平面直角坐标系综合知识运用

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

平面直角坐标系综合知识运用

二. 教学重点：

1、平面直角坐标系知识归纳整理及应用

2、解题方法和解题技巧的掌握

三. 知识点扫描：

㈠平面直角坐标系：

Ⅰ. 四要素：①在同一平面；②两条数轴；③互相垂直；④有公共原点.

Ⅱ. 两个规定：①正方向规定：横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向。②两条数轴单位长度规定为：一般情况下，横轴与纵轴单位相同，为了实际需要有时横轴与纵轴的单位长度可以不等。

㈡平面直角坐标系注意事项：

Ⅰ. 坐标系将平面分成四部分，分别称第一、二、三、四象限，尤其要注意x轴、y轴、原点不属于任何象限

Ⅱ. 对于x轴、y轴上的点，有时需要表达得更具体一些，因此也把x轴、y轴分为正半轴和负半轴。

四. 中考考点分析：

近几年的中考试题，对于本部分的考查重点是在直角坐标系中表示点的坐标和直角坐标系中点的特征，考查难度不大，题型既有选择题、填空题，又有解答题．选择题、填空题以现实生活为背景考查点的坐标，解答题有与图形变换相结合的综合题，分值约占6~8分．

【典型例题】

例1.按下列条件确定点P（x，y）的位置

⑴若x＝0，y＜0，则点P在__________；

⑵若xy＝0，则点P一定在________；

⑶若｜x｜＋｜y｜＝0，则点P在__________；

⑷若xy＞0，则点P在________．

点拨：⑴由x＝0可知点P在y轴上，再由y＜0可得点P在y轴的负半轴上。

⑵∵xy＝0可知要分三种情况①x=0，y≠0②x≠0，y=0③x=0，y=0综合三种情况

∴点P一定在坐标轴上。

⑶∵｜x｜＋｜y｜＝0是两个非负数之和为零，

∴可得x＝0、y＝0

∴点P在原点上。

⑷∵xy＞0

∴可分为两种情况①x＞0，y＞0②x＜0，y＜0

∴点P在第一象限或第三象限。

例2.⑴已知点P（x，y）位于第二象限，并且满足y≤x＋4，x、y为整数，写出一个符合上述条件的点P的坐标________。

⑵已知点P在第四象限，它的横、纵坐标之和为－3，写出一个符合上述条件的点的坐标________。

点拨：本题的两小题都是中考题，属于开放题，答案不唯一，这类题是各地中考命题的热点

解：⑴∵点P在第二象限

∴x＜0，y＞0，

又∵y≤x＋4

∴x可取－1或－2或－3

∴点P的坐标为（－1，3）或（－1，2）或（－1，1）或（－2，2）或（－2，1）或（－3，1）

⑵∵点P在第四象限

∴x＞0，y＜0，

又∵x＋y＝－3

∴在x的取值范围内任取一值如x＝1则y＝－4

∴点P坐标为（1，－4）

例3. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）……根据这个规律第100个点的坐标为_______。

解：从图中观察可知：x轴上的整数点（x，0）所在列共有x个点［也就是说每一列上点的个数与这一列的列数相同］

∴从点（1，0）所在列上的点到点（x，0）所在列上的点共有1＋2＋3＋4＋5＋……＋x＝x（x＋1）／2个点，另外我们通过观察可知：偶数列上的点是从下向上排列的，奇数列上的点是从上向下排列的，

∴从（1，0）到（13，0）所在的列上的点共有（1＋13）×13／2＝91个点，那么第100个点在第14列［从下向上的顺序］第9个点上

∴第100个点的坐标为（14，8）

例4. 如图平面内有公共端点的6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，……

⑴数字“17”在射线______上。

⑵请任意写出三条射线上数字排列的规律。

⑶数字“2007”在哪条射线上。

点拨：由图形观察可知：6条射线都是从O点出发，数字由小到大向外延伸，且每条射线上相邻两数之差总是6。

解：⑴“17”在射线OE上。

⑵射线OF上的数字排列规律为6n

射线OE上的数字排列规律为6n－1

射线OD上的数字排列规律为6n－2

射线OC上的数字排列规律为6n－3

射线OB上的数字排列规律为6n－4

射线OA上的数字排列规律为6n－5

⑶在6条射线上的数字排列规律中，只有6n－3=2007有整数解，解为n=334∴“2007”在射线OC上．

［变式题］如图：在平面直角坐标系中，AD是一、三象限的角平分线；BC是二、四象限的角平分线，现有n个点P1、P2、P3………P n依次按逆时针方向排列，问P2007点在什么位置？坐标为________。

点拨：此题和上一题相似，从图中观察可知：有8条射线，这8条射线都是从O点出发，点的标数从小到大向外延伸，且相邻两个标数之差为8。因此各条射线上的标数的规律为：

x轴正半轴上点的标数排列规律：8m

射线OA上点的标数排列规律：8m－7

y轴正半轴上点的标数排列规律：8m－6

射线OC上点的标数排列规律：8m－5

x轴负半轴上点的标数排列规律：8m－4

射线OD上点的标数排列规律：8m－3

y轴负半轴上点的标数排列规律：8m－2

射线OB上点的标数排列规律：8m－1

只有8m－1＝2007有整数解，m＝251

∴P2007在射线OB上。

∴点P2007在第四象限的角平分线上。

∴点P坐标为（251，－251）

例5. 如图为某市部分简图，请建立适当的平面直角坐标系，分别写出各地的坐标

解：此题是开放题，答案不唯一，可以以图中任何一个格点作为坐标原点。如选火车站为原点建立平面直角坐标系。

∴火车站（0，0），医院（－2，－2），文化宫（－3，1），体育场（－4，3），宾馆（2，2），市场（4，3），超市（2，－3）

［课后小结］

本章平面直角坐标系是中考必考内容，本节课主要体现了数学中“数形结合”的思想、“分类讨论”的思想、“由具体到抽象”的思想，以及中考当中的一些热点题型。

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

一、填空题

1、已知点P（5a－7，－6a－2）在第二、四象限的角平分线上，则a＝________。

2、已知点P（x，y）关于原点对称的点在第一象限内，则Q（－y＋1，x－3）关于x轴对称的点在第__________象限。

3、已知平行四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，4），C（4，4），D（3，0），则平行四边形的面积是__________。

4、点P（－3，－b），P′（a－1，3）关于x轴对称，则（2a＋b）2008为____________。

二、选择题

1、已知点P（x，y）满足条件x＋y＜0，xy＞0，则点P在（）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2、下列说法中，不正确的是

A. 点（3，0）在横轴上，点（0，3）在纵轴上

B. 两条互相垂直的数轴的垂足为原点

C. 若x≠y，则（x，y）和（y，x）表示两个不同点的坐标

D. 如果A（a，b）、B（c，b）且a≠c、b≠0，则AB∥x轴

3、点M（x，y）满足x／y＝0那么点M的可能位置是（）

A. x轴上所有的点

B. 除去原点后x轴上的点的全体

C. y轴上所有的点

D. 除去原点后y轴上的点的全体

4、如果两个点到x轴的距离相等，那么这两个点的坐标必须满足（）

A. 横坐标相等

B. 纵坐标相等

C. 横坐标的绝对值相等

D. 纵坐标的绝对值相等

三、解答题

1、如图：△ABO在平面直角坐标系内，求△ABO的面积

2、如图，△ABC中，任意一点M（x0，y0）经平移后对应点M1（x0－3，y0－5），将△ABC作同样平移，得到△A1B1C1，求△A1B1C1三个顶点的坐标。

3、已知点P（2x＋3，4x－7）横坐标与纵坐标的差是6，求这个点到x轴，y轴的距离。

4、△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：

⑴作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出△A1B1C1各顶点的坐标。

⑵将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写△A2B2C2各顶点的坐标

⑶观察△A1B1C1和△A2B2C2它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴。

【试题答案】

一、填空题 1、a ＝－9 2、第一象限 3、20

4、1

二、选择题 1、C 2、B

3、D ［点拨：∵x ／y ＝0∴x ＝0且y ≠0∴点M 的可能位置是除去原点后y 轴上点的全体］

4、D ［点拨：∵纵坐标的绝对值是点到x 轴的距离］

三、解答题

1、由图观察可知：△ABO 的一边OB 在x 轴上，所以A 点的纵坐标的绝对值为高，OB 为底

∴S △AOB ＝

2

1

×5×3＝7.5 2、解：∵M 点是△ABC 内任意一点，M （x 0，y 0）平移后变为 M 1（x 0－3，y 0－5）可知平移变化：为先向左平移3个单位再向下平移5个单位，

∴△ABC 的三个顶点的平移变化与M 点平移变化相同 ∴A 1（0－3，5－5），B 1（－1－3，2－5），C 1（5－3，1－5） 即A 1（－3，0），B 1（－4，－3），C 1（2，－4） 3、解：由题意得2x ＋3－（4x －7）＝6解得x ＝2 ∴P 点坐标为（7，1）

∴点P 到x 轴的距离是1，到y 轴的距离是7。 4、解：⑴A 1（0，4） B 1（2，2） C 1（1，1）

解⑵ A 2（6，4） B 2（4，2） C 2（5，1）

解⑶