通用版2020版高考数学大一轮复习第11讲函数与方程课件文新人教A版
通用版2020版高考数学大一轮复习第11讲 函数与方程 学案(理数)人教A版 含答案
5 (2)已知函数 f(x)=lg x+ x-5 在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则 n= .
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
x+1
{ (2)[2019·安徽肥东高级中学调研] 已知函数 f(x)=
x
-
,x 1
>
1,
若函数 g(x)=f(x)-
2 - ex,x ≤ 1,
m(x-1)有两个零点,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(-2,0) B.(-1,0) C.(-2,0)∪(0,+∞) D.(-1,0)∪(0,+∞)
第 11 讲 函数与方程
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 的实数 x 叫作函数 y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)等价关系
方程 f(x)=0 有实数根⇔函数 y=f(x)的图像与 有交点⇔函数 y=f(x)有 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
{lnx,x > 0,
(2)已知函数 f(x)= ex,x ≤ 0,则函数 g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2 的零点个数为 .
探究点三 函数零点的应用
例 3 (1)设函数 f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数 a,b 满足 f(a)=g(b)=0,则 ( )
A.f(b)<0<g(a) B.g(a)<0<f(b)
2020届高考数学一轮复习 2.10 函数模型及其应用精品课
某人定制了一批地砖,每块地砖(如图中(1)所示)是边长 为0.4米的正方形ABCD,点E,F分别在边BC和CD 上,△CFE,△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成 △CFE,△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价 格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图中(2)所示的形式 铺设,能使中间的深色阴影部分组成四边形EFGH.
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（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还
原为实际问题的意义.
2.常见的几种函数模型
(1)一次函数型y=kx+b;
(2)反比例函数型y= k (k≠0); x
(3)二次函数型y=ax2+bx+c(a≠0);
(4)指数函数型y=N(1+p)x(增长率问题)(x>0);
(5)对数函数型y=AlogaN+B(a>0且a≠1,N>0); (6)分段函数型.
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考点1 二次函数模型
如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a), 在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF都等于 x,当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最 大面积.
4
此时当x=b时，S有最大值为-2b-( a b )2+ (a b)2 =ab-b2.
4
8
综上可知，当a≤3b时，x=
a b时，四边形面积
4
Smax=
(a b)2 8
,当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
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二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函 数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题,值 得注意的是:一定要注意自变量的取值范围,根据图象的对 称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论 求解.
(新课标)2020年高考数学一轮总复习专题1函数与导数课件文新人教A版
在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型，每年都有函数试题， 而且常考常新．以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．在大 题中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式求解等综合问题．纵观近几年的 高考题，函数问题的考查，往往是小题注重基础知识基本方法，突出重点知识重 点考查，大题则注重在知识的交汇点命题，与不等式、导数、解析几何等相结合， 综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及 数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力．
跟踪训练 已知函数 f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围． 解析：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝2aex＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)． ①若 a≤0，则 f′(x)<0，所以 f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． ②若 a>0，则由 f′(x)＝0 得 x＝－ln a. 当 x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)<0；当 x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以 f(x)在(－∞，－ln a)单调递减，在(－ln a，＋∞)单调递增．
(2)证明：当 a≥1e时，f(x)≥eex－ln x－1.设 g(x)＝eex－ln x－1，则 g′(x)＝eex－1x.当 0<x<1 时，g′(x)<0；当 x>1 时，g′(x)>0.所以 x＝1 是 g(x)的最小值点．故当 x>0 时，g(x)≥g(1)＝0. 因此，当 a≥1e时，f(x)≥0.
(2)①若 a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点． ②若 a>0，由(1)知，当 x＝－ln a 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(－ln a)＝1－1a＋ ln a. (ⅰ)当 a＝1 时，由于 f(－ln a)＝0，故 f(x)只有一个零点； (ⅱ)当 a∈(1，＋∞)时，由于 1－1a＋ln a>0， 即 f(－ln a)>0，故 f(x)没有零点；
人教A版高中数学必修一《函数与方程》PPT (1)
与内内，x轴，如的如图交图(1)点(所1)分所示示别，，得在得区间(－1,0)和(1,2)内,
f0f＝0＝2m2＋m＋1<10<，0，
得ff－1ff＝－11＝＝41m＝42＋m>20＋2>，<020，<，0，
题号
1 2 3 4 5
答案
(1.25, 1.5)
1 2
,
1 3
3
a1
(-2,0)
主页
题 型 一 判断函数在给定区间上零点的存在性
【例 1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1) f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2) f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
解: ∵ ∴ 故(1方)fff∵∴故∵∴故∵∴故方f((((法181xfff)))ffffff法)fff＝ ·＝(((((((((二f＝(((181181181(xxx一)))))))))818)))＝＝··＝＝＝·＝x)ff＝＝f＝22<2((－－(－8881188180xxx)))2222，2233<<22－－－－<32－－－－× ×－00x0，，3333－，3333183××××××xx－ －x1－－－818181811，－－－－－－88111＝＝88x81111，，11∈8888，－288＝＝＝＝2xx＝＝[x>2∈∈1－－22∈00,－2228<，[[2>>]2211[0存>210000,,，8800,<<，，8在]]<，00存存]0，，存零，在在在点零零零．点点点．．． 令令ff((xx))＝＝00，，得得xx22－－33xx－－1188＝＝00，，xx∈∈[[11,,88]]．． ∴∴((xx－－66))((xx＋＋33))＝＝00，，∵∵xx＝＝66∈∈[[11,,88]]，，xx＝＝－－33∉∉[[11,,88]]，，
2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2_11_3导数与不等式课件文新人教A版
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减 右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证。
【变式训练】 (2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f (x)＝aex－lnx－1。(e＝2.718 28…是自然对数的底数)
(1)设 x＝2 是 f (x)的极值点，求 a，并求 f (x)的单调区间； (2)证明：当 a≥1e时，f (x)≥0。
②当 0<1a<e，即 a>1e时，f (x)在0，1a上单调递减，在1a，e上单调递增， 所以 f (x)min＝f 1a＝1＋lna＝3，a＝e2，满足条件。 ③当1a≥e，即 0<a≤1e时， f (x)在(0，e]上单调递减， f (x)min＝f (e)＝ae－1＝3，a＝4e(舍去)， 所以 0<a≤1e时，不存在 a 使 f (x)的最小值为 3。 综上，存在实数 a＝e2， 使得当 x∈(0，e]时，f (x)有最小值 3。
(2)证明：当 a≥1e时，f (x)≥eex－lnx－1。 设 g(x)＝eex－lnx－1，则 g′(x)＝eex－1x。 当 0<x<1 时，g′(x)<0；当 x>1 时，g′(x)>0。 所以 x＝1 是 g(x)的极小值点也是最小值点。 故当 x>0 时，g(x)≥g(1)＝0。 因此，当 a≥1e时，f (x)≥0。
(2)证明：由(1)知，g(x)＝－eex＋1x＋x， 则 f (x)＋g(x)≥2x⇔1－lnxx－eex－1x＋x≥0。 令 h(x)＝1－lnxx－eex－1x＋x(x≥1)， 则 h(1)＝0，h′(x)＝－1－x2lnx＋eex＋x12＋1＝lxn2x＋eex＋1。 因为 x≥1，所以 h′(x)＝lxn2x＋eex＋1>0， 所以 h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以 h(x)≥h(1)＝0，即 1－lnxx－eex－1x＋ x≥0， 所以当 x≥1 时，f (x)＋g(x)≥2x。
第二章 §2.11 函数的零点与方程的解-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§2.11函数的零点与方程的解课标要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(×)(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．(×)(4)求函数零点的近似值都可以用二分法．(×)2．下列函数中，不能用二分法求零点的是()A ．y ＝2xB ．y ＝(x －2)2C ．y ＝x ＋1x －3D ．y ＝ln x答案B解析对于B ，y ＝(x －2)2有唯一零点x ＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点．3．(2023·太原模拟)函数f (x )＝3x －log 2x 的零点所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析函数f (x )＝3x－log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，又f (1)＝3－log 21＝3>0，f (2)＝32－log 22＝12>0，f (3)＝33－log 23＝1－log 23<0，所以f (2)f (3)<0，则f (x )有唯一零点，且在区间(2,3)内．4．函数f (x )－1，x >0，2－4，x <0的零点是________．答案1，－2解析根据题意，函数f (x )－1，x >0，2－4，x <0，若f (x )＝0－1＝0，>02－4＝0，<0，解得x ＝1或x ＝－2，即函数的零点为1，－2.题型一函数零点所在区间的判定例1(1)(2023·宣城模拟)方程ln x x －ex＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)()A ．(1,2)B ．(2，e)C ．(e,3)D ．(3,4)答案B 解析对于方程ln x x －ex＋1＝0，有x >0，可得x ＋ln x －e ＝0，令f (x )＝x ＋ln x －e ，其中x >0，因为函数y ＝x －e ，y ＝ln x 均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1)＝1－e<0，f (2)＝2＋ln 2－e<0，f (e)＝1>0，所以f (2)f (e)<0，由函数零点存在定理可知，函数f (x )的零点在区间(2，e)内，则方程ln x x －ex ＋1＝0的根所在的区间是(2，e)．(2)用二分法求方程ln x x －ex＋1＝0在区间(2,3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n ，故有12n <0.1，解得n ≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续；再看是否有f (a )·f (b )<0，若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间()A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案A解析函数y ＝f (x )是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．(2)函数f (x )＝log 2x ＋2x －6，函数f (x )的零点所在的区间为(n ，n ＋1)且n ∈N ，则n ＝________.答案2解析函数f (x )＝log 2x ＋2x －6的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，f (2)＝log 22＋22－6＝－1<0，f(3)＝log23＋23－6＝log23＋2>0，即f(2)f(3)<0，因此函数f(x)的唯一零点在(2,3)内，所以n＝2.题型二函数零点个数的判定例2(1)(2023·咸阳模拟)函数f(x)2－1，x≤0，－2＋ln x，x>0的零点个数为()A．5B．4C．3D．2答案D解析当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)(2023·三明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为()A．6B．8C．12D．14答案C解析依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，即函数f(x)是以2为周期的偶函数，令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示．由图象可知，两函数图象共有12个交点，即函数g(x)共有12个零点．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2024·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析函数f (x )＝3x |log 2x |－1的零点，即3x |log 2x |－1＝0的解，即|log 2x |的解，即y ＝|log 2x |与y 图象的交点，如图所示，从函数图象可知，y ＝|log 2x |与y 有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为________．答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6，所以f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，所以x 的取值为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3(2023·安阳模拟)已知函数f (x )2＋2x ＋2，x ≤0，(x ＋1)，x >0的图象与直线y ＝k －x 有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是()－14，＋∞B ．(0，＋∞)－14，2D ．(0,2]答案D解析如图所示，作出函数f (x )的大致图象(实线)，平移直线y ＝k －x ，由k －x ＝x 2＋2x ＋2可得，x 2＋3x ＋2－k ＝0，Δ＝9－8＋4k ＝0，解得k ＝－14，故当k ＝－14时，直线y ＝－14－x 与曲线y ＝x 2＋2x ＋2(x ≤0)相切；当k ＝0时，直线y ＝－x 经过点(0,0)，且与曲线y ＝x 2＋2x ＋2(x ≤0)有2个不同的交点；当k ＝2时，直线y ＝2－x 经过点(0,2)，且与f (x )的图象有3个不同的交点．由图分析可知，当k ∈(0,2]时，f (x )的图象与直线y ＝k －x 有3个不同的交点．命题点2根据函数零点的范围求参数例4(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx.若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是()A.－∞，43 B.0，43C ．(－∞，0) D.43，＋∞答案B解析由f (x )＝3x －1＋ax x＝0，可得a ＝3x －1x ，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <g (－1)＝3－1＋1＝43，又当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)因此实数a 思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.跟踪训练3(1)(2024·邵阳模拟)已知函数f (x )2x |，x >0，x 2－4x ，x ≤0，若g (x )＝f (x )－a 有4个零点，则实数a 的取值范围为()A ．(0,4)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)答案A解析作出y ＝f (x )的图象(实线)，如图所示，g (x )＝f (x )－a 有4个零点，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有4个交点，所以实数a 的取值范围为(0,4)．(2)(2023·天津模拟)函数f (x )＝2a log 2x ＋a ·4x ＋3a 的取值范围是()A ．a <－12B ．a <－32C ．－32<a <－12D ．a <－34答案D解析当a ＝0时，f (x )＝3，不符合题意；当a >0时，由于函数y ＝2a log 2x ，y ＝a ·4x ＋3此时函数f (x )当a <0时，由于函数y ＝2a log 2x ，y ＝a ·4x ＋3此时函数f (x )因为函数f (x )所以f (1)<0，即3(4a ＋3)<0，解得a <－34.课时精练一、单项选择题1．下列函数的图象均与x 轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是()答案C解析由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C.2．(2023·临沂模拟)函数f (x )＝ln x ＋2x －5的零点所在的区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)答案B解析由于y ＝ln x ，y ＝2x －5在(0，＋∞)上都单调递增，故函数f (x )＝ln x ＋2x －5在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝－3<0，f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3＋1>0，即f (2)f (3)<0，故f (x )＝ln x ＋2x －5在(2,3)内有唯一零点．3．(2023·重庆检测)已知函数f (x )＝x －e －x 的部分函数值如表所示，那么函数f (x )的零点的一个近似值(精确度为0.1)为()x10.50.750.6250.5625f (x )0.6321－0.10650.27760.0897－0.007A.0.55B ．0.57C ．0.65D ．0.7答案B解析易知f (x )在[0,1]上单调递增，由表格得f (0.5625)f (0.625)<0，且|0.625－0.5625|＝0.0625<0.1，∴函数零点在(0.5625,0.625)内，∴根据选项可知，函数f (x )的零点的一个近似值为0.57.4．(2023·濮阳模拟)设函数f (x )＝log 3x ＋2xa 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 32)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)答案C解析令f (x )＝0得a ＝log 3x ＋2x，令h (x )＝log 3x ＋2x＝log 由复合函数单调性可知，h (x )在(1,2)上单调递减，h (2)＝log 32，h (1)＝log 33＝1，故当x ∈(1,2)时，h (x )∈(log 32,1)，要使f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则a ∈(log 32,1)．5．(2023·东莞模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道5＝2.236067…，令115<5<125，则第一次用“调日法”后得2310是5的更为精确的过剩近似值，即115<5<2310，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到5的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为()A ．五B ．四C ．三D ．二答案A解析第一次用“调日法”后得115<5<2310，不符合题意；第二次用“调日法”后得115<5<3415，不符合题意；第三次用“调日法”后得115<5<94，不符合题意；第四次用“调日法”后得209<5<94，不符合题意；第五次用“调日法”后得2913<5<94，且|2913－5|<0.01，符合题意，即用“调日法”得到5的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五．6．(2024·安庆模拟)已知函数f (x )|ln x |，x >0，x e x ，x <0，若函数g (x )＝f (x )－|x 2－kx |恰有3个零点，则实数k 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)答案A解析由题意得，方程f (x )|x |＝|x －k |有三个不相等的实数根．而y ＝f (x )|x |＝x |，x >0，x ，x <0，分别作出函数y ＝f (x )|x |和y ＝|x －k |的图象，当k ＝1时，y ＝|x －1|；当x ≥1时，y ＝f (x )|x |＝ln x ，对其求导得y ′＝1x，所以y ′|x ＝1＝1，所以曲线y ＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，如图，直线y ＝x －1与曲线y ＝ln x 在点(1,0)相切．所以k 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．(2023·安康模拟)下列函数在区间(－1,3)内存在唯一零点的是()A ．f (x )＝x 2－2x －8B ．f (x )＝32(1)2x +-C．f(x)＝2x－1－1D．f(x)＝1－ln(x＋2)答案BCD解析对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，∴f(x)在区间(－1,3)内没有零点，故A错误；对于B，∵f(x)＝32(1)2x+-在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故B正确；对于C，∵f(x)＝2x－1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－34<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故C正确；∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln5<0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故D正确．8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，若函数g(x)＝f(x)－log a(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，则实数a的值可以是()A.1 9log32B.13log32C．3log23D．9log23答案AD解析∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，∴当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，即当x∈[－1,0]时，f(x)＝－2－x＋1，又对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是以4为周期的函数，又由函数g(x)＝f(x)－log a(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，得函数y＝f(x)与y＝log a(x＋2)的图象在(－1,7)上有4个不同的交点，又f (1)＝f (5)＝1，f (－1)＝f (3)＝f (7)＝－1，当a >1时，由图可得log a (5＋2)<1＝log a a ，解得a >7；当0<a <1时，由图可得log a (7＋2)>－1＝log a a －1，解得0<a <19.综上可得a ∈0，19(7，＋∞)，故选项A ，D 满足条件．三、填空题9．(2024·赣州模拟)用二分法求方程x 3＋x －5＝0的近似解时，已经将根锁定在区间(1,3)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．答案(1,2)解析令f (x )＝x 3＋x －5，则f (2)＝8＋2－5＝5>0，f (3)＝27＋3－5＝25>0，f (1)＝1＋1－5＝－3<0，由f (1)f (2)<0知根所在区间为(1,2)．10．(2023·南充模拟)设正实数a ，b ，c 分别满足a ·2a ＝b ·log 3b ＝c ·log 2c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案b >c >a 解析由已知可得1a ＝2a ，1b ＝log 3b ，1c＝log 2c ，作出y ＝1x，y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，则y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 2x 的图象与y ＝1x的图象的交点的横坐标分别为a ，b ，c ，由图象可得b >c >a .11．如果关于x 的方程2x ＋3x ＋4x ＝a x (a ∈N *)在区间(1,2)内有解，a 的一个取值可以为________．答案6(答案不唯一)解析因为2x＋3x＋4x＝a x在(1,2)内有解，故a>4，方程2x＋3x＋4x＝a x可化为－1＝0，令f(x)－1，因为a>4，所以f(x)在R上单调递减，1)>0，2)<0，＋3a＋4a－1>0，＋9a2＋16a2－1<0，解得29<a<9，又a∈N*，所以a＝6或a＝7或a＝8.12．已知函数f(x)－5，x≥λ，2－6x＋8，x<λ(λ∈R)，若函数f(x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是________．答案(2,4]∪(5，＋∞)解析作出函数y＝x－5，y＝x2－6x＋8的图象，如图所示，依题意f(x)－5，x≥λ，2－6x＋8，x<λ有2个零点，由图象可得实数λ的取值范围是(2,4]∪(5，＋∞)．四、解答题13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a＞2c＞2b.求证：(1)a＞0且－3＜ba＜－34；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．证明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－a2，∴c＝－32a－b.∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b.若a ＞0，则－3＜b a ＜－34；若a ＝0，则0＞－b ,0＞b ，不成立；若a ＜0，则b a ＜－3，b a ＞－34，不成立．综上，a ＞0且－3＜b a ＜－34.(2)f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ，f (1)＝－a 2，Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4ab ＋6a 2＝(b ＋2a )2＋2a 2＞0.当c ＞0时，f (0)＞0，f (1)＜0，∴f (x )在(0,2)内至少有一个零点；当c ＝0时，f (0)＝0，f (1)＜0，f (2)＝4a ＋2b ＝a ＞0，∴f (x )在(0,2)内有一个零点；当c ＜0时，f (0)＜0，f (1)＜0，b ＝－32a －c ，f (2)＝4a －3a －2c ＋c ＝a －c ＞0，∴f (x )在(0,2)内有一个零点．综上，f (x )在(0,2)内至少有一个零点．14．(2024·天水模拟)已知函数f (x )＝log 2(2＋x )－log 2(2－x )．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)若关于x 的方程f (x )＝log 2(a ＋x )有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．解(1)f (x )为奇函数，理由如下：＋x >0，－x >0，解得－2<x <2，即函数f (x )的定义域为(－2,2)，故定义域关于原点对称．又f (－x )＝log 2(2－x )－log 2(2＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(2)由f (x )＝log 2(a ＋x )，得log 2(2＋x )－log 2(2－x )＝log 2(a ＋x )，所以2＋x 2－x ＝a ＋x ，所以a ＝2＋x 2－x －x ＝4－(2－x )2－x－x ＝42－x ＋(2－x )－3，故方程f (x )＝log 2(a ＋x )有两个不同的实数根可转化为方程a ＝42－x ＋(2－x )－3在区间(－2,2)上有两个不同的实数根，即函数y ＝a 与y ＝42－x＋(2－x )－3在区间(－2,2)上的图象有两个交点．设t ＝2－x ，x ∈(－2,2)，则y ＝4t＋t －3，t ∈(0,4)．作出函数y ＝4t＋t －3，t ∈(0,4)的图象，如图所示．当1<a <2时，函数y ＝a 与y ＝4t＋t －3，t ∈(0,4)的图象有两个交点，即关于x 的方程f (x )＝log 2(a ＋x )有两个不同的实数根，故实数a 的取值范围是(1,2)．15．(2023·南通模拟)函数f (x )＝x 2023|x |，若方程(x ＋sin x )f (x )－ax 2＝0只有三个解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则sin x 2＋2023x 1x 3的取值范围是()A ．(0，＋∞)B ．(2023，＋∞)C ．(－∞，－2023)D ．(－∞，0)答案D 解析因为(x ＋sin x )f (x )－ax 2＝0，f (x )＝x 2023|x |，所以(x ＋sin x )x 2023|x |－ax 2＝0，①当x ＝0时，方程成立；②若x ≠0，(x ＋sin x )x 2023|x |－ax 2＝0可化为(x ＋sin x )x 2021|x |－a ＝0⇔(x ＋sin x )x 2021|x |＝a ，令F (x )＝(x ＋sin x )x 2021|x |，因为定义域关于原点对称，且F (－x )＝[－x ＋sin(－x )](－x )2021|－x |＝(x ＋sin x )x 2021|x |＝F (x )，所以F (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，所以F (x )与y ＝a 的两个交点对应的横坐标关于y 轴对称，即方程(x ＋sin x )x 2021|x |＝a 的另外两解一定一正一负，又x 1<x 2<x 3，所以x 1<0，x 2＝0，x 3>0，且x 1＝－x 3≠0，所以sin x 2＋2023x 1x 3＝－2023x 21<0.16．(2023·永州模拟)已知函数f (x )－ln (1－|x ＋1|)，－2<x <0，|ln x |，x >0，若关于x 的方程f (x )＝m有4个不同的根，记为x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，且λx 3x 4>x 1－x 2＋32λ的取值范围是______．答案(2，＋∞)解析f(x)ln(1－|x＋1|)，－2<x<0，x|，x>0ln(x＋2)，－2<x≤－1，ln(－x)，－1<x<0，ln x，0<x≤1，x，x>1，作出函数的图象如图所示，则可得－2<x1<－1<x2<0<x3<1<x4，因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝m，所以－ln(x1＋2)＝－ln(－x2)＝－ln x3＝ln x4，所以x1＋2＝－x2＝x3＝1x4，所以x1＝x3－2，x2＝－x3，x4＝1x3，因为λx3x4>x1－x2＋32恒成立，所以λx23>2x3－12，所以λ>2x3－12x23＝－12x23＋2x3＝－＋2，对任意x3∈(0,1)恒成立，即λ>－＋2max，所以当x3＝12时，函数y＋2取到最大值2，所以λ>2，即λ的取值范围为(2，＋∞)．。
新课标高三第一轮复习单元讲座第讲函数与方程
新课标高三第一轮复习单元讲座第讲函数与方程TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座6）—函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。
（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。
三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
2020版高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用第11讲函数与方程课时达标理(含解析)新人教A版
第11讲函数与方程课时达标一、选择题1．函数f ( x) ＝x3＋2x－ 1 的零点所在的大概区间是()A． (0,1)B． (1,2)C． (2,3)D． (3,4)A分析 f (0)＝－1<0， f (1)＝2>0，则 f (0)· f (1)＝－ 2<0，且函数f ( x) ＝x3＋2x－ 1的图象是连续曲线，所以 f ( x)在区间(0,1)内有零点．2．用二分法找函数 f ( x)＝2x＋3x－7在区间 [0,4] 上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为()A． (0,1)B． (0,2)C． (2,3)D． (2,4)B分析由于 f (0)＝ 20＋ 0－ 7＝－ 6<0，f (4)＝ 24＋ 12－ 7>0，又已知f (2) ＝ 22＋ 6－ 7>0，所以 f(0) ·f (2)<0 ，所以零点在区间 (0,2)内．应选 B．3．f ( x) ＝2sin πx－x＋1的零点个数为 ()A． 4B． 5C． 6D． 7B分析令f(x)＝2sinπx－x＋1＝0，则2sinπ x＝x－1，令h(x)＝2sinπ x，g(x)＝x－1，则 f ( x)＝2sinπ x－x＋1的零点个数问题转变为两个函数h( x)与 g( x)图象的交点个数问题． h( x)＝2sinπ x 的最小正周期为2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有 5 个，所以 f ( x)＝2sinπ x－x＋1的零点个数为5.2x，x＞ 1，4．(2019·延吉模拟)已知函数f(x)＝x2＋4x＋2，x≤1，则函数 g( x)＝ f ( x)－ x 的零点为 ()A． 0B．－1，－ 2C．－ 1,0D．－2，－ 1,0B分析当 x＞1时，g( x)＝ f ( x)－ x＝0，则2x－ x＝0.由于 x＞1，所以此时方程无解；当x≤1时， g( x)＝f ( x)－ x＝ x2＋3x＋2＝0，则 x1＝－1或 x2＝－2.综上，函数 g( x)的零点为－ 1，－ 2.5．(2019 ·惠州调考x＋2x－ 4，g( x) ＝ ln2a，b 分) 设函数f ( x) ＝ e x＋2x －5，若实数别是 f ( x)， g( x)的零点，则()A．g( a) ＜ 0＜f ( b)B．f ( b) ＜ 0＜g( a)C． 0＜g( a) ＜f ( b)D．f ( b) ＜g( a) ＜ 0A分析依题意， f (0)＝－3＜0，f (1)＝e－2＞0，且函数 f ( x)是增函数，所以函数 f ( x) 的零点 a∈(0,1)，g(1)＝－3＜0，g(2)＝ln 2＋3＞0，且函数 g( x)在(0，＋∞)上是增函数，所以函数g(x)的零点b∈(1,2)，于是有f (b)＞f (1)＞0，g(a)＜g(1)＜0，g(a)＜0＜f ( b)．应选 A．6．(2017 ·全国卷Ⅲ ) 已知函数f (x) ＝x2－2x＋(e x －1－ x＋ 1＝()＋ e) 有独一零点，则a a11A．－B．231C．2D． 1C分析 f ( x)＝ x2－2x＋ a(e x－1＋e－x＋1)＝( x－1)2＋ a[e x－1＋e－( x－1)]－1，令 t ＝ x－1，则g( t )＝ f ( t ＋1)＝ t 2＋ a(e t＋e－t)－1.由于 g(－ t )＝(－ t )2＋a(e－t＋e t)－1＝g( t )，所以函数 g( t )为偶函数．由于 f ( x)有独一零点，所以 g( t )也有独一零点．又 g( t )为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)＝0，所以2a－1＝0，解得 a＝1.应选 C．2二、填空题7．若二次函数 f ( x)＝ x2－2ax＋4在(1，＋∞)内有两个零点，则实数 a 的取值范围为________．>0，4a2－ 16>0，分析依照二次函数的图象有－ 2a a>1，－>1，即25 f 1>0，a<2，5解得 2<a<2.5答案2，28．定义在 R 上的奇函数f ( x) 知足：当x>0 时，f ( x) ＝ 2019x＋log 2 019x，则在R上，函数 f ( x)零点的个数为________．分析函数 f ( x)为R上的奇函数，所以 f (0)＝ 0，当x>0 时，f ( x) ＝ 2x019 ＋ log 2 019x在0，1区间 2 019内存在一个零点，又 f ( x)为增函数，所以在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在( －∞， 0) 内有且仅有一个零点，进而函数 f ( x)在R上的零点的个数为3.答案 39．(2018 ·浙江卷 ) 已知∈R，(x x－4， x≥λ，＝ 2 时，不等式λ) ＝当λf x2－4x＋3， x＜λ，f ( x)＜0的解集是________；若函数 f ( x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．x－ 4，x≥2，分析 (1)当λ＝2时，f(x)＝x2－ 4x＋3，x＜ 2，其图象如图 (1)．由图知 f ( x)＜0的解集为 (1,4)．(1)(2)(2) f ( x) ＝x－4， x≥λ，恰有 2 个零点有两种状况：①二次函数有两个零点，2－4 ＋ 3，＜λx x x一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与 y＝x2－4x＋3的图象，如图(2) ，平移直线x＝λ，可得λ∈ (1,3]∪(4 ，＋∞ ) ．答案 (1)(1,4)(2)(1,3]∪ (4 ，＋∞)三、解答题10．对于x的二次方程x2＋ ( m－ 1) x＋ 1＝ 0 在区间 [0,2] 上有解，务实数m的取值范围．分析由x2＋ (－ 1)x＋1＝0 得x＝ 0 不是方程的根．所以当∈ (0,2]时，－ ( －1)x＝m x mx 2＋1,1－＝1x1x＝ 1时，等号建立，所以 1－≥2，＋ .由于∈ (0,2] 时，＋≥2，当且仅当m x x x x m即≤－ 1，故实数的取值范围为 ( －∞，－ 1] ．m m11．(2019 ·无锡中学月考 ) 已知函数f ( x) ＝ax2＋bx＋c( a≠0) ，知足 f (0)＝2， f ( x＋1)－ f ( x)＝2x－1.(1)求函数 f ( x)的分析式；(2)当 x∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值；(3)若函数 g( x)＝f ( x)－ mx的两个零点分别在区间( － 1,2)和 (2,4)内，求 m的取值范围．分析 (1) 由f (0) ＝2 得c＝ 2，又f(＋1) －f(x) ＝2 －1，得x x2ax＋a＋b＝ 2x－ 1，故2a＝ 2，解得 a＝1， b＝－2，故 f ( x)＝ x2－2x＋2. a＋ b＝－1，(2)f ( x)＝ x2－2x＋2＝( x－1)2＋ 1，对称轴为x＝ 1∈ [ －1,2] ，故f ( x) min＝f (1) ＝ 1，又f (－1)＝5， f (2)＝ 2，所以f ( x)＝f (－1)＝5.max(3)g( x)＝ x2－(2＋m) x＋2，若 g( x)的两个零点分别在区间( －1,2)和 (2,4) 内，则知足g －1 ＞0，5＋ ＞0，m55g 2 ＜ 0，? 2－ 2m ＜0， 解得 1 ＜ ＜ 所以的取值范围为1， g 4 ＞ 010－4 ＞ 0，m 2.m2.m2e 212．(2019 ·石家庄一模 ) 已知函数 f ( x ) ＝－ x ＋ 2e x ＋ t － 1，g ( x ) ＝ x ＋ x ( x ＞ 0) ，此中e 表示自然对数的底数．(1) 若 g ( x ) ＝ m 有实根，求 m 的取值范围；(2) 确立 t 的取值范围，使得 g ( x ) － f ( x ) ＝0 有两个相异实根．e 22分析 (1) 解法一由于 x ＞ 0，所以 g ( x ) ＝ x ＋ x ≥2 e ＝ 2e ，等号建立的条件是 x ＝e. 故 ( ) 的值域是 [2e ，＋∞ ) ，因此只要 ≥2e ， ( ) ＝ 就有实根．g xm g x m2解法二作出 ( ) ＝ ＋e( ＞ 0) 的图象， 如图 (1) ，察看图象可知 ( ) 的最小值为 2e ，g x x x x g x所以要使 g ( x ) ＝ m 有实根，则只要 m ≥2e.(2) 若 g ( x ) － f ( x ) ＝ 0 有两个相异的实根，则函数g ( x ) 与 f ( x ) 的图象有两个不一样的交点．由于 f ( x ) ＝－ x 2＋ 2e x ＋ t － 1＝－ ( x －e) 2＋ t － 1＋ e 2，所以函数 f ( x ) 图象的对称轴为直线 x ＝ e ，张口向下，2e 22最大值为 t － 1＋ e . 由题意， 作出 g ( x ) ＝ x ＋ x ( x ＞ 0) 及 f ( x ) ＝－ x ＋ 2e x ＋ t － 1 的大概图象，如图 (2) 所示． 故当 t － 1＋e 2＞ 2e ，即 t ＞－ e 2＋ 2e ＋ 1 时， ( x ) 与 f ( ) 的图象有两个g x交点，即 g ( x ) － f ( x ) ＝ 0 有两个相异实根．所以t 的取值范围是 ( － e 2＋ 2e ＋ 1，＋∞ ) ．13． [ 选做题 ] 若 y ＝ f ( x ) 是定义在 R 上的函数，且知足：①f ( x ) 是偶函数；② f ( x ＋ 2)是偶函数；③当 0＜ ≤2时， f ( x ) ＝ log 2 019 ，当x ＝0时， f ( x ) ＝ 0，则方程f ( x )＝－2 019xx在区间 (1,10) 内的全部实数根之和为 ()A ． 0B ． 10C ． 12D ． 24D 分析 由 f ( x ＋ 2) 是偶函数得 f ( x ＋ 2) ＝f ( － x ＋ 2) ，则 f ( x ) 的图象对于 x ＝2 对称．又由于 f ( x)是偶函数，所以 f ( x)的图象对于 x＝0对称，x＝2n( n∈Z)是函数 f ( x)的对称轴．因为当 0＜≤2时，f () ＝ log 2 019x，当x＝0 时，f(x) ＝ 0，所以在区间 (1,10) 内，方程f(x)x x＝－ 2 019 有 4 个根，对于x＝ 4 对称的两个根之和为8，对于x＝ 8 对称的两个根之和为16，所以方程 f ( x)＝－2 019在区间(1,10)内的全部实数根之和为 24.。
高中数学人教版必修1函数与方程 课件PPT
思考5:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是间断的，上述原理适应吗？
思考6:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上 的图象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间 （a，b）内一定没有零点吗？
理论迁移
例1 求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数.
3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 第一课时 方程的根与函数的零点
问题提出
t
p
1 2
5730
1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1 它们的含义分别如何？
2.方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图 象有什么关系？
3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数 y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？
思考2:上述三个函数分别是什么类型的函数？ 其单调性如何？
思考3:这三个方案前11天所得的回报如下表, 分析这些数据，你如何根据投资天数选择投 资方案？
天次
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
方案一 当天回 报 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 …
累计回 报 40 80 120 160 200 240 280 320 360 4x 4(x 1)
x
2
4x
3(x
和 1)
g(x) log2x 设h(x) f (x) g(x),试确定
函数h(x)的零点个数 .
例3 已知函数 f (x) 2ax2 x 1 在区间[0， 1]内有且只有一个零点，求实数a的取值 范围.
问题提出
1. 函数来源于实际又服务于实际，客观 世界的变化规律，常需要不同的数学模 型来描述，这涉及到函数的应用问题.
(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习2.8函数与方程课件理新人教A版
【解析】因为函数f(x)的图象为直线,由题意可得
f(-1)f(1)<0,所以(-3a+1)·(1-a)<0,解得 1＜a＜1，
3
所以实数a的取值范围是 ( 1 ,1).
3
答案: ( 1 ,1)
3
题组二:走进教材 1.(必修1P92T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,其 中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )
_1 _
Δ <0 无交点
_0 _
【常用结论】 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则 f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数 值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号, 也可能不变号.
【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“√”错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. ( ) (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在当b2-4ac<0时没有零 点. ( )
【题组练透】
1.函数f(x)=ln(x+1)- 1 的一个零点所在的区间是
x
()
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【解析】选B.因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)
=ln 2-1<0,f(2)=ln 3- 1 >0,所以f(x)的零点所在区
2
间为(1,2).
(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不 断),则f(a)·f(b)<0. ( ) (4)若f(x)在区间[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)>0, 则f(x)在(a,b)内没有零点. ( )