4,
0(.
3、 圆03422
2=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）．
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
分析：把03422
2
=-+++y x y x 化为()()8212
2
=+++y x ，圆心为
()21--，，半径为22
=r ，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直
线的距离等于2，所以选C ．
4、 过点()43--，P 作直线l ，
当斜率为何值时，直线l 与圆()()4212
2
=++-y x C ：有公共点，如图所示．
分析：观察动画演示，分析思路．
解：设直线l 的方程为
()34+=+x k y
即
043=-+-k y kx
根据r d ≤有
214
322
≤+-++k
k k
整理得
0432
=-k k
解得
3
40≤
≤k ．
类型五：圆与圆的位置关系
问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？
例14、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:2
22=++-+y x y x C 的位置关系，
例15：圆022
2
=-+x y x 和圆042
2
=++y y x 的公切线共有 条。 解：∵圆1)1(2
2
=+-y x 的圆心为)0,1(1O ，半径11=r ，圆4)2(2
2
=++y x 的圆心为)2,0(2-O ，半径22=r ，∴1,3,5122121=-=+=
r r r r O O .∵
P
E
O
y x
212112r r O O r r +<<-，∴两圆相交.共有2条公切线。
练习
1：若圆042222=-+-+m mx y x 与圆084422
22=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .
解：∵圆4)(2
2
=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆
9)2()1(2
2
=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴
2
121r r O O +=或
1
221r r O O -=，∴5)
2()1(2
2=++m m 或
1)
2()1(2
2
=++m m ，解得5
12-=m 或2=m ，或0=m 或2
5-
=m ，∴实数m
的取值集合是}2,0,2
5,5
12{-
-
.
2：求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.
解：设所求圆的圆心为),(1b a O ，则所求圆的方程为20)()(22=-+-b y a x .∵两圆外切于点P ，∴13
1OO OP =
，∴),(3
1)2,1(b a =
-，∴6,3=-=b a ，∴所求圆的方程为20)6()3(2
2
=-++y x . 类型六：圆中的对称问题
例16、圆2
2
2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是
例17 自点()33，
-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切
（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程． （2）光线自A 到切点所经过的路程．
分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点A 的对称点A '的坐标为
()33--，，其次设过A '的圆C
的切线方程为
()33-+=x k y
根据r d =，即求出圆C 的切线的斜率为
34=k 或4
3=k
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
0334=+-y x 或0343=--y x
最后根据入射光与反射光关于x 轴对称，求出入射光所在直线方程为
0334=++y x 或0343=-+y x
光路的距离为M A '，可由勾股定理求得72
2
2
=-'='CM
C
A M
A ．
说明：本题亦可把圆对称到x 轴下方，再求解．
类型七：圆中的最值问题
例18：圆010442
2
=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
解：∵圆18)2()2(2
2=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线
的距离r d >==
252
10，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小
距离的差是262)()(==--+r r d r d .
G O B
N
M
y
A
x
图
C A ’
例19 (1)已知圆1)4()3(2
21=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求
2
2y x d +=的最大、最小值．
(2)已知圆1)2(2
22=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求
1
2--x y 的最大、最小
值，求y x 2-的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(2
2
=-+-y x ． 可设圆的参数方程为??
?+=+=,
sin 4,cos 3θθy x （θ是参数）．
则θθθθ2222sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d
)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=（其中3
4tan =
φ）．
所以361026max =+=d ，161026min =-=d ．
(法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'
1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'
1d 减去半径1．
所以61432
21=++=d ．
41432
2
2=-+=
d ．
所以36max =d ．16min =d ．
(2) (法1)由1)2(22=++y x 得圆的参数方程：???=+-=,
sin ,cos 2θθy x θ是参数．
则
3
cos 2sin 1
2--=--θθx y ．令
t =--3
cos 2sin θθ，
得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ
1)sin(1322
≤-=+-?
φθt
t 4
3
343
3+≤
≤-?
t ．
所以4
3
3max +=t ，4
3
3min -=
t ．
即1
2--x y 的最大值为43
3+，最小值为
4
3
3-．
此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++
-=-+-=-y x ．
所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．
(法2)设
k x y =--1
2，则02=+--k y kx ．由于),(y x P 是圆上点，当直线与圆
有交点时，如图所示，
两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由112
22
=++--=
k
k k d ，得4
3
3±=
k ．
所以
1
2--x y 的最大值为
4
3
3+，最小值为
4
3
3-．
令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．
由15
2=--=m
d ，得52±-=m ．
所以y x 2-的最大值为52+
-，最小值为52-
-．
例20：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则
2
2
PB
PA
+的最小值是 . 解
：
设
)
,(y x P ，
则
828)(2)2()2(2
2
2
2
2
2
2
2
2
+=++=+-+++=+OP
y x y
x y x PB
PA
.设圆心为
)4,3(C ，则325min
=-=-=r OC OP
，∴2
2
PB
PA +的最小值为268322=+?.
练习：
1：已知点),(y x P 在圆1)1(2
2
=-+y x 上运动. （1）求
2
1
--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值.
解：（1）设
k x y =--2
1
，则k 表示点),(y x P 与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆
相切时，k 取得最大值与最小值.由
11
22
=+k
k ，解得3
3±=k ，∴
2
1--x y 的最大
值为
3
3，最小值为3
3-
.
（2）设m y x =+2，则m 表示直线m y x =+2在y 轴上的截距. 当该直线与圆相
切时，m 取得最大值与最小值.由
15
1=-m ，解得51±=m ，∴y x +2的最大值
为51+，最小值为51-.
2 设点),(y x P 是圆122=+y x 是任一点，求1
2
+-=
x y u 的取值范围．
分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x 、y ，转化为三角问题来解决．
解法一：设圆122=+y x 上任一点)sin ,(cos θθP 则有θcos =x ，θsin =y )2,0[πθ∈
∴1
cos 2sin +-=
θθu ，∴2sin cos -=+θθu u
∴)2(sin cos +-=-u u θθ．
即2)sin(12+=-+u u ?θ（u =?tan ） ∴1
)2()sin(2
++=
-u u ?θ．
又∵1)sin(≤-?θ
∴11
22
≤++u u
解之得：4
3
-≤u ．
分析二：1
2
+-=
x y u 的几何意义是过圆12
2
=+y x 上一动点和定点)2,1(-的连
线的斜率，利用此直线与圆12
2
=+y x 有公共点，可确定出u 的取值范围．
解法二：由1
2+-=
x y u 得：)1(2+=-x u y ，此直线与圆122=+y x 有公共点，
故点)0,0(到直线的距离1≤d ．
∴11
22
≤++u u 解得：4
3-≤u ．
另外，直线)1(2+=-x u y 与圆122=+y x 的公共点还可以这样来处理： 由???=++=-1
)1(22
2y x x u y 消去y 后得：0)34()42()1(2222=++++++u u x u u x u ， 此方程有实根，故0)34)(1(4)42(2222≥+++-+=?u u u u u ， 解之得：4
3
-
≤u ．
说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u 的范围问题转
化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问
题变得简捷方便．
3、已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求
2
2
2
PC
PB
PA
++的最大值和最小值.
类型八：轨迹问题
例21、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为2
1，求点M
的轨迹方程.
例22、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(2
2
=++y x 上运
动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
例23 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线
2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ?垂心H 的轨迹．
分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．
解：设),(y x H ，),('
'y x C ，连结AH ，CH ， 则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥， 所以AH OC //，OA CH //，OC OA =， 所以四边形AOCH 是菱形．
所以2==OA CH ，得?????=-=.
,
2''x x y y
又),('
'y x C 满足42
'2'=+y x ，
所以)0(4)2(2
2
≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．
说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨
迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的
点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．
例24 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、
B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．
分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．
解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，
在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2
,2
(b y a x M ++．
由2
2
2
OA AM
OM
=+，即 2
222
2
])()[(4
1)2
(
)2
(r b y a x b y a x =-+-+
+++，
也即)(22
2
22
2
b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．
解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22
12
1r y x =+，2
2
22
2r y x =+．
又2
2
AB
PQ
=，即
)(22)()()()(21212
2
212
212
2
y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．①
又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即
)(22)()(21212
22y y x x r b y a x ++=+++ ②
①＋②，有)(222222b a r y x +-=+．
这就是所求的轨迹方程．
解法三：设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ， 由于APBQ 为矩形，故AB 与PQ 的中点重合，即有
βαcos cos r r a x +=+， ① βαsin sin r r b y +=+， ②
又由PB PA ⊥有
1cos sin cos sin -=--?
--a
r b
r a r b
r ββαα ③
联立①、②、③消去α、β，
即可得Q 点的轨迹方程为)(222222b a r y x +-=+． 说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．
本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了1x 、2x 、1y 、2y 四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆2
22r y x =+的参数方程，只涉及到两个参数α、β，
故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．
练习：
1、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，
切点分别为A 、B ，APB ∠=600
，则动点P 的轨迹方程是 .
解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x . 练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.
解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PB
PA ，得a y
c x y c x =+-++2
222
)()(，
化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a . 当
1
≠a 时，化简得
1)1(22
2
2
2
2=+-++
+c x a
a c y x ，整理得2
2
2
22
2
)1
2(
)1
1(-=+-+-
a ac y
c a a
x ；
当1=a 时，化简得0=x . 所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,1
1(
2
2
c a a
-+为圆心，
1
22
-a ac 为半径的圆；
当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.
2、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于
解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，
化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.
4、已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且
MB AM 3
1=
，问点M 的轨迹是什么？
解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 3
1=
，∴),3(3
1),(11y x y y x x --=
--，
∴???????
-=--=-y y y x x x 31)3(311
1，∴
??????
?
=-=y y x x 3413
411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12
12
1=+y x ，∴1)3
4(
)13
4(
2
2
=+-y x ，即16
9)4
3(2
2=
+-
y
x ，∴点M 的轨迹方
程是16
9
)4
3
(22=
+-y x .
例5、已知定点)0,3(B ，点A 在圆12
2
=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .
解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴
3
1=
=
OB
OA MB
AM ， ∴
MB AM 3
1=
.由变式1可得点M 的轨迹方程是16
9)4
3(2
2=
+-
y
x .
练习巩固：已知直线1+=kx y 与圆42
2
=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.
解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2
,
2(y
x ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴
CM OM ⊥，∴0)12
(2)2()12,
2()2
,2(2=-+=-?=?y
y x y
x y
x CM OM ，化简得1)
1(2
2=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(2
2
=-+y x .
类型九：圆的综合应用
例25、 已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，
O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．
分析：设P 、Q 两点的坐标为),(11y x 、),(22y x ，则由1-=?OQ OP k k ，可得02121=+y y x x ，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直
线的斜率为
x
y ，由直线l 与圆的方程构造以
x
y 为未知数的一元二次方程，由根与系
数关系得出OQ OP k k ?的值，从而使问题得以解决．
解法一：设点P 、Q 的坐标为),(11y x 、),(22y x ．一方面，由OQ OP ⊥，得
1-=?OQ OP k k ，即
12
21
1-=?
x y x y ，也即：02121=+y y x x ． ①
另一方面，),(11y x 、),(22y x 是方程组???=+-++=-+0
60
322
2m y x y x y x 的实数解，即1x 、2x 是方程02741052
=-++m x x ②
的两个根．
∴221-=+x x ，5
27
421-=
m x x ． ③
又P 、Q 在直线032=-+y x 上，
∴])(39[4
1)3(2
1
)3(2
121212121x x x x x x y y ++-=
-?
-=
．
将③代入，得5
12
21+=
m y y ． ④
将③、④代入①，解得3=m ，代入方程②，检验0>?成立， ∴3=m ．
解法二：由直线方程可得y x 23+=，代入圆的方程0622=+-++m y x y x ，有
0)2(9
)6)(2(3
12
2
2
=++
-++
+y x m y x y x y x ，
整理，得0)274()3(4)12(22=-+-++y m xy m x m ． 由于0≠x ，故可得
012)
3(4))(
274(2
=++-+-m x
y m x
y m ．
∴OP k ，OQ k 是上述方程两根．故1-=?OQ OP k k ．得
127
412-=-+m m ，解得3=m ．
经检验可知3=m 为所求．
说明：求解本题时，应避免去求P 、Q 两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的m 值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P 、Q 存在．
解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于
x
y 的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，
这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．
例26、已知对于圆1)1(2
2
=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．
分析一：为了使不等式0≥++m y x 恒成立，即使m y x -≥+恒成立，只须使m y x -≥+min )(就行了．因此只要求出y x +的最小值，m 的范围就可求得．
解法一：令y x u +=， 由?
??=-+=+1)1(2
2y x u y x 得：0)1(2222=++-u y u y ∵0≥?且228)1(4u u -+=?， ∴0)12(42≥++-u u ． 即0)122≤--u u ，∴2121+
≤≤-u ，
∴21min -
=u ，即21)(min -
=+y x
又0≥++m y x 恒成立即m y x -≥+恒成立． ∴m y x -≥-=+21)(min 成立，
∴12-≥
m ．
分析二：设圆上一点)s i n 1,(c o s θθ+P [因为这时P 点坐标满足方程
1)1(2
2
=-+y x ]问题转化为利用三解问题来解．
解法二：设圆1)1(2
2=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ，θsin 1+=y ∵0≥++m y x 恒成立
∴0sin 1cos ≥+++m θθ 即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立．
∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值． 设1)4
sin(21)cos (sin -+-=-+-=π
θθθu
∴12max -=
u 即12-≥
m ．
说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆
2
2
2
)()(r b y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这
种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点
来看，这种做法的实质就是三角代换．
例27 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．
解：以A 、B 所确定的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
∵10=AB ，∴)0,5(-A ，)0,5(B ．
设某地P 的坐标为),(y x ，且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为a 3元/公里，B 地的运费为a 元/公里．因为P 地居民购货总费用满足条件：
价格＋A 地运费≤价格＋B 地的运费
即：2222)5()5(3y x a y x a +-≤++． ∵0>a ，
∴2
222)5()5(3y x y x +-≤++ 化简整理得：2
2
2
)4
15()4
25(≤++y x
∴以点)0,4
25(-
为圆心4
15为半径的圆是两地购货的分界线．
圆内的居民从A 地购货便宜，圆外的居民从B 地购货便宜，圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等．因此可随意从A 、B 两地之一购货． 说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．
高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题
高一数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为 222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．
高中数学圆方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 22)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-22224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
圆的方程经典题目带答案
圆的方程经典题目 1．求满足下列条件的圆的方程 （1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐标轴相切;（3）过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7）过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围 （2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值
（1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长 （3）以)2,1(为中点的弦的方程 （4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程 （5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求： （1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系 （2）求它们的公共弦所在的方程 （3）求公共弦长 （4）求公共弦为直径的圆的方程． 题型五、最值问题 思路1：几何意义 思路2：参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x （1）求 x y 的最小值 （2）求2 2y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点，PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的互相垂直的弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________
圆与方程知识点总结典型例题
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交???时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=?时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0r r d ； ② 条公切线外切321??+=r r d ； ③ 条公切线相交22121??+<<-r r d r r ； ④ 条公切线内切121??-=r r d ； ⑤ 无公切线内含??-<<210r r d ；
高一数学圆的方程经典例题
典型例题一 例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 343322 1=+-?+?=d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?=d ． ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个． 显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 典型例题三 例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 124-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为： 23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C
高中数学-必修二-圆与方程-经典例题
习题精选精讲圆标准方程 已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222 )() (r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心 ),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题． 一、求圆的方程 例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为（ ) （A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x （C)9)1() 2(22 =++-y x （D)9)1()2(22=-++y x 解 已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ， 故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题 例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B ）)12,12( +- （C))12,12(+-- (D))12, 0(+ 解 化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ,注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切;?高中理科椭圆的典型例题
典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ，
由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴115 4 5x ex a AF -=-=． 同理2545x CF -=．∵BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ，即821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得() 212 2 21024x x y y x --=-
直线和圆的方程知识与典型例题
直线和圆的方程知识关系 直线的方程一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180 α< o o ≤. 2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即 tan kα =. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当ο 90 = α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. ③过两点 111 (,) P x y、 222 (,) P x y 12 () x x ≠的直线斜率公式21 21 tan y y k x x α - == - 二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件 斜截式y=kx+b k—斜率 b—纵截距 倾斜角为90°的直线 不能用此式 点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)—直线上已 知点， k ──斜率 倾斜角为90°的直线 不能用此式 两点式1 21 y y y y - - =1 21 x x x x - - (x1，y1)，(x2，y2) 是直线上两个已知 点 与两坐标轴平行的直 线不能用此式 截距式 x a + y b =1 a—直线的横截距 b—直线的纵截距 过（0，0）及与两坐 标轴平行的直线不能 用此式 一般式 A x+ B y+C=0 (A、B不全为零) A、B不能同时为零
直线和圆的方程
简单的线性规划例13. 若点（3，1）和（4 -，6）在直线0 2 3= + -a y x的两侧，则实数a的取值范围是 ()724 A a a <-> 或()724 B a -<<()724 C a a =-= 或（D）以上都不对例14. ABC ?的三个顶点的坐标为(2,4) A，(1,2) B-，(1,0) C，点(,) P x y在ABC ?内部及边界上运动，则2 y x -的最大值为，最小值为。 例15. 不等式组： 10 x y x y y -+ + ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≥ 表示的平面区域的面积是； 例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？ 例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下： 根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.
(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题(可编辑修改word版)
标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心 (a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程 （1） ； 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系： 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内 （2） 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为?- D E ? ，半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点； 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 （3） 求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . （1） 此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （2） 若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习： 1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（ ） Ａ．以(1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｂ．以(1，2) 为圆心， 为半径的圆 Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｄ．以(-1，2) 为圆心， 为半径的圆 2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（ ） Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1 Ｃ． a < -1 或 a > 1 Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ． 1 D 2 + E 2 - 4F
高中数学圆的方程典型例题及详细解答
新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
高中数学圆的方程典型题型归纳总结
高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则 ，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心 必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即 ?? ?-==???=-+=-+4y 9 x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 ∵m ∈R ，∴ 得
高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题
直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，范围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022
二、两直线的位置关系 1、 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --' （2）点关于线的对称：设p(a 、b)
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ， 其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331- = e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴22 2112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，
4 1 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的 距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF =-12 ， ∴ 115 4 5x ex a AF -=-=． 同理 25 4 5x CF - =． ∵ BF CF AF 2=+，且5 9= BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 () 2122 21024x x y y x --=-
圆方程知识点总结典型例题
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .
(1) 当042 2 >-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2 E D C ，半径2 422F E D r -+= . (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??-- 2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且 0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交???时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=?时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0圆与方程基础练习测试题
精心整理 直线与圆的方程练习题 1．圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是() A 、(1,－1) B 、(21,－1) C 、(－1,2) D 、(－2 1,－1) 2．过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（） A ．(x －3)2+(y+1)2=4 B ．(x －1)2+(y －1)2=4 C ．(x+3)2+(y －1)2=4 D ．(x+1)2+(y+1)2=4 3．方程()22()0x a y b +++=表示的图形是（） A 、以 4．两圆A ．5．方程 A ． 41<6．圆x 27．圆O 1D ．内 切 8．圆x 22D ．1 9．±2 D ．±4 10．当程为( A ．4y ＝0 11．设P ( ) A ．12．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2 ，)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．B ．C ． D ． 13.过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0 14．圆22220x y x y +-+=的周长是（）A ． B ．2π C D ．4π 15．若直线ax+by+c=0在第一、二、四象限，则有（） A 、ac>0,bc>0 B 、ac>0,bc<0 C 、ac<0,bc>0 D 、ac<0,bc<0 16．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2 －2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（）
圆的方程经典题目带答案
圆的方程经典题目 题型一、圆的方程 1．求满足下列条件的圆的方程 （1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线 32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐 标轴相切;（3）过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线 03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72 ；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆 1)2()1(:22=-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7） 过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截 y 轴所得弦长为2； ②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围 （2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 题型二、点与圆的位置关系: 题型三、直线与圆的位置关系
1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值 （1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长 （3）以)2,1(为中点的弦的方程 （4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程 （5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点， 若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求： （1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 题型四、圆与圆的位置关系 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系 （2）求它们的公共弦所在的方程 （3）求公共弦长 （4）求公共弦为直径的圆的方程． 题型五、最值问题 思路1：几何意义 思路2：参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2=+--+y x y x （1）求x y 的最小值 （2）求2 2y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2 =-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1 P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点， PB PA ,是圆01222 2=+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________
