北师大版2016年中考数学专题复习4 数学思想方法问题专题
2016北师大版初中数学思维导图
初中数学思维导图、全等三角形思维导图戸祸曹诵三角形的刮宦方注 斛边和一条萱角边(HL )iSia® (sss )边阳辺(SAS )角咖(ASA )角例边(MS J讪再曲的対讪.找仃越fiHAA£)找馮角的夹边(ASA ) 州理t-边(AAS )对应边瞬 对应甬相等 对应中钱*忌和角审分扶相霁 面积相等、相似三角形思维导图全密三角形的角平分线的性怖角平分线上任倉一点到角两边的距IS相萼 尺现作圈全等三角形我夹角(SAS 】 蟻三迦SSS}边為角的邻边 考察题型 战已加的另一边(SAS) 找己如血的对角(AAS } 找求己磁的角全鱷三角形的性质相｛以三角形的性质宦义比例相似性质相级三角彤豹对应角相等相似三角形的对应边成比例K1似三角距时对应高线的比等于相似比相01三角形B9对应中红的比等予相似比棺似三角形的对应角甲分垓的比等寸相似比相似三角带的周长比等于相似比相ffil三帛形的面积比等于相似比的平方相OXHft形具有传递性形状相同、对应角相等，对应边成比例的E 两个比值相等的式子形状相同对应角招等对应边成比例面积比提对应边比03的平方周长比等于对应边之比相似二角形的定义、表示方法、相似比表示方法相^比普通三角彤相1以三角形的判定直角三角形朗边対应成比例夹桶相等3^硕比例期角对应相籌HS3通三角形的判宦方法、几何初步和三角形思维导图角的宦义 a 角的分宾角的计轉和比较四、投影与视图思维导图电召 用光线照射物理,在菓 疋乂个平面上得到的影子平行投彫分类*£中心投影正投影视点、视线^盲区由平彳亍的光线照射所形成的投影 从一点发出的光线 照射所形成的投影 与投影面垂直的光线 照射所形成的投影主视图左视图几何初步 闢聚倉域桐交梅交拔曲白线坯白及H 怜质内错角 曲票由线披簞三塞肯红断瞇几何初步和三角形 零行坎同位角 同旁内角二甬形相关年文和赵直角三丽惑 純角三角形 二角形分类曲分纂零边三角形捲边分类等常-角形 昌通三角形二傢血二罚工或三角形的性菇曲形的海外角关恳 能三角形怖公理及惟论定义 从某〜 角厦观察物理所看到的图像 投彩俯视 立体图形的表面届开在 Y 平面内.线段固定端点o 旋转一周r 另一端点A 所形成的图形 隔性旋转不变性正多边形与圆的相关计算 直线与圆的计算 圆与圆的计嘗圆周角定理 与圆相关的定理 圆心角 垂径定理六、实数思维导图点在圍内相交相离相切外切 内切相交相离 外离 内含与点的位萱关紊与直线的位直关萦 与圆的位潼关萦面积的计算圆面积、扇形面积 圆柱体、圆锥体五、圆思维导图 定义圆的认识几何表示o 为圜心的ISiB 着"00" 圆O 二角形外接圆和内切圆 外接圆内切圆 圆的位胃点在圍上 点在圆夕卜与圆相关的计算宦Y 翦数和分故如!为fl 理灼ir有9nK mt山戲和戡个寧方型 耳空 團*方戡艮o ”刘甲为竝H 烦卷鼻応・ R 让貝於F 旳叩卉审 ■.噸甲舟fb御J 齐律EE 訂 性畅憤Mt 1血乃懈腿脅杠 与立舟尸・a Mr + H F 巾儿山■ 七、代数式思维导图小K4/【ISff 同方wnmARJfi?!Witt ：丸巾miMvM( a tiftff ( 4WX予J*"ifl<・ HfittAWTOA .WK秫通式賽血兀•兀5M<哄就■方+幷方）帧常•斗曲at的寧圖,f*r •的戌仇■幢的<a^$m>4Urc 尽鶴讥科©可赛轉F Hwn5瘁分黄羽y 「“K*nKKO^0豊亨旳的上気*®環-.琴型贰MO. -®w \晰需亨飾WL,-祕1] ■CW加下無孕債仔弘工：.总►4UM5PA宰方粧何武*予方笛欢牛比詁VHit-H 井£Cfi畑慈点\UHUM^ 皿ef?式K1SQ比氓第为竹O矽了蒔一t初宦义一嗣SIU^A的血圧露吿凶式cvn^w 3 J七彳寄汁式阻5/?話吒断喲葩氏z?WftnB9井册冇即化=W»iW之。
2025年中考数学思想方法复习系列 【整体思想】求代数式值中的整体思想(原卷版)
求代数式值中的整体思想知识方法精讲1．整体思想从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
2．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．一．选择题（共7小题）1．（2021秋•南充期末）已知m ，n 是方程21010x x -+=的两根，则代数式29m m n -+的值等于()A ．0B ．11-C ．9D ．112．（2021秋•中原区校级期末）已知23a b -=，则代数式241a b -+的值是()A ．5-B ．2-C ．4D ．73．（2021秋•天门期末）如果22m m -=，那么代数式2(2)(2)m m m ++-的值为()A ．8-B ．6-C ．6D ．84．（2021秋•晋州市期末）若2410x x --=，则2282020x x -+的值为()A ．2021B ．2022C ．2023D ．20245．（2021秋•长沙期末）已知2370x x +-=，则2391x x +-的值是()A ．20B ．21C ．7D ．106．（2021秋•江油市期末）已知代数式2x y +的值是3，则124x y --的值是()A ．2-B ．4-C ．5-D ．6-7．（2021秋•封开县期末）若202x y ++=-，则20x y --的值为()A ．42-B ．42C ．2-D ．22二．填空题（共14小题）8．（2021•饶平县校级模拟）已知237x x ++的值为13，则代数式2398x x +-的值为．9．（2021•广东模拟）已知235x x ++的值是7，则式子2392x x --+的值是．10．（2020•东莞市一模）已知230x x +-=，则代数式21522x x --的值为．11．（2021秋•广丰区期末）若关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a ++=≠的一个解是1x =，则2022a b --的值是．12．（2021秋•安居区期末）设m 、n 是一元二次方程2370x x +-=的两个根，则252m m n ++=．13．（2021秋•南充期末）已知14x x -=，则221x x +=．14．（2021秋•渝北区期末）已知3232x y -=-，则代数式202146x y +-的值为．15．（2021秋•金牛区期末）已知23y x =-，则式子422021x y -+的值为．16．（2021秋•锦江区校级期末）若221a ab +=，222b ab -=，则2262a ab b --+=．17．（2021秋•鼓楼区校级期末）23a ab +=，26ab b -=，则2232a ab b +-=．18．（2021秋•成华区期末）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为．19．（2021秋•临江市期末）若3mn m =+，则3310m mn -+=．20．（2021秋•福田区校级期末）已知2210a a -+=，则2202224a a -+=．21．（2021秋•东城区校级期中）如果代数式2234x x +-的值为6，那么代数式2469x x +-的值是．三．解答题（共9小题）22．（2021秋•通州区期末）先化简，再求值：已知25a a -=，求22(37)2(32)a a a a ---+的值．23．（2021秋•白云区期末）已知a ，b 互为倒数，x ，y 互为相反数．（1）求式子232x ab y ++的值；（2）若24b =，8y b =，求式子72y b a x -的值．24．（2021秋•海淀区期末）已知2210a a +-=，求代数式222111()211a a a a a a --÷-+--的值．25．（2021秋•荔湾区期末）已知223a b +=，2ab =-，求代数式2222(733)2(432)a ab b a ab b ++-++的值．26．（2021秋•铁西区期末）利用乘法公式解决下列问题：（1）若8x y -=，40xy =．则22x y +=；（2）已知，若x 满足(25)(10)15x x --=-，求22(25)(10)x x -+-值．26．（2021秋•西城区校级期中）若257x x -+=，求22()3(1)(34)x x x x ---+-的值．28．（2021秋•思明区校级期中）所谓完全平方式，就是对一个整式M ，如果存在另一个整式N ，使2M N =，则称M 是完全平方式，如422()x x =、2222()x xy y x y ++=+，则称4x 、222x xy y ++是完全平方式．（1）下列各式中是完全平方式的有．（填写编号）①2244a a b ++；②24x ；③22x xy y -+；④21025y y --；⑤21236x x ++；⑥2124949a a -+．（2）证明：多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．（3）已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，满足22222()a b c c a b ++=+，判定ABC ∆的形状．29．（2021秋•六盘水月考）“整体思想”是中学数学学习中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，例如把()a b +看成一个整体：4()3()(43)()7()a b a b a b a b +++=++=+，请应用整体思想解答下列问题：（1）化简：2225()7()3()m n m n m n +-+++；（2）已知22a b -=，25b c -=-，9c d -=，求()(2)(2)a c b d b c -+---的值．30．（2021秋•柘城县期中）整体代换是数学的一种思想方法．例如：20x x +=，则22021x x ++=，我们将2x x +作为一个整体代入，则原式020212021=+=．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）若210x x +-=，则22020x x ++=；（2）如果5a b +=，求2()4421a b a b +--+的值；（3）若2220a ab +=，228b ab +=，求22232a b ab --的值．。
2016届中考数学专题四方案设计探究教师版
2016年中考总复习专题四方案设计探究1．（2015?达州）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买3台学习机多600元，购买2台平板电脑和3台学习机共需8400元．（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的 1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？解：（1）设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元，y元，根据题意得：，解得：，则购买1台平板电脑和1台学习机各需3000元，800元；（2）设购买平板电脑x台，学习机（100﹣x）台，根据题意得：，解得：37.03≤x≤40，正整数x的值为38，39，40，当x=38时，y=62；x=39时，y=61；x=40时，y=60，方案1：购买电脑38台，学习机62台，费用为114000+49600=163600（元）；方案2：购买平板电脑39台，学习机61台，费用为117000+48800=165800（元）；方案3：购买平板电脑40台，学习机60台，费用为120000+48000=168000（元），方案1最省钱．2．（2015?辽阳）某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共40台并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．解：（1）设一台A型换气扇x元，一B型换气扇的售价为y元，根据题意得：，解得，A型50元B型75元；（2）设购进A型换气扇z台，总费用为w元，则有z≤3（40﹣z），解得：z≤30，∵z为换气扇的台数，∴z≤30且z为正整数，w=50z+75（40﹣z）=﹣25z+3000，∵﹣25＜0，∴w随着z的增大而减小，∴当z=30时，w最大=25×30+3000=2250，此时40﹣z=40﹣30=10，答：最省钱的方案是购进30台A型换气扇，10台B型换气扇．3．（2015?东莞）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？解：（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得：，解得：；A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元；（2）设购进A型计算器a台，则购进B台计算器：（70﹣a）台，则30a+40（70﹣a）≤2500，解得：a≥30，最少需购进 A 30台．4．（2015?绵阳）南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A，B两种矿石，A矿石大约565吨，B 矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元．（1）设运送这些矿石的总费用为y元，若使用甲货船x艘，请写出y和x之间的函数关系式；（2）如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．解：（1）根据题意得：y=1000x+1200（30﹣x）=36000﹣200x．（2）设安排甲货船x艘，则安排乙货船30﹣x艘，根据题意得：，化简得：，∴23≤x≤25，∵ｘ为整数，∴x=23，24，25，方案一：甲货船23艘，则安排乙货船7艘，运费y=36000﹣200×23=31400元；方案二：甲货船24艘，则安排乙货船6艘，运费y=36000﹣200×24=31200元；方案三：甲货船25艘，则安排乙货船5艘，运费y=36000﹣200×25=31000元；经分析得方案三运费最低，为31000元．5．（2015?陕西）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人．（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家．解：（1）甲两家旅行社的总费用：y甲=640×0.85x=544x；乙两家旅行社的总费用：当0≤x≤20时，y乙=640×0.9x=576x；当x＞20时，y乙=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）=480x+1920；（2）当x=32时，y甲=544×32=17408（元），y乙=480×32+1920=17280，因为y甲＞y乙，所以胡老师选择乙旅行社．6.（2015?朝阳）某农场急需铵肥8吨，在该农场南北方向分别有一家化肥公司A、B，A公司有铵肥3吨，每吨售价750元；B公司有铵肥7吨，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b（单位：元/千米）与运输重量a（单位：吨）的关系如图所示．（1）根据图象求出b关于a的函数解析式（包括自变量的取值范围）；（2）若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m千米，设农场从A公司购买x吨铵肥，购买8吨铵肥的总费用为y元（总费用=购买铵肥费用+运输费用），求出y关于x的函数解析式（m为常数），并向农场建议总费用最低的购买方案．解：（1）当0≤a≤4时，设b=ka，把（4，12）代入得4k=12，解得k=3，所以b=3a；当a＞4，设b=ma+n，把（4，12），（8，32）代入得，解得，所以b=5a﹣8；（2）∵1≤x≤3，∴y=750x+3mx+（8﹣x）×700+[5（8﹣x）﹣8]?2m=（50﹣7m）x+5600+64m，当m＞时，到A公司买3吨，到B公司买5吨，费用最低；当m=时，到A公司或B公司买一样；当m＜时，到A公司买1吨，到B公司买7吨，费用最低．7．（2015?临沂）新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2．若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．（1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式；（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．解：（1）当1≤x≤8时，每平方米的售价应为：y=4000﹣（8﹣x）×30=30x+3760 （元/平方米）当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：y=4000+（x﹣8）×50=50x+3600（元/平方米）．∴y=（2）第十六层楼房的每平方米的价格为：50×16+3600=4400（元/平方米），按照方案一所交房款为：W1=4400×120×（1﹣8%）﹣a=485760﹣a（元），按照方案二所交房款为：W2=4400×120×（1﹣10%）=475200（元），当W1＞W2时，即485760﹣a＞475200，解得：0＜a＜10560，当W1＜W2时，即485760﹣a＜475200，解得：a＞10560，∴当0＜a＜10560时，方案二合算；当a＞10560时，方案一合算．8．（2015?泸州）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．解：（1）设A花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：，解得：，A 20元B 5元．（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，（3）∴31﹣m＜2m，解得：m＞，∵m是正整数，∴m最小值=11，设购买树苗总费用为W=20m+5（31﹣m）=15m+155，∵k＞0，∴W随x的减小而减小，当m=11时，W最小值=15×11+155=320（元）．购进A种花草的数量为11株、B种20株，最省费用是320元．9．（2015?庆阳）某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．解：（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，根据题意得：，解得：，（2）设购进篮球m个，排球（100﹣m）个，根据题意得：，解得：≤m≤35，∴m=34或m=35，∴购进篮球34个排球66个，或购进篮球35个排球65个两种购买方案．10．（2015?钦州）某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．根据题意得：解得：（2）设购买气排球x个，则购买篮球（50﹣x）个．根据题意得：50x+80（50﹣x）≤3200解得x≥26，又∵排球的个数小于30个，∴排球的个数可以为27，28，29，∵排球比较便宜，则购买排球越多，总费用越低，∴当购买排球29个，篮球21个时，费用最低．29×50+21×80=1450+1680=3130元．11．（2015?咸宁）在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为1800m 2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解析式．（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）根据题意，得：100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x，∴y与x的函数解析式为：y=36﹣2x．（3）∵甲乙两队施工的总天数不超过26天，∴x+y≤26，∴x+36﹣2x≤26，解得：x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：（36﹣2x）=0.1x+9，∵k=0.1＞0，∴w随x减小而减小，∴当x=10时，w有最小值，最小值为0.1×10+9=10，w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×此时y=26﹣10=16．安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低．12．（2015?广安）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：目的地A村（元/辆）B村（元/辆）车型大货车800 900小货车400 600（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：解得：．∴大货车用8辆，小货车用7辆．（2）y=800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]=100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）．（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，解得：x≥5，又∵3≤x≤8，∴5≤x≤8且为整数，∵y=100x+9400，k=100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=5时，y最小，最小值为y=100×5+9400=9900（元）．答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．[来13．（2015?六盘水）联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？（3）什么情况下A套餐更省钱？解：（1）A套餐的收费方式：y1=0.1x+15；B套餐的收费方式：y2=0.15x；（2）由0.1x+15=0.15x，得到x=300，答：当月通话时间是300分钟时，A、B两种套餐收费一样；（3）当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱．14．（2015?内江）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据题意得：，解得：x=1600，经检验，x=1600是原方程的解，x+400=1600+400=2000，每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：，解得：，∵x为正整数，∴x=34，35，36，37，38，39，40，∴合理的方案共有7种，即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，∵，∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，∵，∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．15．（2015?恩施州）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生产A、B两种产品共50件，生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示：原料甲种原料（千克）乙种原料（千克）型号A产品（每件）9 3B产品（每件） 4 10（1）该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案？（2）若生成一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，怎样安排生产可获得最大利润？解：（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品由题意得：，解得：30≤x≤32的整数．∴有三种生产方案：①A30件，B20件；②A31件，B19件；③A32件，B18件；（2）方法一：方案（一）A，30件，B，20件时，20×120+30×80=4800（元）．方案（二）A，31件，B，19件时，19×120+31×80=4760（元）．方案（三）A，32件，B，18件时，18×120+32×80=4720（元）．方（一）A，30件，B，20件利最大．15．（2015?潜江）随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：收费方式月使用费/元包时上网时间/h 超时费/（元/min）A 7 25 0.01B m n 0.01设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为y A，y B．（1）如图是y B与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m=10；n=50（2）写出y A与x之间的函数关系式．（3）选择哪种方式上网学习合算，为什么？解：（1）由图象知：m=10，n=50；（2）y A与x之间的函数关系式为：当x≤25时，y A=7，当x＞25时，y A=7+（x﹣25）×60×0.01，。
中考数学专题复习第4讲因式分解(含详细答案)
第四讲 因式分解 【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ．思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n ∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）（ ） （ ）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4． 点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练5．（•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】1．（•临沂）分解因式4x-x 2= ．1．x （4-x ）2．（•滨州）分解因式：5x 2-20= ．2．5（x+2）（x-2）3．（•泰安）分解因式：m 3-4m= ．3．m （m-2）（m+2）4．（•莱芜）分解因式：2m 3-8m= ．4．2m （m+2）（m-2）5．（•东营）分解因式：2a 2-8b 2= ．5．2（a-2b ）（a+2b ）6．（•烟台）分解因式：a 2b-4b 3= ．6．b （a+2b ）（a-2b ）7．（•威海）分解因式：-3x 2+2x-13= ． 7．21(31)3x --8．（•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（） A ．x 2+x+1 B ．x 2+2x-1 C ．x 2-1D ．x 2-6x+9 1．D2．（•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1） 2．C3．（•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．4．x-15．（•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。
2016 北师大版初中数学知识点归纳(7-9年级)
北师大版七年级上册知识点总结第一章丰富的图形世界1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体（1）几何图形的组成（2圆柱n56六边形。
78、从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形。
弧：圆上A、B两点之间的部分叫做弧。
扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
第二章有理数及其运算1、有理数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数负有理数有理数分数2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。
4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
6、有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
7（1（2（31234（1（25第四章平面图形及其位置关系1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。
线段有两个端点。
2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
射线有一个端点。
3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。
直线没有端点。
4、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。
中考数学专题复习—— 应用性问题
中考数学专题复习——应用性问题足球场上有句顺口溜：“向着球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好！”从数学角度看是何道理？应用题是中考试题的经典试题，解决应用题的思想方法如下：实际问题分析、联想、转化、抽象解答数学问题建立数学模型应用性问题的常见模型有：方程模型、不等式模型、函数模型、统计模型、几何模型方程（组）型应用题一般步骤：（1）审：未知量、已知量、相等关系；（2）设：用字母表示未知数(写明单位)；（3）列：列出方程（组）；（4）解：解所列方程（组）；（5）验：检验答案是否符合方程、符合题意（6）答：写出答案。
例1、5.12汶川大地震发生以后，全国人民众志成城．首长到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面是首长与厂长的一段对话：首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成12000顶帐篷的生产任务．厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生产量比原来多一半．首长：这样能提前几天完成任务？厂长：请首长放心！保证提前4天完成任务！根据两人对话，问该厂原来每天生产多少顶帐篷？不等式（组）型应用题现实世界中不等关系是普遍存在的，有关最佳决策、合理调配、统筹安排等最优化问题，一般可通过对给出的一些数据进行分析、转化、建立不等式模型，再求在约束条件下的不等式的解集．例2：某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。
学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住。
（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷；（2）学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。
如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有哪几种方案？初三数学第1 页共4 页初三数学 第 2 页 共 4 页4％函数型应用问题一般步骤：（1）审：常量、变量、相等关系；（2）设：用两个字母分别表示自变量、因变量；（3）列：列出函数关系式（写出自变量的取值范围）（4）解：解决函数问题；（5）验：检验答案是否符合函数关系、符合题意（6）答：写出答案.例3、红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件）与时间t （天）的关系如下表：未来40天内，前20天每天的价格1y （元/件）与时间t （天）的函数关系式为1254y t =+（120t ≤≤且t 为整数），后20天每天的价格2y （元/件）与时间t （天）的函数关系式为21402y t =-+（2140t ≤≤且t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题： （1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m （件）与t （天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a ＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值范围．统计型应用问题：统计的内容有着非常丰富的实际背景，其实际应用性特别强，与统计有关的实际问题可建立统计模型，并利用统计的知识加以解决。
2016届中考总复习数学专题习题课件专题七：几何综合(精)
专题七几何综合问题数学几何型综合题是指以儿何知识为主或以儿何变换为主的一类综合题，涉及知识主要包括几何的定义、公理、定理以及几何变换等内容.解题策略：解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的.代数和几何型综合题是指以代数知识与几何知识综合运用为主，包插坐标系中的图形变换等的一类综合题，涉及知识主要以函数与圆、方程，函数与三角形、四边形等相关知识为主综合.解题策略：儿何图形形象直观，解题过程的可操作性强，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法.►类型一几何综合型问题【例1】（2015 -湖州）已知在△ ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E 不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点.（1）初步尝试如图1，若AABC是等边三角形，DH丄AC，且点D，E的运动速度相等.求证：HF=AH+CF.小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG/7BC，交AC于点G，先证GH = AH，再证GF= CF，从而证得结论成立：思路二：过点E作EM丄AC，交AC的延长线于点M，先证CM = AH，再证HF=MF »从而证得结论成立.请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程；(2)类比探究如图2，若在Z\ABC 中 > ZABC=90°，ZADH = ZBAC = 30°，且点D，E的运动速度Z比是羽：1，求器的值；(3)延伸拓展BC如图3，若在Z\ABC 中，AB = AC，ZADH= ZBAC = 36°，记忑=m，AC且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示爺.(直接写出结果，不必写解答过程)分析，(1)由不同的思路证明相应的三角形全等即可：(2)类比(1)中的思路作出辅助线，再证明相应的三角形全等即可得出结论:(3)过点D作DG//BC,交AC于点G,先证出DG = DH = AH,再证明ADG H^AA GHDG =BCAB =m,GHAH=m,证明△ DFG^AEFC,得.GF DG DG BC GH+GF_AH + FC = m AH +FCAC可得出结果.解：（1）选择思路一：过点D作DG/7BC，交AC于点G，V A ABC是等边三角形，・・・ZADG=ZB = 60°，ZA = 60°，•'•△ADG是等边三角形，・・・GD = AD=CE，・・・DH丄AC <.GH = AH，TDG〃BC 厂・ZGDF= ZCEF，ZDGF=ZECF，•••△GDF竺ACEF * /.GF=CF，・・.GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF 选择思路I：过点E作EM丄AC，交AC的延长线丁点M，［△ABC 是等边三角形，・・・ZA=ZACB = ZECM=60°，VDH丄AC，EM丄AC，・・・ZAHD=ZCME=90°»VAD = CE * /.AADH^A CEM，・・・AH = CM，DH = EM，又V ZDHF= ZEMF = 90°，ZDFH = ZEFM * AADFH^AEFM，・・.HF=MF=CM+CF=AH+CF （2）过点D 作DG/7BC，交AC 于点G，则ZADG=ZB=90°，VZBAC=ZADH = 30°，・・・ZHGD=ZHDG = 60°* /.AH = GH=GD，AD=^/3GD，由题意可知，AD=V5CE，・・・GD=CE，DG // BC，ZGDF=ZCEF，Z DGF=ZECF，•••△GDF竺/XCEFUSA），・・・GF=CF，・・.GH+GF=AH + CF *即HF=AH+CF，・••鑰=2 ⑶篇=卬〔丄►类型二平面直角坐标系中的代数与几何的综合【例2] （2015 -衡阳）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA 边上任意一点（与点O，A不重合），连接CP，过点P作PM丄CP交AB于点D，且PM = CP，过点M作MN//OA ‘交BO于点N，连接ND，BM，设OP=t.（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；⑶“为何（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由;分析：(1)作ME丄x轴于E,证明△ MPE^APCO,得出ME=PO=t, EP = OC=4,求出OE,即可得出点M的坐标：(2)先求出OB的解析式，由点M的坐标可得点N的纵坐标，可求点N的横坐标，即可求出MN的长度；AD AP(3)先证明△ DAP^APOC,得出Qp=0Q,求出AD, BD,求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果.解：(1)作ME丄x 轴于点E > 则ZMEP=ZPOC=9(T > TPM丄CP > ZCPM = 90°> ••• ZOPC+ ZMPE=90° V ZOPC+ ZPCO=90°，ZMPE=ZPCO > 又VPM=CP > •••△MPE9ZXPCO > APE=CO=4 > ME=PO=t，・・・OE=4+t，・••点M的坐标为(4+t，t)⑵线段MN的长度不变，理由：由题意知OA = AB=4，・••点B坐标为(4，4)，・•・直线OB的解析式为y=x，VMN/7OA，点M为(4+t，t)，点N 的坐标为(t，t)，・・・MN=l(4+t)-tl=4，即线段MN的长度不变(3)由(1) 知：ZMPE=ZPCO，又ZDAP=ZPOC=90°> .•.ADAP<^APOC >，・.・OP=l ，OC=4，・・・AP=4-t ，・••竽=宁'・・・AD=t "丁) ・•・四边形 BNDM 的面积 S=^MN BD=5t 2-2t4-8=|(t-2)2+6 * V^>0 ‘ AS 有最小值，当t=2时，S 的值最小，.••当t=2时，四边形BNDM 的 面枳最小ADAPOP = t (4-t) "4 =VMN/7OA，AB1. (2015 •福州)如I图①»在锐角AABC中＞D，E分别为AB ＞BC中点＞F 为AC上一点，且ZAFE=ZA，DM/7EF交AC于点M.(1)求证：DM = DA：(2)点G在BE上，且ZBDG = ZC，如图②，求证：ADEGs/xECF；(3)在图②中，取CE上一点H，使ZCFH=ZB，若BG=l，求EH的长.解：(1)TDM〃EF，•••ZAMD=ZAFE，VZAFE=ZA > AZAMD = ZA，A DM = DA (2) V D，E 分别是AB，BC 的中点，・・.DE〃AC， ZDEB = ZC > ZBDE=ZA，二ZBDE= ZAFE，二ZBDG+ZGDE=ZC+ ZFEC. V ZBDG= ZC • AZEDG = ZFEC AADEG^AECF(3)V ZBDG= ZC= ZDEB，ZB = ZB * /.ABDG^ABED，・••蛊= gg，即BD1 2 3= BE-BG V Z AFE = Z A，ZCFH=ZB > A ZC= 180°-= ，即EF2 = EH・EC・TDE〃AC，DM〃EF，•••四边形DEFM 是平行四边形> AEF=DM=AD=BD > /.BE BG=EH EC > VBE=EC > /.EH = BG=12 • (2015-济宁)如图，OE的圜心E(3，0)，半径为5，0E与y轴相交于A，B两点(点A在点B的上方)，与x轴的正半轴和交于点C；直线1的3解析式为y=》x+4 ＞与x轴相交于点D：以C为顶点的抛物线经过点B.(1)求抛物线的解析式；(2)判断直线1与OE的位置关系，并说明理由:(3)动点P在抛物线上，当点P到直线1的距离最小时，求出点P的坐标ZAFE-ZCFH= ZEFH > 又VZFEH=ZCEF，•••△EFHs^ECF > FH FF 及垠小距离.解：⑴抛物线的解析式为y = —^(x — 8)2 (2)在直线1的解析式y=d0)；当x=0时，y=4，所以点A 在直线1上.在/CrAAOE 和&△ DO A 中，••法T * §5=1 -Ml ；又・・・ZAOE=ZDOA=90。
2016中考数学第一轮复习专题一-数与式
答案: C
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二、填空题 12．(2015·泰安)分解因式：9x3－18x2＋9x＝9x(x－1)2 .
13．若式子
2－x有意义，则实数 x
x
的取值范围是
x≤2
且 x≠0 .
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5．(2015·苏州)若m＝ 22×(－2)，则有( C )
A． 0<m <1
B．－ 1<m <0
C．－ 2<m <－ 1
D． － 3<m<－ 2
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6
．
(2015·绍
(4)运用这个公式计算：(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)． (x－2y＋3z)(x＋2y－3z)＝[x－(2y－3z)]·[x＋(2y－3z)] ＝x2－(2y－3z)2＝x2－4y2＋12yz－9z2.
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(2015·吉林)先化简，再求值： (x＋ 3)(x－ 3)＋ 2(x2＋4)，其中x＝ 2.
【思路点拨】原式 第一项利用平方差公式展开，第二 项去括号，合并同 类项得到最简结果，将 x的值代入计算 即可求出代数式的 值．
【自主解答】 解：原式＝ x2－ 9＋ 2x2＋ 8＝ 3x2－ 1. 当x＝ 2时，原式＝3×( 2)2－1＝5.
中 m 是方程 x2＋3x＋1＝0 的根． 【思路点拨】在化简时要先算括号里面的，再把除法
变为乘法，然后分解因式并约分，最后相乘．
第13页，共44页。
【自主解答】 解：原式＝3mmm－－3 2÷mm2－－29 ＝3mmm－－3 2×m＋m3－m2－3＝3mm1＋3. ∵m 是方程 x2＋3x＋1＝0 的根，∴m2＋3m＋1＝0， ∴m2＋3m＝－1，即 m(m＋3)＝－1， ∴原式＝3×1－1＝－13.
北京市第四中学2016高考理科数学总复习例题讲解：高考数学思想方法与策略专题 02数形结合的思想
数形结合的思想——北京四中 吕宝珠一、高考真题感悟已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|， 0<x≤10，－12x ＋6，x>10， 若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是__________．解：画出函数f (x )的图象，如下图所示：由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．考题分析本小题考查了分段函数的特征及性质、对数函数及其运算．重点考查了解决问题的方法即数形结合的思想方法．体现 了对知识和能力的双重考查．易错提醒(1)找不到问题解决的突破口，即想不到用数形结合．(2)f (x )的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分 析．(3)不会借助图形进行分析．二、思想方法概述1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形” 两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以“形”作为手段，“数”作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以“数”作为手段，“形”作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．5．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化， 几何问题代数化，以便于问题求解．三、热点分类突破题型一 数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的 应用例1 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋bx ＋c ，x≤0，2， x>0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为_____．(2)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．解 (1)由f (－4)＝f (0)得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2.联立两方程解得：b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋4x ＋2，x≤0，2， x>0.在同一直角坐标系内，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象， 知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点．(2)在同一坐标系中，分别作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象， 由图可知，x 的取值范围是(－1,0)．变式训练1已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间 上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解 函数在上是增函数，由函数f (x )为奇函数，可得f (0)＝0， 函数图象关于坐标原点对称，这样就得到了函数在上的特征图象，由f (x －4)＝－f (x )⇒f (4－x )＝f (x )，故函数图象关于直线 x ＝2对称，这样就得到了函数在上的特征图象，根据f (x －4)＝－f (x )可得 f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，函数以8为周期， 即得到了函数在一个周期上的特征图象，就不难根据周期性得到 函数在上的特征图象(如图所示)，根据图象不难看出方程f (x )＝m (m >0)的四个根中，有两根关于直线x ＝2对称，另两根 关于直线x ＝－6对称，故四个根的和为2×(－6)＋2×2＝－8.题型二 数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1， x>0，－x2－2x ， x≤0，若函数g (x )＝f (x )－m有3个零点，则实数m 的取值范围为__________．思维启迪 作出分段函数f (x )的图象，观察图象与y ＝m 的交点个数．解 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1， x>0，－x2－2x ， x≤0＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1， x>0，－(x ＋1)2＋1， x≤0，画出其图象如图所示．又由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，知y ＝f (x )与y ＝m 有3个 交点，则实数m 的取值范围是(0,1)．探究提高解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数 的图象的交点问题．在解决函数图象的交点问题时，常用数形结 合，以“形”助“数”，直观简洁．变式训练2 若不等式log a x >sin 2x (a >0，a ≠1)对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4 都成立，则a 的取值范围为____________．解 记y 1＝log a x ，y 2＝sin 2x ，原不等式相当于y 1>y 2， 作出两个函数的图象，如图所示，知当y 1＝log a x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1时，a ＝π4， 所以当π4<a <1时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4都有y 1>y 2.题型三 数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用 例3 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆 x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心， 求四边形PACB 面积的最小值．思维启迪 在同一坐标系中画出直线与圆．作出圆的切线PA 、 PB ，则四边形PACB 的面积S 四边形PACB ＝S △PAC ＋S △PBC ＝2S △PAC . 把S 四边形PACB 转化为2倍的S △PAC 可以有以下多条数形结合的思路． 画出对应图形→利用数形结合明确所求→求解得结果 解方法一从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0 向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积 S Rt △PAC ＝12PA ·AC ＝12PA 越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大； 当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小， 显然,当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时PC ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而PA ＝PC2－AC2＝2 2.∴(S 四边形PACB )min ＝2×12×PA ×AC ＝2 2. 方法二 利用等价转化的思想，设点P 的坐标为(x ，y )， 则PC ＝(x －1)2＋(y －1)2，由勾股定理及AC ＝1，得PA ＝PC2－AC2＝(x －1)2＋(y －1)2－1，从而S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2·12PA ·AC ＝PA ＝(x －1)2＋(y －1)2－1， 从而欲求S 四边形PACB 的最小值，只需求PA 的最小值，只需求 PC 2＝(x －1)2＋(y －1)2的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )距离的平方的最小值， 它也就是点C (1,1)到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离的平方，这个最小值d 2＝(|3×1＋4×1＋8|32＋42)2＝9， ∴(S 四边形PACB )min ＝9－1＝2 2.方法三 利用函数思想，将方法二中S 四边形PACB ＝(x －1)2＋(y －1)2－1中的y 由3x ＋4y ＋8＝0解出， 代入化为关于x 的一元二次函数，进而用配方法求最值， 也可得(S 四边形PACB )min ＝2 2.探究提高 本题的解答运用了多种数学思想方法:数形结合思想， 运动变化的思想，等价转化的思想以及函数思想，灵活运用数学 思想方法，能使数学问题快速得以解决．变式训练3 圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1 (θ∈R)．过圆M 上任意一点P作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE →·PF →的 最小值是________．解 由题意，可知圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，设⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，如下图所示：由图分析可知，只有当P 、M 、C 三点共线时，才能够使PE →·PF →最小,此时PC ＝4,EC ＝2,则PE ＝PF ＝23，且∠EPF ＝2∠EPC ＝2×30°＝60°，故PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6.四、规律方法总结1．利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出即可，不需 要精确图象．2．数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧， 特别在解填空题时更方便，可以提高解题速度．3．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式； 两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公 式等．五、经典练习1．函数f (x )＝(12)x －sin x 在区间上的零点个数为_____． 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2－x ＋1， x≤0，f(x －1)， x>0，，若方程f (x )＝log a (x ＋2) (0<a <1)有且只有两个不同的实根，则 实数a 的取值范围是________．。
2016届高三数学(北师大版)一轮复习课件：第4章-第4课时 数系的扩充与复数的引入
第七页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
教材梳理 基础自测
【知识梳理】
(4)正整数指数幂的运算律 zm·zn＝ zm＋n ，(zm)n＝ zmn ， (z1z2)n＝ zn1·zn2 (m，n∈N＋)．
为纯虚数
复数 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d (a、
相等 b、c、d∈R)
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第三页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
教材梳理 基础自测
【知识梳理】
内容
意义
备注
共轭 复数
a＋bi与c＋di共轭⇔
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第十六页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
考点突破 题型透析
考点一 复数的有关概念
1．(2013·高考新课标全国卷)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为( )
A．－4
B．－45
教材梳理 基础自测 考点突破 题型透析 素能提升 应考展示 课时训练 规范解答 首页 上页 下页 尾页
第二十三页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
考点突破 题型透析
考点二 复数的运算
(3)几个常用结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． ①(1±i)2＝±2i；11－＋ii＝i；11＋－ii＝－i； ②－b＋ai＝i(a＋bi)； ③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N ＋.
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1.（2015·湖南衡阳）已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等
腰三角形的周长为( )
A.11 B.16 C.17 D.16或17
2.（2014·贵州安顺）如果点A（-2，y1），B（-1，y2），C（2，y3）都
在反比例函数y=kx（k>0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是( )
A.y
所示，
则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mnx的图象可能是( )
4.（2014·江苏苏州）二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象经过点（1，
1），则代数式1-a-b的值为________.
5.（2014·江苏扬州）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式
2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为_________.
6.（2014·四川凉山）如图，圆柱形容器高18 cm，底面周长为24 cm，
在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外
壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B
处的最短距离为________cm.
7.（2014·四川自贡）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实
验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成.现在李老师与工人王师
傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟
才完成任务.
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成；
（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器
材，李老师至少要工作多少分钟？
8.（2014·湖北襄阳）我市为创建“国家级森林城市”，政府将对江边一处
废弃荒地进行绿化，要求栽植甲、乙两种不同的树苗共6 000棵，且甲
种树苗不得多于乙种树苗.某承包商以26万元的报价中标承包了这项工
程.根据调查及相关资料表明：移栽一棵树苗的平均费用为8元，甲、乙
两种树苗的购买价及成活率如下表：
设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元.请根据以上信息解答下
列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）承包商要获得不低于中标价16％的利润，应如何选购树苗？
（3）政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于
93％，否则承包商出资补栽；若成活率达到94％以上（含94％），则政
府另给予工程款总额6％的奖励.该承包商应如何选购树苗才能获得最
大利润？最大利润是多少？
参考答案
1.D 2.B 3.C
4.-1 5.23 6.20
7.解：(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟完成，则王师傅的
工作效率为1x,则20×（140+1x）+20×1x=1,
解得x=80.
经检验,x=80是原分式方程的根.
答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟完成.
(2)设李老师要工作m分钟.
m30
4080
≥1,x≥25.
答：李老师至少要工作25分钟.
8.解：(1)y=260 000-［20x+32（6 000-x）+8×6 000］=12x+20 000.
自变量x的取值范围：0＜x≤3 000.
（2）由题意得
12x+20 000≥260 000×16％.
解得x≥1 800，
∴1 800≤x≤3 000.
即购买甲种树苗应不少于1 800棵且不多于3 000棵.
（3）①若成活率不低于93％且低于94％时，由题意得
93％×6 000≤90％·x+95％·（6 000-x）＜94％×6 000，
解得1 200＜x≤2 400.
在y=12x+20 000中，
∵12＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x=2 400时，y最大值=48 800.
②若成活率达到94％以上（含94％），则
90％·x+95％·（6 000-x）≥94％×6 000，
解得x≤1 200.
由题意得y=12x+20 000+260 000×6％=12x+35 600.
∵12＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x=1 200时，y最大值=50 000.
综上所述，∵50 000＞48 800，
∴购买甲种树苗1 200棵，乙种树苗4 800棵，可获得最大利润，最大
利润是50 000元.