小学数学5年级培优奥数讲义 第14讲-组合图形的面积(含解析)

第14讲组合图形的面积掌握三角形的面积计算公式； 学会使用拆补法求解三角形面积； 通过题目中给定比例关系求解面积比。

计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。

这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。

有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

例1、已知图12－1中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。

例2、在△ABC 中(图12-2)，BD=DE=EC ，CF ：AC=1：3。

若△ADH 的面积比△HEF 的面积多24平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少平方厘米？典例分析知识梳理学习目标ABCFE D 12－1例3、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图12－3所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？例4、四边形ABCD 的对角线BD 被E 、F 两点三等分，且四边形AECF 的面积为15平方厘米。

求四边形ABCD 的面积(如图12－4所示)。

例5、如图12－5所示，BO ＝2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米。

那么，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？例6、如图18－17所示，长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，求三角形ABC 的面积。

BCDAO 12-312612－4ABCDEFBADCOE12－512－6例7、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分。

△AOB 的面积是2平方千米，△COD 的面积是3平方千米，公园陆地面积为6.92平方千米，那么人工湖的面积是多少平方千米？➢ 课堂狙击1、如图所示，AE ＝ED ，BC=3BD ，S △ABC ＝30平方厘米。

求阴影部分的面积。

2、如图所示，DE ＝12 AE ，BD ＝2DC ，S △EBD ＝5平方厘米。

求三角形ABC 的面积。

3、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，(如图所示)两个三角形的面积是多少？4、如图所示，已知四边形ABCD 的对角线被E 、F 、G 三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。

求四边形ABCD 的面积。

实战演练DCDC C5、如图所示， AD=6，CG=4；求阴影部分的面积。

(ABCD 为正方形)6、如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC ＝2AO 。

求梯形面积。

7、如图18－18所示，长方形ABCD 的面积是20平方厘米，三角形ADF 的面积为5平方厘米，三角形ABE 的面积为7平方厘米，求三角形AEF 的面积。

➢ 课后反击1、如图所示，AE=ED ，DC ＝13 BD ，S △ABC ＝21平方厘米。

求阴影部分的面积。

2、已知三角形AOB 的面积为15平方厘米，线段OB 的长度为OD 的3倍。

求梯形ABCD 的面积。

CDB CDAOEBCDF3、已知S △AOB ＝6平方厘米。

OC ＝3AO ，求梯形的面积(如图所示)。

4、如图18－19所示，长方形ABCD 的面积为20平方厘米，S △ABE＝4平方厘米，S △AFD ＝6平方厘米，求三角形AEF 的面积。

5、底边长为6厘米，高为9厘米的等腰三角形20个，迭放如下图：每两个等腰三角形有等距离的间隔，底边迭合在一起的长度是44厘米．回答下列问题： (1)两个三角形的间隔距离；(2)三个三角形重迭(两次)部分的面积之和； (3)只有两个三角形重迭(一次)部分的面积之和；(4)迭到一起的总面积．直击赛场BAE1、图中ABCD 是梯形，AECD 是平行四边形，则阴影部分的面积是( )平方厘米(图中单位：厘米)。

2、如图，已知长方形ABCD 的面积是24平方厘米，三角形ABE 的面积是5平方厘米，三角形AFD 的面积是6平方厘米，那么三角形AEF 的面积是()平方厘米。

计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。

这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。

有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

➢ 本节课我学到了➢ 我需要努力的地方是学霸经验名师点拨FED CBA第14讲组合图形的面积掌握三角形的面积计算公式； 学会使用拆补法求解三角形面积； 通过题目中给定比例关系求解面积比。

计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。

这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。

有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

例1、已知图12－1中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。

【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。

由于AE=ED,连接DF ，可知S △AEF =S △EDF (等底等高)，采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。

因为BD=23 BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。

又因为AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。

因此，S △ABC ＝5S △DCF 。

由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6(平方厘米)，则阴影部分的面积为： 1.6×2＝3.2(平方厘米)。

例2、在△ABC 中(图12-2)，BD=DE=EC ，CF ：AC=1：3。

若△ADH 的面积比△HEF 的面积多24平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少平方厘米？典例分析知识梳理教学目标ACFED 12－1【解析】△ADH 的面积比△HEF 的面积多24平方厘米，则三角形ADE 的面积比三角形FDE 的面积多24平方厘米， 又因三角形FDE 和三角形FEC 的面积相等，也就是说三角形AEC 比三角形FEC 的面积多24平方厘米， 又因多出的24平方厘米,是三角形AEC 的面积的23， 所以三角形AEC 的面积是24÷2/3=36平方厘米， 则三角形ABC 的面积是36÷1/3=108(平方厘米)， 答：三角形ABC 的面积是108平方厘米。

例3、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图12－3所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？【解析】已知S △BOC 是S △DOC 的2倍，且高相等，可知：BO ＝2DO ；从S △ABD 与S △ACD 相等(等底等高)可知：S △ABO 等于6，而△ABO 与△AOD 的高相等，底是△AOD 的2倍。

所以△AOD 的面积为：6÷2＝3。

答：△AOD 的面积是3。

例4、四边形ABCD 的对角线BD 被E 、F 两点三等分，且四边形AECF 的面积为15平方厘米。

求四边形ABCD 的面积(如图12－4所示)。

【解析】由于E 、F 三等分BD ，所以三角形ABE 、AEF 、AFD 是等底等高的三角形，它们的面积相等。

同理，三角形BEC 、CEF 、CFD 的面积也相等。

由此可知，三角形ABD 的面积是三角形AEF 面积的3倍，三角形BCD 的面积是三角形CEF 面积的3倍，从而得出四边形ABCD 的面积是四边形AECF 面积的3倍。

15×3＝45(平方厘米) 答：四边形ABCD 的面积为45平方厘米。

例5、如图12－5所示，BO ＝2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米。

那么，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？【解析】因为BO ＝2DO ，取BO 中点E ，连接AE 。

根据三12-2BCDAO 12-312 612－4 ABCDEFBADOE12－5角形等底等高面积相等的性质，可知S △DBC ＝S △CDA ；S △COB ＝S △DOA ＝4，类推可得每个三角形的面积。

所以：S △CDO ＝4÷2＝2(平方厘米)S △DAB ＝4×3＝12平方厘米 S 梯形ABCD ＝12+4+2＝18(平方厘米) 答：梯形ABCD 的面积是18平方厘米。

例6、如图18－17所示，长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，求三角形ABC 的面积。

【解析】连接AE 。

仔细观察添加辅助线AE 后，使问题可有如下解法。

由图上看出：三角形ADE 的面积等于长方形面积的一半(16÷2)＝8。

用8减去3得到三角形ABE 的面积为5。

同理，用8减去4得到三角形AEC 的面积也为4。

因此可知三角形AEC 与三角形ACF 等底等高，C 为EF 的中点，而三角形ABE 与三角形BEC 等底，高是三角形BEC 的2倍，三角形BEC 的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC 的面积为16－3－4－2.5＝6.5。

例7、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分。

△AOB 的面积是2平方千米，△COD 的面积是3平方千米，公园陆地面积为6.92平方千米，那么人工湖的面积是多少平方千米？【解析】由△BOC 与△DOC 等高h 1，△BOA 与△DOA 等高h 2， 利用面积公式：11BO h 22=，11DO h 32=，得BO ：DO=2：3， 即3DO BO 2=，又21BO h 12= 得2211323DO h BO h BO h 22232===。

则湖的面积为：3123 6.920.582+++-=(平方千米)➢ 课堂狙击实战演练12－6OC1、如图所示，AE ＝ED ，BC=3BD ，S △ABC ＝30平方厘米。

求阴影部分的面积。

【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。

由于AE=ED,连接DF ，可知S △AEF =S △EDF (等底等高)，采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。