陕西省咸阳市实验中学2019-2020年高一下学期第二次月考数学试题

数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．tan(45)sin30(-?+?= ) A 3 B ．12

-

C 2

D 32．已知平行四边形ABCD 中，向量(3,7)AD =u u u r

，(2,3)AB =-u u u r

，则向量AC u u u r

的坐标为( ) A ．15

B ．27-

C ．(5,4)

D ．(1,10)

3．下列各式化简正确的是( )

A ．0OA OD DA -+=u u u r u u u r u u u r r

B ．AB MB BO OM AB +++=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r

C ．0AB CB AC -+=u u u r u u u r u u u r r

D ．00AB =u u u r

g

4．下列命题正确的是( )

A ．单位向量都相等

B ．若a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r

共线

C ．若||||a b a b +=-r r r r ，则0a b =r r g

D ．若a r

与b r 都是单位向量，则1a b =r r g

5．若向量(1,2)a =r

，(0,2)b =-r ，则()(a a b -=r r r g )

A ．6-

B ．7-

C ．8

D ．9

6．在ABC ?中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r

， 则(EF =u u u r

)

A ．2136a b -r r

B ．1133a b +r r

C ．1124a b +r r

D ．1133

a b -r

r

7．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式．某同学想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为

120?，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm ．则制作这样一

面扇面需要的布料为___cm 2．( ) A ．

4003

π

B ．400π

C ．800π

D ．7200π 8．函数sin(2)3

y x π

=+的图象( )

A ．关于点(,0)6

π

对称

B ．关于点(,0)3

π

对称

C ．关于直线6

x π

=

对称

D ．关于直线3

x π

=

对称

9．将函数2()sin(2)3

f x x π=+的图象向左平移

6

π

个单位长度，所得图象对应的函数()g x ，则()g x 的单调递增区间为( )

A ．[2

k π

π+，3]2k ππ+

，k Z ∈ B ．[4k ππ-，]4k π

π+，k Z ∈ C ．[4

k π

π+，3]4k ππ+

，k Z ∈ D ．[2k ππ-，]2

k π

π+，k Z ∈ 10．函数()sin()(0f x A x A ω?=+>，0ω>，||)2

π?<的图象如图所示，则()3

f π

的值

为( )

A ．1

2

B ．1

C 2

D 311．已知函数sin()(0)3

y x πωω=+>在区间(,)63

ππ

-上单调递增，则ω的取值范围是(

)

A ．1(0,]2

B ．1[,1]2

C ．12(,]33

D ．2

[,2]3

12．已知A ，B 2的O e 上的两个点，1OA OB =u u u r u u u r

g ，

O e 所在平面上有一点C 满足||1OA CB +=u u u r u u u r ，则||AC u u u r

的最大值为( )

A 21

B 61+

C ．21

D 61

二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．求使得2

cos α≥

α的集合________． 14．已知向量(,3)a m =r ，4

(3

b m =-r ，1)m -．若a b //r r ．则m = ．

15．已知

3,4,12

a b a b ==?=-r r r r

，则向量a r 在b r

的射影为 .

16．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①()f x 是偶函数

②()f x 在区间（

2

π，π）单调递增

③()f x 在[,]-ππ有4个零点 ④()f x 的最大值为2

其中所有正确结论的编号是_________.

第II 卷（非选择题 共90分）

三．解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）

已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点

为

P ??，求3sin()2cos()cos(

)

2

παπαπ

α--+-的值．

18.（本小题12分）

已知4,2a b ==r r

，且+a b =r r

求：（1）()()

2a b a b -?+r r r r

； （2）2a b -r r .

19．（本小题12分）

已知向量(1,3)a =r

，(1,3)b =-r

，(,2)c λ=r

．

（1）若3a mb c =+r r r

，求实数m ，λ的值；

（2）若(2)()a b b c +⊥-r r r r ，求a r

与2b c +r r 的夹角θ的余弦值．

20．（本小题12分）

已知函数()12sin(2)3

f x x π=+-，[,]42

x ππ

∈．

（1）求()f x 的最大值和最小值；

（2）若不等式2()2f x m -<-<在[,]42

x ππ

∈上恒成立，求实数m 的取值范围．

21．（本小题12分）

如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=?，2AB =，1CD =，P 是线段AD 上（包括端点）的一个动点．

（1

）当AD AC AB u u u r u u u r

g 的值；

②若5

4

PB PC =u u u r u u u r

g ，求||AP u u u r 的值；

（2）求|2|PB PC +u u u r u u u r

的最小值． 22．（本小题12分）

已知函数()sin()f x A x ω?=+，x R ∈（其中0A >，0ω>，0)2

π

?<<的图象与x 轴

的交点中，相邻两个交点之间的距离为2

π

，且图象上一个最高点为(6M π，3)．

（1）求()f x 的解析式；

（2）先把函数()y f x =的图象向左平移

6

π

个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数

()y g x =的图象，试写出函数()y g x =的解析式．

（3）在（2）的条件下，若总存在0[3

x π

∈-

，

2]3

π

，使得不等式03()2log g x m +≤成立，求实数m 的最小值．

数学参考答案

一．选择题（共12小题，共60分）

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

B

C

D

A

B

B

C

B

A

A

二．填空题（共4小题,每小题5分，共20分） 13．[24

k π

π-

+，

2]4

k π

π+，k Z ∈． 14．2．

15．-3. 16.①④

三．解答题（共7小题，共70分） 17．（本题10分）解：255

sin αα==. ———————— （4分）

3sin 2cos =

sin αα

α

+原式 ——————————————————（8分）

cos 32

2sin α

α

=+= ——————————————————————（10分） 18. （本题12分）解：2222+12a b a a b b +=+?=r r r r r r ,4a b ?=-r r

.————————（4分）

（1）(

)(

)

22

2=-212a b a b a a b b -?+-?=r r

r r

r r r r ；————————————————（8分） （2）2

22

2=4484a b a a b b --?+=r r r r r r

，2a b -r r

————————————（12分） 19．（本题12分）解：（1）由3a mb c =+r r r ，得(1，3)(m =-，3)(3m λ+，6)，

即13,336,m m λ=-+??=+?

解得0λ=，1m =-；————————————————————（6分）

（2）2(1,9)a b +=r

r ，(1,1)b c λ-=--r r ； 因为(2)()a b b c +⊥-r

r r r ，所以190λ--+=，

解得8λ=；————————————————————————————————（8分）

令2(6,8)d b c =+=r r r

，————————————————————————————（10分）

则a r

与2b c +r r 的夹角θ的余弦值为

cos ||||a d a d θ===?r r g r r ．———————————————————（12

分）

20．（本题12分）解：（1）Q 4

2

x

π

π

剟，∴

226

33

x π

π

π

-

剟，—————————————（3分）

∴

1sin(2)123

x π-剟， ∴2()12sin(2)33

f x x π

=+-

剟，

故()f x 的最大值为3，最小值为2；——————————————（6分） （2）由（1）知，当[,]42

x ππ

∈时，2()3m f x m m ---剟，

要使2()2f x m -<-<在[,]42

x ππ

∈上恒成立，

只需3222m m --?

，——————————————————————（10分）

解得14m <<，

∴实数m 的取值范围是(1,4)．——————————————————（12分）

21．（本题12分）解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系． （1）当3AD =时，

()2i AB =Q ，∴(2,0)AB =u u u r

，3)AC =u u u r ，

因此21032AC AB =+=u u u r u u u r

g g g ；—————————————————————

———（3分）

（ⅱ）设||AP t =u u u r

，即点P 坐标为(0,)t ，

则(2,)PB t =-u u u r ，3)PC t =u u u r ，223521()(3)32()4

PB PC t t t t t =+-=+=-+u u u r u u u r g g

当3t 时，54

PB PC =u u u r u u u r g ，即3

|||AP u u u r ；——————————————————（7分）

（2）设(1,)C c 、(0,)P t ，又(2,0)B 则22(2,)(1,)(5,3)PB PC t c t c t +=-+-=-u u u r u u u r

，

∴2|2|25(3)5PB PC c t ++-u u u r u u u r

…，当3

c

t =

时取到等号， 因此|2|PB PC +u u u r u u u r

的最小值为5．——————————————————————（12分）

22．（本题12分）解：（1）Q

122T π=，2T π

πω

∴==，解得2ω=； 又函数()sin(2)f x A x ?=+图象上一个最高点为(6

M π

，3)，3A ∴=.

22()6

2

k k Z π

π

?π?

+=+

∈，2()6

k k Z π

?π∴=+

∈，又02

π

?<<

，6

π

?∴=

，

()3sin(2)6f x x π

∴=+；——————————————————————————（6分）

（2）把函数()y f x =的图象向左平移

6

π

个单位长度，得到()3sin[2()]3cos2666

f x x x πππ

+=++=；

然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数

()3cos y g x x ==的图象，

即()3cos g x x =；——————————————————————————————（8分） （3）0[3

x π

∈-

Q ，

2]3π

，01cos 12x ∴-≤≤，033cos 32

x -≤≤， 依题意知331log 222m ??

≥-+= ?

??

，

所以m ≥，即实数m —