中考数学复习(六)：分类讨论思想
深圳市中考数学总复习课件(专题：分类讨论问题)
题目2
根据以上分类讨论问题类型选取 数道中考真题进行讲解和分析。
题目3
根据以上分类讨论问题类型选取 数道中考真题进行讲解和分析。
思考题
1
1. 应用分类讨论法解决其他类型
数学问题
2. 分类讨论法在误差分析和实验 设计方面的应用
2
思考如何应用分类讨论法解决其他类型 数学问题。
思考分类讨论法在误差分析和实验设计 方面的应用。
深圳市中考数学总复习课 件(专题：分类讨论问题)
深圳市中考数学总复习课件 专题：分类讨论问题
分类讨论法概述
将原问题分成几个子问题，分别进行讨论，综合得出原问题的解。与条件概率的关系。优点与缺点。
常见的分类讨论问题类型及解法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整除性问题
常见整除性定理及应用。解 法：分类讨论+化简。
奇偶性问题
判断奇偶性的方法。解法： 分类讨论+化简。
最大最小问题
最大最小值的定义。解法： 分类讨论+化简 or 达到最大 最小值的条件。
递推关系问题
递推关系的表达。解法：分类讨论+化简 or 找出 递推规律。
均值不等式问题
均值不等式的表述及应用。解法：分类讨论+化 简 or 使用均值不等式。
练习题解析
题目1
根据以上分类讨论问题类型选取 数道中考真题进行讲解和分析。
中考数学压轴题的常见类型与解题思路
2021年3期210中考数学压轴题的常见类型与解题思路熊良斌（湖北省武汉市旭光学校，湖北 武汉 430074）一、分类讨论思想数学知识之间存在着紧密联系，知识与知识间形成一个知识网络体系或知识框架，在复习教学中教师应把相应的知识章节看作一个整体，帮学生理顺知识体系，让学生能够理解相互之间依存关系所在。
以几何知识为例，初中数学教学中，几何知识涵盖了诸多图形知识，且在中考压轴题中较为常见，在探究数学几何问题中，依托分类讨论思想，不仅可以改善薄弱分析环节，也是帮助学生多视角、多维度感知几何图形知识的真知灼见，帮助学生提高压轴题解题效率。
例如：已知一个直角三角形的边长为4和6，求另一边。
从表面看，这道例题较为简单，但诸多学生考虑的不够全面，在这道题中没有交代这两边是斜边长还是直角边长。
如基于这两种情况进行探究解题：一是斜边长为6，直角边长为4：二是直角边长为4、6。
基于数学本质而论，分类讨论思想是一种较为高效的数学思想。
二、符号化和化归思想符号化是初中数学代数中的重要思想方法，初中数学教师在代数教学中应重视培养符号化思想，在教学过程中，应首先让学生认识到引进字母的意义。
以“有理数”教学为例，教师可以通过两个不同意义的数来说明“+”与“-”所表示的两个相反量的意义。
化归思想更多的是一种解决问题的策略，在数学问题的解决上有非常重要的意义和作用。
化归思想即把一个复杂的数学问题通过有效地化解和归纳转化为几个简单问题，从而更轻松简单地解答出答案。
初中数学教师在应用题教学中，可以让学生首先掌握纵向化归和横向化归两种思路，让学生明白纵向化归即将问题整体看作一些互相关联的分问题组，找到问题关键思路，逐个击破，而横向化归思路偏向是将问题划分成相互独立的小问题，独立解决，让问题简单化提高解题效率。
三、辩证思想众所周知，辩证思想广泛运用于不同的学科领域当中，是学术知识探讨和学术问题解决的一个基本思想方法。
中国古代“祸福相倚”的故事传说，就充分体现了对立统一转化的辩证思想。
江苏中考数学复习--题型六分类讨论问题(word解析版)
二、选填重难点突破题型六分类讨论问题类型一直角三角形中的分类讨论1.（2015宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3,0）、（3，0），点P在反比例函数y=的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A.2个B. 4个C. 5个D. 6个2.已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，则△ABC的周长为.类型二等腰三角形中的分类讨论1.已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A.6条B.7条C.8条D.9条2.在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB.则点P到BC 所在直线的距离是 ( )A. 1B.1或C.1或D.或类型三相似三角形中的分类讨论1.（2014常州）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是（）A.1个B.2个C.3个D. 4个2.（2015凉山州）在ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB =.类型四圆中的分类讨论在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（-3，0），点B（0，3），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有 ( )A. 1个B.2个C. 3个D.4个【答案】类型一直角三角形中的分类讨论1. D【解析】如果以AB为直径画圆与双曲线相交，交点有4个，这四个点与AB组成的三角形是直角三角形而且是以AB为斜边，如果以A，B为直角顶点，则双曲线上还有两个点使△ABP为直角三角形，故选D.2. 60或42【解析】如解图，作AD⊥BC于点D，则AD为BC边上的高，AD=12,分两种情况：①高AD在三角形内，如解图①所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2=AD2+DC2,∴DC=,在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB2=AD2+BD2,∴BD=,∴BC=BD+DC=16+9=25,所以，△ABC的周长为AB+AC+BC=20+15+25=60.②高AD在三角形外，如解图②所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2=AD2+DC2,∴DC=,在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，∴BD=,∴BC=BD-DC=16-9=7,所以，△ABC的周长为AB+AC+BC=20+15+7=42.故△ABC的周长为60或42.类型二等腰三角形中的分类讨论1.B【解析】如解图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形.故选B.2. D【解析】分两种情况：如解图①，延长AC，作PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为点E，∵CP∥AB，∴∠PCD=∠CBA=45°，∴四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=1，∴AB=，∴ＡＢ＝ＡＰ＝;∴在Rt△AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2，∴（1+DP）2+DP2＝（）2，解得，DP＝或ＤＰ＝（与题意不符，舍去）;如解图②，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA，交点为E，同理可证，四边形CDPE是正方形，∴CD=DP=PE=EC，同理可得，在Rt△AEP中，（EC-1）2+EP2=AP2，∴（PD-1）2+PD2＝（）2，解得，PD＝或(与题意不符，舍去).故选D.类型三相似三角形中的分类讨论1. C【解析】∵AB⊥BC，∴∠B=90°.∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°，AB=8，。
(完整word版)初中数学分类讨论问题专题
中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。
形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用；4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
1：分式方程无解的分类讨论问题例题1：（2011武汉）=+=-+-a 349332无解，求x x ax x 解：去分母，得：1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或例题2：（2011郴州） ==--+a 2112无解，求x a x2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3：（2010上海）已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。
（1） 当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-（2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，41-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。
一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。
这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
分类讨论思想
分类讨论思想参考资料：百度百科1定义每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
2分类时间当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。
分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。
当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。
分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件。
分类讨论的原则是不重复、不遗漏。
讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。
3分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。
4常见题目近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。
在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够.个人水平太低。
5思想运用“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。
初中数学分类讨论思想_浅析分类讨论思想在初中数学中的应用
初中数学分类讨论思想_浅析分类讨论思想在初中数学中的应用所谓分类讨论思想是指在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，不可一概而论，难以用统一的形式或同一种方法进行处理，需要根据所研究的对象在性质上存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决。
一、分类讨论思想在方程中的应用例：关于某的方程（m-2）某2-2某+1=0有实根，求m的取值范围。
解：①当m-2=0即m=2时，方程-2某+1=0有一个根为某=；②当m-2≠0即m≠2时，方程为一元二次方程。
且当b2-4ac=-4m+12≥0即m≤3时，原方程有两个实数根综上所述，当m≤3时，方程（m-2）某2-2某+1=0有实根。
二、分类讨论思想在特殊三角形中的应用例：已知四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含30°角的直角三角形且D在△ABC的外部，求四边形ABCD的对角线BD的长。
解：①以点A为直角顶点，点D为30°角顶点，或点C为直角顶点，点D为30°角顶点。
在△ACD中，∠CAD=90°，∠ADC=30°，AC=2∴AD=2√3。
过点D作DE⊥BA的延长线于E，∵∠BAC=60°，∠CAD=90°∴∠DAE=30°在△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=30°AD=2√3∴DE=√3，AE=3，∴BE=5，∵DB2=DE2+BE2，∴BD=2√7。
②点C为直角顶点，点A为30°角顶点或点A为直角顶点，点C为30°角顶点，在△ACD中，∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=2∴AD=√3∵∠BAC=60°，∠CAD=30°∴∠BAD=90°∴DB2=AB2+AD2∵AB=2，AD=√3∴BD=√21。
2021年中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析)
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。
而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=42、（北京市中考题）在△ABC 中;∠B ＝25°;AD 是BC 边上的高;并且AD BD DC 2·;则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1;当△ABC 是锐角三角形时; ∠BCA=90°-25°=65°①如图2;当△ABC 是钝角三角形时; ∠BCA=90°+25°=115°图1 图2这是一道比较基础却很典型的分类 讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。
这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。
3、（济南市中考题）如图1;已知Rt ABC △中;30CAB ∠=;5BC =．过点A 作AE AB ⊥;且15AE =;连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长：（2）以点A 为圆心;AP 为半径作⊙A;试判断BE 与⊙A 是否相切;并说明理由：（3）如图2;过点C 作CD AE ⊥;垂足为D ．以点A 为圆心;r 为半径作⊙A ：以点C 为圆心;R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的;并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．;且使D 点在⊙A 的内部;B 点在⊙A 的外部;求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中;305CAB BC ∠==，;210AC BC ∴==．AE BC ∥;APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=;3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中;AB =15AE =;tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=;9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，;BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，所以r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时;10R r +=;所以R的变化范围为105R -<<： 当⊙A 与⊙C 内切时;10R r -=;所以R的变化范围为1510R <<+CＤ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中;已知点P （－2;－1）; 点T （t ;0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标： (2) 当t 取何值时;△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2;1）. （2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时;△TO P '是等腰三角形∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时;△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述;符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过这是济南市的中考数学压轴题;其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论;须分内切和外切两种情况加以讨论;只要解题时注意读题;“相切．．”两字是正确解题的关键字。
分类讨论思想
初中数学分类讨论思想全国各地每年中考数学试题都离不开考查分类讨论的思想，分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。
比如线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。
分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面数学思维能力。
学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学冋题，掌握分类讨论数学思想方法这个锐利武器，提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。
1.分类讨论思想含义数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。
2.分类讨论一般应遵循以下原则（1）对问题中的某些条件进行分类要遵循同一标准。
（2）分类要完整，不重复，不遗漏。
（3）有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。
3.需要分类讨论的试题基本类型及其要求（1）考查数学概念及定义的分类。
熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。
（2）考查字母的取值情况或范围的分类。
此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.（3）考查图形的位置关系或形状的分类。
熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.（4）考查图形的对应关系可能情况的分类。
图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.4.初中数学涉及分类讨论的常见问题（1）绝对值中的分类讨论，（2）应用题中的方案类型，（3）概率统计中的分类讨论，（4）分式方程无解的分类讨论问题（5）一元二次方程系数的分类讨论问题（6）三角形的形状不定需要分类讨论（7）等腰三角形的分类讨论（8）相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类（9）常见平面问题中动点问题的分类讨论（10）组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。
中考试题中的分类讨论思想探析
中考试题中的分类讨论思想探析摘要：数学分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。
初中数学教材和学习辅导资料中有这样的问题，中考数学试题中也经常会出现与分类有关的问题。
在初中数学教学中使用分类讨论的思想研究和解决问题，有助于让学生发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通；有助于培养学生学习数学的兴趣；有助于学生数学思维的发展，为学生今后的学习奠定坚实的基础。
关键词：分类思想应用兴趣初中数学新课程实施以来,数学思想方法逐步引起重视。
注重数学分类讨论思想在解题中的研究,对提高学生数学解题能力,培养学生数学的学习兴趣,提高学生的创新意识和实践能力,实现初中数学新课程的教学目标具有重要的现实意义。
本文从三个方面阐述了数学分类讨论思想在解题中的运用及教学渗透。
一、数学分类讨论思想方法的定义、原则、方法及其引起的原因。
(1) 数学分类讨论思想方法的定义。
设符合一定条件的全体对象组成集合A，按对象的某一性质P，将A分成若干个真子集A1，A2，…，An，满足：Ai是集合A的一个分类．（ i＝ 1，2，…，n)要求集合A中的每一个对象划分后所属的Ai是唯一确定的．有些问题一次分类仍不够，可对Ai(i＝1，2，…， n)再进行分类；这就构成对 A的二级分类，依此类推，可以有三级分类，四级分类……由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
(2) 数学分类讨论思想方法的原则。
由分类的定义可以知道，分类讨论时必须遵循如下原则．①施行分类的集合的全域必须是确定的；②每一次分类的标准必须是同一的；③分类必须是完整的，不出现遗漏；④各子集域必须是互斥的，不出现重复；⑤如需多次分类，必须逐级进行，不得越级．(3) 数学分类讨论思想方法的分类方法。
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
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分类讨论
【知识要点】
分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。
“物以类聚，人以群分”。
将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。
不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。
因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。
应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。
运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
【历年考卷形势分析及中考预测】
1命题动态：
分类讨论思想是中考的必考内容，历年来，备受全国各省市命题者的青睐，题型多样，主要考察学生数学思维和逻辑推理能力，经常与分类讨论相关的题目有绝对值的化简与计算，三角形边角关系，等边三角形，实际问题以及动点问题中，难度系数较大，对学生能力要求很强，纵观广州近几年考卷，几乎都在动点问题和实际问题中，平均分值16分左右。
2 突破方法：
a.牢固掌握概念，掌握概念间的区别与联系。
b.动点问题中的分类讨论是难点，需要同学们认真、细致的分析运动过程，依据动点某时刻所处的位置，化动为静，再利用平面几何知识去处理。
c.实际问题主要是考察学生对数学的驾驭能力以及一些常识性问题，比如人数不能为小数，时间不能为负数等等。
【考点精析】
考点1. 许多定义，定理，公式是分类的。
例1. 化简a 32a ---。
例2. 求11+--=x x y 的最大值与最小值
【举一反三】
1．化简：1x 2x --+
考点2. 某些运算和推理过程需要分类
例3. 已知0≠abc ，且,p b
a
c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定过 A . 第一第二象限 B 第二第三象限 C 第三第四象限 D 第一第四象限
【举一反三】
1． 已知实数b ,a 满足0ab ,1b a 22>=+，求22a 1b b 1a -+-的值。
2．求a b c a
b
c
+
+
的值。
考点3. 题设条件不确定要分类
例4.（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点． 已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三．．． 角形．．
，则点C 的个数是 A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
例5.（2010湖北襄樊）已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组2-3,
328,
x y x y =⎧⎨
+=⎩则此等腰三角形的周
长为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．5或4
例6（06黄冈）. 已知圆中两条平行弦长分别为10和24，圆的半径为13，求这两条平行弦间的距离。
例7、（2007广州，12分）某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠。
甲班有56名学生，乙班有54名学生。
（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花费多少元？
（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜？
【举一反三】 1、（2004年上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .
2．（2010·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A ．50° B ．80° C ．65°或50° D ．50°或80°
3.( 2010•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm
考点4.题中含有参数
例8. 解关于x 的方程0a ax 2x )1a (2=+--。
例9 已知直线b kx y +=不经过第三象限，则下列结论正确的是---------------（ ）
A ．0b ,0k >>
B 。
0b ,0k ><
C 。
0b ,0k <<
D 。
0b ,0k ≥<
【举一反三】 1：关于x 的方程22
(21)10k x k x
+-+=有实数根，则k 的取值范围是（）
A ．4k ≤ B.104k k ≤
≠或 C.k<14 D. k ≥1
4
2：关于x 的方程（a-1）x 2
+x+ a 2
-1=0的一个根是0，则a 的值为（）
A ．1 B. -1 C. 1或-1 D.
1
2
3.（2010安徽芜湖）关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 4．已知关于x 的方程,1
x m
1x 11x 1x 2-=--+-求m 为何值时，方程有两个不相等的实数根。
考点5.图形运动变化过程中可能产生诸多情况，需要分类。
例10.（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，
1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－1
2
x＋b交折线OAB于
点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
例11.（2009广东广州，25，14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为
4
5。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
【举一反三】
1.（2010年云南楚雄州）已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），
⊙A C作⊙A的切线交x于点B（－4，0）。
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。
2．（2009年深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结P A，若P A=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？。