杭州师范大学数学分析2006真题
2006年浙江省高考数学试卷及答案(文科)甄选
2006年浙江省高考数学试卷及答案(文科)（优选.)绝密★考试结束前2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式台体的体积公式121()3V h S S =+其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式VSh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B= A ．［0,2］ B ．［1,2］C ．［0,4］D ．［1,4］ 2．在二项式()61x +的展开式中，含3x 的项的系数是 A ．15B ．20C ．30D ．403．抛物线28y x =的准线方程是A ．2x =-B ．4x =-C ．2y =-D ．4y =- 4．已知1122log log 0m n <<，则A ．n ＜m ＜1B ．m ＜n ＜1C ．1＜m ＜nD ．1＜n ＜m 5．设向量,,a b c 满足0a b c ++=,,||1,||2a b a b ⊥==,则2||c = A ．1B ．2C ．4D ．56．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 A ．-2B ．0C ．2D ．47．“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不允分也不必要条件8．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都2，E ，F 分别是11,AB AC 的中点， 则EF 的长是A ．2B 3579．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是A ．42．4C ．22．210．对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩⎨⎧≥b a b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是A ．0B ．12C ．32D ．3非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
杭州师范大学2006年数学分析考研试题
杭 州 师 范 学 院 2006 年攻读硕士学位研究生入学考试题
学科专业： 学科专业： 基础数学、应用数学 研究方向： 研究方向： 考试科目： 考试科目： 数 学 分 析
杭州师范学院研究生入学考试命题纸 2. 利用 Gauss 公式计算曲面积分： ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy ，其中 S 是立方体：
五、 （12 分）设 f ( x) 在区间 I 上有定义，则 f ( x) 在 I 上一致连续的充分必要条件是：对区间 I 上任意两个数列 {x } 与 { y } ，当 lim ( x − y ) = 0 时，有 lim ( f ( x ) − f ( y ) ) = 0 . 六、 （12 分）设 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，且 ∀x ∈ [a, b] ，有 f ( x) ∈ [a, b] . 试证存在 x ∈ [a, b] ， 使得 f ( x ) = x .
2 2 2
的外表面. 1 ∂u ∂u 3. 设 u = ln ( x + y ) ， 求 + 2 ∂x ∂y
0 ≤ x, y , z ≤ a
2 2
பைடு நூலகம்
S
2
2
2
2
4.
计算无穷积分 ∫
+∞
2
dx x + x−2
2
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整； 2、命题时试题不得超过周围边框； 3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负； 4、 5、
n n n →∞ n n n →∞ n n 0 0 0
n =1
n x0
0
n x
n =1
杭州师范大学高等代数2006--2019年考研真题
2019年招收攻读硕士研究生考试题
考试科目代码：838
考试科目名称：高等代数
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
每题15分，共150分
1.求下列行列式的值： .
2.设 ，其中Q为有理数域.
（1）证明： 对于矩阵加法和数乘构成有理数域上的向量空间；
（2）求 的一组基；
（3）求 中的向量 在（2）中所求的基下的坐标.
5、(20分)设a，b为两个复数，令
Va={f(x)|f(x)∈F[x]，f(a)=0}，Vb={g(x)|g(x)∈F[x]，g(b)=0}，
为F[x]的两个子空间，试证：Va与Vb同构．
6、(20分)设V=V1 V2，σ，τ∈L(V)，对于 α=α1+α2∈V，都有σ(α)=α1，
(α1∈V1，α2∈V2)，求证V1与V2都是τ的不变子空间 στ=τσ．
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r, 求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
4、(15分)已知矩阵A= 与B= 相似，求实数a，b．
5、(10分)设σ是n维欧氏空间V的一个正交变换，求证如果V的一个子空间W是σ的不变子空间，那么W的正交补W⊥也是σ的不变子空间．
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
杭州师范大学
2009年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：813
考试科目名称：高等代数
浙大06答案
浙江大学2006年数学分析试题解答（一）1) 证明：我们{n x }是单调有界数列，首先证明它是单调递减的。
取1x n =,即有11log(1)1n n +≥+，这也就证明了{n x }是单调递减数列，然后证明它也是有界的。
所以{n x }是单调有界数列，极限存在。
2）解：由1)知{n x }的极限存在，我们令11lim lim 1log()2n n n x n n γ→∞→∞⎛⎫=+++-= ⎪⎝⎭ 则有：111log()(1)2n n γο+++=++，111log(2)(1)22n nγο+++=++， 所以 111lim ...lim(log 2(1))log 2122n n n n n ο→∞→∞+++=+=++。
2(15)[,],()()2()lim 0.()k k k k k a b r x f x r f x r f x r f x →∞++--=二、分函数f(x)在闭区间上连续，存在收敛于零的数列使得对任意的，证明:为线性函数.证明：首先证明()()()()()f b f a f x x a f a b a-≤-+-。
作函数()()()()()()()()f b f a G x f x x a f a x a x b b a ε-=---+---， 则()()0G a G b ==。
我们可以得到结论0()0.G x x ≤事实上假设存在一点，使得()1()0,G x x >则a,b 必有最大值点，不仿设其中之一为，1δ则存在，1δδ<使得当时 111111()(),()()f x f x f x f x δδ+≤-≤11111()()2()f x f x f x δδ++-≤有，k r 数列收敛于零,所以____1112()()2()lim 0,k k k kG x r G x r G x r →∞++--≤但是 1112()()2()lim 20,k k k k G x r G x r G x r ε→∞++--=>矛盾。
浙江师范大学904数学分析与高等代数2004-2006、2011-2013历年考研真题汇编
第 1 页，共 2 页
0 8、（14 分）已知 A = 1
1 1
2 4
，求
A
−1
。
2 −1 0
9、（20 分）如果矩阵 A满足Ak = 0, 试证： (E − A)−1 = E + A + A2 + A3 + Λ Ak−1.
0 1 2 −1 4 2 01 2 1 7、（14 分）求行列式 −1 3 5 1 2 的值。 3 31 2 1 2 10 3 5
8、（14
分）已知
A
=
2 1
2 −1
3 0
，求
A
−1
。
−1 2 1
9、（20 分）设α1,α 2 ,α3 线性无关，证明α1 + α 2 ,α 2 + α3 ,α3 + α1 也线性无关。
（1） lim sin x ； x→π π − x
（2） lim ( 1 n n→∞ 3
+
1+ 2 n3
+
Λ
+
1
+
2
+
3 n
+
3
Λ
+ n)
。
2、（12 分）试证：对于任意的实数 a 和 b 成立不等式
a+b 1+ a +b
a ≤ 1+ a
+
b 1+ b
.
3、（12 分）求 f (x) = x2 + 432 的极值点与极值。 x
浙江师范大学《数学分析》试题答案4页
浙江师范大学《数学分析》试题答案与评分参考）一、 （21%）计算题（每小题7分，共21分）1. 求1lim(sin 2cos )xx x x →+解 因00sin 2cos 12cos 2sin limlim 21x x x x x xx →→+--==， （3分）故 原式1sin 2cos 1sin 2cos 10lim(1sin 2cos 1)x x x x xx x x +-+-→=++-=2e （7分）2. 求120ln(1)d (2)x x x +-⎰解 11200ln(1)l d ln(1)d (2)2x x x x x +=+--⎰⎰1100ln(1)l d 2(1)(2)x x x x x +⎡⎤=-⎢⎥-+-⎣⎦⎰ 101l ln 2()d 12x x x =-++-⎰[]10ln 2ln(1)ln(2)x x =-+--1ln 23=3. 求d sin 22sin xx x +⎰解 令cos x u =，则2d sin d sin 22sin (1cos )sin x x x x x x x =++⎰⎰2d cos (1cos )(1cos )xx x =++⎰2d (1)(1)u u u =++⎰21111d 811(1)u u u u ⎛⎫=++ ⎪-++⎝⎭⎰12ln 1ln 181u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦ 12ln(1cos )ln(1cos )81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦ （7分）二、 （40%）证明题（每小题8分，共40分）1、 设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)可导，且21()d (0)f x x f =⎰证明存在一点(0,2)c ∈，使()0f c '=.证 由积分中值定理，存在()1,2ξ∈使21()d ()f x x f ξ=⎰（3分）再由21()d (0)f x x f =⎰知()(0)f f ξ=，因函数()f x 在[0,]ξ上连续，在(0,)ξ可导且()(0)f f ξ=，故由洛尔定理知，存在一点(0,2)c ∈，使()0f c '= （8分）2、 设()0f x ''<，(0)0f =，证明对任何10x >，20x >，有1212()()()f x x f x f x +≤+证法1 设22()()()()g x f x x f x f x =+--，则 (0)(0)0g f =-=， 3分）2()()()g x f x x f x '''=+-，因()0f x ''<，故()f x '单调减少，从而由20x >知2x x x +>，2()()f x x f x ''+<，即2()()()0g x f x x f x '''=+-<， 因此22()()()()g x f x x f x f x =+--单调减少.最后，由10x >知，1g()0x <，即11212()()()()0g x f x x f x f x =+--<.（8分） 证法2 不妨设12x x ≤，则在区间[]212,x x x +和[]10,x 分别应用拉格朗日定理，得1212()()()f x x f x f x +--1221[()()][()(0)]f x x f x f x f =+---121[()()]f f x ξξ''=- （3分）这里2121120x x x x ξξ<<≤<<+，最后再由拉格朗日定理知，存在()21,ηξξ∈， 使得1212()()()()f f f ξξξξη'''-=- （6分） 因此1212()()()f x x f x f x +--121121[()()]()()0f f x f x ξξξξη'''=-=-< （8分）3、 设lim 5n n a →∞=，试用定义证明12lim5nn a a a n→∞+++=证 令5n n b a =-，则因lim 5n n a →∞=，故lim 0n n b →∞=，从而0ε∀>，k +∃∈Z ，使得2n b ε<()n k >.记12n n B b b b =+++ ，则由lim0k n B n →∞=知，对上述的ε，1k +∃∈Z 使得2k B n ε<1()n k >且不妨设1k k >. 因此，当1n k >时，12125n n a a a b b b n n ++++++-= 222k B n k n n εεεε-≤+<+=, 表明12lim 5n n a a a n →∞+++= 4、 设()f x 在[0,π]上连续，π0()d 0f x x =⎰，π()cos d 0f x x x =⎰，则在(0,π)内至少存在不同的两点12,ξξ，使12()()0f f ξξ==.证:0()()d t F t f x x =⎰，则因(0)(π)0F F ==,故应用分部积分得 ππ0()cos d cos d ()f x x x x F x ==⎰⎰πππ00()cos d ()cos ()sin d f x x x F x x F x x x ==+⎰⎰π()sin d F x x x =⎰由积分中值定理，存在()0,πξ∈使π0()sin d ()sin F x x x F ξξ=⎰，因此()0F ξ=，最后由(0)()(π)0F F F ξ===和0πξ<<以及洛尔定理知，存在12,ξξ，使 1()0F ξ'=，2()0F ξ'=且120πξξ<<<. 又因11()()F f ξξ'=，22()()F f ξξ'=,故在(0,π)内至少存在不同的两点12,ξξ，使12()()0f f ξξ==5、 设()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1) 内的任一点，证明()22bf c a '≤+. 证：()f x 在[0,1]上具有二阶导数，故存在1(0,)c ξ∈使得211(0)()()(0)()(0)2f f c f c c f c ξ''=+-+- 同理存在2(,1)c ξ∈使得221(1)()()(1)()(1)2f f c f c c f c ξ''=+-+-将上面的两个等式两边分别作差，得 222111(1)(0)()()(1)()22f f f c f c f c ξξ'''-=+-- 即222111()(1)(0)()(1)()22f c f f f c f c ξξ'''=---+因此222111()(1)(0)()(1)()22f c f f f c f c ξξ'''≤++-+ 222(1)22b b ac c ≤+-+而222(1)2212(1)11c c c c c c -+=-+=-+≤，故()22bf c a '≤+（8分） 湖州师院第二届《高等数学》竞赛试卷(专业组)一、 计算题 1、求nnn n n n n ln )ln ln (lim -+∞→的值。
杭州师范大学高等代数2006--2020年考研初试真题
3.已知线性方程组 。
(1) 取何值时，该方程组有解。
(2)在有解的情况下，求出该方程组的解。
4.求满足 的所有 阶方阵 （这里 是 的伴随矩阵）。
5.求解行列式
。
6.设 为 维欧式空间， 为 的一个正交变换。设 为 的一个维数小于 的 -不变子空间，令 为 的正交补。
（1）证明： 也是一个 -不变子空间。
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r, 求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
2007年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：414
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、பைடு நூலகம்
5、
一、(20分)
设A∈Mn(C)，f(x)∈C[x]，且 0f(x)＞0，g(x)是以A为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f(x)，g(x))=d(x)，则d(A)的秩与f(A)的秩相等；
二、(20分)
计算行列式
D= 。
三、(20分)
求矩阵A= 的逆。
四、(20分)
k为何值时，二次型q(x1,x2,x3)= 是正定的？
五、(20分)
n维向量空间V的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间。
六、(25分)
2006-13年杭州师范大学高等代数考研试题
学科专业： 学科专业： 基础数学、应用数学 研究方向： 研究方向：
"#(25 $) 12345 (6 f(x)=g(x) h(x) 78 h(x) 9Z[x] @ ' 1 %& f(x) (g(x) )Z[x] (g(x) 0 BC 7DEF f(x)=x6+x3+1 GHIPQ Q RSTU @ 2A VW(20 X) Y`abF
3、 （20 分）设 A 是 n × (n + 1) 矩阵， I n 是 n 阶单位矩阵，证明：存在 (n + 1) × n 矩 阵 B 使 AB = I n 成立的充分必要条件是 秩A = n 。
fghg i pqrstu
814
pqrs 2 1 pqrsvw xy
defgh
2 2 已知二次型 f(x1,x2,x3)=5 x12 +5 x 2 +t x3 -2x1x2+6x1x3-6x2x3 的秩为 2，
1） 确定参数 t； 2） 用正交变换把二次型化为标准形，并给出所用的正交阵； 3） 指出方程 f(x1,x2,x3)=1 表示何种二次曲面。
rstuvwxy wxtu wx
五、 (15 分) a 为何值时，下列线性方程组有惟一解？无解？无穷多解？并给出一般解。
(a + 3) x1 + x 2 + 2 x3 = a ax1 + (a − 1) x 2 + x3 = a 3(a + 1) x + ax + (a + 3) x = 3 1 2 3
六、(20 分) σ 是向量空间 F4 上的线性变换，对于任意 ξ∈F4，有 σ(ξ)=Aξ；其中
杭州师范大学_教育学(312)2006年_考研专业课真题试卷
杭州师范学院研究生入学考试命题纸杭州师范学院研究生入学考试命题纸
杭州师范学院2006年攻读硕士学位研究生入学考试题学科专业：教育学原理
研究方向：
考试科目：教育学
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、5．根据知识本位的课程观，课程的内容就是（）
A.经验
B.体验
C.知识
D.活动
6．学校教育工作的基本途径是（）
A.教学
B.社会实践
C.科学探究
D.课外活动
7．“学而时习之”、“温故而知新”体现了教学的（）
A.量力性原则
B.直观性原则
C.启发性原则
D.巩固性原则
8．“教育即生长”这一论断的提出者是（）
A.皮亚杰
B.杜威
C.陶行知
D.卢梭
三、判断题：（每题4分，共计20分。
考生注意：如果判断认为命题错误，还需要说明理由。
）
1.教学计划即教师制定的教学工作计划。
2.学者即良师。
3.教育既是科学，又是艺术。
4.学校必须重视德育教育。
5.新课程改革的“课程”即指教材。
四、简答题：（每题8分，共计40分）
1.谈谈您对学习教育学的认识。
2.怎样促进学生品德发展内部矛盾的积极转化？
3.培养班集体的主要方法有哪些？
4.何谓启发性教学原则？
5.教师劳动的特点是什么？。
浙江师范大学数学分析与高等代数2006真题
入 学 考 试 试 题
考试科目： 数学分析与高等代数 报考学科、专业： 课程与教学论（数学教育学）
数 学 分 析 部 分
一、求下列极限（每小题 5 分，共 30 分） 1． n lim (1 1 ) n ， 3. 5.
2n 1 1 lim ， x 1 x 1 ln x n k lim k ， n k 1 3 ln(1 x) ， tan x n 1 4． n lim ， k ( k 1) k 1 1 3 5 2 n 1 6. lim 。 x 2 4 6 2n
2.
a b b b a b b b a b b b
b b b a
。
七、当 a，b 取何值时，下列方程组有解，在有解的情况下，求解此 线性方程组，并写出方程组的一般解（ 12 分）
2 x1 x2 3 x3 2 x4 6 , 3 x1 3 x2 3 x3 2 x4 5 , ax4 3 , x1 2 x2 5 x 4 x 6 x x b . 2 3 4 1
Q3 的一个线性变换 A，满足：
1 A(ε1，ε2，ε3)＝(ε1，ε2，ε3) 2 3
1 1 3 7 ， 2 4
(1) 求线性变换 A 在 Q 上的特征值与特征向量； （ 8 分） (2) 分别求线性变换 A 的值域 AV 与核 A－1(0)的一组基。 （ 8 分） 十、设 A 是一个实对称矩阵，在 Rn 上定义线性变换 A： Aα＝Aα，
n 1
2．
n 1
n (n 1)!
四、设数列 an 满足 lim
a1 a2 an a a ， a 为实数. 求证 lim n 0 。 n n n n
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x 1 x2 tan 1 x dx
2
I 上任意两个数列 {xn } 与 { yn } ，当 lim xn yn 0 时，有 lim f ( xn ) f ( yn ) 0 .
n n
六、 （12 分）设 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续，且 x [ a, b] ，有 f ( x) [ a, b] .
2 2 2 l
在 ( , ) 上一致收敛. 九、 （10 分）证明：若函数 f1 ( x) f ( x)
x
z bt (0 t 2 )
1 x2 函数列 f n ( x) 在 ( , ) 上一致收敛于 0 .
， n N ，定义 f n 1 ( x) f
| x y | dxdy ，其中 D ( x, y) | 1 x 1, 1 y 1
八、 （10 分）设
an sin nx 1 是一个常数， an 0 且级数 an 收敛. 证明函数项级数 2 n n Байду номын сангаас n 1
二、解答下列各题：（每小题 8 分，共 32 分） 1. 求曲线积分 ( x y z ) ds 的值，其中曲线 l 是圆螺旋线： x a cos t ， y a sin t ，
0 x, y, z a 的外表面.
3. 设 u
2u 2u 1 ln x 2 y 2 ， 求 2 2 x y 2
4. 计算无穷积分
2
dx x x2
2
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整； 2、命题时试题不得超过周围边框； 3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负； 4、 5、
杭州师范学院研究生入学考试命题纸
杭州师范学院研究生入学考试命题纸 2. 利用 Gauss 公式计算曲面积分：
杭 2006
州
师
范 学
院
x dydz y
2 S
2
dzdx z 2 dxdy ，其中 S 是立方体：
年攻读硕士学位研究生入学考试题
学科专业： 研究方向： 考试科目： 数 学 分 析 基础数学、应用数学
f n ( x) ，则
2006
年
专业
基础数学、应用数学
科目
数学分析
（本考试科目共 2 页 本页第 1 页）
2006
年
专业
基础数学、应用数学
科目
数学分析
（本考试科目共 2
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2 xy 2 2 x2 y 2 , x y 0 三、 （10 分）证明函数 f ( x, y ) 分别对每一个变量 x 和 y 是连续的， 2 2 ， x y 0 0
但非关于二个变元 ( x, y ) 的连续函数. 四、 （12 分）证明：如果级数
an an 收敛，则当 时，级数 也收敛. x x 0 x0 x n 1 n n 1 n
试证存在
2．设函数 f ( x) 在 a 可导，求下面的极限：
x0 [a, b] ，
使得 f ( x0 ) x0 . 七、 （12 分）求函数 f ( x)
lim
t 0
3． 4．
D
x n 1 2n x 的导数 f ( x ) 与定积分 n 0 f (t )dt ，并给出收敛区间. n 1 3
一、计算下列各题：（每小题 10 分，共 40 分） 1． lim
五、 （12 分）设 f ( x) 在区间 I 上有定义，则 f ( x) 在 I 上一致连续的充分必要条件是：对区间
1 1 2 n 1 1 1 L 1 n n n n n