高中数学选修2-2作业——第1章 1.5.1-1.5.2

§1.5 定积分的概念 1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程 课时目标 通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念建立的背景，借助于几何直观体会定积分的基本思想．

1．如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条______________的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数． 2．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线________________________和曲线__________所围成的图形称为曲边梯形． (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些________________．对每个______________“以直代曲”，即用______的面积近似代替__________的面积，得到每个小曲边梯形面积的____________，对这些近似值____________，就得到曲边梯形面积的__________． 3．将曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，在每个局部小范围内实施“以直代曲”，即近似代替的目的就是减少曲边梯形面积与小矩形面积和之间的误差，而且分割得越细，误差就会越小． 4．求曲边梯形面积的步骤 (1)________，(2)____________， (3)________，(4)____________． 5．在求作变速直线运动的汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程时，采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求__________________的路程问题，即将区间[0,1]等分成n个小区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化________，可以认为汽车近似于作________________，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的________，再求和得s的________，最后让n趋向于无穷大就得到s的__________． 一、选择题 1．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为( )

A.i－1n，in B.n＋i－1n，n＋in

C．[i－1，i] D.in，i＋1n 2．求曲边梯形面积的四步曲中的第二步是( ) A．分割 B．近似代替 C．求和 D．取极限

3．函数f(x)＝x2在区间i－1n，in上( ) A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当n很大时，f(x)的值变化很小 4．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1

]上近似值等于( )

A．只能是左端点的函数值f(xi) B．只能是右端点的函数值f(xi＋1) C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1

])

D．以上答案均正确 5．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，„，n)，作和式In＝i＝1nf(ξi)Δx(其中Δx为小区间的长度)，那么In的大小( ) A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关 B．与f(x)、区间[a，b]和分点个数n有关，与ξi的取法无关 C．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法有关，与分点的个数n无关 D．与f(x)、区间[a，b]、分点的个数n、ξi的取法都有关 6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 题 号 1 2 3 4 5 6

答 案 二、填空题 7．求由曲线y＝12x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 8．由直线y＝x＋1与x＝0，x＝2，y＝0所围成的四边形的面积为________． 9．汽车以v＝(3t＋2) m/s作变速直线运动时，在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________． 三、解答题 10．求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.

11．已知一物体做变速直线运动，其瞬时速度是v(t)＝2t(单位：m/s)，求该物体在出发后从t＝1 s到t＝5 s这4 s内所经过的位移． 能力提升 12．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．

13．设力F作用在质点m上使m沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F＝x2＋1且力的方向和x轴正向相同，求F对质点m所作的功． 1．曲边梯形的面积可分为四步：分割、近似代替、求和、取极限． 2．物理上常见的“变力做功”、“变速直线运动的位移”等可转化为求曲边梯形的面积问题．

答案 知识梳理 1．连续不断 2．(1)x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 y＝f(x) (2)小曲边梯形 小曲边梯形 矩形 小曲边梯形 近似值 求和 近似值 4．(1)分割 (2)近似代替 (3)求和 (4)取极限 5．匀速直线运动 很小 匀速直线运动 近似值 近似值 精确值 作业设计

1．B [在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间1，n＋1n，

n＋1n，n＋2n，„，n＋i－1n，n＋in，„，2n－1n，2，所以第i个区间为n＋i－1n，n＋in

(i＝1,2，„，n)．] 2．B 3.D 4.C 5.D

6．C [将区间[0，a]n等分，记第i个区间为ai－1n，ain (i＝1,2，„，n)，此区间长为 an，用小矩形面积ain2· an近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑ni＝1 ain2·an＝a3n3·(12＋22

＋„＋n2)＝a331＋1n1＋12n近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的 曲边梯形的面积．依题意得limn→∞ a331＋1n1＋12n＝9， ∴a33＝9，解得a＝3.] 7．1.02 解析 将区间5等分所得的小区间为1，65，65，75，75，85，85，95，95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于 1101＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.

8．4 解析 所围成的四边形为直角梯形，x＝0时，y＝1，x＝2时，y＝3.∴S＝12(1＋3)×2＝ 4. 9．6.5 m 解析 将[1,2]n等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则

Δt＝1n，v(ξi)＝v(1＋i－1n)＝3(1＋i－1n)＋2

＝3n(i－1)＋5. ∴sn＝∑ni＝1[3n(i－1)＋5]·1n ＝{3n[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5n}·1n ＝3n2·nn－12＋5＝32(1－1n)＋5. ∴s＝limn→∞sn＝32＋5＝6.5. 10．解 (1)分割 把区间[0,1]等分成n个小区间i－1n，in(i＝1,2，„，n)其长度Δx＝1n，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，„，n)． (2)近似代替 用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．

ΔSi＝fi－1n·Δx

＝1＋i－1n2·1n(i＝1,2，„，n)． (3)求和 i＝1nΔSi＝i＝1

n 1

n1＋i－1n2.

(4)取极限 S＝limn→∞i＝1n 1n·1＋i－1n2

＝1＋limn→∞i＝1n i－1n2·1n ＝1＋limn→∞ 131－1n1－12n ＝1＋13＝43. 11．解 (1)分割：把时间段[1,5]分成n等份，分点依次是：1，1＋4n，1＋8n，„，1＋n－1n·4,5， 每个小区间的长度Δx＝4n. (2)近似代替：在时间的小区间段，以匀速来代替变速，故在每一小时间段内， 经过的位移Δsi≈Δs′i＝v1＋4in·4n

＝2＋8in·4n，其中i＝1,2，„，n. (3)求和：所求的位移 s≈sn＝i＝1nΔs′i＝4ni＝1n 2＋8in

＝8＋32n2·nn＋12＝8＋16·n＋1n ＝8＋161＋1n. (4)取极限：当分割无限变细，即4n趋向于0(亦即n趋向于＋∞)时，sn趋向于所求位移s， 从而有s＝limn→＋∞sn＝limn→＋∞ 8＋161＋1n＝8＋16＝24， 即所求物体经过的位移是24 m. 12．解 令f(x)＝x2. (1)分割 将区间[0,2]n等分，分点依次为

x0＝0，x1＝2n，x2＝4n，„，xn－1＝2n－1n，xn＝2.