函数的基本性质习题
函数的基本性质练习题(重要)
（高中数学必修1）函数的基赋性质之南宫帮珍创作[B 组] 一、选择题1．下列判断正确的是（ ）A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-是偶函数C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数, 则k的取值范围是（ ）A ．(],40-∞B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞+∞D ．[)64,+∞3．函数y ） A ．(]2,∞- B ．(]2,0 C ．[)+∞,2 D ．[)+∞,04．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数, 则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≥5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数, 0x <也是增函数, 所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点, 则280b a -<且0a >；(3)223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4)1y x =+和y =.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．某学生离家去学校, 由于怕迟到, 所以一开始就跑步, 等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴暗示离学校的距离, 横轴暗示动身后的时间, 则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）二、填空题 1．函数xx x f -=2)(的单调递加区间是____________________.2．已知界说在R 上的奇函数()f x , 那时0x >,1||)(2-+=x x x f , 那么0x <时, ()f x =.3．若函数2()1x af x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________.4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数, 在区间[3,6]上的最年夜值为8,最小值为1-, 则2(6)(3)f f -+-=__________. 5．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数, 则k 的取值范围为__________. 三、解答题1．判断下列函数的奇偶性（1）()f x =（2）[][]()0,6,22,6f x x =∈--2．已知函数()y f x =的界说域为R, 且对任意,a b R ∈, 都有()()()f a b f a f b +=+, 且那时0x >, ()0f x <恒成立, 证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数； （2）函数()y f x =是奇函数.3．设函数()f x 与()g x 的界说域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1()()1f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式.4．设a 为实数, 函数1||)(2+-+=a x x x f , R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值.。
函数的基本性质练习题
函数的基本性质练习题2一．选择题（共14小题）1．集合{x|x＞0且x≠2}用区间表示出来（）A．（0，2）B．（0，+∞）C．（0，2）∪（2，+∞）D．（2，+∞）2．设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）3．若函数f（x）=x2+a|x|+2，x∈R在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣，﹣3]B．[﹣6，﹣4]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣4，﹣3]4．函数f（x）=的单调增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1），（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）5．下列函数中，在区间（0，1）上是递增函数的是（）A．y=|x+1|B．y=3﹣x C．y=D．y=﹣x2+46．函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（）A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1]B．（﹣∞，0]，[1，+∞）C．[0，+∞），（﹣∞，1]D．[0，+∞），[1，+∞）7．下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有＜0”的是（）A．f（x）=lnx B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=D．f（x）=x38．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=B．y=﹣x+C．y=﹣x|x|D．y=9．已知函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则以下结论正确的是（）A．函数|f（x）|为偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增B．函数|f（x）|为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递增C．函数f（|x|）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增D．函数f（|x|）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增10．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x3C．y=lnx D．y=|x|11．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）12．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．13．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．214．函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数二．填空题（共3小题）15．（1）{x|x＞2}的区间形式为（2）{x|x≤﹣5}的区间形式为（3）{x|x＜0或x＞6}区间形式为．16．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．17．已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）是奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）在R上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）三．解答题（共23小题）18．设f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈（1，6）．（Ⅰ）若a∈（1，2]，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）的最小值．19．已知函数，（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．20．已知函数f﹙x﹚=x3﹣3x．（1）求函数f﹙x﹚的单调区间；（2）求函数f﹙x﹚在区间[﹣3，2]上的最值．21．设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2（Ⅱ）＜f（x）≤．22．设常数a∈R，函数f（x）=（a﹣x）|x|．（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+m＞f[f（x）]对所有的x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．23．已知函数f（x）=﹣2．（1）求f（x）的定义域；（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．24．设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解关于x的不等式．25．已知函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），a为常数．（1）求a的值和函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（a，+∞）上是减函数．26．函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．27．二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．28．已知函数f（x）=x2+2ax+3，x∈[﹣4，6]（1）当a=﹣2时，求f（x）的最值．（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣4，6]上是单调函数．（3）当a=1时，求f（|x|）的单调区间．29．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f （y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，（1）求证：f（1）=0；（2）求f（）；（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．30．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．31．定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数（1）求f（1），f（﹣1）的值；（2）求证：f（﹣x）=f（x）；（3）解关于x的不等式：．32．已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）﹣f（x）=2x．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．33．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．34．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，求实数a的范围．35．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．36．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x﹣2）．（1）求f（﹣1），f（2.5）的值；（2）写出f（x）在[﹣3，3]上的表达式，并讨论函数f（x）在[﹣3，3]上的单调性；（3）求出f（x）在[﹣3，3]上的最小值和最大值，并求出相应的自变量的取值．37．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有两等根．（1）求f（x）的解析式．（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．38．函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．（1）试写出g（t）的函数表达式．（2）作出g（t）的图象并求出g（t）的最小值．39．已知f（x）=x2﹣ax+4．（1）若f（x）≥0在[，4]上恒成立，求a的取值范围；（2）若方程f（x）=3在[，4]上有两个解，求a的取值范围．40．函数f（x）=2x2﹣2ax+3在区间[﹣1，1]上最小值记为g（a）．（1）求g（a）的函数表达式；（2）求g（a）的最大值．函数的基本性质练习题2参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2014秋•内蒙古校级月考）集合{x|x＞0且x≠2}用区间表示出来（）A．（0，2）B．（0，+∞）C．（0，2）∪（2，+∞）D．（2，+∞）【分析】给出的集合是大于0且不等于2的所有实数构成的，只要写出两个开区间的并集即可．【解答】解：集合{x|x＞0且x≠2}用区间表示为：（0，2）∪（2，+∞）．故选C．【点评】本题考查了区间与无穷的概念，考查了集合与区间的等价转换，是基础题．2．（2005秋•扬州期末）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）【分析】由集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x ≤2}，能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，∴A∩B={x|﹣4＜x≤2}，故选B．【点评】本题考查交集及其去运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．3．（2016•安庆三模）若函数f（x）=x2+a|x|+2，x∈R在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，﹣3]B．[﹣6，﹣4]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣4，﹣3]【分析】由函数f（x）为R上的偶函数知，只需考察f（x）在（0，+∞）上的单调性，在[3，+∞）上为增函数，在[1，2]上为减函数，则只需函数y=x2+ax+2的对称轴，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：f（x）=x2+a|x|+2，∵f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+2=x2+a|x|+2=f（x），∴f（x）为实数集上的偶函数，由f（x）=x2+a|x|+2在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，知f（x）在[3，+∞）上为增函数，在[1，2]上为减函数，∴函数y=x2+ax+2（x＞0）的对称轴，得a∈[﹣6，﹣4]．故选：B．【点评】本题考查函数单调性及其奇偶性的性质，考查函数单调区间的求法，是中档题．4．（2017春•汇川区校级期中）函数f（x）=的单调增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1），（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）【分析】分离常数可以得到，从而根据反比例函数的单调性便可得出f（x）的单调增区间．【解答】解：；∴f（x）的图象是由y=的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到；而y=的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）；∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，1），（1，+∞）．故选C．【点评】考查分离常数法的运用，增函数及增区间的定义，反比例函数的单调性，以及函数图象的平移变换．5．（2016春•淇县校级月考）下列函数中，在区间（0，1）上是递增函数的是（）A．y=|x+1|B．y=3﹣x C．y=D．y=﹣x2+4【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的单调性即可找出正确选项．【解答】解：A．x∈（0，1）时，y=|x+1|=x+1，∴该函数在（0，1）上是递增函数，；所以该选项正确B．y=3﹣x是一次函数，在（0，1）上是递减函数，所以该选项错误；C．y=是反比例函数，在（0，1）上是递减函数，所以该选项错误；D．y=﹣x2+4是二次函数，在（0，1）上是递减函数，所以该选项错误．故选A．【点评】考查含绝对值函数，一次函数，反比例函数，二次函数的单调性．6．（2003•北京）函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（）A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1]B．（﹣∞，0]，[1，+∞）C．[0，+∞），（﹣∞，1]D．[0，+∞），[1，+∞）【分析】函数f（x）=|x|去绝对值符号，转化为一次函数求单调性，函数g（x）=x（2﹣x）是二次函数，利用配方法求函数的单调区间，注意开口方向．【解答】解：f（x）=|x|=，∴函数f（x）的递增区间是[0，+∞），g（x）=x（2﹣x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，对称轴是x=1，a=﹣1＜0∴函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]．故选C．【点评】考查基本初等函数的单调性，解有关绝对值的问题，去绝对值是关键，解二次函数的问题，配方法首先，属基础题．7．（2015•泸州模拟）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有＜0”的是（）A．f（x）=lnx B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=D．f（x）=x3【分析】由题意得，x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），即有f（x）在（0，+∞）上是减函数，对选项一一加以判断它们的单调性，即可得到答案．【解答】解：对任意x1，x2∈（0，+∞），都有＜0，即x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），即有f（x）在（0，+∞）上是减函数，对于A，y=lnx在（0，+∞）上是增函数，故A不满足；对于B，函数在（﹣∞，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数，故B不满足；对于C，函数在（﹣1，+∞），（﹣∞，﹣1）上均为减函数，则在（0，+∞）上是减函数，故C满足；对于D，函数在R上是增函数，故D不满足．故选C．【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意记住常见函数的单调性，是迅速解题的关键．8．（2017•河南二模）在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=B．y=﹣x+C．y=﹣x|x|D．y=【分析】根据反比例函数在定义域上的单调性，减函数的定义，以及奇函数的定义，分段函数单调性的判断方法便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误；B.时，y=，x=1时，y=0；∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）；∴该函数为奇函数；；∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02；∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确；D.；∵﹣0+1＞﹣0﹣1；∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误．故选：C．【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．9．（2016•五华区校级模拟）已知函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则以下结论正确的是（）A．函数|f（x）|为偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增B．函数|f（x）|为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递增C．函数f（|x|）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增D．函数f（|x|）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增【分析】根据题意，通过举例说函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增时，|f （x）|与f（|x|）的奇偶性与单调性问题．【解答】解：函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，不妨令f（x）=x，则|f（x）|=|x|，f（|x|）=|x|；∴函数|f（x）|为偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，∴命题A、B错误；函数f（|x|）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴命题C错误、D正确．故选：D．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．10．（2015•梅州二模）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x3C．y=lnx D．y=|x|【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论．【解答】解：对于选项A，y=e x为增函数，y=﹣x为减函数，故y=e﹣x为减函数，对于选项B，y′=3x2＞0，故y=x3为增函数，对于选项C，函数的定义域为x＞0，不为R，对于选项D，函数y=|x|为偶函数，在（﹣∞．0）上单调递减，在（0，∞）上单调递增，故选：B．【点评】本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数单调性的性质．11．（2015•宣城二模）已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）【分析】根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a﹣x，即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围．【解答】解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；∴x2﹣4x+3≥3；同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；∴﹣x2﹣2x+3＜3；∴f（x）在R上单调递减；∴由f（x+a）＞f（2a﹣x）得到x+a＜2a﹣x；即2x＜a；∴2x＜a在[a，a+1]上恒成立；∴2（a+1）＜a；∴a＜﹣2；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：A．【点评】考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．12．（2011•大纲版）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．13．（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．2【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f （﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（2009•全国卷Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选D【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．二．填空题（共3小题）15．（2014秋•大兴区校级月考）（1）{x|x＞2}的区间形式为（2，+∞）（2）{x|x≤﹣5}的区间形式为（﹣∞，5]（3）{x|x＜0或x＞6}区间形式为（﹣∞，0）∪（6，+∞）．【分析】根据区间的定义，结合数集的表示法，写出各个集合的区间表示即可．【解答】解：根据区间的定义和表示法，得；（1）{x|x＞2}的区间形式为（2，+∞）；（2））{x|x≤﹣5}的区间形式为（﹣∞，﹣5]；（3）{x|x＜0或x＞6}区间形式为（﹣∞，0）∪（6，+∞）．故答案为：（2，+∞）、（﹣∞，﹣5]、（﹣∞，0）∪（6，+∞）．【点评】本题考查了数集的区间表示法，解题时应熟练地掌握实数集与区间的相互表示，是基础题．16．（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x ﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．17．（2017•惠州模拟）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）是奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）在R上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是①②③（写出所有正确命题的序号）【分析】题目中条件：f（x+）=﹣f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．【解答】解：对于①：∵f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3．①对对于②：∵y=f（x﹣）是奇函数∴其图象关于原点对称又∵函数f（x）的图象是由y=f（x﹣）向左平移个单位长度得到．∴函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故②对．对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（﹣﹣x）=﹣f（x），用换x，可得：f（﹣﹣x）+f（x）=0∴f（﹣﹣x）=﹣f（x）=f（x+）对于任意的x∈R都成立．令t=+x，则f（﹣t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，③对．对于④：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，④不对．故答案为：①②③．【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．是中档题．三．解答题（共23小题）18．（2015•浙江校级模拟）设f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈（1，6）．（Ⅰ）若a∈（1，2]，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）运用绝对值的定义，将f（x）转化，讨论a∈（1，2]，函数f（x）在[1，a]上，在[a，6]上的单调性即可得到；（Ⅱ）讨论①当1＜a≤2时，②当2＜a＜6时，函数的单调性，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）首先f（x）=，因为当1＜a≤2时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数．所以当1＜a≤2时，y=f（x）在[1，6]上是增函数；（Ⅱ）①当1＜a≤2时，由（Ⅰ）知，f（x）min=f（1）=2a﹣5，②当2＜a＜6时，f（x）在[1，2]上是增函数，在[2，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数．又f（1）=2a﹣5，f（a）=a﹣，且f（1）﹣f（a）=a+﹣5＞0，解得4＜a＜6所以当2＜a＜4时，f（x）min=f（1）=2a﹣5，当4≤a＜6时，f（x）min=f（a）=a﹣．综上可知，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调区间和最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法和函数的单调性的性质是解题的关键．19．（2016秋•伊春区校级期中）已知函数，（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．【分析】（I）用单调性定义证明，先任取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．（II）由（I）知f（x）在[1，+∞）上是增函数，可知在[1，4]也是增函数，则当x=1时，取得最小值，当x=4时，取得最大值．【解答】（I）证明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2（2分）（1分）=（1分）∵x1＜x2∴x1﹣x2＜0∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2﹣1＞0∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）故f（x）在[1，+∞）上是增函数（2分）（II）解：由（I）知：f（x）在[1，4]上是增函数∴当x=1时，有最小值2；当x=4时，有最大值（2分）【点评】本题主要考查单调性证明和应用单调性求函数最值问题．20．（2016春•通川区校级月考）已知函数f﹙x﹚=x3﹣3x．（1）求函数f﹙x﹚的单调区间；（2）求函数f﹙x﹚在区间[﹣3，2]上的最值．【分析】（1）求出导数，令导数大于0，得增区间．令导数小于0，得减区间；（2）求出函数的导数，求得极值和端点的函数值，比较即可得到最值．【解答】解：（1）函数f﹙x﹚=x3﹣3x的导数为f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）＞0，可得x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜1，即有f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1），减区间为（﹣1，1）；（2）由f′（x）=3x2﹣3=0，可得x=±1，由（1）可得f（﹣1）为极大值，且为2，f（1）为极小值，且为﹣2，又f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（2）=8﹣6=2，即有f（x）的最小值为﹣18，最大值为2．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查解二次不等式的运算能力，属于基础题．21．（2016•浙江）设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2（Ⅱ）＜f（x）≤．【分析】（Ⅰ）根据题意，1﹣x+x2﹣x3=，利用放缩法得≤，即可证明结论成立；（Ⅱ）利用0≤x≤1时x3≤x，证明f（x）≤，再利用配方法证明f（x）≥，结合函数的最小值得出f（x）＞，即证结论成立．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x3+，x∈[0，1]，且1﹣x+x2﹣x3==，所以≤，所以1﹣x+x2﹣x3≤，即f（x）≥1﹣x+x2；（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，所以f（x）=x3+≤x+=x+﹣+=+≤；由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x2=+≥，且f（）=+=＞，所以f（x）＞；综上，＜f（x）≤．【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．22．（2016•衢州模拟）设常数a∈R，函数f（x）=（a﹣x）|x|．（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+m＞f[f（x）]对所有的x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）a=1时，便可得出，从而可根据二次函数的单调性，即可分别求出x≥0和x＜0时f（x）的单调区间，从而得出f（x）的单调区间；（Ⅱ）可由f（x）为奇函数得到a=0，从而得到f（x）=﹣x|x|，进一步求得f[f（x）]=x3|x|，从而可由mx2+m＞f[f（x）]得到对于任意x∈[﹣2，2]恒成立，可由x∈[﹣2，2]得出，这样便可得出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，；当x≥0时，，∴f（x）在内是增函数，在内是减函数；当x＜0时，，∴f（x）在（﹣∞，0）内是减函数；综上可知，f（x）的单调增区间为，单调减区间为（﹣∞，0），；（Ⅱ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）；即（a+1）•1=﹣（a﹣1）•1；解得a=0；∴f（x）=﹣x|x|，f[f（x）]=x3|x|；∴mx2+m＞f[f（x）]=x3|x|，即对所有的x∈[﹣2，2]恒成立；∵x∈[﹣2，2]，∴x2+1∈[1，5]；∴；∴；∴实数m的取值范围为．【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数和分段函数单调性的判断，奇函数的定义，可由f（x）解析式求f[f（x）]的解析式，以及分离常数法的运用，要能够根据基本不等式判断函数的单调性．23．（2015•芝罘区模拟）已知函数f（x）=﹣2．（1）求f（x）的定义域；（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．【分析】（1）由分母x≠0，求出函数的定义域即可；（2）首先，任设两个变量，然后，作差比较，最后，得到结论．【解答】解：（1）由分母x≠0，得函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，（2）任设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣2﹣（﹣2）=﹣=，∵x1＜x2∴x2﹣x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴函数f（x）=﹣2在（0，+∞）上是减函数．【点评】本题主要考查函数的定义域问题，单调性的定义，借助于函数单调性定义求解时，一定要注意所取的自变量的任意性，属于基础题．24．（2015春•临沭县期中）设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f （m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解关于x的不等式．【分析】（1）利用赋值法，可令m=n=1可求得f（1）=0，再令，可求f（2）的值；（2）为定义法证明函数的单调性，注意步骤；（3）利用已证的单调性把不等式转化为不等式组求解．【解答】解：（1）对于任意正实数m，n；恒有f（mn）=f（m）+f（n）令m=n=1，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，又∵再令，得∵（2）令0＜x1＜x2，则∵当x＞1时，=∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．（3）∵f（mn）=f（m）+f（n）f（2）=1∴f（4）=2f（2）=2=∴原不等式可化为，又∵f（x）在区间（0，+∞）上是增函数∴∴∴x≥6【点评】本题为函数的性质及应用，涉及不等式的解法即转化的思想，属基础题．25．（2017•湖南学业考试）已知函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），a为常数．（1）求a的值和函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（a，+∞）上是减函数．【分析】（1）把点（2，3）代入函数解析式求出a的值；根据f（x）的解析式，求出它的定义域；（2）用单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数即可．【解答】解：（1）函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），∴2+=3，解得a=1；∴f（x）=2+，且x﹣1≠0，则x≠1，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠1}；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数如下；设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（2+）﹣（2+）=，∵1＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．【点评】本题考查了函数的单调性定义与证明问题，是基础题．26．（2005•浙江）函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）在函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0），设关于原点的对称点为P（x，y），再由中点坐标公式，求得Q的坐标代入f（x）=x2+2x即可．（Ⅱ）将f（x）与g（x）的解析式代入转化为2x2﹣|x﹣1|≤0，再通过分类讨论去掉绝对值，转化为一元二次不等式求解．（Ⅲ）将f（x）与g（x）的解析式代入可得h（x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x+1，再用二次函数法研究其单调性．【解答】解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则即∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上∴﹣y=x2﹣2x，即y=﹣x2+2x，故g（x）=﹣x2+2x（Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解．当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得．因此，原不等式的解集为．（Ⅲ）h（x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x+1①当λ=﹣1时，h（x）=4x+1在[﹣1，1]上是增函数，∴λ=﹣1②当λ≠﹣1时，对称轴的方程为x=．ⅰ）当λ＜﹣1时，，解得λ＜﹣1．ⅱ）当λ＞﹣1时，，解得﹣1＜λ≤0．综上，λ≤0．【点评】本题主要考查求对称区间上的解析式，解不等式及研究函数的单调性，属中档题．27．（2015•鹿城区校级模拟）二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．【分析】（1）由二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3，可求得其对称轴为x=1，可设f（x）=a（x﹣1）2+1（a＞0），由f（0）=3，可求得a，从而可得f（x）的解析式；（2）由f（x）的对称轴x=1穿过区间（2a，a+1）可列关系式求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）为二次函数且f（0）=f（2），∴对称轴为x=1．又∵f（x）最小值为1，∴可设f（x）=a（x﹣1）2+1，（a＞0）∵f（0）=3，∴a=2，∴f（x）=2（x﹣1）2+1，即f（x）=2x2﹣4x+3．（2）由条件知f（x）的对称轴x=1穿过区间（2a，a+1）∴2a＜1＜a+1，∴0＜a＜．【点评】本题考查二次函数的性质，着重考查二次函数的图象与性质，考查待定系数法，属于中档题．28．（2015•新郑市校级一模）已知函数f（x）=x2+2ax+3，x∈[﹣4，6]（1）当a=﹣2时，求f（x）的最值．（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣4，6]上是单调函数．（3）当a=1时，求f（|x|）的单调区间．【分析】（1）a=﹣2时，表示出f（x），判断f（x）的单调性，由单调性即可求得最值；（2）根据二次函数的图象特征，使图象的对称轴在区间[﹣4，6]的外边即可；（3）作出f（|x|）的图象，根据图象即可求得单调区间；【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，f（x）在[﹣4，2]上递减，在[2，6]上递增，所以f（x）min=f（2）=﹣1，又f（﹣4）=35，f（6）=15，所以f（x）max=f（﹣4）=35．（2）f（x）图象的对称轴为x=﹣a，开口向上，f（x）的减区间是（﹣∞，﹣a]，增区间是[﹣a，+∞），要使f（x）在[﹣4，6]上是单调函数，则有﹣a≥6，或﹣a≤﹣4，解得a≤﹣6，或a≥4，所以实数a的取值范围是[4，+∞）∪（﹣∞，﹣6]．（3）当a=1时，f（x）=x2+2x+3，f（|x|）=x2+2|x|+3，作出f（|x|）的图象，如图所示：由图象得f（x）的减区间为[﹣4，0]，增区间为[0，6]．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的单调性，解决该类问题的关键是深刻理解“三个二次”间的关系，同时注意数形结合思想的运用．29．（2016•南昌自主招生）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，（1）求证：f（1）=0；（2）求f（）；（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．【分析】（1）根据对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=4，y=1，即可求出f（1）的值；（2）令x=4，y=4，代入求得f（16），而f（1）=f（×16）=f（）+f（16）=0，即可求得f（）的值；（3）根据当x＞1时，f（x）＞0，判断函数的单调性，把f（x）+f（x﹣3）≤1化为f[x（x ﹣3）]≤1=f（4），根据单调性，去掉对应法则f，解不等式．【解答】解：（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．∴f（1）=0．（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（×16）=f（）+f（16）=0，故f（）=﹣2．（3）设x1，x2＞0且x1＞x2，于是f（）＞0，∴f（x1）=f（×x2）=f（）+f（x2）＞f（x2）．∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．又∵f（x）+f（x﹣3）=f[x（x﹣3）]≤1=f（4），∴⇒3＜x≤4．∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．【点评】此题是个中档题题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．30．（2015•衡阳县校级一模）已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．【分析】（1）根据题意和式子的特点，先令x1=x2=1求出f（1）=0，令x1=x2=﹣1，求出f（﹣1）=0，再令x1=﹣1，x2=x求出f（﹣x）=f（x），则证出此函数为偶函数；（2）先任取x2＞x1＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用x2=和且＞0，判断符号并得出结论；（3）根据题意和（1）的结论，把不等式转化为f（|2x2﹣1|）＜f（4），再由（2）的结论知|2x2﹣1|＜4，故解此不等式即可．【解答】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，代入上式解得f（1）=0，令x1=x2=﹣1，代入上式解得f（﹣1）=0，令x1=﹣1，x2=x代入上式，∴f（﹣x）=f（﹣1•x）=f（﹣1）+f（x）=f（x），∴f（x）是偶函数．（2）设x2＞x1＞0，则=∵x2＞x1＞0，∴，∴＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x2﹣1）＜2可化为f（|2x2﹣1|）＜f（4），又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x2﹣1|＜4，且2x2﹣1≠0，即﹣4＜2x2﹣1＜4，且2x2≠1解得：，且x≠，即不等式的解集为{x|，且x≠}．【点评】本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，反复给x1和x2值利用给出恒等式，注意条件的利用；求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系，进而由函数的单调性转化为自变量的大小，易错点忽略定义域．31．（2015•重庆校级模拟）定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数（1）求f（1），f（﹣1）的值；（2）求证：f（﹣x）=f（x）；（3）解关于x的不等式：．【分析】（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（1），令x=y=﹣1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（﹣1）（2）令y=﹣1，代入f（xy）=f（x）+f（y），结合（1）的结论即可证得f（﹣x）=f（x）（3）利用恒等式变为f（2x﹣1）≤f（﹣1），由（2）的结论知函数是一偶函数，由函数在区间（0，+∞）上的递增函数，即可得到关于x的不等式．【解答】解：（1）令，则f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0（3分）令x=y=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）∴f（﹣1）=0（6分）（2）令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x）∴f（﹣x）=f（x）（10分）（3）据题意可知，f（2）+f（x﹣）=f（2x﹣1）≤0∴﹣1≤2x﹣1＜0或0＜2x﹣1≤1（13分）∴0≤x＜或＜x≤1（15分）【点评】本题考点是抽象函数及其运用，考查用赋值的方法求值与证明，以及由函数的单调性解抽象不等式，抽象不等式的解法基本上都是根据函数的单调性将其转化为一元二次不等式或者是一元一次不等式求解，转化时要注意转化的等价性，别忘记定义域这一限制条件．32．（2016•衡阳县校级学业考试）已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）﹣f（x）=2x．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．【分析】（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b，根据对应项的系数相等可分别求a，b，c．（2）对函数进行配方，结合二次函数在[﹣1，1]上的单调性可分别求解函数的最值．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b∴由题恒成立∴∴f（x）=x2﹣x+1（2）f（x）=x2﹣x+1=在[﹣1，]单调递减，在[，1]单调递增∴，f（x）max=f（﹣1）=3【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意函数在所给区间上的单调性，一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值．33．（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|=|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．34．（2014秋•原平市校级期末）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值．。
函数地基本性质练习(含问题详解)
函数的性质综合练习[基础训练A 组] 一、选择题 1．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<-<f f f D ．)1()23()2(-<-<f f f 3．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ）A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．减函数且最小值是5-4．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数。
5．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ）A ．x y = B ．x y -=3C ．xy 1= D ．42+-=x y 6．函数)11()(+--=x x x x f 是（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是奇函数但不是减函数C ．是减函数但不是奇函数D ．不是奇函数也不是减函数二、填空题 1．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是2．函数21y x x =++的值域是________________。
3．已知[0,1]x ∈，则函数21y x x =+--的值域是 .4．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 .5．下列四个命题 （1）()21f x x x =-+-有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数2()y x x N =∈的图象是一直线；（4）函数22,0,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩的图象是抛物线，其中正确的命题个数是____________。
函数基本性质专题练习及答案(精华)15
函数基本性质综合练习1.函数||y x =与21y x =+在同一坐标系的图象为（ ）2.f(x)是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上递减，那么一定有( ）A ．)1()43(2+->-a a f fB ．)1()43(2+-≥-a a f fC ．)1()43(2+-<-a a f fD ．)1()43(2+-≤-a a f f3.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (3)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，3)∪(3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．(－3,3) 4. 10.（2010·浙江高考理科·Ｔ10）设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ⎧⎫==++=-=-⎨⎬⎩⎭，平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩⎭，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是（ ） （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）105.（2010·重庆高考理科·Ｔ5）函数()412x xf x +=的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于直线y=x 对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称6．(2009·陕西文，10)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则 ( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3) D ．f (3)<f (1)<f (－2)7. 设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.58.已知f （x ）=ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。
(原创)最新高一数学函数的基本性质练习题
高一数学函数的基本性质练习题一、选择题：1．下面说法正确的选项（）A．函数的单调区间可以是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．3．函数是单调函数时，的取值范围（）A．B． C ．D．4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（）A．最大值B．最小值 C ．没有最大值D．没有最小值5．函数，是（）A ．偶函数B．奇函数C．不具有奇偶函数D．与有关6．函数在和都是增函数，若，且那么（）A．B．C．D．无法确定7．函数在区间是增函数，则的递增区间是（）A．B．C．D．8．函数在实数集上是增函数，则（）A ．B．C．D．9．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（）A．B．C．D．10．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：11．函数在R上为奇函数，且，则当，.12．函数，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为.13．定义在R上的函数（已知）可用的=和来表示，且为奇函数，为偶函数，则= .14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为；.三、解答题：15．（12分）已知，求函数得单调递减区间.16．（12分）判断下列函数的奇偶性①；②；③；④。
17．（12分）已知，，求.18．（12分））函数在区间上都有意义，且在此区间上①为增函数，；②为减函数，.判断在的单调性，并给出证明.19．（14分）在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。
生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为（单位元），利润的等于收入与成本之差.①求出利润函数及其边际利润函数；②求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值；③你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义.20．（14分）已知函数，且，，试问，是否存在实数，使得在上为减函数，并且在上为增函数.高一数学函数的基本性质练习题参考答案一、CBAAB DBAA D二、11．；12．和，；13．；14．；三、15．解：函数，，故函数的单调递减区间为.16．解①定义域关于原点对称，且，奇函数.②定义域为不关于原点对称。
【创新设计】高中数学(人教版必修一)配套练习：1.3函数的基本性质习题课(含答案解析)
A．增函数且最小值为 3
B ．增函数且最大值为 3
C．减函数且最小值为－ 3
D ．减函数且最大值为－ 3
6．若 f(x) 是偶函数，且当 x∈ [0，＋ ∞）时， f(x) ＝ x－1，则 f(x － 1)<0 的解集是 ( )
A． (－ 1,0)
B ． (－∞，0) ∪ (1,2)
C． (1,2)
________.
6．已知 f(x) ＝
1 2x－ 1， x≥０， 1x， x<0，
若 f(a)>a，则实数 a 的取值范围是 ______________．
一、选择题
1．设 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 (－ ∞， 0)上是增函数，已知
f(x 1)<f(x 2)，那么一定有 ( )
A． x1＋ x2<0
4．用 min{a ，b} 表示 a，b 两数中的最小值，若函数
线 x＝－ 1对称，则 t 的值为 (
)
2
f(x) ＝ min{|x| ，|x＋ t|} 的图象关于直
A．－ 2
B．2
C．－ 1
5．如果奇函数 f(x) 在区间 [1,5] 上是减函数，且最小值为
上是 ( )
D．1 3，那么 f(x) 在区间 [ － 5，－ 1]
x∈(0
，＋
∞）．
பைடு நூலகம்
(1)若 b≥１，求证：函数 f(x) 在 (0,1)上是减函数； (2)是否存在实数 a， b，使 f(x) 同时满足下列两个条件： ①在 (0,1)上是减函数， (1，＋ ∞）上是增函数；② f(x) 的最小值是 3.若存在，求出 a， b 的 值；若不存在，请说明理由．
能力提升
函数的基本性质(选择题).docx
函数的基木性质(选择题)一.选择题(每小题5分，共230分)1. 下列函数中，值域为F 的是 A. y= y/x 2-3x+ 1 B. y = log 2(x 2 - 2x + 2) C.y=x 2+x+lD.y=—3V2. 已知定义域为R 的函数/(x)在(8,+8)上为减函数，且函数y = /(x + 8)为偶函数，则 A./(6) > /(7) B. /(6) > /(9)C./(7) > /(9)D./(7) > /(10)3.在R 上定义的函数/(兀)是偶函数，且/(x) = /(2-x),若/(兀)在区间［1,2］上是减函 数，则/(%) A. 在区间［-2,-1］上是增函数,B. 在区间［-2,-1］上是增函数,C. 在区间［-2,-1］上是减函数,D. 在区间［-2,-1］上是减函数, 4. /(x), g(x)是定义在R 上的函数,h(x) = f(x) + g(x),则“ f(x), g(x)均为偶函 数”是“加兀)为偶函数”的A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件5.设函数/(X )定义在实数集上，它的图像关于直线兀=1对称，且当兀时, /(X )= 3x -1,则有6.设f(x)是定义域为R 的奇函数，且在(0,+oo)上是减函数•若/(1) = 0 ,则不等式/(X )> 0 的解集是 A.(-oo-l)U (l,+oo)B.(-l,0)U(0,l) D.(-l,0)U(l,+oo)7.已知函数f (x)是定义在闭区间［一a, a ］ (a>0)上的奇函数，F (x) =/ (x) +1,则F (x)最大值与最小值Z 和为A.lB.2C.3D.O8. 函数f(x) = ax' + bx 2+ ex + d 的图象如图所示， 则/(-1) + /(1)的值一定 A.大于0 B.小于0 C.大于一 2D.小于一 29. 已知函数f(x)=2&+羽二^则函数f(x 啲值域为 A. ［2,4］ B. ［0,2萌］ C. ［4, 2萌］ D.［2, 2^5］ Mi6辿10. 定义在R 上的偶函数y=f(x)满足/(x+2)= -/仅)对所有实数x 都成立，且在［-2, 0］/ T/ n -m 0X在区间［3,4］上是增两数 在区间［3,4］上是减函数 在区间［3,4］上是增两数 在区间［3,4］上是减函数(2) 33 7上单调递增，6z = f(-)^ = f(-Xc = f(lo gl 8)则下列成立的是2 2 ?K.a>h> c S.b>c> a C. b> a> c D. c>a>b11. 己知函数/(2x + l)是奇函数，则函数= /(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称 A. (1, 0) B. (-1, 0) C.(丄，0) D.(一丄，0)2 212. 已知函数 y = /(x)对任意实数都有 j = /(-X )= /(x), /(x) = -/(x + l),且在[0, 1) 上单调递减，则 7 777 77A- /(—)</(―) v /(―) B- /(—)</(―) < /(―)7 7 7 7 7 7C- /(y) < /(-) < /(-)/(-) < /(y) < /(-)13. 已知 /(1» 1) = I /(/n,n)eN\m neN^)t 且对任何 都有：① /(m, n + l) = J\m, n) + 2② f(m +1, n) = 2/(m, n),给出以下三个结论:(1)/(l,5) = 9⑵/(5,1) = 16⑶/(5,6) = 26,其中正确的个数为 A.3B. 2C.lD.014. 已知函数y = /(x)是7?上的奇函数，函数y = g(x)是7?上的偶函数，且 /(x) = <?(x+l),当0<x<2时,g(x) = x-l,则 g(10.5)的值为 A.-1.5B.8.5C. -0.5D.0.515. 已知/(兀)是R 上的奇函数，对xeR 都有/(x+4) = /(x) + /(2)成立，若/⑴=2, 则/(2005)等于 A. 2005B.2C. 1D. a > 116. 下列图象表示的函数屮能用二分法求零点的是的值为A.2B.1.5C.lD.不确定A. (— 1,1)B.(0」)C. (—1,0)LJ (0」)D. (— 1) kJ (1,+°°) 19.设/(%)= 2-x 2 ,若0<a<b 且= 则ab 的取值范围是 A.((),2)B.(0,2]c.(0,4]D.(0 崗18.己知/(兀)为R 上的减函数，则满足/(II</(1)的实数X 的取值范围是220. 若函数/(x) = x2 - 3x-4的定义域是(0,加]，值域为- —,-4 ,则m的取值范围是: 421.已知函数/⑴为R上的增函数，则满足/(|-|)> f (1)的实数x的取值范围是XA. (-1, 1)B. (0, 1)C. (-1, 0) U (0, 1)D. (一8, -1) U (1, +8)2 r22. 函数/(x)= -------- ,函数尸g(x啲图象与函数y=/(x+l)的图象关于直线尸x对称，则g(3)的兀+ 1值是A.-2B.2C.-lD.-423. 两数y=/(x)在区间(0,2)上是增函数，函数y=/(x+2)是偶函数，则下面结论正确的是5 7 7 5A.f ) <f (― )(― )</(—) </⑴2 2 2 27 5 5 7CJ( - )</(D < /(-) 0/( -)</(!)</(-)2 2 2 224. 已知/(兀)在R 上是奇函数，且/(X + 4) = /(%),当兀w (0,2)时，f\x) = 2x2Mf(l) =25.设函数f(x) = 2x + — -1(X < 0),则于(兀)A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数2&汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间/的函数，其图像可能是27.函数f(x) = --X的图像关于A. y轴对称B.直线y = -兀对称C.坐标原点对称D.直线y = x对称28•设函数f(x)= I x+1 I + I x-a I的图象关于直线x=l对称，则a的值为A.3B.2C.lD.-1[1 -x2, xWl, ( 1 )29. 设函数/(X)= \ °则/ ——的值为[x2 +x-2, x> 1, ⑵丿15 27 8A.—B. ------C.—D>1816 16 930. 若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x lf x2E R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+l/,^\下列说法一定正确的是A.f(x)为奇函数B./(x)为偶函数「3 ? '3「<3 )B. -AC. -3D. —<4-00_2 ><2丿A.(0,4]A.-2B.2C.-98D.98C./(x)+l 为奇函数D./(x)+l 为偶函数31J(x)是定义域为R 的增函数，且值域为R+,则下列函数中为减函数的是 A. f(x)+ /(-x)B./(x)-/(-x)C./(x)・ f(-x)D.牛?32. 定义在R 上的函数尢)满足f(x-y) = /(X )+ /(y) +小,则/(-2)= A.lB.-lC.2D.-233. 已知定义在R 上的奇函数/(兀)满足/(x + 2) = /(-x),则/(-6)的值为 A. 0B. -1C. 1D.234. 下列函数中，与函数y = x(xhO)相同的是35.对于正实数记171。
MXT-《函数的基本性质》知识总结大全及习题训练
《函数的基本性质》知识总结大全及习题训练1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________.点评 单调性的等价定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21<-x f x f0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xyx x x f x f ；②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21>-x f x f0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xyx x x f x f ；⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等. 注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。
函数的基本性质习题
4.函数的基本性质1.(2016·)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )A.y＝11－xB.y＝cos xC.y＝ln(x＋1)D.y＝2－x2.(2016·)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12，则f(6)＝( )A.－2B.－1C.0D.23.(2016·全国Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则∑i＝1mx i＝( )A.0B.mC.2mD.4m4.(2016·)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________.5.(2016·)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f⎝⎛⎭⎪⎫－52＋f(1)＝________.6.(2016·)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝⎩⎨⎧x＋a，－1≤x＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x，0≤x＜1，其中a∈R.若f⎝⎛⎭⎪⎫－52＝f⎝⎛⎭⎪⎫92，则f(5a)的值是________.考点1 函数的单调性1.(2015·)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A.奇函数，且在(0，1)上是增函数B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数D.偶函数，且在(0，1)上是减函数2.(2014·)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝(x －1)2 C.y ＝2－xD.y ＝log 0.5(x ＋1)3.(2014·)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )＝x 12B.f (x )＝x 3C.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.f (x )＝3x4.(2014·新课标全国Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值围是( ) A.(－∞，－2] B.(－∞，－1] C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)5.(2014·)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值围是________.6.(2014·新课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值围是________. 考点2 函数的奇偶性7.(2015·)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝cos x B.y ＝sin x C.y ＝ln xD.y ＝x 2＋18.(2015·)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋e x B.y ＝x ＋1xC.y ＝2x ＋12xD.y ＝1＋x 29.(2015·)下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝|sin x | C.y ＝cos xD.y ＝e x －e －x10.(2015·)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值围为( )A.(－∞，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，＋∞)11.(2014·)下列函数为偶函数的是( ) A.f (x )＝x －1 B.f (x )＝x 2＋x C.f (x )＝2x －2－xD.f (x )＝2x ＋2－x12.(2014·新课标全国Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.f (x )g (x )是偶函数 B.|f (x )|g (x )是奇函数 C.f (x )|g (x )|是奇函数 D.|f (x )g (x )|是奇函数13.(2014·)下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝2x －12xB.y ＝x 3sin xC.y ＝2cos x ＋1D.y ＝x 2＋2x14.(2014·大纲全国)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A.－2B.－1C.0D.115.(2014·)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A.－3 B.－1 C.1D.316.(2014·)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，3317.(2014·)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 考点3 函数性质的综合应用18.(2015·)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A.f (sin 2x )＝sin x B.f (sin 2x )＝x 2＋x C.f (x 2＋1)＝|x ＋1|D.f (x 2＋2x )＝|x ＋1|19.(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x－1)成立的x 的取值围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞20.(2014·)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A.f (x )＝1x2B.f (x )＝x 2＋1C.f (x )＝x 3D.f (x )＝2－x21.(2014·)已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1).现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③D.①②22.(2014·)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB.(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e23.(2014·新课标全国Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.1.(2015·模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，1)上单调递减的函数为( ) A.y ＝1xB.y ＝lg xC.y ＝cos xD.y ＝x 22.(2015·模拟)下列函数为偶函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝ln(x 2＋1－x ) C.y ＝e xD.y ＝ln x 2＋13.(2015·日照模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 3 5)的值为( ) A.4 B.－4 C.6D.－64.(2016·七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f （x ＋2），x <4，则f (3)的值为________.5.(2016·模拟)下列函数中，在其定义域是增函数而且又是奇函数的是( ) A.y ＝2x B.y ＝2|x | C.y ＝2x －2－xD.y ＝2x ＋2－x6.(2015·潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x （x >0），x ＋⎠⎛0a 3t 2d t （x ≤0），若f(f (1))＝1，则a＝________.7.(2016·马一模)已知f(x)是R 上的奇函数，f (1)＝1，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 015)＋f (2 016)＝________.8.(2015·模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ≤－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1<x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝( ) A.335 B.338 C.1 678D.2 0129.(2016·模拟)下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x 3＋3x 2 B.y ＝e x＋e －x2C.y ＝x sin xD.y ＝log 23－x3＋x10.(2015·模拟)下列函数中，与函数y ＝⎩⎨⎧e x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，x <0的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A.y ＝－1xB.y ＝x 2＋2C.y ＝x 3－3D.y ＝log 1e|x |11.(2016·期末)已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数f (x ＋8)为偶函数，则( ) A.f (6)>f (7) B.f (6)>f (9) C.f (7)>f (9)D.f (7)>f (10)12.(2016·雅礼中学模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值围是________.13.(2015·揭阳模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)、f (x －1)都是奇函数，则( ) A.f (x )是奇函数B.f (x )是偶函数C.f (x ＋5)是偶函数D.f (x ＋7)是奇函数14.(2016·七校联考)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0，1]，存在x 2∈[1，3]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值围是________. 15.(2016·模拟)已知函数①f 1(x )＝lg （1－x 2）|x 2－2|－2；②f 2(x )＝(x －1)·x ＋1x －1；③f 3(x )＝log a (x ＋x 2＋1)，(a >0，a ≠1)；④f 4(x )＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12，(x ≠0)，下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是( ) A.都是偶函数B.一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数C.一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数D.一个奇函数，三个偶函数16.(2016·八市模拟)如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点.设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2，3]上单调递减；④⎠⎛02f (x )d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________.17.(2015·模拟)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f （x ）；②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0，1]，且x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2).则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2)，f (3)从小到大排列是________.18.(2016·赣中南五校模拟)有下列4个命题：①若函数f (x )定义域为R ，则g (x )＝f (x )－f (－x )是奇函数；②若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∀x ∈R ，f (x )＋f (2－x )＝0，则f (x )图象关于x ＝1对称；③已知x 1和x 2是函数定义域的两个值(x 1<x 2)，若f (x 1)>f (x 2)，则f (x )在定义域单调递减；④若f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋2)也是奇函数，则f (x )是以4为周期的周期函数.其中，正确命题是________(把所有正确结论的序号都填上). 19.(2015·七校模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |. (1)若a ＝－1，解方程f (x )＝1；(2)若函数f (x ) 在R 上单调递增，数a 的取值围；(3)若a <1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值围.20.(2015·模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≥0时， f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＋1.(1)求f (－1)的值；(2)设f (x )的值域为A ，函数g (x )＝－x 2＋（a －1）x ＋a 的定义域为B .若B ⊆A ，数a 的取值围.4.函数的基本性质【三年高考真题演练】 [2016年高考真题] 1.D [y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上为增函数； y ＝cos x 在区间(－1，1)上不是单调函数；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上单调递减.]2.D [当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.]3.B [由题f (x )＝f (2－x )关于x ＝1对称，函数y ＝|x 2－2x －3|的图象也关于x＝1对称，因此根据图象的特征可得∑i ＝1mx i ＝m ，故选B.]4.2 [f (x )＝x x －1＝1＋1x －1，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减，则f (x )最大值为f (2)＝22－1＝2.] 5.－2 [首先，f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)； 而f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，所以：f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝412＝2，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.]6.－25 [由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.][两年经典高考真题]1.A [易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.]2.A [显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数；y ＝(x －1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.故选A.]3.D [根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y ).又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确.]4.D [因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立.因为x ＞1，所以0＜1x＜1，所以k ≥1.故选D.]5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎨⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.] 6.(－1，3) [由题可知，当－2<x <2时，f (x )>0.f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1<x <3.]7.A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点.]8.A [令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]9.D [由奇函数定义易知y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.] 10.C [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a，整理得(1－a )(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，化简得(2x －2)(2x －1)＜0， ∴1＜2x ＜2，∴0＜x ＜1.]11.D [函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x 为偶函数，故选D.]12.C 13.A 14.D15.C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]16.B [由题意得，若a ＝0，f (x )＝x ，显然成立；若a ≠0，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧x －3a 2，x >2a 2，－a 2，a 2<x ≤2a 2，－x ，0≤x ≤a 2，作出x ≥0的图象，利用f (x )是奇函数作出整个定义域上的图象如图：而f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位得到的，要满足对任意实数x ，都有f (x －1)≤f (x )，至少应向右平移6a 2个单位，所以6a 2≤1，解得－66≤a ≤66，且a ≠0. 综上，实数a 的取值围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66.] 17.－32 [由题意得f (－x )＝ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln 1＋e 3x e3x －ax ＝ln(1＋e 3x )－lne3x－ax＝ln(e3x＋1)－(3＋a)x，而f(x)为偶函数，因此f(－x)＝f(x)，即ax＝－(3＋a)x，所以a＝－32 .]18.D [排除法，A中，当x1＝π2，x2＝－π2时，f(sin 2x1)＝f(sin 2x2)＝f(0)，而sin x1≠sin x2，∴A不对；B同上；C中，当x1＝－1，x2＝1时，f(x21＋1)＝f(x22＋1)＝f(2)，而|x1＋1|≠|x2＋1|，∴C不对，故选D.]19.A [由f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|).当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，得f′(x)＝11＋x＋2x（1＋x2）2＞0，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得13＜x＜1，故选A.]20.A [由偶函数的定义知，A，B为偶函数.A选项，f′(x)＝－2x3在(－∞，0)恒大于0；B选项，f′(x)＝2x在(－∞，0)恒小于0.故选A.]21.A [f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故①正确；因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln 1＋x1－x，又当x∈(－1，1)时，2x1＋x2∈(－1，1)，所以f⎝⎛⎭⎪⎫2x1＋x2＝ln 1＋2x1＋x21－2x1＋x2＝ln⎝⎛⎭⎪⎫1＋x1－x2＝2ln1＋x1－x＝2f(x)，故②正确；当x∈[0，1)时，|f(x)|≥2|x|⇔f(x)－2x≥0，令g(x)＝f(x)－2x＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(x∈[0，1))，因为g′(x)＝11＋x＋11－x－2＝2x21－x2>0，所以g(x)在区间[0，1)上单调递增，g(x)＝f(x)－2x≥g(0)＝0，即f(x)≥2x，又f(x)与y＝2x都为奇函数，所以|f(x)|≥2|x|成立，故③正确，故选A.]22.B [由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f (－x )有正解，即x 2＋ln(x ＋a )＝(－x )2＋e －x －12有正解，即e －x －ln(x ＋a )－12＝0有正解，令F (x )＝e －x －ln(x ＋a )－12，则F ′(x )＝－e －x －1x ＋a<0，故函数F (x )＝e －x －ln(x ＋a )－12在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g (x )＝f (－x )有正解，则存在正数x 使得F (x )≥0，即e －x －ln(x ＋a )－12≥0，所以a ≤ee－x －12－x ，又y ＝ee －x －12－x 在(0，＋∞)上单调递减，所以a <ee0－12－0＝e 12，选B.]23.3 [因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3.]【两年模拟试题精练】1.C [首先y ＝cos x 是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊆(0，π)，故y ＝cos x 满足条件.故选C.]2.D [y ＝sin x 与y ＝ln(x 2＋1－x )都是奇函数，y ＝e x 为非奇非偶函数，y ＝ln x 2＋1为偶函数，故选D.]3.B [由f (x )是定义在R 上的奇函数得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，f (－log 3 5)＝－f (log 3 5)＝－(3log 3 5－1)＝－4，选B.]4.132 [f (3)＝f (5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132.] 5.C [A 虽为增函数却是非奇非偶函数，B 、D 是偶函数，对于选项C ，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在共定义域是增函数(或y ′＝2x ln 2＋2－x ln 2>0)，故选C.]6.1 [∵f (f (1))＝f (0)＝a 3＝1，∴a ＝1.]7.－1 [因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.在f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)中，令x ＝－3得f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)⇒f (3)＝－f (3)＋f (3)＝0，知对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )成立，所以奇函数f (x )是以6为周期的周期函数，所以f (2 015)＋f (2 016)＝f (6×336－1)＋f (6×336)＝f (－1)＋f (0)＝－f (1)＝－1.]8.B [f (x )为周期为6的周期函数，且f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335＝338，故选B.]9.D [依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数.对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e －x 2不是奇函数.对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y ＝x sin x 不是奇函数.对于选项D ，由3－x 3＋x>0得－3<x <3， 即函数y ＝log 23－x 3＋x的定义域是(－3，3)，该数集是关于原点对称的集合， 且log 23－（－x ）3＋（－x ）＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即有log 23－（－x ）3＋（－x ）＝－log 23－x 3＋x，因此函数y ＝log 23－x 3＋x是奇函数.综上所述，选D.] 10.B[因为函数y ＝⎩⎨⎧e x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，x <0为偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，故选B.] 11.D [∵f (x ＋8)为偶函数，∴f (x ＋8)＝f (－x ＋8)，即y ＝f (x )关于直线x ＝8对称.又∵f (x )在(8，＋∞)上为减函数，∴f (x )在(－∞，8)上为增函数.由f (2＋8)＝f (－2＋8)，即f (10)＝f (6)，又由6<7<8，则有f (6)<f (7)，即f (7)>f (10)，故选D.]12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [∵f (x )为偶函数，∴f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，代入f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)得f (log 2a )≤f (1)，又∵f (x )为增函数，∴|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2.] 13.D14.[5，＋∞) [依题意得，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x －1x ＋1单调递增，f (x )的最小值是f (0)＝－1，则要求存在x ∈[1，3]，关于x 的不等式x 2－2ax ＋4≤－1，即a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x 有解，所以a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5x min .注意到当x ∈[1，3]时，12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x ≥x ·5x ＝5，当且仅当x ＝5x ，即x ＝5∈[1，3]时取等号，此时⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ＝5，所以a ≥5，则实数a 的取值围是[5，＋∞).]15.C [①f 1(x )定义域为(－1，0)∪(0，1)，对∀x ∈(－1，0)∪(0，1)，f 1(－x )＝lg[1－（－x ）2]|（－x ）2－2|－2＝lg （1－x 2）|x 2－2|－2＝f 1(x )，故f 1(x )为偶函数.②f 2(x )定义域为[－1，1)，故非奇非偶函数.③f 3(x )定义域为R ，对∀x ∈R ，f 3(－x )＝log a (－x ＋（－x ）2＋1)＝log a (x 2＋1－x )＝log a （x 2＋1－x ）（x 2＋1＋x ）x 2＋1＋x ＝log a 1x 2＋1＋x＝－f 3(x )，∴f 3(x )为奇函数.④f 4(x )＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝（2x ＋1）x 2（2x －1）.f 4(x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f 4(－x )＝（2－x ＋1）（－x ）2（2－x －1）＝－（1＋2x ）x 2（1－2x ）＝（2x ＋1）x 2（2x －1）＝f 4(x )，故为偶函数，故选C.]16.①②④ [从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，且在区间[2，3]上随x 增大，图象是往上的，所以①②正确，③错误；又函数图象与直线x ＝0，x ＝2，x 轴围成的图形由一个半径为2、圆心角为π4的扇形，一个半径为1、圆心角为π2的扇形和一个直角边长为1的等腰直角三角形组成，其面积S ＝18×π×2＋14×π＋12＝π＋12，④正确.] 17.f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2) [由①得f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝1f （x ＋1）＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2.②中因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位即可得y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称. 根据③可知函数f (x )在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数f (x )在[1，2]上为增函数.因为f (3)＝f (2＋1)＝f (1)，在区间[1，2]上，1<32<2，所以f (1)<f (32)<f (2)，即f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2).]18.①④ [对于①，g (x )的定义域为R ，则g (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，故①正确；对于②，取满足条件的函数f (x )＝sin πx ，令πx ＝π2＋k π，得其对称轴为x ＝12＋k (k ∈Z )，不包括直线x ＝1，故②错误；对于③，由函数单调性的定义，可知③错误；对于④，由条件，得f (－x )＝－f (x )①，f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)②，又由①f [－(x ＋2)]＝－f (x ＋2)③，结合②与③得f (－x ＋2)＝f (－x －2)⇒f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )是以4为周期的周期函数，故④正确，综上，真命题的序号是①④.]19.解 (1)当a ＝－1时，有f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1，当x ≥－1时，2x 2－1＝1，解得：x ＝1或x ＝－1，当x <－1时，f (x )＝1恒成立，∴方程的解集为：{x |x ≤－1或x ＝1}.(2)f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－（a ＋1）x ＋a ，x ≥a ，（a ＋1）x －a ，x <a ， 若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎨⎧a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得：a ≥13. (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎨⎧2x 2－（a ＋3）x ＋a ＋3，x ≥a ，（a －1）x －a ＋3，x <a .即不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立∵a <1，∴当x <a 时，g (x )单调递减，其值域为：(a 2－2a ＋3，＋∞).∵a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，∴g (x )≥0恒成立当x ≥a 时，∵a <1，∴a <a ＋34，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－（a ＋3）28≥0，得－3≤a ≤5， ∵a <1，∴－3≤a <1，综上：a 的取值围是－3≤a <1.20.解 (1)∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－1)＝f (1).又x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x ＋1， 所以f (1)＝12－1＋1＝12， 故f (－1)＝12. (2)由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，可得函数f (x )的值域A 即为x ≥0时，f (x )的取值围.当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x ＋1为单调递减函数， 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x ＋1≤f (0)＝2， 故函数f (x )的值域A ＝(－∞，2].又函数g (x )的定义域为B ＝{x |－x 2＋(a －1)x ＋a ≥0}＝{x |(x －a )(x ＋1)≤0}， 讨论：①若a <－1，则B ＝[a ，－1]，显然满足B ⊆A ；②若a >－1，则B ＝[－1，a ]，要使B ⊆A ，则需a ≤2，此时－1<a ≤2； ③当a ＝－1，则B ＝{－1}，满足B ⊆B .综上，a 的围为(－∞，2].。
高一函数练习题及答案
高一函数练习题及答案1. 定义域问题给定函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，求其定义域。
2. 函数值问题已知 \( g(x) = 3x - 2 \)，求 \( g(5) \)。
3. 函数的奇偶性判断函数 \( h(x) = x^3 - 2x \) 的奇偶性。
4. 函数的单调性分析函数 \( k(x) = x^2 + 3x + 2 \) 在 \( (-\infty, -1.5) \) 和 \( (-1.5, +\infty) \) 上的单调性。
5. 复合函数已知 \( f(x) = x^2 \) 和 \( g(x) = x + 3 \)，求 \( f(g(x)) \)。
6. 反函数问题求函数 \( m(x) = 2x + 1 \) 的反函数。
7. 函数的图像变换若 \( n(x) = x^2 \)，求 \( n(2x - 1) \) 的图像与 \( n(x) \) 的图像之间的关系。
8. 函数的极值问题求函数 \( p(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x \) 的极值点。
9. 函数的连续性判断函数 \( q(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 在 \( x = 1 \) 处是否连续。
10. 函数的应用问题某工厂生产的产品数量与成本之间的关系由函数 \( r(x) = 100x + 500 \) 给出，其中 \( x \) 代表产品数量，求当产品数量为 50 时的成本。
答案1. 定义域为 \( x \neq 0 \) 的所有实数。
2. \( g(5) = 3 \times 5 - 2 = 13 \)。
3. 函数 \( h(x) \) 是奇函数，因为 \( h(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x = -h(x) \)。
4. 函数 \( k(x) \) 在 \( (-\infty, -1.5) \) 上单调递减，在\( (-1.5, +\infty) \) 上单调递增。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.函数的基本性质 1.(2016·北京)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y＝11－x B.y＝cos x C.y＝ln(x＋1) D.y＝2－x 2.(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，
f(－x)＝－f(x)；当x>12时，fx＋12＝fx－12，则f(6)＝( ) A.－2 B.－1 C.0 D.2 3.(2016·全国Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y
＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝1mxi＝( ) A.0 B.m C.2m D.4m 4.(2016·北京)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________. 5.(2016·四川)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＝4x，则f－52＋f(1)＝________. 6.(2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝
x＋a，－1≤x＜0，
25－x，0≤x＜1，
其中a∈R.若f－52＝f92，则f(5a)的值是________.
考点1 函数的单调性 1.(2015·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数 D.偶函数，且在(0，1)上是减函数 2.(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y＝x＋1 B.y＝(x－1)2 C.y＝2－x D.y＝log0.5(x＋1) 3.(2014·陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)＝x12 B.f(x)＝x3
C.f(x)＝12x D.f(x)＝3x 4.(2014·新课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.(－∞，－1] C.[2，＋∞) D.[1，＋∞) 5.(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________. 6.(2014·新课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________. 考点2 函数的奇偶性 7.(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y＝cos x B.y＝sin x C.y＝ln x D.y＝x2＋1 8.(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A.y＝x＋ex B.y＝x＋1x
C.y＝2x＋12x D.y＝1＋x2 9.(2015·福建)下列函数为奇函数的是( ) A.y＝x B.y＝|sin x| C.y＝cos x D.y＝ex－e－x
10.(2015·山东)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( ) A.(－∞，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，＋∞) 11.(2014·重庆)下列函数为偶函数的是( ) A.f(x)＝x－1 B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝2x－2－x D.f(x)＝2x＋2－x 12.(2014·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 13.(2014·广东)下列函数为奇函数的是( )
A.y＝2x－12x B.y＝x3sin x C.y＝2cos x＋1 D.y＝x2＋2x 14.(2014·大纲全国)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 15.(2014·湖南)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3
16.(2014·湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( ) A.－16，16 B.－66，66
C.－13，13 D.－33，33 17.(2014·湖南)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. 考点3 函数性质的综合应用 18.(2015·浙江)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( ) A.f(sin 2x)＝sin x B.f(sin 2x)＝x2＋x C.f(x2＋1)＝|x＋1| D.f(x2＋2x)＝|x＋1|
19.(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( ) A.13，1 B.－∞，13∪(1，＋∞) C.－13，13 D.－∞，－13∪13，＋∞ 20.(2014·湖南)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A.f(x)＝1x2 B.f(x)＝x2＋1 C.f(x)＝x3 D.f(x)＝2－x 21.(2014·四川)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1).现有下列命题：
①f(－x)＝－f(x)；②f2x1＋x2＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|. 其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
22.(2014·湖南)已知函数f(x)＝x2＋ex－12(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( ) A.－∞，1e B.(－∞，e)
C.－1e，e D.－e，1e 23.(2014·新课标全国Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________. 1.(2015·广东惠州模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，1)上单调递减的函数为( )
A.y＝1x B.y＝lg x C.y＝cos x D.y＝x2 2.(2015·山东临沂模拟)下列函数为偶函数的是( ) A.y＝sin x B.y＝ln(x2＋1－x) C.y＝ex D.y＝lnx2＋1 3.(2015·山东日照模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log3 5)的值为( ) A.4 B.－4 C.6 D.－6
4.(2016·湖北七校联考)已知函数f(x)＝12x，x≥4，f（x＋2），x<4，则f(3)的值为________. 5.(2016·辽宁沈阳模拟)下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( ) A.y＝2x B.y＝2|x| C.y＝2x－2－x D.y＝2x＋2－x
6.(2015·山东潍坊模拟)若函数f(x)＝lg x （x>0），x＋0a3t2dt （x≤0），若f(f(1))＝1，则a＝________. 7.(2016·芜湖马鞍山一模)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)＝1，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 015)＋f(2 016)＝________. 8.(2015·辽宁沈阳模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x≤－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1A.335 B.338 C.1 678 D.2 012 9.(2016·重庆模拟)下列函数为奇函数的是( ) A.y＝x3＋3x2 B.y＝ex＋e－x2 C.y＝xsin x D.y＝log23－x3＋x
10.(2015·山东德州模拟)下列函数中，与函数y＝ex，x≥0，1ex，x<0的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A.y＝－1x B.y＝x2＋2
C.y＝x3－3 D.y＝log1e|x| 11.(2016·湖北孝感期末)已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数f(x＋8)为偶函数，则( ) A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 12.(2016·湖南雅礼中学模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，
＋∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是________. 13.(2015·广东揭阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)、f(x－1)都是奇函数，则( ) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.f(x＋5)是偶函数 D.f(x＋7)是奇函数
14.(2016·云南昆明七校联考)已知函数f(x)＝x－1x＋1，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，3]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________. 15.(2016·广东汕头模拟)已知函数①f1(x)＝lg（1－x2）|x2－2|－2；②f2(x)＝(x－1)·x＋1x－1；③f3(x)＝loga(x＋x2＋1)，(a>0，a≠1)；④f4(x)＝x·12x－1＋12，(x≠0)，下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是( ) A.都是偶函数