2019高考数学文一轮分层演练：第9章平面解析几何 第7讲 Word版含解析
苏教版2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第8讲(含答案解析)
[学生用书P271(单独成册)]一、选择题1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1解析：选D ．因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D ．2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m 等于( )A ． 2B ．22C ．12D ．0解析：选B ．由题意可得⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），8x 2－20x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝12，则A (2，22)，B (12，－2)．点M (－1，m )， 由MA →·MB →＝0，可得(3，22－m )·⎝⎛⎭⎫32，－2－m ＝0． 化简2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22．故选B ． 3．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A ．±32B ．±23C ．±12D ．±2解析：选A ．将直线与椭圆方程联立， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ， x 24＋y 23＝1，化简整理得(3＋4k 2)x 2＝12，(*) 因为分别过A ，B 向x 轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±1， 代入方程(*)，得k ＝±32，故选A ．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( ) A ．2 B ． 2 C ．4D ．2 2解析：选C ．设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4． 二、填空题5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则1|AB |＋1|CD |等于________．解析：抛物线y 2＝4x ，可知2p ＝4，设直线l 1的倾斜角为θ(θ为锐角)，则l 2的倾斜角为π2＋θ，AB ，CD为过焦点的弦，|AB |＝2psin 2θ，|CD |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝2p cos 2θ，所以1|AB |＋1|CD |＝sin 2θ2p ＋cos 2θ2p ＝12p ＝14． 答案：146．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1，②x 1＋x 2＝2x 0，③ y 1＋y 2＝2y 0，④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2．所以y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，因为M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以k MN ＝－1，因为y 0＝－3x 0．又因为y 0＝x 0＋m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4，解得m ＝0或－8，经检验都符合．答案：0或－8 三、解答题7．已知点A 、B 的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程． 解：(1)设M (x ，y )，因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·y x －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝⎛⎭⎫12，62，D ⎝⎛⎭⎫12，－62，此时CD 的中点不是N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －12， 将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)得2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2，②①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1，所以直线l 的方程为y －1＝(－1)×⎝⎛⎭⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0．8．(2018·甘肃张掖一诊)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝25，点P 为椭圆短轴的端点，且△PF 1F 2的面积为25．(1)求椭圆的方程；(2)点Q 是椭圆上任意一点，A (45，6)，求|QA |－|QF 1|的最小值；(3)点B ⎝⎛⎭⎫1，423是椭圆上的一定点，B 1，B 2是椭圆上的两动点，且直线BB 1，BB 2关于直线x ＝1对称，试证明直线B 1B 2的斜率为定值．解：(1)由题意可知c ＝5， S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×b ＝25，所以b ＝2，求得a ＝3，故椭圆的方程为x 29＋y24＝1．(2)由(1)得|QF 1|＋|QF 2|＝6，F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 那么|QA |－|QF 1|＝|QA |－(6－|QF 2|)＝|QA |＋|QF 2|－6，而|QA |＋|QF 2|≥|AF 2|＝（45－5）2＋（6－0）2＝9，所以|QA |－|QF 1|的最小值为3．(3)设直线BB 1的斜率为k ，因为直线BB 1与直线BB 2关于直线x ＝1对称，所以直线BB 2的斜率为－k ，所以直线BB 1的方程为y －423＝k (x －1)，设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y －423＝k （x －1），x 29＋y24＝1，可得(4＋9k 2)x 2＋6k (42－3k )x ＋9k 2－242k －4＝0， 因为该方程有一个根为x ＝1， 所以x 1＝9k 2－242k －44＋9k 2，同理得x 2＝9k 2＋242k －44＋9k 2，所以kB 1B 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝⎣⎡⎦⎤k （x 1－1）＋423－⎣⎡⎦⎤－k （x 2－1）＋423x 1－x 2＝k （x 1＋x 2）－2k x 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫9k 2－242k －44＋9k 2＋9k 2＋242k －44＋9k 2－2k9k 2－242k －44＋9k 2－9k 2＋242k －44＋9k 2＝26， 故直线B 1B 2的斜率为定值26．1．已知拋物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ．(2)易知直线AB 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4．从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1，又y 1＝x 214，所以x M ＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1． 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2．所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝8 2 k 2＋1|4k －3|．令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34．当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6t＋1>22． 当t <0时，|MN |＝2 2⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥852． 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |取得最小值852．2．(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为22．(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．解：(1)由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)． 又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b 2，得a 2－a 2b 2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2， 因此椭圆方程为x 24＋y 22＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝4， 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 由Δ>0得m 2<4k 2＋2． (*) 且x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，因此y 1＋y 2＝2m2k 2＋1，所以D ⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋1，m2k 2＋1，又N (0，－m )，所以|ND |2＝⎝⎛⎭⎫－2km 2k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫m2k 2＋1＋m 2，整理得|ND |2＝4m 2（1＋3k 2＋k 4）（2k 2＋1）2，因为|NF |＝|m |，所以|ND |2|NF |2＝4（k 2＋3k 2＋1）（2k 2＋1）2＝1＋8k 2＋3（2k 2＋1）2．令t ＝8k 2＋3，t ≥3． 故2k 2＋1＝t ＋14，所以|ND |2|NF |2＝1＋16t （1＋t ）2＝1＋16t ＋1t＋2． 令y ＝t ＋1t ，所以y ′＝1－1t 2．当t ≥3时，y ′>0，从而y ＝t ＋1t 在[3，＋∞)上单调递增，因此t ＋1t ≥103，等号当且仅当t ＝3时成立，此时k ＝0， 所以|ND |2|NF |2≤1＋3＝4，由(*)得－2<m <2且m ≠0． 故|NF ||ND |≥12， 设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥12，所以θ的最小值为π6．从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0．综上所述：当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π3．。
2019高考数学文一轮分层演练第9章平面解析几何 第3讲 Word版含解析
[学生用书(单独成册)]一、选择题．方程＝表示的曲线是( )．上半圆．下半圆．抛物线．圆解析：选．由方程可得＋＝(≥)，即此曲线为圆＋＝的上半圆．．以(，)为圆心，且与直线－＋＝相切的圆的方程是( )．(＋)＋＝．(－)＋＝．(＋)＋＝．(－)＋＝解析：选．因为所求圆与直线－＋＝相切，所以圆心(，)到直线－＋＝的距离即为该圆的半径，即＝＝．所以所求圆的方程为：(－)＋＝．故选．．已知圆：(＋)＋(－)＝，圆与圆关于直线－－＝对称，则圆的方程为( )．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(－)＋(－)＝．(＋)＋(＋)＝解析：选．圆的圆心坐标为(－，)，半径为，设圆的圆心坐标为(，)，由题意得解得所以圆的圆心坐标为(，－)，又两圆的半径相等，故圆的方程为(－)＋(＋)＝．．已知圆与直线＝及－－＝都相切，圆心在直线＝－上，则圆的方程为( )．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(＋)＝．(－)＋(－)＝．(－)＋(＋)＝解析：选．由题意知－＝和－－＝之间的距离为＝，所以＝．又因为＋＝与－＝，－－＝均垂直，所以由＝－和－＝联立得交点坐标为(，)，由＋＝和－－＝联立得交点坐标为(，－)，所以圆心坐标为(，－)，圆的标准方程为(－)＋(＋)＝．．在平面直角坐标系中，已知(－，)，(，)，则满足－＝且在圆＋＝上的点的个数为()．．．．解析：选．设(，)，则由－＝，得(＋)＋－－(－)＝，所以＋－＝．求满足条件的点的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为＝＜＝，所以直线与圆相交，交点个数为．故满足条件的点有个，选．．已知(，)是圆＋(－)＝(>)上的动点，定点(，)，(－，)，△的面积的最大值为，则的值为( )．．．．解析：选．要使△的面积最大，只要点到直线的距离最大．由于的方程为＝，圆心(，)到直线的距离为＝，故到直线的距离的最大值为＋．再根据＝，可得△面积的最大值为··(＋)＝(＋)＝，所以＝，故选．二、填空题．已知动点(，)到点(，)与点(，)的距离之比为，则动点的轨迹所围成的区域的面积是．解析：依题意可知＝，即＝，化简整理得(－)＋＝，即动点的轨迹是以(，)为圆心，半径为的圆．所以其面积为＝π＝π．答案：π．当方程＋＋＋＋＝所表示的圆的面积取最大值时，直线＝(－)＋的倾斜角α＝．解析：由题意知，圆的半径＝＝≤，当半径取最大值时，圆的面积最大，此时＝，＝，所以直线方程为＝－＋，则有α＝－，又α∈[，π)，故α＝．答案：．已知平面区域恰好被面积最小的圆：(－)＋(－)＝及其内部所覆盖，则圆的方程为．解析：由题意知，此平面区域表示的是以(，)，(，)，(，)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△为直角三角形，所以圆心为斜边的中点(，)，半径＝＝，因此圆的方程为(－)＋(－)＝．答案：(－)＋(－)＝．设命题：(，，∈且>)；命题：(－)＋≤(，∈)．若是的充分不必要条件，则的取值范围是．解析：如图所示：命题表示的范围是图中△的内部(含边界)，命题表示的范围是以点(，)为圆心，为半径的。
2019高考数学文一轮分层演练第9章平面解析几何 第8讲 Word版含解析
[学生用书(单独成册)]一、选择题．已知椭圆：＋＝(>>)的右焦点为(，)，过点的直线交于，两点．若的中点坐标为(，－)，则的方程为()．＋＝．＋＝．＋＝．＋＝解析：选．因为直线过点(，)和点(，－)，所以直线的方程为＝(－)，代入椭圆方程＋＝消去，得－＋－＝，所以的中点的横坐标为＝，即＝，又＝＋，所以＝＝，＝，选．．已知直线＝(－)与抛物线：＝交于，两点，点(－，)，若·＝，则等于( )．．．．解析：选．由题意可得－＋＝，解得＝或＝，则(，)，(，－)．点(－，)，由·＝，可得(，－)·＝．化简－＋＝，解得＝．故选．．设直线＝与椭圆＋＝相交于，两点，分别过，向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于( )．±．±．±．±解析：选．将直线与椭圆方程联立，()＋()＝，))化简整理得(＋)＝，(*)因为分别过，向轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±，代入方程(*)，得＝±，故选．．过抛物线＝的焦点的直线交抛物线于，两点，点是坐标原点，则·的最小值是( )．．．．解析：选．设直线的倾斜角为θ，可得＝θ)，＝θ)，则·＝θ)×θ)＝≥．二、填空题．过抛物线＝的焦点作两条互相垂直的弦，，则＋等于．解析：抛物线＝，可知＝，设直线的倾斜角为θ(θ为锐角)，则的倾斜角为＋θ，，为过焦点的弦，＝，＝＝，所以＋＝＋＝＝．答案：．已知双曲线－＝上存在两点，关于直线＝＋对称，且的中点在抛物线＝上，则实数的值为．解析：设(，)，(，)，的中点(，)，则－()＝，①－()＝，②＋＝，③＋＝，④))由②－①得(－)(＋)＝(－)(＋)，显然≠．所以·＝，即·＝，因为，关于直线＝＋对称，所以＝－，因为＝－．又因为＝＋，所以，代入抛物线方程得＝·，解得＝或－，经检验都符合．由②－①得(－)(＋)＝(－)(＋)，显然≠．所以·＝，即·＝，因为，关于直线＝＋对称，所以＝－，因为＝－．又因为＝＋，所以，代入抛物线方程得＝·，解得＝或－，经检验都符合．答案：或－三、解答题．已知点、的坐标分别是(－，)、(，)，直线、相交于点，且它们的斜率之积为－．()求动点的轨迹方程；()若过点的直线交动点的轨迹于、两点，且为线段的中点，求直线的方程．解：()设(，)，因为·＝－，所以·＝－(≠±)，化简得＋＝(≠±)，即为动点的轨迹方程．()设(，)，(，)．当直线⊥轴时，直线的方程为＝，则，，此时的中点不是，不合题意．故设直线的方程为－＝，将(，)，(，)代入＋＝(≠±)得＋＝，①＋＝，②①－②整理得＝＝－＝－＝－，所以直线的方程为－＝(－)×，即所求直线的方程为＋－＝．．(·甘肃张掖一诊)已知椭圆＋＝(>>)的左、右焦点分别为，，＝，点为椭圆短轴的端点，且△的面积为．。
2019高考数学文一轮分层演练：第9章平面解析几何 第4讲 Word版含解析
高考数学文一轮分层演练：[学生用书P262(单独成册)]一、选择题1．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A ．因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2， 所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为2， 因为直线l 与圆C 相切． 所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0．圆心D (2，0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．2．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4解析：选D ．因为圆(x －a )2＋y 2＝4， 所以圆心为(a ，0)，半径为2， 圆心到直线的距离为d ＝|a －2|2，因为d 2＋⎝⎛⎭⎫2222＝r 2，解得a ＝4或a ＝0．故选D ．3．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B ．因为过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， 连接圆心与切点连线的斜率为 k ＝1－03－1＝12， 所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)， 即2x ＋y －7＝0．故选B ．4．过点(－2，3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：选A ．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心为(－1，2)．过圆心与点(－2，3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－（－1）＝－1．当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0．5．过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B ．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径为1， 以（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0， 即y ＝－12．故选B ．6．已知直线3x ＋4y －15＝0与圆O ：x 2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点C 在圆O 上，且S△ABC＝8，则满足条件的点C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选C ．圆心O 到已知直线的距离为d ＝|－15|32＋42＝3，因此|AB |＝252－32＝8，设点C 到直线AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12×8×h ＝8，h ＝2，由于d ＋h ＝3＋2＝5＝r (圆的半径)，因此与直线AB 距离为2的两条直线中的一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C 有三个．二、填空题7．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于点A ，B ，则弦AB 的垂直平分线的方程为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2．由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2． 答案：y ＝2x －28．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆C 的圆心坐标为C (－1，2)，半径为3．由AC ⊥BC 可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，由点到直线的距离公式可得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6．答案：0或69．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD |＝________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，0)，D (x 4，0)，由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6，代入圆的方程，并整理，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝23，y 2＝3，所以x 1＝0，x 2＝－3，所以直线AC 的方程为y －23＝－3x ，令y ＝0得x 3＝2，直线BD 的方程为y －3＝－3(x ＋3)，令y ＝0得x 4＝－2，则|CD |＝|x 3－x 4|＝4．答案：410．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为________．解析：因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．答案：3 三、解答题11．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2．化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1． 所以C (1，－2)，半径|AC |＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝2．所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ．综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0．12．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |． 解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1． 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2＜1，解得4－73＜k ＜4＋73．所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0． 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2． OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8． 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1．故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2．1．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，圆C 与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13．(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋（－4）2＝r ，a 2＋3＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，r ＝2或⎩⎨⎧a ＝138，r ＝198，又因为S ＝πr 2<13， 所以a ＝1，r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4． (2)不存在这样的直线l ．理由如下：当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，（x －1）2＋y 2＝4消去y得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0，因为l 与圆C 相交于不同的两点，所以Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20>0， 解得k <1－263或k >1＋263．x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k 2，OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)． 假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2， 所以3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，解得k ＝34，34∈/⎝⎛⎭⎫－∞，1－263∪⎝⎛⎭⎫1＋263，＋∞， 所以假设不成立． 不存在这样的直线l ．2．如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0，2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0，2)，可设圆心的坐标为(m ，2)(m >0)， 则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋(32)2＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为(x －52)2＋(y －2)2＝254．(2)证明：由(1)知M (1，0)，N (4，0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN ＝0．当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1y 1y 2＝－3t 2＋1，，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3（y 1＋y 2）（ty 1－3）（ty 2－3）＝－6tt 2＋1＋6t t 2＋1（ty 1－3）（ty 2－3）＝0．综上可知，k AN ＋k BN 为定值．。
2019高考数学文一轮分层演练：第9章平面解析几何 第2讲 Word版含解析
[学生用书P258(单独成册)]一、选择题1．已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －2＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A ．2．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1. 又因为0<k <12，所以x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．3．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0，4) B ．(0，2) C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析：选B ．由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，所以直线l 2恒过定点(0，2)．4．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A ． 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选C ．因为l 1∥l 2， 所以1a －2＝a3，解得a ＝－1，所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＝0，所以l 1与l 2的距离d ＝||6－02＝32．选C ．5．光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6B ．a ＝－13，b ＝－6C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－3，b ＝16解析：选B ．在直线y ＝－3x ＋b 上任意取一点A (1，b －3)，则点A 关于直线x ＋y ＝0的对称点B (－b ＋3，－1)在直线y ＝ax ＋2上，故有－1＝a (－b ＋3)＋2，即－1＝－ab ＋3a ＋2，所以ab ＝3a ＋3，结合所给的选项，只有B 项符合，故选B ．6．在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D ．由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以M 位于以PQ 为直径的圆上，因为|PQ |＝9＋1＝10，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D ． 二、填空题7．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1，1)． 又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点为(3，0)， 所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0．答案：x ＋2y －3＝08．以点A (4，1)，B (1，5)，C (－3，2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________． 解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－（－2）－3－0＝－43．k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34．则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ， 故四边形ABCD 为矩形． 故S ＝|AB |·|AD |＝（1－4）2＋（5－1）2×（0－4）2＋（－2－1）2＝25． 答案：259．已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1，1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0．答案：x ＋2y －3＝010．在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．因为k AC ＝6－23－1＝2， 所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0．① 又因为k BD ＝5－（－1）1－7＝－1，所以直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)， 即x ＋y －6＝0．②联立①②⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4)．答案：(2，4) 三、解答题11．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图． 由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0． 所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线， 最大距离为|－5|5＝5．(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．12．正方形的中心为点C (－1，0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105．设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离 d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0．设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离 d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0．1．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)， 所以l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4，3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0．2．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解：(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋（－1）2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72，又a >0，解得a ＝3．(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)； 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件．。
2019高考数学文一轮分层演练：第9章平面解析几何 第3讲 Word版含解析
[学生用书P260(单独成册)]一、选择题1、方程y ＝1－x 2表示的曲线是( ) A 、上半圆 B 、下半圆 C 、圆D 、抛物线解析：选A 、由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0),即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆、 2、以M (1,0)为圆心,且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A 、(x －1)2＋y 2＝8 B 、(x ＋1)2＋y 2＝8 C 、(x －1)2＋y 2＝16D 、(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A 、因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切,所以圆心M (1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ,即r ＝|1－0＋3|2＝22、所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8、故选A 、3、已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1,圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称,则圆C 2的方程为( )A 、(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B 、(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C 、(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D 、(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 、圆C 1的圆心坐标为(－1,1),半径为1,设圆C 2的圆心坐标为(a ,b ),由题意得⎩⎨⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2,－2),又两圆的半径相等,故圆C 2的方程为(x－2)2＋(y ＋2)2＝1、4、已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切,圆心在直线y ＝－x 上,则圆C 的方程为( )A 、(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B 、(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C 、(x －1)2＋(y －1)2＝2D 、(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 、由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22,所以r ＝2、 又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0,x －y －4＝0均垂直,所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0),由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2,－2),所以圆心坐标为(1,－1),圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2、5、在平面直角坐标系xOy 中,已知A (－1,0),B (0,1),则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A 、0B 、1C 、2D 、3解析：选C 、设P (x ,y ),则由|P A |2－|PB |2＝4,得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4,所以x ＋y －2＝0、求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数,圆心到直线的距离为|0＋0－2|2＝2＜2＝r ,所以直线与圆相交,交点个数为2、故满足条件的点P 有2个,选C 、6、已知P (x ,y )是圆x 2＋(y －3)2＝a 2(a >0)上的动点,定点A (2,0),B (－2,0),△P AB 的面积的最大值为8,则a 的值为( )A 、1B 、2C 、3D 、4解析：选A 、要使△P AB 的面积最大,只要点P 到直线AB 的距离最大、 由于AB 的方程为y ＝0,圆心(0,3)到直线AB 的距离为d ＝3, 故P 到直线AB 的距离的最大值为3＋a 、再根据AB ＝4,可得△P AB 面积的最大值为12·AB ·(3＋a )＝2(3＋a )＝8,所以a ＝1,故选A 、二、填空题7、已知动点M (x ,y )到点O (0,0)与点A (6,0)的距离之比为2,则动点M 的轨迹所围成的区域的面积是________、解析：依题意可知|MO ||MA |＝2,即x 2＋y 2（x －6）2＋y2＝2,化简整理得(x －8)2＋y 2＝16,即动点M 的轨迹是以(8,0)为圆心,半径为4的圆、所以其面积为S ＝πR 2＝16π、 答案：16π8、当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时,直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________、解析：由题意知,圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1,当半径r 取最大值时,圆的面积最大,此时k ＝0,r ＝1,所以直线方程为y ＝－x ＋2,则有tan α＝－1,又α∈[0,π),故α＝3π4、 答案：3π49、已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖,则圆C 的方程为________、解析：由题意知,此平面区域表示的是以O (0,0),P (4,0),Q (0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆、因为△OPQ 为直角三角形, 所以圆心为斜边PQ 的中点(2,1), 半径r ＝|PQ |2＝5,因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5、 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝510、设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ,y ,k ∈R 且k >0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ,y ∈R )、若p 是q 的充分不必要条件,则k 的取值范围是________、解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界),命题q 表示的范围是以点(3,0)为圆心,5为半径的圆及圆内部分,p 是q 的充分不必要条件、实际上只需A ,B ,C 三点都在圆内(或圆上)即可、由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ,则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0<k ≤6、 答案：(0,6] 三、解答题11、已知以点P 为圆心的圆经过A (－1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且|CD |＝410、(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程、解：(1)由题意知,直线AB 的斜率k ＝1,中点坐标为(1,2)、则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1),即x ＋y －3＝0、(2)设圆心P (a ,b ),则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0、① 又因为直径|CD |＝410, 所以|P A |＝210, 所以(a ＋1)2＋b 2＝40、②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5,－2)、所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40、 12、已知M (m ,n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点、 (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值、 解：将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8, 所以圆心C (2,7),半径r ＝22、(1)设m ＋2n ＝b ,则b 可看作是直线n ＝－12m ＋b2在y 轴上截距的2倍,故当直线m ＋2n＝b 与圆C 相切时,b 有最大或最小值、所以|2＋2×7－b |12＋22＝22,所以b ＝16＋210(b ＝16－210舍去), 所以m ＋2n 的最大值为16＋210、 (2)设n －3m ＋2＝k ,则k 可看作点(m ,n )与点(－2,3)所在直线的斜率, 所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切时,k 有最大、最小值,所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝22,解得k ＝2＋3或k ＝2－3、所以n －3m ＋2的最大值为2＋3,最小值为2－3、1、已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0、 (1)若此方程表示圆,求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ,N 两点,且OM ⊥ON (O 为坐标原点),求m 的值；(3)在(2)的条件下,求以MN 为直径的圆的方程、解：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0,解得m <5、(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0,所以y 1＋y 2＝165,y 1y 2＝8＋m 5、因为OM ⊥ON ,所以y 1x 1·y 2x 2＝－1,即x 1x 2＋y 1y 2＝0、因为x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2,所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0,即(8＋m )－8×165＋16＝0,解得m ＝85、(3)设圆心C 的坐标为(a ,b ),则a ＝12(x 1＋x 2)＝45,b ＝12(y 1＋y 2)＝85,半径r ＝|OC |＝455,所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165、 2、在△OAB 中,已知O (0,0),A (8,0),B (0,6),△OAB 的内切圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4,P 是圆上一点、(1)求点P 到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离的最大值和最小值； (2)若S ＝|PO |2＋|P A |2＋|PB |2,求S 的最大值和最小值、解：(1)由题意得圆心(2,2)到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离d ＝|4×2＋3×2＋11|42＋32＝255＝5>2,故点P 到直线l 的距离的最大值为5＋2＝7,最小值为5－2＝3、(2)设点P 的坐标为(x ,y ),则S ＝x 2＋y 2＋(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＝3(x 2＋y 2－4x －4y )－4x ＋100＝－4x ＋88,而(x －2)2≤4,所以－2≤x －2≤2, 即0≤x ≤4,所以－16≤－4x ≤0, 所以72≤S ≤88, 即当x ＝4时,S min ＝72, 当x ＝0时,S max ＝88、。
2019高考数学文一轮分层演练：第9章平面解析几何 第3讲 Word版含解析
[学生用书P260(单独成册)]一、选择题1、方程y ＝1－x 2表示的曲线是( ) A 、上半圆 B 、下半圆 C 、圆D 、抛物线解析:选A 、由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0),即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆、 2、以M (1,0)为圆心,且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A 、(x －1)2＋y 2＝8 B 、(x ＋1)2＋y 2＝8 C 、(x －1)2＋y 2＝16D 、(x ＋1)2＋y 2＝16解析:选A 、因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切,所以圆心M (1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ,即r ＝|1－0＋3|2＝22、所以所求圆的方程为:(x －1)2＋y 2＝8、故选A 、3、已知圆C 1:(x ＋1)2＋(y －1)2＝1,圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称,则圆C 2的方程为( )A 、(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B 、(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C 、(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D 、(x －2)2＋(y －2)2＝1解析:选B 、圆C 1的圆心坐标为(－1,1),半径为1,设圆C 2的圆心坐标为(a ,b ),由题意得⎩⎨⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2,－2),又两圆的半径相等,故圆C 2的方程为(x－2)2＋(y ＋2)2＝1、4、已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切,圆心在直线y ＝－x 上,则圆C 的方程为( )A 、(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B 、(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C 、(x －1)2＋(y －1)2＝2D 、(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析:选D 、由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22,所以r ＝2、 又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0,x －y －4＝0均垂直,所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0),由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2,－2),所以圆心坐标为(1,－1),圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2、5、在平面直角坐标系xOy 中,已知A (－1,0),B (0,1),则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A 、0B 、1C 、2D 、3解析:选C 、设P (x ,y ),则由|P A |2－|PB |2＝4,得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4,所以x ＋y －2＝0、求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数,圆心到直线的距离为|0＋0－2|2＝2＜2＝r ,所以直线与圆相交,交点个数为2、故满足条件的点P 有2个,选C 、6、已知P (x ,y )是圆x 2＋(y －3)2＝a 2(a >0)上的动点,定点A (2,0),B (－2,0),△P AB 的面积的最大值为8,则a 的值为( )A 、1B 、2C 、3D 、4解析:选A 、要使△P AB 的面积最大,只要点P 到直线AB 的距离最大、 由于AB 的方程为y ＝0,圆心(0,3)到直线AB 的距离为d ＝3, 故P 到直线AB 的距离的最大值为3＋a 、再根据AB ＝4,可得△P AB 面积的最大值为12·AB ·(3＋a )＝2(3＋a )＝8,所以a ＝1,故选A 、二、填空题7、已知动点M (x ,y )到点O (0,0)与点A (6,0)的距离之比为2,则动点M 的轨迹所围成的区域的面积是________、解析:依题意可知|MO ||MA |＝2,即x 2＋y 2（x －6）2＋y2＝2,化简整理得(x －8)2＋y 2＝16,即动点M 的轨迹是以(8,0)为圆心,半径为4的圆、所以其面积为S ＝πR 2＝16π、 答案:16π8、当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时,直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________、解析:由题意知,圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1,当半径r 取最大值时,圆的面积最大,此时k ＝0,r ＝1,所以直线方程为y ＝－x ＋2,则有tan α＝－1,又α∈[0,π),故α＝3π4、 答案:3π49、已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C :(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖,则圆C 的方程为________、解析:由题意知,此平面区域表示的是以O (0,0),P (4,0),Q (0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆、因为△OPQ 为直角三角形, 所以圆心为斜边PQ 的中点(2,1), 半径r ＝|PQ |2＝5,因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5、 答案:(x －2)2＋(y －1)2＝510、设命题p :⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ,y ,k ∈R 且k >0)；命题q :(x －3)2＋y 2≤25(x ,y ∈R )、若p 是q 的充分不必要条件,则k 的取值范围是________、解析:如图所示:命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界),命题q 表示的范围是以点(3,0)为圆心,5为半径的圆及圆内部分,p 是q 的充分不必要条件、实际上只需A ,B ,C 三点都在圆内(或圆上)即可、由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ,则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0<k ≤6、 答案:(0,6] 三、解答题11、已知以点P 为圆心的圆经过A (－1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且|CD |＝410、(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程、解:(1)由题意知,直线AB 的斜率k ＝1,中点坐标为(1,2)、则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1),即x ＋y －3＝0、(2)设圆心P (a ,b ),则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0、① 又因为直径|CD |＝410, 所以|P A |＝210, 所以(a ＋1)2＋b 2＝40、②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5,－2)、所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40、 12、已知M (m ,n )为圆C :x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点、 (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值、 解:将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8, 所以圆心C (2,7),半径r ＝22、(1)设m ＋2n ＝b ,则b 可看作是直线n ＝－12m ＋b2在y 轴上截距的2倍,故当直线m ＋2n＝b 与圆C 相切时,b 有最大或最小值、所以|2＋2×7－b |12＋22＝22,所以b ＝16＋210(b ＝16－210舍去), 所以m ＋2n 的最大值为16＋210、 (2)设n －3m ＋2＝k ,则k 可看作点(m ,n )与点(－2,3)所在直线的斜率, 所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切时,k 有最大、最小值,所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝22,解得k ＝2＋3或k ＝2－3、所以n －3m ＋2的最大值为2＋3,最小值为2－3、1、已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0、 (1)若此方程表示圆,求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ,N 两点,且OM ⊥ON (O 为坐标原点),求m 的值；(3)在(2)的条件下,求以MN 为直径的圆的方程、解:(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0,解得m <5、(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0,所以y 1＋y 2＝165,y 1y 2＝8＋m 5、因为OM ⊥ON ,所以y 1x 1·y 2x 2＝－1,即x 1x 2＋y 1y 2＝0、因为x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2,所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0,即(8＋m )－8×165＋16＝0,解得m ＝85、(3)设圆心C 的坐标为(a ,b ),则a ＝12(x 1＋x 2)＝45,b ＝12(y 1＋y 2)＝85,半径r ＝|OC |＝455,所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165、 2、在△OAB 中,已知O (0,0),A (8,0),B (0,6),△OAB 的内切圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4,P 是圆上一点、(1)求点P 到直线l :4x ＋3y ＋11＝0的距离的最大值和最小值； (2)若S ＝|PO |2＋|P A |2＋|PB |2,求S 的最大值和最小值、解:(1)由题意得圆心(2,2)到直线l :4x ＋3y ＋11＝0的距离d ＝|4×2＋3×2＋11|42＋32＝255＝5>2,故点P 到直线l 的距离的最大值为5＋2＝7,最小值为5－2＝3、(2)设点P 的坐标为(x ,y ),则S ＝x 2＋y 2＋(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＝3(x 2＋y 2－4x －4y )－4x ＋100＝－4x ＋88,而(x －2)2≤4,所以－2≤x －2≤2, 即0≤x ≤4,所以－16≤－4x ≤0, 所以72≤S ≤88, 即当x ＝4时,S min ＝72, 当x ＝0时,S max ＝88、。
2019-2020年高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第一节直线与方程AB卷文新人教A版
解析 由题意可知，若 P 为平面直角坐标系内任意一点，则 | PA| ＋ | PC| ≥ | AC| ，等号成立
的条件是点 P 在线段 AC上； | PB| ＋| PD| ≥｜BD| ，等号成立的条件是点 P 在线段 BD上 . 所 以到 A，B， C， D四点的距离之和最小的点为 AC与 BD的交点 . 直线 AC方程为 2x－y＝ 0，
即 2x＋ y－9＝ 0， 2≤ x≤ 4，因为 P( x， y) 在线段 AB上，
所以 2x－ y＝ 2x－ ( － 2x＋ 9) ＝ 4x－ 9.
又 2≤ x≤4，则－ 1≤４x－9≤7，故 2x－ y 最大值为 7.
答案 C
2. (xx ·安徽， 8) 直线 3x＋ 4y＝b 与圆 x2＋ y2－ 2x－2y＋ 1＝ 0 相切，则 b 的值是 (
直线 BD方程为 x＋ y－ 6＝0.
2x－ y＝ 0，
x＝ 2，
∴
解得
x＋ y－ 6＝ 0，
y＝ 4.
即所求点的坐标为 (2 ， 4).
答案 (2 ， 4)
－ y＋ 3＝ 0. 故选 D.
答案 D
4. (xx ·江苏， 17) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0 ，3) ，直线 l ： y＝ 2x
－4. 设圆 C的半径为 1，圆心在 l 上 .
(1) 若圆心 C也在直线 y＝ x－ 1 上，过点 A 作圆 C的切线，求切线的方程；
(2) 若圆 C上存在点 M，使 MA＝ 2MO，求圆心 C的横坐标 a 的取值范围 .
由题意，点 M( x， y) 在圆 C上，所以圆 C与圆 D有公共点，
则 |2 －1| ≤ CD≤2＋ 1，即 1≤ a2＋（ 2a－ 3） 2≤ 3. 由 5a2－ 12a＋8≥0，得 a∈ R；
2019高考数学一轮复习第9章平面解析几何第2讲两直线的位置关系分层演练文
第 2 讲两直线的地点关系一、选择题1．已知直线l1：mx＋y－ 1＝0 与直线l2：( m－ 2) x＋my－ 2＝ 0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )A．充分不用要条件B．充要条件C．必需不充分条件D．既不充分也不用要条件分析：选 A．由l1⊥l2，得m( m－ 2) ＋m＝ 0，解得m＝ 0 或m＝ 1，所以“m＝1”是“l1 ⊥l 2”的充分不用要条件，应选A．12．当 0<k<2时，直线l1：kx－y＝k－1 与直线l2：ky－x＝ 2k的交点在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限kkx－ y＝k－1，x＝k－1，分析：选 B．由得y＝ 2k－ 1.ky－ x＝2k，k－11又因为 0<k<2，k 2k－1所以 x＝k－1<0， y＝k－1>0，故直线 l 1： kx － y＝k－1与直线 l 2： ky－ x＝2k 的交点在第二象限．3．若直线l1：y＝k( x－ 4) 与直线l2对于点 (2 ， 1) 对称，则直线l 2 恒过定点( ) A．(0， 4) B．(0 ，2)C． ( －2， 4) D． (4 ，－ 2)分析：选 B．因为直线l1：y＝k( x－ 4) 恒过定点 (4 ，0) ，其对于点 (2 ，1) 对称的点为 (0 ，2) ，又因为直线l 1：y＝k(x－4)与直线l 2 对于点(2，1)对称，所以直线l 2恒过定点(0，2)．4．若直线l1：x＋ay＋ 6＝ 0 与l2：( a－2) x＋ 3y＝0 平行，则 l 1与 l 2之间的距离为()A． 2 B． 2 2C．3 2 D． 4 2分析：选 C．因为l1∥l2，1a所以a－2＝3，解得 a＝－1，所以 l 1 与 l 2 的方程分别为 l 1： x － y ＋ 6＝ 0， l 2： x －y ＝ 0，| 6－ 0|所以 l 1 与 l 2 的距离 d ＝＝3 2．选 C ．25．光芒沿着直线 y ＝－ 3x ＋ b 射到直线 x ＋ y ＝ 0 上，经反射后沿着直线 y ＝ ax ＋ 2 射出，则有()11A ． a ＝ ， b ＝ 6B ． a ＝－ ， b ＝－ 63311C ． a ＝3， b ＝－ 6D ． a ＝－ 3， b ＝ 6分析：选 B ．在直线 y ＝－ 3x ＋ b 上随意取一点 A (1 ， b － 3) ，则点 A 对于直线 x ＋ y ＝ 0的对称点 B ( － b ＋ 3，－ 1) 在直线 y ＝ ax ＋2 上，故有－ 1＝ a ( － b ＋ 3) ＋ 2，即－ 1＝－ ab ＋ 3a＋ 2，所以 ab ＝ 3a ＋ 3，联合所给的选项，只有B 项切合，应选 B ．6．在直角坐标平面内，过定点 P 的直线 l ：ax ＋ y －1＝ 0 与过定点 Q 的直线 m ：x － ay＋3＝ 0 订交于点 M ，则 | MP | 2＋ | MQ | 2的值为 ()10A ． 2B ． 10C ． 5D ． 10分析：选 D ．由题意知 P (0 ， 1) ，Q ( － 3， 0) ，因为过定点P 的直线 ax ＋ － 1＝ 0 与过定点 Q 的直线 x － ay ＋3＝ 0 垂直，所以 位于以yMPQ 为直径的圆上，因为 | PQ |＝ 9＋ 1＝ 10，所以 | MP |2＋ | MQ |2＝ | PQ | 2＝ 10，应选 D ． 二、填空题7．直线 x － 2 ＋1＝ 0 对于直线x ＝1 对称的直线方程是 ________．y分析：由题意得直线x －2y ＋ 1＝ 0 与直线 x ＝ 1 的交点坐标为 (1 ， 1) ．又直线 x － 2y ＋1＝ 0 上的点 ( － 1， 0) 对于直线 x ＝ 1 的对称点为 (3 ， 0) ，y － 0 x － 3所以由直线方程的两点式，得 1－ 0＝ 1－ 3，即 x ＋ 2y －3＝ 0．答案： x ＋ 2y － 3＝ 08．以点 (4 ，1) ， (1 ，5) ， ( － 3，2) ， (0 ，－ 2) 为极点的四边形 的面积为 ________．ABCDABCD分析：因为 k AB ＝5－1＝－ 4， 1－4 3k DC ＝ 2－（－ 2） 4－3－0＝－ 3．地地道道的达到k AD ＝－ 2－1＝ 3， k BC ＝ 2－ 5 ＝ 3．0－4 4 －3－ 1 4则 k AB ＝ k DC ， k AD ＝k BC ，所以四边形 ABCD 为平行四边形．又 k AD · k AB ＝－ 1，即 AD ⊥ AB ，故四边形 ABCD 为矩形．故 S ＝| AB | ·|AD | ＝（ 1－ 4） 2＋（ 5－ 1） 2× （ 0－ 4） 2＋（－ 2－ 1） 2＝25．答案： 259．已知 l ， l 2 是分别经过 A (1 ， 1) ， B (0 ，－ 1) 两点的两条平行直线，当 l ，l2间的距11离最大时，则直线 l 1 的方程是 ________．分析：当直线 AB 与 l 1， l 2垂直时， l 1， l 2 间的距离最大．因为 A (1 ，1)，B (0，－ 1) ， 所以 k AB ＝ － 1－1＝ 2，所以两平行直线的斜率为 k ＝－ 1，0－121所以直线 l 1 的方程是 y － 1＝－ 2( x － 1) ，即 x ＋2y － 3＝0． 答案： x ＋ 2y － 3＝ 010．在平面直角坐标系内，到点A (1 ，2) ， B (1 ，5) ， C (3 ，6) ， D (7 ，－ 1) 的距离之和最小的点的坐标是 ________．分析：设平面上任一点 M ，因为 | MA |＋ | MC | ≥|AC | ，当且仅当 A ，M ， C 共线时取等号， 同理 | MB | ＋| MD |≥ | BD | ，当且仅当 B ，M ，D 共线时取等号， 连结 AC ，BD 交于一点 M ，若 | MA |6－ 2＋| MC |＋ | MB |＋ | MD |最小，则点 M 为所求．因为 k AC ＝3－ 1＝ 2，所以直线 AC 的方程为 y －2＝ 2( x －1) ，即 2x － y ＝ 0．①5－（－ 1） 又因为 k BD ＝＝－ 1，所以直线 BD 的方程为 y －5＝－ ( x － 1) ，即 x ＋y － 6＝ 0．②2x －y ＝ 0，x ＝ 2，(2 ，4)．联立①②解得 所以 x ＋y － 6＝ 0， y ＝ 4， M答案： (2 ， 4) 三、解答题11．已知点 (2，－ 1)．P(1) 求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2) 求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？呵呵复生复生复生(3) 能否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明原因．解： (1) 过点 P 的直线 l 与原点的距离为2，而点 P 的坐标为 (2 ，－ 1) ，明显，过P (2 ，－1) 且垂直于 x 轴的直线知足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为x ＝2．若斜率存在，设 l 的方程为 y ＋ 1＝ k ( x － 2) ，即 kx － y － 2k －1＝ 0．| － 2k － 1|3 由已知得k 2＋ 1 ＝ 2，解得 k ＝4． 此时 l 的方程为 3x － 4y －10 ＝ 0．综上，可得直线 l 的方程为 x ＝ 2 或 3x － 4y －10＝ 0．(2) 作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图．由 l⊥OP ，得 k l k OP ＝－ 1，所以 k l ＝－1＝2．k OP由直线方程的点斜式得 y ＋1＝2( x－2) ，即 2 － － 5＝0．x y所以直线 2x － y － 5＝ 0 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线， 最大距离为| －5|．＝ 55(3) 由 (2) 可知，过点 P 不存在到原点的距离超出5的直线，所以不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线．12．正方形的中心为点C ( － 1， 0) ，一条边所在的直线方程是 x ＋ 3y －5＝ 0，求其余三边所在直线的方程．解：点 C 到直线 x ＋ 3y －5＝ 0 的距离 d ＝| －1－ 5|3 101＋9 ＝5 ． 设与 x ＋ 3y － 5＝ 0 平行的一边所在直线的方程是 x ＋ 3y ＋m ＝ 0( m ≠－ 5) ，则点 C 到直线 ＋ 3 y ＋ ＝0 的距离x m|－1＋ |310d ＝m，＝51＋ 9解得 m ＝－ 5( 舍去 ) 或 m ＝7，所以与 x ＋ 3 y －5＝ 0 平行的边所在直线的方程是 x ＋ 3y ＋7＝ 0．设与 x ＋ 3 － 5＝ 0 垂直的边所在直线的方程是3 － ＋ ＝0，yx yn则点 C 到直线 3x － y ＋ n ＝0 的距离＝ | －3＋ n | ＝3 10， d 1＋ 9 5解得 n ＝－ 3 或 n ＝ 9，所以与 x ＋ 3 y －5＝ 0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x － y － 3＝ 0 和 3x － y ＋ 9＝0．1．已知△ ABC 的极点 A (5 ，1) ，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x － y － 5＝0，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x －2y － 5＝ 0，求直线 BC 的方程．解：依题意知： k AC ＝－ 2， A (5 ， 1) ，所以 l AC 的方程为 2x ＋y － 11＝0，2x ＋ y －11＝ 0， 联立 得 C (4 ，3)．2x － y －5＝ 0，设 B ( x 0，y 0) ，则 AB 的中点 M x 0＋ 5， y 0＋ 1，2 2 代入 2x － y － 5＝ 0，得 2x 0－ y 0－ 1＝ 0，2x 0－ y 0－ 1＝ 0，联立 得 B ( －1，－ 3)，x 0－ 2y 0－ 5＝ 0，66所以 k ＝5，所以直线 BC 的方程为 y －3＝ 5( x －4) ，即 6x － 5y － 9＝0．BC2．已知三条直线： l 1：2x － y ＋ a ＝ 0( a >0) ； l 2：－ 4x ＋ 2y ＋ 1＝0； l 3：x ＋ y － 1＝ 0，且l 1 与 l 7 5 2 间的距离是．10(1) 求 a 的值；(2) 可否找到一点 P ，使 P 同时知足以下三个条件：①点 P 在第一象限；②点 P 到 l 1 的距离是点 P 到 l 2 的距离的 1；2③点 P 到 l 1 的距离与点 P 到 l 3 的距离之比是2∶ 5．若能，求点 P 的坐标；若不可以，说明原因．1a － －解：(1) 直线 l 2：2x －y － 1＝ 0，所以两条平行线2＝l 1 与 l 2 间的距离为 d ＝222＋（－ 1） 27510，1a＋2 7 5 1 7所以 5 ＝10，即 a＋2 ＝2，又 a>0，解得 a＝3．(2) 假定存在点P，设点P( x0，y0) ．若点P知足条件②，则点P 在与 l 1， l 2平行的直线l′： 2x－y＋c＝ 0 上，1| c－ 3| 1c＋2且5＝2×5，13 11 13 11即 c＝2或6，所以直线 l ′的方程为2x0－y0＋2＝ 0 或 2x0－y0＋6＝ 0；若点 P知足条件③，由点到直线的距离公式，有 |2 x －y ＋3| ＝2×| x＋y－1| ，0 0 0 05 5 2即 |2 x0－y0＋ 3| ＝ | x0＋y0－ 1| ，所以 x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；因为点 P 在第一象限，所以3x0＋2＝0不行能．13联立方程 2x0－y0＋2＝ 0 和x0－2y0＋ 4＝ 0，x0＝－3，解得1(舍去)；y0＝211联立方程 2x0－y0＋6＝ 0 和x0－2y0＋ 4＝ 0，x0 1＝9，解得37y0 ＝18. 所以存在点 P 1 37，18 同时知足三个条件．9。
高考数学文一轮分层演练：第9章平面解析几何第1讲(1)(1)
高考数学文一轮分层演练：第9章平面解析几何第1讲(1)(1)一、选择题1．已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( )A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0解析：选D．由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝．所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0．2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0解析：选A．由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－．易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0．3．两直线－＝a与－＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B．直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．4．已知直线x＋a2y－a＝0(a>0，a是常数)，当此直线在x，y 轴上的截距之和最小时，a的值是( )A．1 B．2C．D．0解析：选A．直线方程可化为＋＝1，因为a>0，所以截距之和t ＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号．5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2，0)∪(0，2]D．(－∞，＋∞)解析：选C．令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．6．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选C．将(1，1)代入直线＋＝1，得＋＝1，a＞0，b＞0，故a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故选C．二、填空题7．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________．。
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[学生用书P269(单独成册)]一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的准线方程是( ) A ．y ＝－12aB ．y ＝－14aC ．y ＝12aD ．y ＝14a解析：选B ．抛物线y ＝ax 2(a <0)可化为x 2＝1a y ，准线方程为y ＝－14a ．故选B ．2．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝8xC ．y 2＝6xD ．y 2＝4x解析：选B ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线定义， x 1＋x 2＋p ＝8，因为AB 的中点到y 轴的距离是2， 所以x 1＋x 22＝2，所以p ＝4；所以抛物线方程为y 2＝8x ．故选B ．3．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝2xC ．y ＝2x 2D ．y ＝－2x 2解析：选B ．因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心是(1，－2)，抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)，设标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，所以p ＝1，所以所求抛物线方程为y 2＝2x ，故选B ．4．设抛物线 y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：选B ．如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°． 又AP ∥MF ，所以∠P AF ＝60°． 又|P A |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8．5．已知点A (2，1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|P A |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．⎝⎛⎭⎫14，1解析：选D ．如图，设抛物线准线为l ，作AA ′⊥l 于A ′，PP ′⊥l 于P ′， 则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PP ′|≥|AA ′|， 即当P 点为AA ′与抛物线交点时， |P A |＋|PF |最小，此时P ⎝⎛⎭⎫14，1． 故选D ．6．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．因为△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4．二、填空题7．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为________．解析：设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝⎛⎭⎫14，±22．答案：⎝⎛⎭⎫14，±228．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ， AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上， 故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：69．过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线 x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)， 因为|P A |＝12|AB |，所以⎩⎪⎨⎪⎧3（x 1＋2）＝x 2＋2， 3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53． 答案：5310．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠F AC ＝120°，则圆的方程为__________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )，又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1． 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1 三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2．所以抛物线方程为y 2＝4x ． (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k F A ＝43，因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34．所以F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45．12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4．由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ．(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2．1．如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为 x ＝my ＋1．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立， 消去x 得y 2－4my －4＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2．② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24．所以直线AB 的斜率是±22．(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1，2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ．则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由 ①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．。