2011届高考理科数学第一轮专题复习16
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第36讲数列模型及应用
16
乙方案获利： ②乙方案获利： 1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5) × × 银行本息和： 银行本息和： 1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9] ×
10 × 9 =10×1+ 万元); × ×0.5=32.50(万元 万元 2
故乙方案纯利： 万元); 故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29(万元 由于本息与利润是熟悉的概念， 万元 由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建 立通项公式并运用所学过的公式求解. 立通项公式并运用所学过的公式求解 综上可知，甲方案更好. 综上可知，甲方案更好
1 依题意,有 依题意 有n120°+ n(n-1)×5°=180°(n-2), ° × ° ° 2
化简得n -25n+144=0，解得n=9或 化简得n2-25n+144=0，解得n=9或n=16. =195°[0°,180°)，故n=16舍去， ° ° 舍去， °， 舍去
当n=16时，最大内角为 °+(16-1)×5° 时 最大内角为120° × ° 最大内角为120°+(9-1)×5°=160°. 当n=9时,最大内角为 时 最大内角为 ° × ° °
新课标高中一轮 总复习
理数
1
第五单元 数列、推理与证明 数列、
2
第36讲 36讲
数列模型及应用
3
1.认识数列的函数特性，能结合方 认识数列的函数特性， 认识数列的函数特性 不等式、 解析几何、 程 、 不等式 、 解析几何 、 算法等知识 解决一些数列问题. 解决一些数列问题 2.掌握与等差数列、等比数列有关 掌握与等差数列、 掌握与等差数列 的实际应用问题的解法. 的实际应用问题的解法
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第15讲函数的综合应用
17
是正整数， 、 是正整数 ， 变式 若m、n是正整数，且n>m≥1，求 证：(1+m)n>(1+n)m. (1+m)n>(1+n)m In(1 + m) >In(1 + n) (n>m≥1), 构造函数f(x)= 构造函数 易知函数f(x)= 易知函数 即 In(1 + m) >
m
当n>m≥1时，f(m)>f(n), 时
若f ′(x)>0,则x<e； 则 ； 若f ′(x)<0,则x>e. 则
1 Inx , x2
Inx 即函数f(x)= 在(0,e］上是增函数， 即函数 ］上是增函数， x
16
上是减函数.且注意 在［e,+∞)上是减函数 且注意 上是减函数 且注意x>1时，函数 时 f(x)>0，所以函数 的图象如图所示， ，所以函数f(x)的图象如图所示， 的图象如图所示 由图象可得其性质. 由图象可得其性质
20
备选题
已 知 f(x) 是 二 次 函 数 ， 不 等 式 f(x)<0的解集是 的解集是(0,5)， 且函数 的解集是 ， 且函数f(x)在区 在区 间［-1，4］上的最大值是 ， ］上的最大值是12. (1)求函数 的解析式； 求函数f(x)的解析式 求函数 的解析式；
37 (2)是否存在自然数 使得方程 是否存在自然数m,使得方程 是否存在自然数 使得方程f(x)+ =0 x
9
4.若a>1，且a-m+logan<a-n+logam，则m、n的 若 ， 、 的 关系是（ 关系是（ A ） A.m>n>0 C.n>m>0 B.m=n>0 D.不确定 不确定
2011届高考数学第一轮巩固与练习题45
巩固1．(2009年高考重庆卷)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )．若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选D.∵a ＋b ＝(3,1＋x ),4b －2a ＝(6,4x －2)，a ＋b 与4b －2a 平行，则4x －2＝2(1＋x )，∴x ＝2.2．(2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC→＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A ．(2，72) B ．(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选A.设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)， 又BC→＝2AD →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝72.故选A.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．1解析：选B.由已知得u ＝a ＋k b ＝(1,2＋k )，v ＝2a －b ＝(2,3)，故u ∥v ⇔3－2(2＋k )＝0⇒k ＝－12.4．(原创题)已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，则a ＋b 所在直线的斜率为________．解析：a ＋b ＝(1,5)，则a ＋b 所在直线的斜率为5. 答案：55．(2009年高考安徽卷)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设AB →＝a ，AD →＝b ， 那么AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ， 又∵AC→＝a ＋b ， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23， ∴λ＋μ＝43.答案：436．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 的坐标和CD→的坐标． 解：设点C 、D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝12－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2＝0. 所以点C 、D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)． 练习1．在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG→＝2GD →，则点C 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)解析：选B.设C (x ，y )，则D (8＋x 2，－4＋y 2)，再由AG→＝2GD →，得(0，－4)＝2(4＋x 2，－2＋y2)，∴4＋x ＝0，－2＋y ＝－4，即C (－4，－2)，故选B.2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) 解析：选D.由题知4a ＝(4，－12)， 4b －2c ＝(－6,20),2(a －c )＝(4，－2)． 由题意知：4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0， 则(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋d ＝0， 即(2,6)＋d ＝0，故d ＝(－2，－6)． 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A (3,1)，B (－1,3)．若点C 满足OC→＝αOA →＋βOB →，其中α，β∈R 且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：选D.设OC→＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)， ∵OC→＝αOA →＋βOB →， ∴(x ，y )＝α(3,1)＋β(－1,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－β，y ＝α＋3β，又α＋β＝1，∴x ＋2y －5＝0. 4．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC→＝2CB→，则实数a 等于( ) A ．2 B ．1 C.45 D.53 解析：选A.设C (x ，y )，则 AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )， ∵AC →＝2CB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3.∴C (3,3) 又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.5．(2010年无锡调研)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn 等于( )A ．－12 B ．2 C.12 D ．－2解析：选 A.m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0,14m ＋7n ＝0， m n ＝－12.故选A.6．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是( )A ．m ≠－2B ．m ≠12 C ．m ≠1 D ．m ≠－1解析：选C.由题意知AC →＝(m ，m ＋1)，BC →＝(m －1，m －1)，因为点A ，B ，C 能构成三角形，所以AC→≠λBC →. 即mm －1≠λm ＋1m －1，得m ≠1.故选C. 7．若点O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB →，则点A ′的坐标为________，点B ′的坐标为________，向量A ′B ′→的坐标为________．解析：∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)， ∴OA→＝(1,2)，OB →＝(－1,3)， OA ′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB ′→＝3×(－1,3)＝(－3,9)．∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)． 答案：(2,4) (－3,9) (－5,5)8．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝________.解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)， 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝0，∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．答案：{(－2，－2)} 9．若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且α－β＝k π(k ∈Z )，则a 与b 一定满足：①a 与b 夹角等于α－β；②|a |＝|b |；③a ∥b ；④a ⊥b .其中正确结论的序号为________． 解析：显然①不对．对于②：|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1， |b |＝cos 2β＋sin 2β＝1. ∴|a |＝|b |，故②正确．对于③：∵cos α＝cos(k π＋β)＝⎩⎪⎨⎪⎧cos β (k 为偶数)－cos β(k 为奇数)，sin α＝sin(k π＋β)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin β (k 为偶数)－sin β(k 为奇数)，∴a ＝(cos β，sin β)或a ＝(－cos β，－sin β)，与b 平行．故③正确．显然④不正确． 答案：②③10.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)， C(2,6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标．解：法一：设OP→＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )， 则AP→＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0) ＝(4t －4,4t )，AC→＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)． 由AP →，AC →共线的充要条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP→＝(4t,4t )＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．∵OP→，OB →共线， ∴4x －4y ＝0.①又CP→＝(x －2，y －6)， CA→＝(2，－6)， 且向量CP→、CA →共线． ∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①，②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．11．在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB→＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示AG →. 解：由于B 、G 、F 三点共线，因此可设AG →＝xAB →＋(1－x )AF →，即AG →＝x a ＋1－x 4b .由于C 、G 、E 三点共线，因此可设AG →＝yAE →＋(1－y )AC →，即AG →＝y 3a ＋(1－y )(a ＋b )＝(1－23y )a ＋(1－y )b .因此x a ＋1－x 4b ＝(1－23y )a＋(1－y )b ，又a 、b 不共线，于是得⎩⎨⎧x ＝1－23y1－x4＝1－y，由此解得x ＝37，因此AG →＝37a ＋17b . 12．已知向量u ＝(x ，y )，与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．(1)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标． 解：(1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)．∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)． ∵mf (a )＝m (a 2,2a 2－a 1)，nf (b )＝n (b 2,2b 2－b 1)，∴mf (a )＋nf (b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)， ∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立． (2)f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝p ，2y －x ＝q .即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p . ∴c ＝(2p －q ，p )．。
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第4讲量词与逻辑联结词
1 cos 2 x 2
=sin2x=|sinx|=sinx，为真命题；
x+y=
综上所述，答案为A.
36
2
，所以p4为假命题.
本节完，谢谢聆听
立足教育，开创未来
37
6
2.指出下列各题中的“p∨q”“p∧q”
“ p”“ q”形式的复合命题的真假： （1）p：梯形有一组对边平行，q:梯形 有一组对边相等； （2）p:5是17的约数，q:5是15的约数.
（3）p:-1是方程x2+4x+3=0的解;q:-3是 方程x2+4x+3=0的解.
7
（1）p为真，q为假，从而“p∨q”为真， “p∧q”为假，“ p”为假，“ q”为 真.
5.会判断全称命题与特称命题的真假.
6.会写出含有一个量词的命题的否定.
4
1.命题“平行四边形的对角线相等且互 相平分”是( C )
A.简单命题
B.“p∨q”形式的复合命 题 C.“p∧q”形式的复合命 题
D.“ p”形式的复合命题
5
命题“平行四边形的对角线相等且 互相平分”是“平行四边形的对角 线相等”和“平行四边形的对角线 互相平分”这两个简单命题组成的 复合命题，是“p∧q”形式的复合 命题.
即p：m>2.
若q真，则Δ=16(m2-4m+4)-16<0，
解得1<m<3，
即q：1<m<3.
若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q 一真一假.
26
若p真，q假，则m>2 m≤1或m≥3，故m≥3.
若p假,q真，则m≤2
1<m<3，故1<m≤2.
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第7讲函数的性质(二)
理数
1
第二单元 函 数
2
第6讲
函数的性质（二） 函数的性质（
3
理解函数的周期性与对称性的 概念，能综合运用函数的性质解题. 概念，能综合运用函数的性质解题
4
1.函数 函数f(x)=2x2-x+1的对称轴方程是 的对称轴方程是x= 14 . 函数 的对称轴方程是
2.已知函数 已知函数f(x)满足 满足f(x+4)=f(x)， 当 2≤x≤3 ， 已知函数 满足 . 2.5 时，f(x)=x，则f(106.5)= ， 由周期函数的定义知f(106. 5)= 由周期函数的定义知 f(26×4+2.5)=f(2.5)=2.5. ×
5
3.函数 函数f(x)=ax2+bx+6(ab≠0)满足条件 函数 满足条件 f(-1)=f(3)，则f(2)的值为 B ) ， 的值为( 的值为 A.5 C.8 B.6 D.与a、b的值有关 与 、 的值有关
由 f(-1)=f(3) ， 知 二 次 函 数 f(x)=ax2+bx+6的对称轴方程是 的对称轴方程是x=1， 的对称轴方程是 ， 所以f(2)=f(0)=6. 所以
8
1.函数的对称性 函数的对称性 如 果 函 数 f(x) 满 足 f(a+x)=f(a-x) 或 f(x)=f(2a-x)， 则函数 ， 则函数f(x)的图象关于直线 的图象关于直线 对称.一般的 一般的， ① x=a 对称 一般的，若f(a+x)=f(b-x)，则 ， a+b 函数f(x)的对称轴方程是② x= 2 . 函数 的对称轴方程是② 的对称轴方程是
(1)令t=logax，则x=at， 令 ， ， (at-a-t).
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第24讲三角函数的性质
6
(2)由(1)得f(x)=sin(2x由 得 因为0≤x≤ 因为
2π ，所以所以 3
)+ 1 .
2
π 1 所以所以 ≤sin(2x- 6)≤1， ， 2 1 π 因此，0≤sin(2x- )+ 2 因此， ≤ 6 3 的取值范围为[0, 2 即f(x)的取值范围为 的取值范围为
π ≤2x- ≤ π , 6 6
),( 2 ,π]上递增 上递增, 上递增
π
1 cos 2 x cos x
（A ）
在[0, 2 ),( π ,π]上递减 上递减
2
21
（2）f(x)= ）
1 cos 2 x cos x
=
1 (1 sin 2 x) cos x
=
2 | sin x | cos x
， 2 tanx， = - 2 tanx， ，
2
π
R
π
奇函数
递增区间： 递增区间：(kπ- π ,kπ+ π )(k∈Z) ∈
2 2
11
2.函数 函数y=Asinx+b和y=Acosx+b的最大值为 函数 和 的最大值为 |A|+b，最小值为 ，最小值为-|A|+b. 3.对称性 对称性 (1)y=sinx的对称中心为 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z);对称 的对称中心为 ∈ 对称 π 轴为x=kπ+ (k∈Z). 轴为 ∈ (2)y=cosx的对称中心为 的对称中心为(kπ+ 2,0)(k∈Z); 的对称中心为 ∈ 对称轴为x=kπ(k∈Z). ∈ 对称轴为 (3)y=tanx的对称中心为 的对称中心为( 的对称中心为 无对称轴. 无对称轴
15
所以y=f(x)为奇函数 为奇函数. 所以 为奇函数
2011届高考数学第一轮复习专题训练11
广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(直线、平面、简单几何)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．过空间一点与已知平面垂直的直线有() A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条解析：根据线面垂直的定义及其性质定理可知过空间一点与已知平面垂直的直线只有1条，故选B.答案：B2．平面α⊥平面β的一个充分条件是() A．存在一条直线l，使得l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，使得γ⊥α，γ⊥βC．存在一个平面γ，使得γ∥α，γ∥βD．存在一条直线l，使得l⊥α，l∥β解析：对于A，由l⊥α，l⊥β得α∥β，因此A不正确；对于B，若直线l⊥γ，则任意一个经过直线l的平面都与平面γ垂直，显然可以找到两个都经过直线l但互不垂直的平面α、β，因此B不正确；对于C，由γ∥α，γ∥β只能得出α∥β，因此C不正确；对于D，由l⊥α，l∥β可得α⊥β，因此D正确．答案：D3．(2010·郑州二检)设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：依题意易知A，D中的位置关系不确定，故A、D错误；对于B，易知a∥b，故B 错误；对于C，因为b⊥β，α∥β，故b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b，故C正确．答案：C4．(2010·浙江温州八校联考)已知直线a，如果直线b同时满足条件①a与b异面；②a与b成定角；③a与b的距离为定值，则这样的直线b() A．唯一确定B．有2条C．有4条D．有无数条解析：D正确．答案：D5．正方体A′B′C′D′－ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|＝b(b<a)，Q点在D′C′上滑动，则四面体A′－EFQ的体积为()图1A ．与E 、F 位置有关B ．与Q 位置有关C ．与E 、F 、Q 位置都有关D ．与E 、F 、Q 位置均无关，是定值 解析：V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF . 答案：D6．设M 是正四面体ABCD 的高线AH 上一点，连结MB 、MC ，若∠BMC ＝90°，则AMMH的值为( )A.5－12B.5＋12C. 2 D ．1解析：BMC中，由MB 2 1.答案：7三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为π2，则球心O )A.13 C.23 解析：·S △ABC＝OC ·S △AOB 答案：8线AD 与 )A.22 C.34 解析：由题意易知∠ABC 1即为AD 与BC 1所成的角，解△ABC 1，得余弦为34.答案：D 9．(2010·保定调研)在正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为△ABC 的中心，则直线EF 与平面ABC 所成的角的大小为( )A ．arccos 13B ．45°C ．arctan 2D ．arctan 22解析：连接SF ，则SF ⊥平面ABC .连接AF 并延长交BC 于H ，取线段AF 的中点G ，连接EG ，由E 为SA 的中点，则EG ∥SF ，∴EG ⊥平面ABC ，∴∠EFG 即为EF 与平面ABC 所成的角．图2设正四面体的边长为a ，则AH ＝32a ，且AF ＝23AH ＝33a ； 在Rt △AGE 中，AE ＝a 2，AG ＝12AF ＝36a ，∠EGA ＝90°，∴EG ＝AE 2－AG 2＝6a .arctan 2，故选ABD θ，则sin ( )图3B.74D.45ABC ⊥平面BCD ，又ABC ，∴DC D ，∴AB ⊥平面ACD 角C ，在直角三角形ACD 中，易求得答案：C 11．(2009·全国卷Ⅱ)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是图4( )A ．南B ．北C ．西D ．下解析：将展开图还原成原来的正方体可知选B. 答案：B12．(2010·南昌一调)如图5，在棱长为4的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是AD 、A ′D ′的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A ′B ′C ′D ′上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹(曲面)与二面角A —A ′D ′—B ′所围成的几何体的体积为( )A.4π3解析：答案：13．解析：答案：14的球面距离为πR2，B与C ．解析：图6∵A 与B ，A 与C 的球面距离都为πR2，∴OA ⊥OB ，OA ⊥OC .从而∠BOC 为二面角B －OA －C 的平面角．又∵B 与C 的球面距离为πR3，∴∠BOC ＝π3.这样球O 在二面角B －OA －C 的部分球面的面积等于16×4πR 2＝2π3R 2.答案：2π3R 215．如图7，∠BAD ＝90°的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面成60°的二面角，则AB 与平面BCD 所成角的大小为________．图7解析：作AE ⊥BD ，连结CE ，则CE ⊥BD ，∠AEC ＝60°. 作AO ⊥EC ，则AO ⊥面BCD ，连结设AB ∴∠答案：16．折成大小等于θ说法：图8①AC ②DM 所成的角是θ；③线段，最小值是34；④当θ所成的角等于π2.其中正确的说法有__________(填上所有正确说法的序号)．解析：如图9(1)，AC ⊥BM ，AC ⊥MD ⇒AC ⊥平面BMD ，所以AC ⊥MN ，①正确；因为θ∈[π3，2π3]，且线与面所成角的范围为[0，π2]，所以DM 与平面ABC 所成的角不一定是θ，②错；BM ＝DM ＝32，MN ⊥BD ，∠BMD ＝θ，所以MN ＝BM ·cos θ2＝32·cos θ2，所以线段MN 的最大值是34，最小值是34，③正确；当θ＝π2时，过C 作CE ∥AD ，连接DE (如图9(2))，且DE ∥AC ，则∠BCE (或补角)即为两直线的夹角，BM ⊥DM ，BM ＝DM ＝32，BD 2＝32，又DE ∥AC ，则DE ⊥平面BDM ，∴DE ⊥BD ，BE 2＝32＋1＝52，cos BCE ＝1＋1－522＝－14≠0，所以④错．图9答案：①③三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)(2010·石家庄质检)如图10，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，G 、H 分别为BC 、B 1D 1的中点．图10(1)指出直线GH 与平面EFDB 的位置关系，并加以证明； (2)求异面直线GH 与DF 所成角的大小． 解：(1)连结EH ，易知EH ＝BG 且EH ∥BG ，所以四边形EHGB 为平行四边形，所以GH ∥BE ，所以GH ∥平面EFDB . (2)取BD 中点M ，连结MF ，易知MF ∥BE ，所以MF ∥GH ， 所以∠DFM 为异面直线GH 与DF 所成的角， 设正方体棱长为2，可得，MF ＝5，DF ＝5，MD ＝2，在三角形MDF 中，由余弦定理可得cos ∠MFD ＝45，∴异面直线GH 与DF 所成的角的大小为arccos 45.18．(12分)如图11，在△ABC 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，点D 在斜边AB 上，∠BCD＝α(0<α<π2)．把△BCD 沿CD 折起到△B ′CD 的位置，使平面B ′CD ⊥平面ACD .图11(1)求点B ′到平面ACD 的距离(用α表示)；(2)当AD ⊥B ′C 时，求三棱锥B ′－ACD 的体积．解：(1)作B ′E ⊥CD 于E . ∵平面B ′CD ⊥平面ACD ， ∴B ′E ⊥平面ACD .∴B ′E 的长为点B ′到平面ACD 的距离．B ′E ＝B ′C ·sin α＝sin α.图12(2)∵B ′E ⊥平面ACD ，∴CE 为B ′C 在平面ACD 内的射影． 又AD ⊥B ′C ，∴AD ⊥CD (CE )． ∵AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，∴D 为AB 中点，且α＝π.∴S △∴V B ′－19．G 分别为棱DD 1、(1)(2)图13解：(1)的中点H ，连接DP 、EH ，则∥B 1G ，又B 1G ⊂1.即H 4时，EH ∥平面FGB 1.20．(12分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB ＝CC 1＝a ，BC ＝b . (1)设E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； (2)求证：A 1C 1⊥AB ；(3)求点B 1到平面ABC 1的距离．图14解：(1)∵E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，∴EF ∥A 1C 1.∵A 1C 1∥AC ，∴EF ∥AC ，∴EF ∥平面ABC . (2)∵AB ＝CC 1，∴AB ＝BB 1. 又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB 1A 1为正方形， 连结A 1B ，则A 1B ⊥AB 1.又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，∴AB 1⊥A 1C 1. 又A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，∴A 1C 1⊥AB . (3)∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1∥平面ABC 1，∴A 1到平面ABC 1的距离等于B 1到平面ABC 1的距离，过A 1作A 1G ⊥AC 1于G . ∵AB ⊥平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1G ，从而A 1G ⊥平面ABC 1，故A 1G 即为所求的距离，求得A 1G ＝abb 2－a 2.21．(12分)(2009·唐山二模)如图15，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面所成的角为60°，AB ＝BC ，A 1A ＝A 1C ＝2，AB ⊥BC ，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC .(1)证明：A 1B ⊥A 1C 1；(2)求二面角A －CC 1－B 的大小；(3)求经过A 1、A 、B 、C 四点的球的表面积．图15图16解：取AC 中点为O ，由A 1A ＝A 1C ，AB ＝BC ，知A 1O ⊥AC ，BO ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥OB .建立如图16所示的坐标系O －xyz ，则A (0，－1,0)， B (1,0,0)，A 1(0,0，3)，C (0,1,0)．(1)∵A 1B →＝(1,0，－3)，A 1C 1→＝AC →＝(0,2,0)， ∴A 1B →·A 1C 1→＝0，∴A 1B ⊥A 1C 1.(2)设n ＝(x ，y ，z )为面BCC 1的一个法向量．∵BC →＝(－1,1,0)，CC 1→＝AA 1→＝(0,1，3)，又n ·BC →＝n ·CC 1→＝0， ∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，y ＋3z ＝0.取n ＝(3，3，－1)． 又m ＝(1,0,0)是面ACC 1的法向量，cos m ，n ＝m ·n |m ||n |＝37＝217.由点B 在平面ACC 1内的射影O 在二面角的面ACC 1内，知二面角A －CC 1－B 为锐角，所以二面角A －CC 1－B 的大小为arccos 217.(3)设球心为O 1，因为O 是△ABC 的外心，A 1O ⊥平面ABC ， 所以点22． 2的正方形，PB ⊥图17(1)(2)(3)，使得点E 到平面P AF F解：(1)为正方形，∴BC ⊥AB ，又BC ⊥BC ⊥P A . 同理∴P A(2)所示的空间直角坐标系A －xyz ，图18则A (0,0,0)，C (2,2,0)、E (0,1,1)．设m ＝(x ，y ，z )为平面AEC 的一个法向量．则m ⊥AE →，m ⊥AC →. 又AE →＝(0,1,1)，AC →＝(2,2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋2y ＝0.令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，得m ＝(1，－1,1) 又AP →＝(0,0,2)是平面ACD 的一个法向量， 设二面角E －AC －D 的大小为θ，则cos θ＝cos m ，AP →＝m ·AP → |m |·|AP →|＝23·2＝33.∴二面角E －AC －D 的大小为arccos 33.(3)设F (2，t,0)(0≤t ≤2)，n ＝(a ，b ，c )为平面P AF 的一个法向量，则n ⊥AP →，n ⊥AF →.又AP →＝(0,0,2)，AF →＝(2，t,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝0，2a ＋tb ＝0.∴。
2011届高考数学第一轮复习章节练习题51
高三数学章节训练题36《点、直线、平面之间的位置关系》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）Ａ．16π Ｂ．20π Ｃ．24π Ｄ．32π2．已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，则EF 与CD 所成的角的度数为（ ）Ａ．90 Ｂ．45Ｃ．60 Ｄ．303．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ）Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．1条或2条4．在长方体1111ABCD A BC D -，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离为( )A ．83 B ． 38 C ．43 D ． 345．直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点，连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为（ ）A ．361a B ．3123a C ．363a D ．3121a 6．下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分) 1．正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。
2．空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，则BC 与AD 的位置关系是_____________；四边形EFGH 是__________形；当___________时，四边形EFGH 是菱形；当___________时，四边形EFGH 是矩形；当___________时，四边形EFGH 是正方形3．四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V AB C --的平面角为_____________。
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第28讲平面向量的概念与运算
B.
13 5
C. 13
D. 65
a b |b|
= =
a b |a|cosθ=|a| = | a ||b | 2 × ( 4) + 3 × 7 13
42 + 7 2
65 5
=
65
.
11
故选A. 故选
1.向量的有关概念 向量的有关概念 既有① 又有② 的量叫做向量. 既有①大小又有② 方向 的量叫做向量 长度为0 的向量叫做零向量，记作0， ③ 长度为 的向量叫做零向量，记作 ，规 定零向量的方向是任意的. 定零向量的方向是任意的 长度为1 的向量叫做单位向量. ④ 长度为 的向量叫做单位向量 方向⑤ 方向⑤ 相同或相反 的⑥ 非零 向量叫做平 行向量(或共线向量 或共线向量). 行向量 或共线向量 ⑦ 长度相等 且⑧ 方向相同 的向量叫做相等 向量. 向量 方向相反 的向量叫做相反 ⑨ 长度相等 且⑩ 向量. 向量 12
17
10.向量的数量积 向量的数量积 已知两个非零向量a和 ，它们的夹角为θ， 已知两个非零向量 和b，它们的夹角为 ， 32 |a||b|cosθ 与b的数量积 或 叫做a与 的数量积 的数量积(或 我们把数量 叫做 33 ab=|a||b|cosθ . 内积),记作 内积 记作 规定:零向量与任一向量的数量积为 34 0 . 规定 零向量与任一向量的数量积为 向量的数量积满足的运算律： 向量的数量积满足的运算律： (1) 35 ab=|a||b|cosθ ; (2) 36 (λa)b=λ(ab)=a(λb) ; (3) 37 (a+b)c=ac+bc .
(6) 已 知 A 、 B 、 C 是 不 共 线 的 三 点 ， O 是 内的一点,若 =0,则O是 △ABC内的一点 若 内的一点 OB + 则 是 OA OC + 的重心. △ABC的重心 的重心
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第29讲平面向量的应用
22
(2)已知非零向量 AB 与 AC 满足 已知非零向量 (
AB | AB |
AC AC AB 1 + ) BC=0,且 = 且 | AC | | AB | | AC | 2
12
典例精讲
题型一 平面向量与函数、数列整合 平面向量与函数、 例1 在 直 角 坐 标 平 面 中 ， 已 知 点
P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23),…,Pn(n,2n)， 其中 ， 其中n 是正整数.对平面上任一点 对平面上任一点A 是正整数 对平面上任一点 0，记A1为A0关 于点P 的对称点， 关于点P 于点 1的对称点，A2为 A1关于点 2的对称 关于点P 的对称点. 点，…，An为An-1关于点 n的对称点 ，
4 6 2
21
π
题型三 平面向量与解析几何整合
∥ 例3 (1) 如 图 ， OM∥AB ， 点 P 在 射 线 OM、线段 及AB的延长线围成的阴影 、线段OB及 的延长线围成的阴影 区域内(不含边界 不含边界),且 区域内 不含边界 且 OP =x OA +yOB ,则实 则实 数对(x,y)可以是 C ) 数对 可以是( 可以是
2 2 2
β - π < π ,所以 = β- π,又θ -θ = 因为0< 所以θ 因为 所以 2 又 1 2
2
, 本题是向量与三角函数结合的综合题， 点评本题是向量与三角函数结合的综合题， 6 2 2 2 2 2 π , 关键是利用数量积， 关键是利用数量积，将 、θ2转换成α、 ， 所以 α - β + π = π ，故αθ1β =- 转换成 、β， 6 3 2 2 2 2 求得结果. 求得结果 β α =sin(- π )=- 1 . 所以sin 所以