2017年高一数学上学期 第9课时 一元二次不等式的解法预习案 沪教版

高一 年级 数学 学科 总计 12 课时 第 09 课时课题 一元二次不等式的解法【应知应会】（1）掌握一元二次不等式的解法（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组（3）弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系（4）学会用区间的形式表示不等式的解集【教学内容】（一）复习回顾1．作差法比较两个实数的大小．2．不等式的基本性质．（二）典例测试1．设1->n ,且,1≠n 则13+n 与n n +2的大小关系是 。

2．,10<<x 则2,,1,x x xx 从小到大的排列是 。

3．知,02,32<<-<<<-c b a 则)(b a c -的取值范围是 。

4．a 是互异的四个正数c b a ，，，d 中最大的数，且 b a =dc ，则d a +与c b +的大小关系是____________。

（三）引入以前我们学习过一元一次不等式的解法，结合一次函数的图像我们能够得到一元一次不等式ax ＋b ＞0（＜0)解集如下：（1）当a ＞0时，一元一次不等式ax ＋b ＞0的解集是{x ｜x ＞x 0}，一元一次不等式ax ＋b ＜0的解集是{x ｜x ＜x 0}。

（2）当a ＜0时，一元一次不等式ax ＋b ＞0的解集是{x ｜x ＜x 0}；一元一次不等式ax ＋b ＜0的解集是{x ｜x ＞x 0}。

一元二次不等式的形式是怎么样的呢？又如何求解呢？二、知识点归纳讲析（一）区间设b a 、都为实数，并且b a <，我们规定：（1）集合{}x a x b ≤≤叫做闭区间(closed interval)，表示为[],a b ；（2）集合{}x a x b <<叫做开区间(open interval)，表示为(),a b ；（3）集合{}x a x b ≤<或{}x a x b <≤叫做半开半闭区间，分别表示为[),a b 或(],a b 。

在上述所有的区间中，b a 、叫做区间的端点。

（4）把实数集R 表示为(),-∞+∞；把集合{}a x x ≥|、{}a x x >|、{}b x x ≤|、{}b x x <|分别用区间），∞+a [、），（∞+a 、]b ，（∞-、)b ，（∞- [注]开的一侧不包含区间端点，闭的一侧包含区间端点。

（二）一元二次不等式的解法1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式（second order inequality with one unknown ）,它的一般形式为02>++c bx ax 或02<++c bx ax )0(≠a 。

2．一元二次不等式的解法法1：把02>++c bx ax 或02<++c bx ax )0(≠a 先分解因式，借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化一次不等式组，进而求出其解集的并集。

法2：利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的内在关系，结合二次函数的图像，研究不等式在0>∆、0<∆和0=∆时各种解集的情况。

思考：若0<a ，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0及ax 2＋bx ＋c ＜0其解集如何？例1、 求不等式的解集（1）22320x x -->；（2）2310x x -++>。

例2、下列不等式：（1）29610x x ++>； （2）245x x -<； （3）2210x x ++≤。

小结：解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小。

解集要么为两根之外，要么为两根之内。

具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外）②设不等式)0(02><++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内）[注] ①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行；②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法。

例3、解关于x 的不等式：（1）01222≥-+-a x x （2）01)1(2<++-x a ax小结：解含参数的一元二次不等式时，一般要对参数进行分类讨论，分类讨论取决于： ①由含参数的判别式Δ，决定解的情况。

②比较含参数的两根的大小；③不等式的二次项系数决定对应的二次函数的抛物线开口方向。

例4、解不等式组：22371002520x x x x ⎧--≤⎨-+>⎩。

[注]解不等式时，要注意不等式的解集的处理，看清楚是取交集还是并集，然后借助数轴，并注意区间的开闭性及其正确表示。

例5、某服装公司生产的衬衫, 每件定价80元, 在某城市年销售8万件． 现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商要收取代销费，代销费为销售金额的%r (即每销售100元收取r 元)。

为此，该衬衫每件价格要提高到801%r -元才能保证公司利润，由于提价每年将少销售0.62r 万件，如果代理商每年收取的代理费不小于16万, 求r 的取值范围。

例6、（1）若不等式064)1(2>+--x x m 的解集是}13|{<<-x x ，求m 的值；（2）已知不等式{}求不等式的解集为,3202<<>++x x c bx ax 02>+-a bx cx 的解集。

例7、()1已知2()2(2)4f x x a x =+-+，①如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；②如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围。

（2）已知关于x 的不等式（k 22)54x k -+ +404)1(>+-x k 恒成立，求实数k 的取值范围。

三、强化练习1．等式1)3()2(+-<+x x x x 的解集是____________________。

2．不等式012>-+bx ax 的解集是}43|{<<x x ，则实数.__________,==b a 。

3．次函数)(2R x c bx ax y ∈++=部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6则不等式02>++c bx ax 的解集是___________________________。

4．于x 的不等式452≤+-mx x 的解集只有一个元素，则实数m ＝ 。

5．等式04432≤-<-x x 的解集是 （ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-231021|x x x 或 B ．}10|{≥≤x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2321|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2321|x x x 或 6．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．]2,(-∞B ．]2,2(-C ．)2,2(-D ．)2,(--∞7．知x 的不等式01)(>⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x a x a ，其中10<<a ，则它的解是 （ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x a x x 1|或 B ．}|{a x x > C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x a x x 或1| D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a x x 1| 8．不等式2632>+-x x 。

四、拓展迁移1．函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ,则实数k 的取值范围是_______．2．知}02|{2≥--=x x x A , }04|{<+=p x x B 且B ⊆A , 则p 的取值范围是____________．3．042<-ac b 是一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．知不等式0322<--x x 的解集是A ,不等式062<-+x x 的解集是B ,不等式02<++b ax x 的解集是,B A 那么=+b a （ ） A ．3- B ．1 C ．1- D ．35．关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比1小，则 （ ） A ．11<<-a B ．1-<a 或1>a C ．12<<-a D ．2-<a 或1>a6．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x ｜α＜x ＜β}(0＜α＜β}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集。

7．关于x 的不等式0)1(2>---a a x x 。

8．设函数1)(2--=mx mx x f（1）若对一切实数0)(,<x f x 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对于一切m ∈[-2,2]，5)(+-<m x f 恒成立，求实数x 的取值范围。

9．关于x 的一元二次方程02)13(722=--++-a a x a x 有两实数根21,x x ，且 21021<<<<x x ，求实数a 的取值范围。

五、课堂小结一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系，给出了解一元二次不等式的方法．即解一元二次不等式的步骤：先把二次项系数化成正数，再解对应的一元二次方程，最后，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集．或者分解因式转化为一元一次不等式组求解。

参考答案（课前复习）1.n 3+1>n 2+n 2.x 2<x<x <x 13.（0,10）4.a+d>b+c（例题）例1：（1）{x|x>2或x<﹣21}；（2）{x|6131-<x<6131+} 例2：（1）x ≠31；（2）x ∈R ；（3）φ例3：（1）i ：当a=0时，Rii ：当a>0时，{x|x ≥1+a 或x ≤1-a}iii ：当a<0时，{x|x ≥1-a 或x ≤1+a}（2）i ：当a>1时，a 1<x<1ii ：当a=1时，φiii ：当0<a<1时，1<x<a 1iv ：当a=0时，x>1v ：当a<0时，x>1或x<a 1例4：{x|﹣1≤x<21或2<x ≤310}例5: 31r 2﹣410r+1000≤0 例6：（1）m=3；（2）﹣21<x<-31例7：（1）①0<a<4；②答案（2）k ≥1（强化练习）1、⎪⎭⎫⎝⎛-121，；2、127121、-；3、)3()2(∞+⋃--∞，，；4、2±；5、A ；6、B ；7、A ；8、解：原不等式－3x 2＋6x ＞2变形为3x 2－6x ＋2＜0 3x 2－6x ＋2＝0对应的Δ＝36－24＞0，3＞0方程 3x 2－6x ＋2＝0解得：x 1＝1－33，x 2＝1＋33 所以原不等式的解集是{x ｜1－33＜x ＜1＋33}. （拓展迁移）1、[0,1]；2、4≥p ；3、B ；4、A ；5、C ；6、解：由题⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0α＋β＝－b a α·β＝c a得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＜01α＋1β ＝－b c 1α ·1β ＝a c 故cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是{x ｜x ＜1β }∪{x ｜x ＞1α}. 7、解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1.. 8、（1）04≤<-m （2）21<<-x9、提示：⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f ∴)4,3()1,2(⋃--∈a。