >>∈R ，则22ac bc >C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则22a a b b+<+【答案】AC【解析】对于A ，由0a b>>，20c>，知110a b <<，得22c ca b<，故A 正确；对于B ，当0c =时，故B 错误；对于C ，当0a b <<时，由()20a ab a a b -=->，得2a ab >，又()20ab b b a b -=->，则2ab b >，故有22a ab b >>，故C 正确；对于D ，当2a =-，1b =-时，22a a b b +>+，D 中不等式不一定成立，故D 错误．故选：AC.三、填空题9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知x ∈R ，则23x +2x .（填“<”，“>”，或“=”）【答案】>【解析】()2232120x x x +-=-+>，故232x x +>.故答案为：>.10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a ，b ，c 为实数，能说明“若a b c >>，则2a bc >”为假命题的一组a ，b ，c 的值是.【答案】1a =，1b =-，2c =-(答案不唯一)【解析】当1,1,2a b c ==-=-时，21a =，2bc =，此时满足a b c >>，但是2a bc <.故答案为：1,1,2a b c ==-=-(答案不唯一).11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米．【答案】90【解析】设改造前的窗户面积为x ，窗户增加的面积为y ，0,0x y >>，依题意1801802x x y y+≤+，即1802180180,2180,90x xy x y xy y x +≤+≤≤，所以改造前的窗户面积最大为90平方米.故答案为：90四、解答题12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知R a ∈，设()21M a a =+，()()21N a a =+-，比较M 与N 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c>--.【答案】（1）M N >；（2）证明见解析.【解析】（1）()()()221721212()024M a a a a N a a a ++-=++==+--+>，则M N >；（2）因为a b c >>，且0a b c ++=，则0,0a c ><，则0a c b c ->->，则()()0a c b c -->，则10()()a cbc >--，则11()()0()()()()a cbc a c b c a c b c ⋅->⋅->----，则110b c a c >>--，又0c <则c c a c b c>--.命题得证.13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++.（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克1p 元，红糖每千克2p 元()12p p ≠.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格=物品的总价钱÷物品的总质量）【答案】（1）(),0,0a a mb a m b b m+<>>>+；证明见解析；（2）小东买到的糖的平均价格较高，证明见解析；【解析】（1）糖水变甜了得出不等式(),0,0a a m b a m b b m+<>>>+设ABC 的三边长分别为,,a b c ，则有,,a b c a c b b c a +>+>+>，由上述不等式可得：,,c c c a a a b b ba b a b c b c a b c a c a b c+++<<<+++++++++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b b a b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以：2c a b a b b c c a++<+++.（2）对于小东而言，他买到的糖的平均价格为122p p +（元/千克），对于小华而言，设小华买两种糖的费用均为c 元，则他买到的糖的总质量为12c c p p +千克，故小华买到的糖的平均价格为12121222p p cc cp p p p =++（元/千克），()()212121212122022p p p p p p p p p p -+-=>++，即小东买到的糖的平均价格较高.。
高中不等式知识点总结（最新最全）
高中不等式知识点总结（最新最全）不等式的定义a^2+b^2≥2ab，通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(<，>，≥，≤，≠)连接的式子叫做不等式。
1.不等式的解法（1）同解不等式（(1)与同解；（2）与同解，与同解；（3）与同解）；2．一元一次不等式情况分别解之。
3．一元二次不等式或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。
4．分式不等式分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。
5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|0)，|x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)。
一般地有：|f(x)|g(x)f(x)>g(x)或f(x)6．指数不等式；；8．线性规划（1）平面区域一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。
我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。
当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。
说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。
特别地，当时，通常把原点作为此特殊点。
（2）有关概念引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值。
由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。
由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大。
专题18 不等式(二)
精锐教育学科教师辅导讲义2．分式不等式的解法 先通分化为一边为f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．注意A B >0⇔A ·B >0；A B <0⇔A ·B <0；AB≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ·B ≥0B ≠0；A B≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ·B ≤0B ≠0.如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．3．高次不等式的解法只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．如(x －1)(x ＋1)2(x ＋2)3>0穿根时，－2点穿过，－1点返回，故解为x <－2或x >1.4．含绝对值不等式的解法一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论，二是平方法．（三）基础自测1．(2010·江西理)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x的解集是( )A ．(0,2)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) [答案] A⎪⎪⎪⎪⎪⎪x >x得x <0不等式x ＋2<0|3－x <0}－2或－2<－2}|3－x <0}－2}－2}解本题时，容易将不等式<0，∴－<－2<则⎩⎪⎨⎪⎧f f f，∴－2<k <－1或3<k <4.6．关于x 的不等式axx －1＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则实数a ＝____________. [答案] 12[解析] 原不等式可化为a －x ＋1x －1＜0.∵解集为{x |x ＜1或x ＞2}， ∴a －1＜0且－1a －1＝2. ∴a ＝12.7．解不等式－1<x 2＋2x －1≤2.[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≤2x 2＋2x －1>－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3≤0x 2＋2x >0①②解①(x ＋3)(x －1)≤0，∴－3≤x ≤1， 解②x (x ＋2)>0，∴x <－2或x >0， ∴－3≤x <－2或0<x ≤1，∴原不等式的解集为{x |－3≤x <－2或0<x ≤1}．（四）典型例题1.命题方向：一元二次不等式的解法 [例1] (文)解下列不等式(1)－x 2＋2x －23＞0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.[分析] 结合相应的二次方程的根，一元二次函数的图像可求得解集．[解析] (1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2＜0，∵3＞0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∴原不等式的解集是{x |1－33＜x ＜1＋33}． (2)方法一：∵不等式9x 2－6x ＋1≥0，其相应方程9x 2－6x ＋1＝0， Δ＝(－6)2－4×9＝0， ∴上述方程有两相等实根x ＝13.结合二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图像知，原不等式的解集为R. 方法二：9x 2－6x ＋1≥0⇔(3x －1)2≥0，①当0<a <1时，两根的大小顺序为2<2a，所以原不等式的解集为{x |x >2a或x <2}．②当a ＝1时，2＝2a所以原不等式的解集为{x |x ≠2且x ∈R }．③当a >1时，两根的大小顺序为2>2a 解集为{x |x >2或x <2a}综上所述，不等式的解集为： a ＝0时，{x |x <2} a ＝1时，{x |x ≠2}a <0时，{x |2a<x <2}0<a <1时，{x |x >2a或x <2}．a >1时，{x |x >2或x <2a}.3.命题方向：分时不等式与高次不等式[例3] (1)解关于x 的不等式ax ＋2x ＋1≥2(a ∈R)．(2)解不等式：2x 2－5x －1x 2－3x ＋2＞1.[解析] (1)原不等式可化为a －xx ＋1≥0.①当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ②当a >2时，原不等式的解集为{x |x ≥0或x <－1}． ③当a <2时，原不等式的解集为{x |－1<x ≤0}．(2)原不等式等价变形为x 2－2x －3x 2－3x ＋2>0，等价变形为(x 2－2x －3)(x 2－3x ＋2)>0， 即(x ＋1)(x －1)(x －2)(x －3)>0.由穿根法可得所求不等式解集为{x |x <－1或1<x <2或x >3}．跟踪练习3：已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a ，b 为常数)且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜k ＋x －k2－x.[分析] 本题主要考查求函数的解析式及含参分式不等式的解法，f (x )－x ＋12＝0为一元二次方程，可以利用根与系数的关系求出函数f (x )的解析式，这是问题的突破口．[解析] (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.所以f (x )＝x 22－x (x ≠2)．(2)不等式即为x 22－x ＜k ＋x －k2－x，可化为x 2－k ＋x ＋k2－x＜0，即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.①当1＜k ＜2，解集为x ∈(1，k )∪(2，＋∞)；②当k ＝2时，不等式为(x －2)2(x －1)＞0，解集为x ∈(1,2)∪(2，＋∞)； ③当k ＞2时，解集为x ∈(1,2)∪(k ，＋∞)．4.命题方向：恒成立问题[例4] (2011·青岛模拟)函数f (x )＝x 2＋ax ＋3. (1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．[分析] (1)f (x )≥a 可化为x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，即解集为R ，应满足开口向上，Δ≤0. (2)结合二次函数的有关知识，讨论Δ，对称轴，端点值列出不等式组进行求解． [解析] (1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图像恒在x 轴上方时，满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图(2)，g (x )的图像与x 轴有交点，但在x ∈[－2，＋∞]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x ＝－a2＜－2，g －，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a－a2＜－24－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6a ＞4a ≤73③如图(3)，g (x )的图像与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x ＝－a2＞2，g，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a－a2＞24＋2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6a ＜－4a ≥－7⇔－7≤a ≤－6.[点评] (1)ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R.即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0c ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ≤0(2)ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0c ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ≤0(3)ax 2＋bx ＋c ≥0在(m ，n )上恒成立或ax 2＋bx ＋c ＝0在(m ，n )有根，应画出相应二次函数的图像．从Δ，对称轴，端点值三方面去限制，列出相应的不等式组． 跟踪练习4已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． [解析] 解法1：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，结合图像知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a ，恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a 解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.解法2：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0a ＜－1f －（五）思想方法点拨1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，是将复杂的、生疏的不等式问题转化为简单的、熟悉的不等式问题．不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化． 2．一元二次不等式的解法技巧 (1)关于一元二次不等式的求解，主要是研究当x 2的系数为正值的一种情形(当x 2的系数为负值时，可先化成正值来解决)．对于一元二次不等式的解集，有的学生因为理解不够而死记硬背，常常将对应的二次不等式应该是空集还是实数集混淆，要解决这个问题，最好的办法就是将二次不等式与对应的二次方程、二次函数的图像真正联系起来，时[分析] a ≠0时，f (x )为一次函数，故由x 0∈(－1,1)时，f (x 0)＝0知，f (－1)与f (1)异号． [解析] 由题意得f (－1)·f (1)<0， 即(－3a ＋1－2a )·(3a ＋1－2a )<0， 即(5a －1)(a ＋1)>0，∴a <－1或a >15.故选C.4．(文)二次函数f (x )的图像如图所示，则f (x －1)>0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(0,3)C ．(－1,2)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) [答案] B[解析] ∵f (x －1)>0， ∴由图知－1<x －1<2， ∴0<x <3.(理)(08·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1 x <0x －1 x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1} [答案] C[解析] 不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x ＋x ＋－x ＋＋1]≤1或(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ＋x ＋x ＋－1]≤1，解不等式组(1)得x <－1； 解不等式组(2)得－1≤x ≤2－1.因此原不等式的解集是{x |x ≤2－1}，选C.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1x <2log 3x 2－x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(1,2)∪(3，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(1,2) [答案] C[解析] 解法1：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1xlog 3x 2－x，∴不等式f (x )>2可化为①⎩⎪⎨⎪⎧x <22e x －1>2或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2log 3x 2－.解①得1<x <2，解②得x >10，综上，不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)． 解法2：利用特殊值法． ∴f (x )当x ≥2时单调递增，∴当x ∈(10，＋∞)时满足f (x )>2，据此排除A 、D ， 又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2·e 12＝2e >2，也适合f (x )>2，故选C. 6．(2011·山东青岛)关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且一根比1大的充要条件是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．a ＜－1或a ＞1 C ．－2＜a ＜1 D ．a ＜－2或a ＞1 [答案] C[解析] 设f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2， 由题意知f (1)＜0， ∴1＋a 2－1＋a －2＜0.∴a 2＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.故选C.7．(2010·新课标文)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} [答案] B[解析] 本题考查了函数的奇偶性，集合的表示方法以及指数函数的单调性，在解决问题时首先求得对称区间上的解析式，然后分情况求解范围，题目定位是中档题．由题可知函数f (x )是偶函数，所以当x <0时解析式为f (x )＝2－x－4(x <0)，所以当x －2<0时，f (x －2)＝2－(x －2)－4，要使f (x －2)>0，解得x <0；当x －2≥0时，f (x －2)＝2x －2－4，要使f (x －2)＝2x －2－4>0，解得x >4，综上{x |f (x－2)>0}＝{x |x <0或x >4}，故选B.8．已知f (x )＝x 2－a x(a >0且a ≠1)，当x ∈(－1,1)时均有f (x )<12，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1∪(1,4]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪[4，＋∞) [答案] C[解析] 由f (x )<12得，x 2<a x ＋12(－1<x <1)，令f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝a x＋12，所以当a >1时，f 2(x )>1a ＋12；当0<a <1时，f 2(x )>a ＋12，又当x ∈(－1,1)时，f 1(x )<1.故⎩⎪⎨⎪⎧a >11a ＋12≥1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a ＋12≥1，解得1<a ≤2或12≤a <1，选C.二、填空题9．若log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，则a 的取值范围是________． [答案] 12<a <1[解析] ∵a 2＋1>2a ，log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <12a >1，∴12<a <1.10．函数f (x )是定义在R 上的减函数，A (3，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1是其图像上两点，那么|f (2x－1)|<1的解集为________． [答案] (－1,2)[解析] 不等式|f (2x－1)|<1可化为 －1<f (2x－1)<1，∵f (3)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1， ∴f (3)<f (2x－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∵f (x )在R 上单调减，∴3>2x－1>－12，解得－1<x <2.11．设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 都成立，则x 的取值范围为____________． [分析] 问题可变成关于m 的一次不等式(x 2－1)m －(2x －1)＜0在m ∈[－2,2]上恒成立． [答案] (7－12，3＋12) [解析] 设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则⎩⎪⎨⎪⎧f＝x 2－－x －＜0，f －＝－x 2－－x －＜0，.当－1≤m ≤1时，若要f (m )>0恒成立则⎩⎪⎨⎪⎧f f －，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2－3y >0y 2－y －2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y <0或y >3y <－1或y >2，∴y <－1或y >3， ∴lg x <－1或lg x >3. ∴0<x <110或x >1000.∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(1000，＋∞)． 14．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数．又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0， ∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立， ∴0<m ≤12.15．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －xx ，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析] 依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －x ，8.2－x x(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0， 当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7， ∴1<x ≤5.当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内． (2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．第四节 二元一次不等式式(组）与简单的线性规划问题（一）高考目标考纲解读1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 考向预测1．以考查线性目标函数的最值为重点，并同时考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等)．2．主要以选择题和填空题的形式考查线性规划，以中、低档题为主，出现在解答题中常与实际问题相联系．（二）课前自主预习知识梳理1．二元一次不等式(组)表示平面区域作二元一次不等式ax ＋by ＋c ＞0(或ax ＋by ＋c ＜0)表示的平面区域的方法步骤：2．(2010·福建文)若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，A ．2B ．3C ．[答案] B[解析] B 本题主要考查线性规划，求目标函数的最值．不等式组表示的可行域如图所示： 画出l 0：x ＋2y ＝0平行移动l 0到l 的位置，当l 通过M 时，z 能取到最小值． 此时M (1,1)，即z min ＝3.3．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y 表示的平面区域的面积是(4．(2009·陕西)若x，y满足约束条件的取值范围是( )A．(－1,2) B．([解析] 本小题主要考查线性规划问题．(2)不等式x<3表示x＝3左侧点的集合，不等式示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合．不等式3y<x＋9表示直线3y－x－9合．综上可得：不等式组表示的平面区域如图所示．[答案] D 跟踪练习1设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，[分析] 画出可行域，根据图形判断其可行域是什么图形，再根据相应的公式求解．[答案] 9故选C.[点评] 1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，点，进而求出目标函数的最值．2．线性目标函数z ＝ax ＋by 取最大值时的最优解与内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的．当提醒：在移动直线ax ＋by ＝0时，要注意斜率和边界直线斜率的关系．跟踪练习2(2010·浙江理)若实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为A ．－2B ．－1C [答案] C[解析] 如图作出可行域由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝02x －y －3＝0得A ⎝⎛3m ＋12m －1，52m －平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋解得m ＝1.3.命题方向：简单线性规划的实际应用[例3] 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过才能使可能的盈利最大？[解析] 设投资人分别用x 万元、y 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)由z ＝4x －3y ，得y ＝43x －z3.求z ＝4x －3y 的最大值，相当于求直线y ＝43x －z 3在y 轴上的截距－z 3的最小值．平移直线y ＝43x 知，当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z3最小，z 最大．∴z max ＝4×5－3×2＝14. (2)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率． 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(3)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，∴2≤z ≤29.[点评] 本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不全是直线形式，此类问题考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；x －a 2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．(2)y x表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；k BC ＝0＋32＋3＝35，k EB ＝3＋3－1＋3＝3， 所以z 的取值范围是[35，3]．[答案] [35，3][点评] 此类题可以归类为求y －a的取值范围，即求点的直线，在可行域内平移，当移至A (6,0)时，x ＋满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x －5y ＋10≤0x ＋y －8≤0，则目标函数11 C ．11，－3 D 平移至可行域上的点(3,5)时，若使目标函数Z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，A.14B.35 C ．4 D.53 [答案] B[解析] 目标函数Z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则l 应与AC 重合， 即－a ＝K AC ＝225－21－5＝－35，∴a ＝35.4．(2008·山东)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0x －y ＋8≥02x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9] [答案] C[解析] 由二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0x －y ＋8≥02x ＋y －14≤0得所表示的平面区域M 为图中阴影部分．交点为A (1,9)，B (3,8)，C (2,10)．∴使函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像过区域M 的a 的取值范围为[2,9]．故选C.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{ (x ＋y ，x －y )(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14[答案] B[解析] 记x ＋y ＝m ，在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数( )B．[－1,1]D．(－1,1)kx＋z，结合图形，要使直线的截距z最大的一个最优解为1,1]．，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数4 D．3二、填空题9．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是____________． [答案] (－7,24)[解析] ∵点(－3，－1)，和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧， ∴(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0. ∴(a ＋7)(a －24)＜0.∴－7＜a ＜24.10．设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤102x ＋y ≥30≤x ≤4y ≥1所表示的平面区域，则区域D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是____________．[答案] 4 2[解析] 画出不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y ＝1与2x ＋y ＝3的交点(1,1)到直线x ＋y ＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为4 2.11．(2011·淮南一中月考)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －4≤0f x ，y所表示的平面区域的面积是72，请写出满足条件的一个不等式f (x ，y )≤0：____________.当直线在y 轴上的截距最小时，4取得最小值．最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2得A 的坐标经过可行域上的点B 时，截距最小，即z ＝2×1－2×1＋4＝4.的取值范围是多少？3)两点连线的斜率，表示的平面区域如图所示．图中阴影部分即为可行域．取最小值，单位晚餐时最好．。
2021年江苏高考数学二轮讲义：专题一第4讲 不等式
第4讲不等式[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．不等式的解法第4题不等式在江苏高考中主要考查一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式是考查重点．试题多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中高档题．不等式成立问题会在压轴题中出现，难度较大，不等式的实际应用有时也会在实际应用题中出现，主要利用基本不等式求最值．2．基本不等式第10题第13题第10题3．不等式成立问题4．线性规划5．不等式的实际应用1．必记的概念与定理已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24．(简记：和定积最大) 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．①直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；②特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．2．记住几个常用的公式与结论(1)几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．ab≤⎝⎛⎭⎫a＋b22(a，b∈R)；⎝⎛⎭⎫a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．(2)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(3)简单分式不等式的解法①变形⇒f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)且g (x )≠0；②变形⇒f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0．(4)两个常用结论①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0．②ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0．3．需要关注的易错易混点(1)利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．(2)在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．不等式的解法 [典型例题](1)(2019·江苏省高考名校联考(八))已知函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8]，则实数m 的值为________．(2)(2019·苏州第一次质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，ln （x －1），1＜x ≤2，若不等式f (x )≤5－mx 恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 (1)因为函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，所以函数的最大值为0．令f (x )＝0，可得Δ＝4a 2－4×(－4)×(－b )＝4a 2－16b ＝0，即b ＝a 24．关于x 的不等式f (x )≥m 可化简为4x 2－2ax ＋b ＋m ≤0，即4x 2－2ax ＋a 24＋m ≤0．又关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8]，所以方程4x 2－2ax ＋a 24＋m ＝0的两个根为x 1＝c ，x 2＝c ＋8，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝a 2x 1x 2＝a 216＋m4，又|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，即(a 2)2－4(a 216＋m4)＝64，解得m ＝－64． (2)作出函数f (x )的大致图象如图所示，令g (x )＝5－mx ，则g (x )恒过点(0，5)，由f (x )≤g (x )恒成立，并数形结合得－52≤－m ≤0，解得0≤m ≤52．【答案】 (1)－64 (2)⎣⎡⎦⎤0，52二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题(1)考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．[对点训练]1．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(六))已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x－3，x ≤0，x 12，x ＞0，若f (a )＞f (f (－2))，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由题意知，f (－2)＝(12)－2－3＝1，f (1)＝1，所以不等式化为f (a )>1．当a ≤0时，f (a )＝(12)a －3>1，解得a <－2；当a >0时，f (a )＝a >1，解得a >1．因而a 的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－2)∪(1，＋∞)2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A ，2∉A ，则a 的取值范围是________． [解析] 因为2∉A ，所以4－4a ＋a 2－1<0，即a 2－4a ＋3<0，解得1<a <3． [答案] 1<a <3基本不等式 [典型例题](1)(2019·南通市高三调研)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y 的最小值是________．(2)(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．【解析】 (1)因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝y x ＋4（x ＋y ）y ＝y x ＋4xy ＋4≥2y x ·4x y ＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时，取“＝”，所以y x ＋4y的最小值是8． (2)设P ⎝⎛⎭⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2≥22x ·4x2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4．【答案】 (1)8 (2)4用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．[对点训练]3．(2019·苏锡常镇四市高三调研)若正数x ，y 满足15x －y ＝22，则x 3＋y 3－x 2－y 2的最小值为________．[解析] x 3＋y 3－x 2－y 2＝x 3＋94x ＋y 3＋14y －x 2－y 2－94x －14y ≥3x 2＋y 2－x 2－y 2－94x －14y ＝2x 2－94x －14y ＝2x 2＋92－94x －14y －92≥6x －94x －14y －92＝15x －y 4－92＝224－92＝1，当且仅当x ＝32，y ＝12时取等号，故x 3＋y 3－x 2－y 2的最小值为1．[答案] 14．(2018·高考江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．[解析] 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a sin 60°＋12c sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．[答案] 9线性规划 [典型例题](1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．(2)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0．若z 的最大值为12，则实数k ＝________．【解析】 (1)不等式组所表示的平面区域是以点(0，2)，(1，0)，(2，3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x ＋y －2＝0的距离为25，所以(x 2＋y 2)min ＝45，又当(x ，y )取点(2，3)时，x 2＋y 2取得最大值13，故x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13．(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0，2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知k ＝2．【答案】 (1)⎣⎡⎦⎤45，13 (2)2确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界画为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[对点训练]5．(2019·江苏名校高三入学摸底)若变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x －2y ＋6≥0y ≥0，则⎝⎛⎭⎫12x ＋y的最小值为________．[解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图中△OAB (含边界)所示，作直线l ：x ＋y ＝0，若向上平移直线l ，则x ＋y 的值增大，当平移至过点B (2，4)时，x ＋y 取得最大值6，此时⎝⎛⎭⎫12x ＋y取得最小值18．[答案] 186．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)的最大值为M ，且M 的取值范围是[1，2]，则点P (a ，b )所组成的平面区域的面积是________．[解析] 作出约束条件⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2表示的平面区域如图1中阴影部分所示(三角形OAB 及其内部)． 将目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)化为直线方程的形式为y ＝－a b x ＋zb，若－a b ≤－2，当直线y ＝－a b x ＋zb 经过点A (1，0)时，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值M ＝a ∈[1，2]，由⎩⎨⎧a >0b >0－a b≤－2a ∈[1，2]得点P (a ，b )所组成的平面区域如图2中阴影部分所示，此时点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为34．若－a b >－2，当直线y ＝－a b x ＋zb 经过点B (0，2)时，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值M ＝2b ∈[1，2]，由⎩⎨⎧a >0b >0－a b>－22b ∈[1，2]得点P (a ，b )所组成的平面区域如图3中阴影部分所示，此时点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为34．综上，点P (a ，b )所组成的平面区域的面积为32．[答案] 32不等式的实际应用[典型例题]“第五届上海智能家居展览会”于2017年7月5日－7月7日在上海新国际博览中心举行，全面展示当前最新的智能家居．某智能家居企业可以向社会提供智能家居套餐的生产和销售一条龙服务，由于2016年没有进行促销活动，该企业的某品牌套餐全年的销量只有1．25万套，如果延续2016年的经营策略，预计2017年的销量只有2016年的80%．为了不断拓展市场，提高经营效益，拟在2017年借“第五届上海智能家居展览会”的东风对该品牌套餐进行促销活动．经过市场调研，该品牌套餐的年销量x 万套与年促销费用t 万元之间满足关系：x ＝4t ＋mt ＋1(t ≥0)．预计2017年生产设备的固定成本为4万元，每生产1万套该品牌套餐需再投入27万元的可变成本，若将每套该品牌套餐的售价定为其生产成本的160%与平均每套促销费用的40%的和，则当年生产的该品牌套餐正好能销售完．(1)将该企业2017年的利润y 万元表示为关于年促销费用t 万元的函数； (2)该企业2017年的促销费用为多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费用，生产成本＝固定成本＋可变成本) 【解】 (1)由题意可知在x ＝4t ＋mt ＋1(t ≥0)中，当t ＝0时，x ＝1．25×0．8＝1，代入上式得m ＝1， 所以x ＝4t ＋1t ＋1(t ≥0)．当年生产x 万套时，年生产成本为 27x ＋4＝27×4t ＋1t ＋1＋4．当年销售x 万套时，年销售收入为160%×⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4＋40%×t ． 由题意，生产x 万套该品牌套餐正好销售完，由利润＝销售收入－生产成本－促销费用，得y ＝160%×⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4＋40%×t －⎝ ⎛⎭⎪⎫27×4t ＋1t ＋1＋4－t ．所以y ＝－3t 2＋333t ＋935（t ＋1）(t ≥0)．(2)y ＝－3t 2＋333t ＋935（t ＋1）＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤113－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1＋81t ＋1≤35×(113－18)＝57， 当且仅当t ＋1＝81t ＋1，即t ＝8时等号成立，即当该企业2017年的促销费用为8万元时，企业的年利润最大，且最大值为57万元．利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．[对点训练]7．(2019·苏州调研)如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB ＝y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在GH 上)，现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB ＝AC ＋1，且∠ABC ＝60°．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？[解] (1)因为AB ＝y ，AB ＝AC ＋1，所以AC ＝y －1． 在直角三角形BCF 中，因为CF ＝x ，∠ABC ＝60°， 所以∠CBF ＝30°，BC ＝2x ． 由于2x ＋y －1 >y ，得x >12．在△ABC 中，因为AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 60°，所以(y －1)2＝y 2＋4x 2－2xy ．则y ＝4x 2－12（x －1）．由y ＞ 0，及x >12，得x ＞ 1．即y 关于x 的函数解析式为y ＝4x 2－12（x －1）(x ＞ 1)． (2)M ＝3(2y －1)＋4x ＝12x 2－3x －1－3＋4x ．令x －1＝t ，则M ＝12（t ＋1）2－3t －3＋4(t ＋1)＝16t ＋9t＋25≥49，在t ＝34，即x ＝74，y ＝152时，总造价M 最低．所以x ＝74时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低．1．函数f (x )＝1xlg(2＋x －x 2)的定义域为__________．[解析] ⎩⎨⎧x ≠0，2＋x －x 2>0，⇒－1<x <0或0<x <2，所以函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，2) [答案] (－1，0)∪(0，2)2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．[解析] 因为t >0，所以y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．[答案] －23．(2019·高三第一次调研测试)若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为______． [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，数形结合易知当直线z ＝x ＋y 过点A (－3，－3)时，z 取得最小值，z min ＝－6．4．(2019·苏北四市高三质量检测)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则不等式f (x )≤－5 的解集为________．[解析] 因为当x ＞0时，f (x )＝2x －3，所以当x ＜0，即－x ＞0时，f (－x )＝2－x －3，因为函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝2－x －3＝－f (x )， 所以f (x )＝－2－x ＋3．当x ＞0时，不等式f (x )≤－5等价为2x －3≤－5， 即2x ≤－2，无解，故x ＞0时，不等式不成立； 当x ＜0时，不等式f (x )≤－5等价为－2－x ＋3≤－5， 即2－x ≥8， 得x ≤－3；当x ＝0时，f (0)＝0，不等式f (x )≤－5不成立． 综上，不等式f (x )≤－5的解集为(－∞，－3]． [答案] (－∞，－3]5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．[解析] 一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30． [答案] 306．(2019·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．[解析] 记f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，令f (x )＝0，由题意得，Δ＝4(a －2)2－4a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0，f （5）≥0，Δ≥0，1≤a －2≤5，所以1＜a ＜4或4≤a ≤5， 即实数a 的取值范围是(1，5]．7．(2019·扬州市第一学期期末检测)已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为______．[解析] x ＋4y －xy ＝0，即x ＋4y ＝xy ，等式两边同时除以xy ，得4x ＋1y＝1，由基本不等式可得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋5≥24y x ·x y ＋5＝9，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y ＝6时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为9，因为m ≤9．[答案] m ≤98．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由于(x －a )*(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，则不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，所以a 2－a －1≤x 2－x 恒成立，又x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≥－14，则a 2－a －1≤－14，解得－12≤a ≤32． [答案] ⎣⎡⎦⎤－12，32 9．记min{a ，b }为a ，b 两数的最小值．当正数x ，y 变化时，令t ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ＋y ，2y x 2＋2y 2，则t 的最大值为______．[解析] 因为x ＞0，y ＞0，所以问题转化为t 2≤(2x ＋y )·2yx 2＋2y 2＝4xy ＋2y 2x 2＋2y 2≤4·x 2＋y 22＋2y 2x 2＋2y 2＝2（x 2＋2y 2）x 2＋2y 2＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以0＜t ≤2，所以t 的最大值为2．[答案] 210．(2019·宁波统考)已知函数f (x )＝log a (x 2－a |x |＋3)(a >0，a ≠1)．若对于－1≤x 1<x 2≤－12的任意实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)<0成立，则实数a 的范围是________．[解析] 易知已知函数为偶函数，则当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时为减函数． 对于x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时， f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0，a ≠1) 设g (x )＝x 2－ax ＋3，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a >1，1≤a 2，g （1）>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2≤12，g ⎝⎛⎭⎫12>0，则2≤a <4或0<a <1． [答案] (0，1)∪[2，4)11．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x－x 的最小值． [解] (1)因为x ＞0，a ＞2x ， 所以y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（a －2x ）22＝a 28， 当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28．(2)y ＝1a －2x＋a －2x 2－a 2≥212－a 2＝2－a2． 当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x－x 的最小值为2－a 2．12．已知关于x 的不等式x ＋2x 2－（1＋a ）x ＋a >0．(1)当a ＝2时，求此不等式的解集； (2)当a >－2时，求此不等式的解集．[解] (1)当a ＝2时，不等式可化为x ＋2（x －1）（x －2）>0，所以不等式的解集为{x |－2<x <1或x >2}．(2)当a >－2时，不等式可化为x ＋2（x －1）（x －a ）>0，当－2<a <1时，解集为{x |－2<x <a 或x >1}；当a ＝1时，解集为{x |x >－2且x ≠1}； 当a >1时，解集为{x |－2<x <1或x >a }．13．(2019·盐城市高三第三次模拟考试)如图，某人承包了一块矩形土地ABCD 用来种植草莓，其中AB ＝99 m ，AD ＝49．5 m ．现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n (n ∈N *)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1 m 宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF ＝1 m)，这部分的建设造价为每平方米31．4元．(1)当n ＝20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留π) (2)试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低．(计算中π取3．14) [解] (1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r ．当n ＝20时，共有19块空地，所以r ＝99－19×12×20＝2(m)，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为 πr 2＋πr ×AD ＝π×22＋2π×49．5＝103π(m 2)， 即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103π m 2． (2)设两项费用的和为f (n )．因为r ＝99－（n －1）×12n ＝100－n2n，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为 S ＝πr 2＋πr ×AD ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n 2＋π×49．5×100－n 2n ， 则f (n )＝10nS ＋31．4×1×49．5(n －1)＝10n [π×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n 2＋π×49．5×⎝ ⎛⎭⎪⎫100－n 2n ]＋31．4×1×49．5(n －1)＝31．4×[（100－n ）24n ＋49．5×100－n2＋49．5(n －1)]＝31．44×[（100－n ）2n＋99(100－n )＋198(n －1)]＝31．44×(1002n ＋100n ＋9 502)＝31．44×[100×⎝⎛⎭⎫100n ＋n ＋9 502]， 因为100n＋n ≥2100n·n ＝20，当且仅当n ＝10时等号成立， 所以，当且仅当n ＝10时，f (n )取得最小值， 即当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低．14．设m 是常数，集合M ＝{m |m >1}，f (x )＝log 3(x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1)．(1)证明：当m ∈M 时，f (x )对所有的实数x 都有意义； (2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值；(3)求证：对每个m ∈M ，函数f (x )的最小值都不小于1． [解] (1)证明：f (x )＝log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2m ）2＋m ＋1m －1，当m ∈M ，即m >1时，(x －2m )2＋m ＋1m －1>0恒成立，故f (x )的定义域为R ．(2)令g (x )＝x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1，因为y ＝log 3g (x )是增函数，所以当g (x )最小时f (x )最小，而g (x )＝(x －2m )2＋m ＋1m －1， 显然当x ＝2m 时，g (x )的最小值为m ＋1m －1．此时f (x )min ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m －1． (3)证明：m ∈M 时，m ＋1m －1＝m －1＋1m －1＋1 ≥2＋1＝3，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m －1≥log 33＝1，结论成立．。
2015届高考数学(文)二轮专题课件：4.1不等式的解法 (nxpowerlite)
考点1
不等式的基本性质
1．对称性：a＞b⇔________ b＜a ．
2．传递性：a＞b，b＞c⇒________ a＞c ． 3．加法性质：a＞b⇔________ ． a＋c＞b＋ c ac＞bc ； a ＞ b ， c ＜ 4 ．乘法性质： a ＞ b ， c ＞ 0 ⇒ ________
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随堂讲义· 第一部分
知识复习专题
专题四
第一讲
不
等
式
不等式的解法
根据近几年广东高考可预测，2015年高考中可能在小题 中直接考解不等式题，并且在大题中涉及解不等式的问
题．解不等式作为考查学生运算能力的重要载体，是高
考中小题大题都会涉及到的．因此一定要认真掌握好解 不等式这部分内容．
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主干考 点梳理
f(x)＜g(x)． (2)当 0＜a＜1 时，af(x)＞ag(x)⇔________
g（x）≠0
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主干考 点梳理
3．简单对数不等式的解法． 时 ， logaf(x) ＞ logag(x) ⇔ __________________________________________________ g（x）＞0， __________________ f（x）＞g（x） (1) 当 a 0＞ f（ x）＞ ， 1 ________________________________________. (2) 当 0 ＜ a ＜ 1 时 ， logaf(x) ＞ logag(x) ⇔ ____________________ f（x）＞0，
例1解不等式(x＋a)(ax－3a)≤0. 解析： 原不等式可化为：a(x＋a)(x－3)≤0， ①当a＝0时，其解集为R； ②当a＞0时，其解集为{x|－a≤x≤3}；
高考数学讲义不等式.版块七.恒成立与有解问题.教师版
目m［蛀知识内容版块一.不等式的性质1 .用不等号（，）表示不等关系的式子叫做不等式.2. 对于任意两个实数 a 和b,在a b,a b,a b 三种关系中，有且仅有一种关系成立.3. 两个实数的大小比较：对于任意两个实数 a,b,对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数作差比较法：a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.其中符号表示它的左边与右边能够互相推出.4. 不等式的性质：性质1 ：（对称性）如果a b ，那么b a ;如果b a ,那么a b . 性质2：（传递性）如果a b,且b c,则a c . 性质3：如果a b,则a c b c .推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论2：如果a b, c d,则a c b d .我们把a b 和c d （或a b 和c d ）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向. 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 性质4：如果a b, c 0,则ac bc;如果a b , c 0,则ac bc.实数大小的作商比较法：当 b 0时，若^ 1,且b 0,则a b ；若^ 1,且b 0, 则a b • 推论1 ：如果a b 0,c d 0，则ac bd .推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同 向. b 0 ,则 a n b n (n N , n 1). b 0 ,则寸^ 呢(n N , n 1)对于任意两个实数a,b ,有a b 0 a b ； a b 0 a b ；a b 0 a b,这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序.由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它 们的差的符号.这是不恒成立与有解问题推论2:如果 推论3:如果＜教师备案＞1 .1比较,等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据. 在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与但这时要注意分母的正负情况.2.比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法. 它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者.这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便.3.可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减.对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质4的推论3可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识.版块二.均值不等式1.均值定理：如果a,b R （R表示正实数），那么土^ > 70b，当且仅当a b时，有2等号成立.此结论又称均值不等式或基本不等式.2.对于任意两个实数a,b , J^叫做a,b的算术平均值，J OE叫做a,b的几何平均值.2均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.3.两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.〈教师备案>1.在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值. 否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值.运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等.2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦.⑴对于任意正实数a,b，作线段AB a b,使AD a,DB b;⑵以AB为直径作半圆O，并过D点作CD AB于D , 且交半圆于点C;a b⑶连结AC,BC,OC，贝U OC ，2. • AC BC,CD AB••• CD AD BD ab ,当a b时，在Rt COD中, 有OC ^-^ CD Tab .-G/a 而)2 > 0 4,当且仅当a b ”时等号成立.ab临，当且仅当a b ”时等号成立.了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍.板块三.解不等式1 .含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式.有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决.其方法大致有：①用一元二次方 程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值， ③变更主元利用函数与方程的思想求解.当且仅当a b 时，O,D 两点重合，有 OC 史上 CD <ab .23.已知：a 、b R （其中R 表示正实数），a b 法展扼 2222有以下不等式：> yf ab >2 , 2a b其中J —2—称为平方平均数, a b——称为算术平均数,2 构称为几何平均数,乌称为调和平均数. 1 b2证明:一2 ~Z2a b 2.. a 、 b2 .2a b2—，当且仅当 a2 b ”时等号成立.(a b) 一 ab 2ab .ab(a b 2、ab)2b,当且仅当 a b ”时等号成立.2.解不等式⑴解一元二次不等式通常先将不等式化为ax 2 bx c 0或ax 2成c 0 (a 0)的形式，然后求出对应方程的根(若有根的话)，再写出不等式的解：大于 0时两根之 夕卜，小于0时两根之间； ⑵分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； ⑶高次不等式主要利用“序轴标根法”解.【例1】 关于x 的不等式x 1 |x 2 < a 2 a 1的解集为空集，则实数 a 的取值范围是【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，广东湛江高三月考【解析】不等式x 1 x 2 < a 2 a 1的解集为空等价于a 2 a 1 (x 1 x 2 )min ,而结合几何意义知(x 1 x2 ) min 1 , 即 a 2 a 1 1 ,解得 1 a 0 .【答案】(1 , 0)【例2】 若不等式 x - > a 2 1对一切非零实数 x 均成立，则实数 a 的最大值是【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】x1的最小值为2,当|a 2 1 < 2时，不等式恒成立.此时|a 2 < 1,解得1 < a< 3.【答案】3【例 3】 设函数 f (x) x 2 1,对任意 x - , , f — 4m 2f(x)V f(x 1) 4f (m)恒3m成立，则实数m 的取值范围是 .1 一 1 . 5昌隹典例分析典例分析【考点】恒成立与有解问题【难度】4星【题型】填空【关键字】2010,天津高考 【解析】略 【答案】，笠U 史,2 2【例4】 若不等式ax 1 2 x 2 0的解集为R ，则a 的范围是()1- 1A. a 0B. a —C. a —D. a 088【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无1【解析】a0,且 18a0,故a -.8【答案】C已知不等式——L — -log a a 1n 1 n 2 2n 12都成立，试求实数a 的取值范围【考点】恒成立与有解问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略1 1 1一 一.【答案】设f n 一； —- L —(n N 且n > 2).因为1 1 1 1----- -------- ------- -------------------- 0 2n 1 2n 2 n 1 2n 1 2n 2f n ,即f n 是关于n 的递增函数. 2 二，即f n 的最小值是—.1212因为a 1 ,所以a 1 —，解之得1 a —-—.2-对于一切大于1的自然数n【例5】所以 故有一，，一 1 2要使f n —log a a 1 一对于一切n > 2的自然数n怛成立，则必须12 31 2 7—log a a 1 -一，即有log a a 1 1.12 3 12 _【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【答案】(2,2]2【例7】f (x) ax ax 1在R 上怛物足f (x) 0,则a 的取值氾围是()A a < 0B. a 4C. 4 a 0D. 4 a < 0【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无a0【解析】a 0时满足；普4a °时也满足，解得 4 a 0.综合知 4 a < 0.【答案】D【例8】 若对于x R ,不等式mx 2 2mx 3 0恒成立，求实数m 的取值范围. 【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】此题需要对 m 的取值进行讨论，设 f (x) mx 2 2mx 3 .①当m 0时，3 0 ,显然成立.②当m 0时，则 时，显然不等式不恒成立.由①②③知m [0, 3).【例6】若不等式(a 2)x 2 2(a 2)x0对x R 恒成立，则a 的取值范围是【解析】若a2,不等式变为：4 0,a 22满足题意;故有: 综上知:2 ,结合题意知二次函数a202，解得2 a4(a 2)2 16(a 2) 02)x 4的图象在x 的下方,2,0 m 3.③当 m 0【例9】不等式x2 ax 1 > 0对一切x 0,-成立，则a的最小值为(2A. 0 B . 2 C . - D . 32【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】：x 0 ,故本题的条件等价于a > x -对x 0,2恒成立.此时x -的最大值为5 ,故a的最小值为5 .【答案】C【例10】不等式|x 3| |x 1|< a2 3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )A. , 1 U 4,B. , 2 U 5,C. [1 , 2]D. , 1 U 2,【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】选择【关键字】2009年，重庆高考【解析】x 3 x 1的最大值为4 ,故a2 3a > 4时满足题意，解得a > 4或a < 1 .【答案】A【例11】对任意a [ 1 , 1],函数f(x) x2(a 4)x 4 2a的值恒大于零，则x的取值范围为.【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】填空【关键字】无2 2【解析】设g(a) x (a 4)x 4 2a (x 2)a (x 2),q( 1) 0 一则g(a)的图象为一直线，在a [ 1, 1]上怛大于0 ,故有，即g(1) 03,2x5x 6 02 x 3x 2 0'解得: x 1或x 3 x 的取值范围是(，1)U(3 ,). 【答案】(，1)U(3,) 【例12】若不等式lg2ax lg(a x) 【考点】恒成立与有解问题 1在x [1, 2]时恒成立，试求a 的取值范围. 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 …… x > 1 【解析】由题设知2ax 0得a 0 ,可知a x 1，所以lg(a x) 0 . 原不等式变形为lg 2ax lg(a x). 2ax a x,即(2x 1)a x .又 x [1,2],可得 2x 1 0 1 1 ,, 1 ------- 恒成立. 2 2x 1 1 七 ----- ,在x 2x 1 2 3 x• a ------- 2x 1 设 f(x)12 综上知【例13】若x 3x 【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】l a amax3x 9x3x 1 1 9x31得u21 22 x令ya a3 "9x2 . 2 [1, 2]上为减函数，可得f(x)min f (2)—,知a -3 3 a 2 9x 0恒成立，求实数a 的取值范围.则有u 2 u (设 u 3 ).y u 2 u 在u 3, 上最大值为12 ,代入①得，a a 2 12 ,解得3 a 4.故实数a 的取值范围为a| 3 a 4 .【答案】a| 3 a 4设F x f x a x 2 2ax 2 a ，则问题转化为当x 1, 时，F x > 0 恒成立. ⑴当 4 a 1 a 2 < 0,即 2 a 1时，对一切x 1, ,总有F x > 0成立. ⑵若 4 a 1 a 20时，由图1可知，F x > 0的充要条件是a 1 a 2 0F 1 > 0 a 3 > 03 < a 22aa < 11 2综上所述可知，a 的取值范围是a 3 , 1 .【答案】a 3, 122a . a 12x log 2log 2 — 0 怛成业,a 1 4a求a 的取值范围【考点】恒成立与有解问题 【难度】4星【例14】设f x x 2 2ax 2，当x 1,范围.【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 时，都有f x > a 恒成立，求a 的取值【例15】设对所有实数x不等式x 2 log 2【题型】解答【关键字】无 【解析】由题意得4 a 1log 2 ---------------⑴a 2a 1lo g^r^-4a2a2log 2 ---- 0a 1-2ax 4x【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【例17】已知关于x 的不等式x 2 x 【考点】恒成立与有解问题t 0对x R 恒成立，贝U t 的取值范围是三0a 1 ,4 a 1 或⑵ log 2 --------------------a22log 2 竺 a 1 4 a 14log 2 --------------a 2a 1log 2 --------- ----- 04a 2易见⑴的解集为 .下面我们解⑵.令Ja由③有iog 22t「一、一一 a 1t,②可变为log 2 4 log 2 ---------------------a 0,即 2 log 2t 0联立解之得t所以当0 a【答案】0 a 14log 2t 5 0 2，即 J 2 ,a 1时不等式恒成立解得0 【解析】原不等式可化为(a2)x 2 4x (a 1)> 0⑴当a 2 0，即a 3 ...........................................................2时，①式可化为x> -，不满足对任意实数 x 恒成立，故4⑵当a2 0时,欲使①式对任意实数x 恒成立必须满足a *°，a即242 2 …，解得a > 2 .4(a 2)(a 1) < 0故实数 【答案】［2,)a 的取值范围为［2,【例16】已知不等式a 对任意实数恒成立，求实数 a 的取值范围.【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】t (x 2 x) 1—,对x R 怛成立，故t4【例18】如果|x 1| |x 9| a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是(8} A. {a | a 【考点】恒成立与有解问题.{ a | a 8}【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】x 1 x 9的最小值为 8,故a 8即可.【例19】在R 上定义运算 y).若不等式(x a) (x a) 1对任意头数x 成立， 则()A. 1 a 1B. 0 a 2 - 1 3- 3 1C a — D. - a — 2 2 2 2 x(1xy 【考点】恒成立与有解问题 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】2005年，辽宁高考 【解析】• (x 成立,a) (x a) (x a)(1 a)， 不等式 (x a) (x a) 1对任意实数x则(x a)(1 a) 1对任意实数x 成立，即使 0对任意实数x 成1 4( 1) 0,解得―a ',故选C.2 2 【例20】设不等式x 2 2axa 2 < 0的解集为M ，如果M [1,4]，求实数a 的取值范围.【考点】恒成立与有解问题【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】M [1,4]有两种情况：其一是M ，此时0;其二是M ，此时0或0 ;故分二种情况计算a的取值范围.设f(x) x2 2ax a 2 ,有(2a)2 4(a 2) 4(a2 a 2),①当0 时，1 a 2, M [1,4];②当0时，a 1或2;当a 1 时，M { 1} [1,4]；当a 2 时，M {2} [1,4]；•■-a 2满足题意；③当0时，a 1或a 2 .设方程f (x) 0的两根x1,x2，且x1 x2 ,f(1) > 0,且f (4) > 0 那么M [**] , M [1,4] 1< x V x2< 4 Q,1 < a < 4,且0a 3 > 018 7a> 0 18即/ / ，解得2 a <空.1 < a < 4 7a 1 或a 2综上知：M [1,4]时，a的取值范围是(1,18].7【答案】18(1项【例21]如果关于x的不等式2kx2kx 30对一切实数x都成立，贝U k的取值范围8是.【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】填空【关键字】2009,福建省上杭二中08 — 09学年单元质量检查必修5数学试题【解析】略【答案】 3 k < 0【例22】已知函数f (x) x 1g (&1 x),若不等式f(m 3x) f (3x 9x 2) 0对任意x R 恒成立，求实数m 的取值范围.【考点】恒成立与有解问题【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】因为f(x)是奇函数且在R 上是递增函数，所以f(m 3x ) f( 3x9x 2),化为 32x (m 1)3x 2 0 .令3x t 0,则原不等式化为t 2 (m 1)t 2 0. 2令g(t) t (m 1)t 2 , |可题转化为当t 0时，使二次函数g(t) 0怛成立的实数 m 的取值范围. 借助二次函数的图象与性质，且注意到g(0) 2 0,△A 02问题转化为△ 0或m 1 ，即(m 1)2 8 0或(m 1)8» 0 .解各----- < 0 m 1 < 02m (, 2 亶 1). 【答案】m (, 2 2 1)【难度】4星 【题型】解答 【关键字】2008年，广东惠州模拟 【解析】略【答案】⑴ 2X X 2 X 1X 2 < ------------- 2 X 22时等号成立,故u 的取值范围为⑵ 方法一：(函数法) 111X 1— x2—XX 2 X I X 2X I X 2 X 2XXX 2X X 22 2X X 2X X 2k 2 1 - x 1x 2 - 2X X 2【例23】已知集合D |X X 2 k (其中k 为正常数).⑴设u X X 2 ,求u 的取值范围；⑵求证：当k a 1时不等式 1 xX立； (1)1⑶求使不等式 一X — X 2 AXX 2围.2—x 2 < —— 对任意 x , x 2D 恒成X2 kk 2,…o--对任息 X , X 2 D 怛成立的k 的范J 2 uk 2 一 2u < —，又 k > 1, k 24 所以 X i X i 即当 k 2 1 0,X 2X 2k>1时不等式 解法二: XX 2将k 2 X 1 . . X 1 k 2 . .............—上是增函数,4k 2 1X 2 X 2k 2 1 4_2成立.（不等式证明的作差比较法 22k X 2X 2 X 1X 2 4 I? X >2X 2 X1X 2 k 2~r~2k x 1x 2竺X4史2 4 4x 1 X 2k 24x 1 X 2 X 1 X 2X 24X 1X 24x 1 X 2 X 1X 2 X 2 2 X 22 .X 2代入得 A1时, 4 k 2x 1x 2 4k 2X24k 2x 1x 2 … ，一… 1 即当ka1时不等式 一 X1 X 24 k 2x 1x 24k 2X 1⑶ 方法一：（函数法）记 2X 1X 22k x 1x 2 4k 2k 22k X 1&0,X 2X 22成立.X 2fl 即求使 0,恒成立的由⑵知, 要使 X 2X 2D 恒成立，必有因此1 k 2 k 2上递减，在上递增,要使函数f ，一k 2 在0,—上怛有4方法二：（不等式证明的作差比较法，，— 1由⑵可知一X1X1 X2要不等式恒成立，必须k2，一k由0 XX2 v—得一 v4 解得0 k2 < 4格一 (1)因此不等式-4 8. X iX i【例24】若关于x的方程9X 【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析］法一: (4当且仅当3X2时,k2X2——2k42k华24k24£.2 '即k24> 0恒成立，即X i X2—2 _ _16k 16 < 0 ,X2X2(4 a)3X2 2 2X X2 4 k XX2 4k4k2X1X22<44k恒成立，k2恒成立的k2的范围是0 k2 < 4炳 8.4 0有解，求实数a的取值范围.•■-a < 8法二：3X t(t 0), ..t2(a 4)•■- 2(a 4)【答案】a < 84X43XA 2.33X三,此 a 4<4(4a)t 4 0 ,a4a <8或a s 04 ,•■- a < 8 9X 4a)—— 3X0 …,解得16 > 0【例25】已知a R ,若关于X的方程x2 a 0有实根，则a的取值范围【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】填空【关键字】2008,广东高考【解析】方程即10,-4利用绝对值的几何意义（或零点分段法进行求解）可得实数，一’，.， (1)a的取值范围为0，—48x 4 a 0在1 x 4内有解，则实数a的取值范围是【例26】若关于x的不等式2x2()A. a 4B. a 4C. a 12D. a 12【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】选择【关键字】安徽省涡阳一中2008年必修5数学期中考试卷【解析】法一：由已知条件有，函数y 2x2 8x 4 a的对称轴为x 2,数形结合，知< 0时一定成立，即a < 12成立，若0，即a 12，要使2x2 8x 4 a 0在1 x 4内有解，只需f(4) 0,解得：a 4.法二：由已知有a 2x2 8x 4 ,设g(x) 2x2 8x 4，且x 1,4 ，则g(x) 12, 4 ,则a 4 .【答案】A【例27】已知函数f (x) x a .⑴ 若不等式f (x) < 3的解集为x| 1 < x < 5，求实数a的值；⑵在⑴的条件下，若f (x) f(x 5) > m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 【考点】恒成立与有解问题【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，福建高考【解析】略【答案】解法一：(1)由f (x) < 3 得x a < 3 ,解得a 3 < x < a 3 .,一一、…… a 3 1,…又已知不等式f(x) < 3的解集为x| 1 < x< 5 ,所以解得a 2 .a 3 5,⑵当a 2时，f(x) x 2 .设g x f x f(x 5),2x 1, x 3, 于是g x x 2 x 3 5, 3 < x < 2 ,2x 1, x 2.所以当x 3时，g x 5 ;当3 < x < 2 时，g x 5；当x 2 时，g x 5 .综上可得，g x的最小值为5 .从而，若f x f x 5 > m即g x > m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为，5 .解法二：⑴同解法一.⑵当a 2 时，f (x) x 2 .设g(x) f (x) f (x 5).由|x 2 |x 3 > x 2 x 3 5 (当且仅当3< x< 2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.f(x) f(x 5) A m即g(x) A m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为，5 .从而，若。
高中数学总结复习不等式知识点及主要题型讲义含解答
不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c 0或ax 2 bx c 0 a 0 的解集：设相应的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根为 2x1、x 且 x x ，b 4ac2 1 2，则不等式的解的各样状况以下表：0 0 0y ax 2y ax 2 bx c y ax 2 bx cbx c二次函数y 2axbx c（a 0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根2 ax abxc的根x1, x2 (x1 x2 )bx x1 无实根22a2 ax (abx c0)的解集x x x1或x x2x xb2aR2 ax (abx c0)的解集x x1 x x22、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方挨次经过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；2 3 3）依据曲线展现f (x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。
如： x 1 x 1 x 2 03、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右侧为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不可以去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
f ( x) f ( x)0 f (x) g( x) 0; 0 g( x) g( x) f (x) g(x) 0g (x) 04、不等式的恒建立问题：常应用函数方程思想和“分别变量法”转变为最值问题若不等式f x A在区间D 上恒建立, 则等价于在区间D 上 f x Amin若不等式f x B 在区间D 上恒建立, 则等价于在区间D 上 f x Bmax二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面地区二元一次不等式A x+B y+C＞0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+B y+C=0 某一侧全部点构成的平面地区. （虚线表示地区不包含界限直线）2、二元一次不等式表示哪个平面地区的判断方法因为对在直线A x+B y+C=0 同一侧的全部点 ( x, y )，把它的坐标（x, y) 代入Ax+By+C，所获得实数的符号都同样，因此只要在此直线的某一侧取一特别点（x0, y0) ，从A x0+By0+C的正负即可判断A x+By+C＞0 表示直线哪一侧的平面地区 . （特别地，当C≠0 时，常把原点作为此特别点）3、线性规划的相关观点：①线性拘束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的拘束条件，这组拘束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性拘束条件．②线性目标函数：对于 x、y 的一次式 z=ax+b y 是欲达到最大值或最小值所波及的变量 x、y 的分析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：知足线性拘束条件的解（ x,y）叫可行解．由全部可行解构成的会合叫做可行域．使目标函数获得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解的步骤：1）找寻线性拘束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面地区做出可行域；3）依照线性目标函数作参照直线 a x+b y＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解三、基本不等式ab a b21、若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时取等号 .a b2、假如 a,b 是正数，那么ab(当且仅当 a b时取" "号).22a b变形：有:a+b ≥2 ab ；ab≤,当且仅当 a=b 时取等号 .23、假如 a,b∈R+ ,a·b=P (定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值2 P ;假如 a,b∈R+ ,且 a+b=S (定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值2S4.注：1）当两个正数的积为定值时，能够求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，能够求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：1） 2 2 2a b a b ab2 2 1 1a b( 依据目标不等式左右的运算构造采用 ) ；2）a、b、c R， 2 2 2a b c ab bc ca （当且仅当a b c时，取等号）；3）若a b 0,m 0 ，则b b ma a m（糖水的浓度问题）。
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实用标准文案 文档 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 (1)含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的解法(如下表所示) 设a＞0，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，且x1＜x2
(3)对于一元二次不等式的解法需注意： ①x－ax－b≥0(a＜b)的解集为：{x|x≤a或x＞b}；x－ax－b≤0(a＜b)的解集为：{x|a≤x＜b}． ②从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的点的横坐标的集合．
③三个“二次”的关系 常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点．处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析．具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系． 2．解一元二次不等式的方法： (1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集． (2)公式法步骤： ①先化成标准型：ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，且a＞0； ②计算对应方程的判别式Δ； ③求对应方程的根； ④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集． 3．解绝对值不等式的基本思想 实用标准文案 文档 1）解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把带有绝对值号的不等式等价转化为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方，例如： (1)若a＞0，则│x│＜a⇔－a＜x＜a⇔x2＜a2； (2)若a＞0，则│x│＞a⇔x＜－a，或x＞a⇔x2＞a2； (3) |f(x)| (4)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)(无论g(x)是否为正)． 常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方． 2）常见绝对值不等式及解法： (1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a； (2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a； (3)|x－a1|＋|x－a2|＞(＜)b，用零点分区间法．
4．一般分式不等式的解法： (1)整理成标准型fxgx＞0(或＜0)或fxgx≥0(或≤0)． (2)化成整式不等式来解： ①fxgx＞0⇔f(x)·g(x)＞0
②fxgx＜0⇔f(x)·g(x)＜0 ③fxgx≥0⇔ fxgx0gx0 ④fxgx≤0⇔ fxgx0gx0 (3)再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集． ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1 一元二次不等式的解法 题型1.解一元二次不等式 [例1] 不等式2xx的解集是( ) A．,0 B. 0,1 C. 1, D. ,01, 【解题思路】严格按解题步骤进行 [解析]由2xx得(1)0xx,所以解集为,01,,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当2x时满足不等式,故选D. 【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.
[例2]已知关于x的不等式220axxc的解集为11(,)32,求220cxxa的解集. 【解题思路】由韦达定理求系数
[解析] 由220axxc的解集为11(,)32知0a,11,32为方程220axxc的两
个根,由韦达定理得11211,3232caa,解得12,2ac,∴220cxxa即222120xx,其解集为(2,3). 实用标准文案 文档 【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由 韦达定理求系数
【新题导练】 1.不等式（a－2）x2+2(a－2) -4＜0,对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（ ） A.（-∞,2] B.（-2,2] C.（-2,2） D.（-∞,2)
解析：∵可推知-2＜a＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，∴-2＜a≤2. 选B 2. 关于x的不等式(mx-1)( x-2)＞0，若此不等式的解集为{x|＜x＜2}，则m的取
值范围是
A. m＞0 B.0＜m＜2 C. m＞ D. m＜0
解析：由不等式的解集形式知m＜0. 答案：D 考点2 含参数不等式的解法 题型1：解含参数有理不等式
例1：解关于x的一元二次不等式2(3)30xaxa 【解题思路】比较根的大小确定解集
解析：∵2(3)30xaxa，∴30xxa ⑴当3,3axax时或，不等式解集为3xxax或； ⑵当3a时，不等式为230x，解集为3xxRx且； ⑶当3,3axxa时或，不等式解集为3xxxa或 【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);②根据根的判别式讨论(0,0,0).③根据根的大小讨论
(121212,,xxxxxx). 题型2：解简单的指数不等式和对数不等式 例2. 解不等式loga(1－x1)＞1 (0,1)aa 实用标准文案 文档 【解题思路】借助于单调性进行分类讨论
解析(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组axx11011
由此得1－a＞x1.因为1－a＜0，所以x＜0，∴a11＜x＜0. (2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：axx11011 由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜a11，∴1＜x＜a11. 综上，当a＞1时，不等式的解集是{x|a11＜x＜0}，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a11}. 【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.
【新题导练】 3.关于x的不等式226320xmxm的解集为( )
A.(,)97mm B.(,)79mm C.(,)(,)97mm D.以上答案都不对
解析:原不等式可化为()()097mmxx,需对m分三种情况讨论,即不等式的解集与m有关.
4.解关于x的不等式：04)1(22xaax 解析：0)2)(2(xax
aaa)1(222
当aa22122|xax；
当aa2210axx22|， 当0a0)2)(2(xax2|2xxxa或 xaxa1;20 5.
① ② 实用标准文案
文档 考点3 分式不等式及高次不等式的解法 [例5] 解不等式:22(1)(68)0xxx 【解题思路】先分解因式,再标根求解 [解析]原不等式(1)(1)(2)(4)0xxxx,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下:
所以不等式的解集为(,1][1,2][4,). 【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系. 【新题导练】
5.若关于x的不等式0(3)(1)xaxx的解集是(3,1)(2,),则a的值为_______ 解析:原不等式()(3)(1)0xaxx,结合题意画出图可知2a.
6. 解关于)0(11)1(2axaxxax的不等式 解：①若)251()2511(2150，，，则原不等式的解集为aa； ②若)251(215，，则原不等式的解集为a；
③若)251()1251(215，，，则原不等式的解集为aa 7.（ 广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试）解不等式.2)21(242xxx ．解析：2)21(2242xx
21422222xx
即212322x得65x所以原不等式的解集为}65|{xx 考点4 简单的恒成立问题 题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围 例1.若关于x的不等式2220axx在R上恒成立,求实数a的取值范围. 【解题思路】结合二次函数的图象求解 [解析]当0a时,不等式220x解集不为R,故0a不满足题意;
当0a时,要使原不等式解集为R,只需202420aa,解得12a
综上,所求实数a的取值范围为1(,)2
4 2
1 -1 x