三角向量组题

合集下载

利用施密特正交化过程进行正交三角分解

利用施密特正交化过程进行正交三角分解利用施密特正交化过程进行正交三角分解1. 引言正交三角分解是一种用于解决线性方程组的常用方法，也是数值线性代数中的重要内容。

施密特正交化过程是一种常见的正交化方法，可用于将给定的线性无关向量组转化为正交基向量。

本文将介绍施密特正交化过程的基本原理和应用，并探讨如何利用它进行正交三角分解。

2. 施密特正交化过程的基本原理施密特正交化过程是一种通过逐步构造正交基向量的方法。

假设有一个线性无关的向量组V={v1, v2, ..., vn}，我们希望得到一个正交基向量组Q={q1, q2, ..., qn}，满足以下条件：a. 正交性：对于任意的qi和qj（i≠j），有qi·qj=0，其中·表示向量的内积。

b. 正规性：对于任意的qi，有||qi||=1，其中||·||表示向量的模长。

施密特正交化过程的具体步骤如下：步骤1：初始化令q1=v1/||v1||，即将v1归一化得到q1作为Q的第一个基向量。

步骤2：逐步正交化对于每个向量vi（i=2,3,...,n），执行以下操作：1) 计算正交因子ri=vi−(v1·q1)q1−(v2·q2)q2−...−(vi−1·qi−1)qi−1，其中·表示内积运算。

2) 计算qi=ri/||ri||，即将ri归一化得到qi作为Q的第i个基向量。

步骤3：得到正交向量组在经过n次迭代后，我们得到了一个正交向量组Q={q1, q2, ..., qn}，它是由V中的向量经过施密特正交化得到的。

3. 施密特正交化过程的应用施密特正交化过程在许多数值计算和科学计算领域中广泛应用。

以下列举几个常见的应用：a. 正交化基向量施密特正交化过程可以用来将线性无关的向量组转化为正交基向量组。

这在许多数值计算算法中是非常重要的，例如最小二乘法、特征值问题求解等。

b. 矩阵正交化施密特正交化过程可以用于矩阵的正交化。

高一年级数学向量检测题

高一数学《平面向量》检测题一、选择题（本大题共12小题；每小题5分；共60分）１、下列关系式正确的是（）Ａ、AB BA=0+ Ｂ、a b ⋅是一个向量Ｃ、AB AC BC -= Ｄ、00AB ⋅= ２、在△ABC 中；D 、E 、F 分别是ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ边的中点；则AF DB -（）Ａ、FD Ｂ、FE Ｃ、DE Ｄ、BE３、已知点(,5)A x 关于点(1,)y 的对称点是(2,3)B --；则点(,)x y 到原点的距离是（）Ｃ、4４、已知(4,3)a =-；(5,6)b =；则234a a b -⋅等于（）Ａ、２３Ｂ、５７Ｃ、６３Ｄ、８３５、已知(,2)a λ=；(3,5)b =-；且a 与b 的夹角为钝角；则λ的取值范围是（）Ａ、103λ>Ｂ、103λ≥ Ｃ、103λ< Ｄ、103λ≤ ６、已知,a b 均为单位向量；且夹角为060；那么3a b +等于（）Ｄ、4７、已知(4,3),(2,10)OA OB ==；则向量AB 在向量OA 方向上的投影为（）Ａ、385 Ｂ、38 Ｃ、135Ｄ、13 8、化简以下各式：①AB BC CA ++；②AB AC BD CD -+-；③OA OD AD -+；④NQ QP MN MP ++-；结果为零向量的个数是（）Ａ、1 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、4 9、若1,2,()a b a b ==-⊥a ；则a 与b 的夹角是（）Ａ、030 Ｂ、045 Ｃ、060 Ｄ、012010、下列各向量组中；能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（）Ａ、12(0,0),(1,2)e e ==- Ｂ、12(1,2),(5,7)e e =-= Ｃ、12(3,5),(6,10)e e == Ｄ、1213(2,3),(,)24e e =-=- 11、已知(1,2),(,1)a b x ==；若2a b +与2a b -平行；则x 等于（）Ａ、1 Ｂ、12 Ｃ、2 Ｄ、12- 12、已知点(1,3)A -；(3,1)B ；点C 在坐标轴上；∠090ACB =；则满足条件的点C 个数为（）Ａ、１Ｂ、２Ｃ、３Ｄ、４二、填空题（本大题共4小题；每小题5分；共20分）13、已知(2cos ,2sin ),(3,3)a b θθ==；且a 与b 共线；[0,2]θπ∈；则θ= 。

向量练习题

一、向量练习（一）、选择题1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )．A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34 2．已知a ＝(2,4)，则与a 垂直的单位向量的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255或⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，－255B.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255或⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55 D.⎝⎛⎭⎪⎫－255，55或⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55 3、已知ABC ∆的顶点)3,2(A 和重心)1,2(-G ，则BC 边上的中点坐标是（）A ．)3,2(-B ．)9,2(-C ．)5,2(-D ．)0,2(4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（）A ．（1，5）或（5，－5）B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）5、若非零向量满足，则与的夹角为（）A. 300B. 600C. 1200D. 15006．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=（）A ．7B ．10C ．13D ．47、已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( )A ．1BCD ．2 8、已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 夹角为π4，则以a ＝5p ＋2q ，b ＝p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为( )A ．15 B.15 C ．14 D ．16 9、已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 10．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB→－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形11、在△ABC 中，若2···AB AB AC BA BC CACB =++，则△ABC 是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形12、已知平面内一点P 及ABC ∆，若AB PC PB PA =++，则点P 与ABC ∆的位置关系是A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段BC 上C.点P 在线段AC 上D.点P 在ABC ∆外部二、填空题13．已知O (0,0)和A (6,3)，若点P 在线段OA 上，且OP →＝12P A →，又点P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是________．14、设e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝e 1－2e 2.若以a ，b 为基底表示向量e 1＋2e 2，即e 1＋2e 2＝λa ＋μb ，则λ＋μ＝________．15、已知a ＝（λ，2)，b ＝(－3，5)且a 与b 的夹角是钝角，则实数λ的取值范围是_______.16、在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°，则AO→·AC →＝________．三、简答题17．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影．18、设a ，b 是两个不共线的非零向量(t ∈R )．(1)若a 与b 起点相同，t 为何值时a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小？19、已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- .（1）若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形；（2）若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 .20、设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c （Ⅰ）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（Ⅱ）求||+b c 的最大值；（Ⅲ）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b ．21、已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1) 若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2) 设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α、β的值．22、。

单选题

单选题一、单选题（共V1. AA. AB. AC. AD. A2.A. <α,β>B. <α,β>C. <α,β>=0D. <α,β>≠03.A. AB. AC. AD.4. nA. nB. n^2C. n!D. n(n+1)/25. 设A 是m×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是（）A. A 的列向量组线性相关B. A 的列向量组线性无关C. A 的行向量组线性相关D. A 的行向量组线性无关满分：2 分6. 排列n(n-1)…2 1 的逆序数为（）A. n-1B. n(n-1)/2C. nD. n(n+1)/2满分：2 分7. 设3阶矩阵A 的行列式|A|=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为A. 1B. -1C. -2D. 4满分：2 分8. 设A 是上三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是的主对角线元素为（）.A. 全都非负B. 不全为零C. 全不为零D. 没有限制满分：2 分9. 设A,B 均为实对称矩阵，则下列说法正确的是（ )A. A+B 必为对称阵B. AB 必为对称阵C. A-B不一定为对称阵D. 若A+B的平方为零矩阵，不能肯定A+B=0满分：2 分10. 如果n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的维数为（）A. rB. n-rC. nD. n+r满分：2 分11. 若向量组中含有零向量，则此向量组（）A. 线性相关B. 线性无关C. 可能线性相关，可能线性无关D. 不能判断相关性满分：2 分12. 在一个矩阵上添加两行或两列后，所得到的矩阵的秩（）A. 不变B. 增加1C. 增加2D. 以上都不是满分：2 分13. 设3阶矩阵A的行向量组为线性无关的，下述结论中正确的是（）.A. A的3个列向量必线性无关B. A的3个列向量必线性相关C. A的秩为2D. A的行列式为零满分：2 分14.A.B.C.D.15. .A. AB. AC. AD. A满分：2 分16. 设f(x),g(x),h(x)A. 若B.C.D.17.A. AAA=0B. AE=EC. EA=ED. AEA=E18. 如果矩阵A的秩等于r，则（）A. 至多有一个r阶子式不为零B. 所有r阶子式都不为零C. 所有r+1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零D. 所有低于r阶子式都不为零满分：2 分19. 关于多项式的根，以下结论正确的是（）A. 如果f(x)在有理数域上可约，则它必有理根B. 如果f(x)在实数域上可约，则它必有实根C. 如果f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约D. 一个三次实系数多项式必有实根满分：2 分20. 若矩阵A，B满足AB=O，则有（）.A. A=O或B=OB. A+B=OC. A=O且B=OD. 以上结论都不正确满分：2 分21. 设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. |A|不等于0时B=CC. A不等于0时B=CD. B不等于C时A=0满分：2 分22. 如果矩阵A、B满足|A|=|B|，则（）A. A=BB. A的转置等于BC. AD. A=B23.A. A=IB. A=-IC. AD. det(A)=124. bA. 1B. 2C. 3D. 425.A.B.C.D.26.A. AB. AC. A+B也是正交矩阵D. A*B也是正交矩阵满分：2 分27. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（）A. |A|=1B. |A|=0C. |A|≠0D. A=0满分：2 分28. n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个( )A. 互不相同的特征值B. 互不相同的特征向量C. 线性无关的特征向量D. 两两正交的特征向量满分：2 分29. 设f(x),g(x)为两个多项式，而且满足f(x)|g(x)和g(x)|f(x) ，则（）.A. f(x)=g(x)B. f(x)=1/g(x)C. f(x)=2g(x)D. f(x)=cg(x),c为非零常数满分：2 分30. 若A是m×n矩阵，B是s×m矩阵，C是n×p矩阵，则下列乘积有意义的是（）A. BCB. CBC. ABD. BA满分：2 分31.A. AB. BC. CD. D满分：2 分32. 设n 阶实方阵A,B,C 满足关系式ABC=E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则下列关系式成立的是（）A. ACB=EB. CBA=EC. BAC=ED. BCA=E满分：2 分33. 已知向量组α,β,γ线性无关,向量组β,γ,ε线性相关,则（）.A. α一定可由β,γ,ε线性表示B. β一定可由α,γ,ε线性表示C. γ一定可由α,β,ε线性表示D. ε一定可由α,β,γ线性表示满分：2 分34. A 为m*n 矩阵，若任意的n 维列向量都是Ax=0的解，那么A. A=0B. 0<r(A)<nC. r(A)=nD. r(A)=m满分：2 分35. 同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）A. 合同的B. 相似的C. 相等的D. 正交的满分：2 分36. 设A是m×n矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）.A. 若AX=0仅有零解，则AX=b有唯一解B. 若AX=0有非零解，则AX=b有无穷多个解C. 若AX=b有无穷多个解，则AX=0仅有零解D. 若AX=b有无穷多个解，则AX=0有非零解满分：2 分37. 若向量α=（2，k，1）与β=（1，1，1）正交，则k=( )A. 1B. 3C. -3D. -1满分：2 分38. 多项式f(x)与其导数f′(x)不互素是f(x)有重因式的（）.A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 非充分非必要条件满分：2 分39. 设A为3阶方阵，且行列式det(A)= 1/2 ,则det(-2A)= （）A. 2B. 1C. -4D. 440.A. AB. AC. AD. A 41. n ( )A. AB. AC. AD. A 42. n .A. B. C. D.43.A. AB. BC. CD. D满分：2 分44. A、B均为n阶方阵，则必有A. det(A)det(B)=det(B)det(A)B. det(A+B)=det(A)+det(B)C. (A+B)的转置=A+BD. (AB)的转置＝A的转置乘以B的转置满分：2 分45. 设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，0，-3，则（）A. |A|≠0B. A负定C. A正定D. |A|=0满分：2 分46. 下列多项式，在实数域上为不可约的是（）.A. x^2-x-1B. x^2+x+1C. x^2-9D. x^3-5满分：2 分47. 设齐次线性方程组AX=0有无穷多解，则对任意n维列向量B，方程组AX=B( )A. 有无穷多解B. 可能无解C. 有唯一解D. 只有零解满分：2 分48. 若n维向量组X1,X2,...Xm线性无关，则A. 组中增加一个向量后也线性无关B. 组中去掉一个向量后也线性无关C. 组中只有一个向量不能有其余向量表出D. m>n满分：2 分49. 关于n级排列i1i2…in,以下结论不正确的是（）A. 逆序数是一个非负整数B. 一个对换改变其奇偶性C. 逆序数最大为nD. 可经若干次对换变为12…n满分：2 分50. 如果排列i1i2…in的逆序数是k,则排列inin-1…i2i1的逆序数是（）A. kB. n-kC. [n(n-1)/2]-kD. [n(n+1)/2]-k满分：2 分。

向量的三角形法则公式

向量的三角形法则公式好的，以下是为您生成的关于“向量的三角形法则公式”的文章：咱们在数学的世界里遨游，经常会碰到各种各样神奇的概念和公式，其中就有向量的三角形法则公式。

这玩意儿，可有意思啦！先来说说啥是向量。

向量啊，就像是有方向的箭头，它既有大小，又有方向。

比如说，你在操场上跑步，从起点到终点，这个位移就是一个向量。

那向量的三角形法则公式到底是咋回事呢？其实很简单，假设咱有两个向量，一个叫向量 a，另一个叫向量 b。

把这两个向量首尾相连，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，这新形成的向量，就是向量 a 与向量 b 的和，也就是 a + b 。

给您举个例子吧。

有一天我在路上看到两个小朋友在玩遥控车，一辆车从东边往西边开，速度和方向可以看作向量 a ；另一辆车从北边往南边开，这就是向量b 。

这两辆车跑着跑着就碰到了一起。

这时候，从第一辆车出发的位置指向第二辆车到达的位置，这个新的“方向和距离”，就是这两个向量相加的结果。

在做数学题的时候，这个法则可好用啦！比如说给您两个向量的坐标，让您求它们相加后的向量坐标，用这个三角形法则就能轻松搞定。

而且向量的三角形法则公式在物理学中也经常出现。

像力的合成，几个不同方向的力作用在一个物体上，要想知道最终的合力，就得用这个法则。

咱们再深入想想，向量的三角形法则其实反映了一种很巧妙的数学思维。

它让我们能够把看似复杂的方向和大小问题，通过简单的连接和指向，就清晰地表示出来。

在学习向量的三角形法则公式时，得多做练习题来巩固。

别害怕犯错，错了就改，改了再做，慢慢地就能熟练掌握啦。

总之，向量的三角形法则公式是数学中一个非常实用的工具，只要咱们用心去学，就能发现它的妙处，用它来解决好多难题。

希望大家都能跟这个公式成为好朋友，在数学的海洋里畅游得更欢快！。

3 空间向量基本定理(解析版)

专题1.3 空间向量基本定理【玩前必备】知识点一空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．知识点二空间向量的正交分解 1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i ，j ，k }表示． 2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k 使得a ＝x i ＋y j ＋z k . 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．知识点三证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .(2) 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .知识点四求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |. (2)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 知识点五求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB → )．【玩转题型】【题型1 空间向量基底的判断】【例1】（2020秋•嘉祥县校级期中）已知{a →，b →，c →}是空间向量的一个基底，则与向量p →=a →+b →，q →=a →−b →可构成空间向量基底的是（）A ．a →B ．b →C ．a →+2b →D ．a →+2c →【分析】由基底的意义知共面的三个向量不能构成空间向量基底，即可判断出结论．【解答】解：由于向量a →，b →，a →+2b →都与向量p →=a →+b →，q →=a →−b →为共面向量，因此A ，B ，C 不符合题意．故选：D ．【变式1-1】（2020秋•桃城区校级期中）已知{e 1→，e 2→，e 3→}是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（） ①e 1→，2e 2→，e 2→−e 3→②2e 2→，e 2→−e 1→，e 2→+2e 1→③2e 1→+e 2→，e 2→+e 3→，−e 1→+5e 3→④e 3→，e 1→+e 3→，e 1→+e 3→． A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③【分析】利用平面向量基本定理、空间向量基底的意义即可判断出．【解答】解：①假设存在非0实数a ，b ，c 使得ae 1→+b ⋅2e 2→+c(e 2→−e 3→)=0→，化为ae 1→+(2b +c)e 2→−ce 3→=0→，∵{e 1→，e 2→，e 3→}是空间的一个基底，∴{a =02b +c =0−c =0，解得a ＝b ＝c ＝0，故假设不成立，因此e 1→，2e 2→，e 2→−e 3→可以作为空间的一个基底．②∵2e 1→，e 2→−e 1→，e 2→+2e 1→一定是共面向量，因此不能作为空间向量的一个基底；③假设存在实数a ，b ，c 使得a(2e 1→+e 2→)+b(e 2→+e 3→)+c(−e 1→+5e 3→)=0→，化为，(2a −c)e 1→+(a +b)e 2→+(b +5c)e 3→=0→，∵{e 1→，e 2→，e 3→}是空间的一个基底， ∴{2a −c =0a +b =0b +5c =0，解得a ＝b ＝c ＝0，故假设不成立．因此可以作为空间的一个基底．④e 3→，e 1→+e 3→，e 1→+e 3→一定是共面向量，因此不能作为空间向量的一个基底．综上可知：只有①③能作为空间一个基底．故选：D ．【变式1-2】（2020秋•赤峰校级期末）{a →，b →，c →}＝是空间向量的一个基底，设p →=a →+b →，q →=b →+c →，r →=c →+a →，给出下列向量组：①{a →，b →，p →}，②{b →，c →，r →}，③{p →，q →，r →}，④{p →，q →，a →+b →+c →}，其中可以作为空间向量基底的向量组有（）组． A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由题设条件知，本题研究空间向量基底，可以作为空间向量基底的向量组需要满足不共线，即其中一个向量不能用另两个向量的线性组合表示出来，【解答】解：∵{a →，b →，c →}＝是空间向量的一个基底，设p →=a →+b →，q →=b →+c →，r →=c →+a →， ①{a →，b →，p →}，不可以作为基底，因为p →=a →+b →，②{b →，c →，r →}，可以作为空间向量的基底，因为三向量不共面．③{p →，q →，r →}，此向量组也可以作为空间向量的一组基底，因为其中任意一个向量都不能用另两个向量的线性组合表示出来，三向量不共面；④{p →，q →，a →+b →+c →}，此向量组也可以作为空间向量的一组基底，因为其中任意一个向量都不能用另两个向量的线性组合表示出来，三向量不共面．综上②③④是正确的，故选：C ．【变式1-3】已知{e 1→，e 2→，e 3→}为空间的一个基底，且OA →=e 1→+2e 2→−e 3→，OB →=−3e 1→+e 2→+2e 3→，OC →=e 1→+e 2→−e 3→，能否以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一组基底？【分析】假设存在不全为0的实数m ，n ，使得OA →=mOB →+nOC →成立，则{1=−3m +n2=m +n −1=2m −n，通过此方程组的解即可判断出结论．【解答】解：假设存在不全为0的实数m ，n ，使得OA →=mOB →+nOC →成立，则{1=−3m +n2=m +n −1=2m −n，此方程组无解，即不存在不全为0的实数m ，n ，使得OA →=mOB →+nOC →成立，因此假设不成立．因此能以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一组基底．答：能以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一组基底．【题型2 空间向量基本定理的应用（表示向量）】【例2】（2020秋•南开区校级月考）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1→=c →，AB →=b →，AD →=a →，E 是BC 的中点，用a →，b →，c →表示A 1E →为（） A ．12a →+b →−c →B ．a →+b →−c →C ．12a →−b →−c →D ．12a →−b →+c →【分析】结合图象求出A 1E →=A 1A →+AB →+12BC →，从而求出结论即可．【解答】解：如图示：，结合图象得：A 1E →=A 1A →+AE →=−c →+AB →+12BC →=−c →+b →+12a →=12a →+b →−c →，故选：A ．【变式2-1】（2020秋•南阳期末）已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，用向量OA →，OB →，OC →，表示向量OG →是（）A ．OG →=OA →+23OB →+23OC →B ．OG →=12OA →+23OB →+23OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →+13OB →+23OC →【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O 出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．【解答】解：∵OG →=OM →+MG →=OM →+23MN →=OM →+23(MO →+OC →+CN →) =13OM →+23OC →+13(OB →−OC →) =16OA →+13OB →+13OC →∴OG →=16OA →+13OB →+13OC →，故选：C ．【变式2-2】（2020秋•随州期末）已知在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，用OA →、OB →和OC →表示出MN →即可．【解答】解：如图所示，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，∵点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，∴OM →=34OA →；又N 为BC 中点，∴ON →=12（OB →+OC →）∴MN →=ON →−OM → =12（OB →+OC →）−34OA → =−34a →+12b →+12c →．故答案为：−34a →+12b →+12c →．【变式2-3】（2020秋•珠海期末）四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，点G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →=a →，PB →=b →，PC →=c →，用基底{a →，b →，c →}表示向量BG →= ．【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出．【解答】解：PG →=PB →+BG →=PB →+23BD →=PB →+23（BA →+BC →）=PB →+23（PA →−PB →+PC →−PB →）=23PA →−13PB →+23PC →=23a →−13b →+23c →，而PB →=PG →+GB →，故BG →=PG →−PB →=23a →−13b →+23c →−b →=23a →−43b →+23c →，故答案为：23a →−43b →+23c →．【题型3 空间向量基本定理的应用（求参数）】【例3】（2020秋•江苏期末）在三棱锥O ﹣ABC 中，AD →=DB →，CE →=2EB →，若DE →=xOA →+yOB →+zOC →，则（）A ．x =12，y =−16，z =13B ．x =12，y =16，z =−13C ．x =−12，y =16，z =13D ．x =12，y =16，z =13【分析】根据空间向量基本定理，先对已知向量进行分解，以OA →，OB →，OC →为基分别表示向量DE →，由唯一性判断．【解答】解：AD →=DB →⇒OD →−OA →=OB →−OD →⇒OD →=12OA →+12OB →，CE →=2EB →⇒OE →−OC →=2⋅(OB →−OE →)⇒3OE →=2OB →+OC →⇒OE →=23OB →+13OC →，DE →=OE →−OD →=−12OA →+16OB →+13OC →， DE →=xOA →+yOB →+zOC →，在三棱锥O ﹣ABC 中，OA →，OB →，OC →，不共面，根据向量基本定理得x =−12，y =16，z =13．故选：C ．【变式3-1】（2020秋•资阳期末）如图，M ，N 是分别是四面体O ﹣ABC 的棱OA ，BC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，若MN →=x a →+y b →+z c →，则x ，y ，z 的值分别是（）A ．12，12，12B ．12，12，−12C ．−12，12，−12D ．−12，12，12【分析】根据向量的线性运算表示出MN →=−12a →+12b →+12c →=x a →+y b →+z c →，根据对应关系求出x ，y ，z 的值即可．【解答】解：∵M ，N 是分别是四面体O ﹣ABC 的棱OA ，BC 的中点， ∴MN →=MA →+AC →+CN →=12OA →+（OC →−OA →）+12CB →=12a →+c →−a →+12（OB →−OC →）=12a →+c →−a →+12（b →−c →）=−12a →+12b →+12c →，又MN →=x a →+y b →+z c →，∴x =−12，y =12，z =12，故选：D ．【变式3-2】（2020秋•白水县期末）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若AG →=xAB →+yAD →+zAC →，则x +y +z ＝．【分析】AG →=AB →+BG →=AB →+12×12（BC →+BD →）=AB →+14AC →+14AD →−12AB →=12AB →+14AD →+14AC →，由此能求出x +y +z ．【解答】解：在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，AG →=AB →+BG →=AB →+12BE → =AB →+12×12（BC →+BD →）=AB →+14（AC →−AB →+A →D −AB →）=AB →+14AC →+14AD →−12AB → =12AB →+14AD →+14AC →，∵AG →=xAB →+yAD →+zAC →，∴x +y +z =12+14+14=1．故答案为：1．【变式3-3】（2020秋•番禺区期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，分别在棱B 1B 和D 1D 上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，则x +y +z ＝．【分析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算法则，求解即可．【解答】解：平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE =13BB 1，DF =23DD 1，所以EF →=EB →+BA →+AD →+DF →=−13BB 1→−AB →+AD →+23DD 1→=−13AA 1→−AB →+AD →+23AA 1→ =−AB →+AD →+13AA 1→．由EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，所以x ＝﹣1，y ＝1，z =13， x +y +z ＝﹣1+1+13=13．故答案为：13．【题型4 利用空间向量基本定理解决几何问题】（3）几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得．【例4】如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 ，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)① (AA 1—→＋AB →＋AD →)2＝2(AC →)2 ； ①AC 1—→·(AB →－AD →)＝0 ； ①向量B 1C —→与AA 1—→的夹角是60°； ①BD 1与AC 所成角的余弦值为63. 【解答】以顶点A 为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，则AA 1—→·AB →＝AA 1—→·AD →＝AD →·AB →＝1×1×cos 60°＝12，(AA 1—→＋AB →＋AD →)2＝AA 1—→2＋AB →2＋AD →2＋2AA 1—→·AB →＋2AB →·AD →＋2AA 1—→·AD → ＝1＋1＋1＋3×2×12＝6，而 2(AC →)2＝2(AB →＋AD →)2＝2(AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →)＝2（1+1+2×12）＝2×3＝6，所以①正确． AC 1—→·(AB →－AD →)＝(AA 1—→＋AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AA 1—→·AB →－AA 1—→·AD →＋AB →2－AB →·AD →＋AD →·AB →－AD →2＝0，所以①正确．向量B 1C —→＝A 1D —→，显然①AA 1D 为等边三角形，则①AA 1D ＝60° .所以向量A 1D —→与AA 1—→的夹角是 120°，向量B 1C —→与AA 1—→的夹角是 120° ，则①不正确．又BD 1—→＝AD →＋AA 1—→－AB →，AC →＝AB →＋AD →，则|BD 1—→|＝o(AD→＋AA 1—→－AB→2)＝2，|AC →|＝o(AB→＋AD→2)＝3，BD 1—→·AC →＝()AD →＋AA 1—→－AB →·(AB →＋AD →)＝1，所以cos 〈BD 1—→，AC →〉＝BD 1—→·AC →|BD 1—→||AC →|＝12×3＝66 ，所以①不正确，故①①正确．【变式4-1】如图，二面角α－l －β等于2π3，A ，B 是棱l 上两点， BD, AC 分别在平面α，β内，AC ①l ，BD ①l ，且 2AB ＝AC ＝BD ＝2，则CD 的长等于( )A ．2 3 B.13 C ．4D ．5【解答】①二面角α－l －β等于2π3，AC ①l ,BD ①l ，所以〈CA →，BD →〉＝π－2π3＝π3，①CD →＝CA →＋AB →＋BD →，①CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2×cos π3＝13.即CD ＝13.【变式4-2】如图所示，在三棱锥 A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ＝DA ＝2，E 为BC 的中点．(1)证明：AE ①BC ；(2)求直线AE 与DC 的夹角的余弦值．【解答】证明因为AE →＝DE →－DA →＝12(DB →＋DC →)－DA →，CB →＝DB →－DC →，所以AE →·CB →＝ ·(DB →－DC →) ＝12DB →2－12DC →2－DA →·DB →＋DA →·DC →，又DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ＝DA ＝2，所以AE →·CB →＝0，故 AE ①BC . (2)解 AE →·DC →＝ ·DC →＝12DB →·DC →＋12DC →2－DA →·DC →＝12DC →2＝2，由AE →2＝ 2＝14DB →2＋14DC →2＋DA →2＝6，得||AE→＝ 6. 所以cos 〈AE →，DC →〉＝AE →·DC →||AE →||DC→＝26×2＝66 .故直线AE 与DC 的夹角的余弦值为66. 【变式4-3】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ①平面P AC .【解答】证明如图，连接BD ，则BD 过点O ，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，且AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，OB 1—→＝OB →＋BB 1—→＝12DB →＋BB 1—→＝12(AB →－AD →)＋BB 1—→＝12a －12b ＋c .①AC →·OB 1—→＝(a ＋b )·（12a-12b+c ）＝12|a |2＋12a ·b －12a ·b －12|b |2＋a ·c ＋b ·c ＝12－12＝0.①AC →①OB 1—→，即AC ①OB 1.又AP →＝AD →＋12DD 1—→＝b ＋12c ，①OB 1—→·AP →＝（12a-12b+c ）·(b ＋12c )＝12a ·b －12|b |2＋c ·b ＋14a ·c －14b ·c ＋12|c |2＝－12＋12＝0，①OB 1—→①AP →，即OB 1①AP .又AC ∩AP ＝A ，AC ，AP ①平面P AC ， ①OB 1①平面P AC .【课后练习】一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2020秋•烟台期中）下列说法正确的是（） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．直线的方向向量有且仅有一个【解题思路】根据题意，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答过程】解：对于A ，任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，三个不共线的向量不能构成空间向量的一个基底，所以A 错误；对于B ，任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，所以B 错误；对于C ，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C 正确；对于D ，直线的方向向量有无数个，它们是共线向量，所以D 错误．故选：C ．2．（3分）（2020秋•碑林区校级月考）若{a →、b →、c →}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（） A ．{a →，a →+b →，a →−b →} B ．{b →，a →+b →，a →−b →} C ．{c →，a →+b →，a →−b →}D ．{a →+b →，a →−b →，2a →+b →}【解题思路】直接利用基底的定义和共线向量的应用求出结果．【解答过程】解：对于{a →、b →、c →}为空间的一组基底，所以对于(a →+b →)+(a →−b →)=2a →与a →共线，故选项A 错误．对于(a →+b →)−(a →−b →)=2b →与b →共线，故选项B 错误．对于c →和a →+b →与a →−b →不共线向量，所以可以作为基底，故选项C 正确．对于2a →+b →=32(a →+b →)+12(a →−b →)，所以不可以作为向量的基底，故选项D 错误．故选：C ．3．（3分）（2020秋•枣庄期末）如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则向量BM →=（）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →【解题思路】向量BM →=BB 1→+12B 1D 1→=BB 1→+12(BA →+AD →)，由此能求出结果．【解答过程】解：∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点． AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，∴向量BM →=BB 1→+12B 1D 1→=BB 1→+12(BA →+AD →) =−12a →+12b →+c →．故选：A ．4．（3分）（2020秋•榆林期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与AM →相等的向量是（）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →【解题思路】利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出．【解答过程】解：AM →=AA 1→+A 1M →=c →+12A 1C 1→=c →+12（A 1D 1→+A 1B 1→）=c →+12（a →+b →），故选：B ．5．（3分）（2020秋•安顺期末）如图，在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则OG →等于（）A ．13OA →+13OB →+13OC →B ．12OA →+13OB →+14OC →C ．12OA →+14OB →+14OC →D ．14OA →+14OB →+16OC →【解题思路】在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，可得OG →=12（OA →+OD →），OD →=12（OB →+OC →）．即可得出．【解答过程】解：在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则OG →=12（OA →+OD →），OD →=12（OB →+OC →）．∴OG →=12OA →+14OB →+14OC →．故选：C ．6．（3分）（2020秋•新乡期末）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 是线段D 1B 上一点，且BP ＝2D 1P ，若AP →=x AB →+y AD →+z AA 1→，则x +y +z ＝（）A ．53B ．23C ．43D ．1【解题思路】根据空间向量的基本定理进行分解即可．【解答过程】解：∵BP ＝2D 1P ，∴BP →=2PD 1→，即AP →−AB →=2（AD 1→−AP →）＝2AD 1→−2AP →，即3AP →=AB →+2AD 1→，即AP →=13AB →+23AD 1→=13AB →+23AD →+23AA 1→，所以x =13，y =23，z =23，所以x +y +z =53．故选：A ．7．（3分）（2020秋•皇姑区校级期末）若O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则（） A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面【解题思路】向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，可得：向量OA →，OB →，OC →共面，即可得出．【解答过程】解：∵向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底， ∴向量OA →，OB →，OC →共面，因此O ，A ，B ，C 四点共面，故选：D ．8．（3分）（2020秋•吉林期末）在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若OG →=13OA →+xOB →+yOC →，且G ，M ，N 三点共线，则x +y ＝（） A ．−13B ．13C ．23D ．−23【解题思路】若G ，M ，N 三点共线，则存在实数λ使得OG →=λON →+(1−λ)OM →=1−λ2OA →+λ2OB →+λ2OC →成立，求出λ=13，从而x =y =16，由此能求出结果．【解答过程】解：若G ，M ，N 三点共线，则存在实数λ使得OG →=λON →+(1−λ)OM →=1−λ2OA →+λ2OB →+λ2OC →成立，所以1−λ2=13，可得λ=13，所以x =y =16，可得x +y =13．故选：B ．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021春•徐汇区校级期中）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，用a →、b →、c →作为基底向量表示D 1B →= a →−b →−c →．【解题思路】画出图形，根据空间向量的线性表示，用AB →、AD →和AA 1→表示D 1B →即可．【解答过程】解：平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，如图所示：则D 1B →=D 1A 1→+A 1A →+AB →=DA →−AA 1→+AB →=AB →−AD →−AA 1→=a →−b →−c →．故答案为：a →−b →−c →．10．（4分）（2020秋•沈阳期中）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且MP ＝2PN ，设向量OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OP →=16a →+13b →+13c → .（用{a →，b →，c →}表示）【解题思路】利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把OP →用OA →，OB →和OC →线性表示即可．【解答过程】解：如图所示：OP →=ON →+NP →，ON →=12（OB →+OC →），NP →=13NM →，NM →=OM →−ON →，OM →=12OA →，∴OP →=ON →+NP →=ON →+13NM →=ON →+13（OM →−ON →）=23ON →+13OM →=23×12（OB →+OC →）+13×12OA →=16OA →+13OB →+13OC →=16a →+13b →+13c →．故选：C ．11．（4分）（2020秋•浙江月考）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1E →=13A 1C 1→，若AE →=xAA 1→+yAB →+zAD →，则x ＝ 1 ，y +z ＝23．【解题思路】直接利用向量的加法求出结果．【解答过程】解：正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，如图所示：由于A 1E →=13A 1C 1→，所以A 1E →=13AC →=13AD →+13AB →，AE →=AA 1→+A 1E →=AA 1→+13AD →+13AB →，由于AE →=xAA 1→+yAB →+zAD →，所以x ＝1，y ＝z =13，所以y +z =23．故答案为：1；23．12．（4分）（2020•闵行区校级模拟）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 和N 分别是矩形ABCD 和BB 1C 1C 的中心，若点P 满足DP →=m DA →+n DM →+k DN →，其中m 、n 、k ∈R ，且m +n +k ＝1，则点P 可以是正方体表面上的点线段AB 1，B 1C ，AC 上的点．．【解题思路】因为点P 满足DP →=m DA →+n DM →+k DN →，其中m 、n 、k ∈R ，且m +n +k ＝1，所以点A ，M ，N 三点共面，只需要找到平面AMN 与正方体表面的交线即可．【解答过程】解：因为点P 满足DP →=m DA →+n DM →+k DN →，其中m 、n 、k ∈R ，且m +n +k ＝1，所以点A ，M ，N 三点共面，又因为M 和N 分别是矩形ABCD 和BB 1C 1C 的中心，所以CN ＝B 1N ，AM ＝MC ，连接MN ，AB 1，则MN ∥AB 1，所以△AB 1C 即为经过A ，M ，N 三点的平面与正方体的截面，故P 点可以是正方体表面上线段AB 1，B 1C ，AC 上的点．故答案为：线段AB 1，B 1C ，AC 上的点．三．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•淄博期末）已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33D ．向量i →+j →与k →−j →共线【解题思路】利用向量的模的性质将i →+j →+k →的模转化为数量积求解，即可判断选项A ，利用不共面的向量作为基底判断选项B ，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可判断选项C ，利用向量的夹角公式求出向量i →+j →与k →−j →的夹角，即可判断选项D ．【解答过程】解：对于选项A ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，所以|i →|=|j →|=|k →|=1，且i →⋅j →=0，i →⋅k →=0，j →⋅k →=0，则|i →+j →+k →|=√(i →+j →+k →)2=√i →2+j →2+k →2+2i →⋅j →+2j →⋅k →+2i →⋅k →=√3，所以向量i →+j →+k →的模是√3，故选项A 错误；对于选项B ，因为空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，所以i →，j →，k →不共面，而向量i →+j →，i →−j →均与i →，j →共面，所以i →+j →，i →−j →与k →不共面，则{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底，故选项B 正确；对于选项C ，设i →+j →+k →与k →的夹角为α，则cosα=(i →+j →+k →)⋅k→|i →+j →+k →||k →|=i →⋅k →+j →⋅k →+k →⋅k →|i →+j →+k →||k →|=1√3×1=√33，所以向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33，故选项C 正确；对于选项D ，因为|i →+j →|=√(i →+j →)2=√i →2+2i →⋅j →+j →2=√2，同理可得|k →−j →|=√2，则cos ＜i →+j →，k →−j →＞=(i →+j →)⋅(k →−j →)|i →+j →||k →−j →|=−12，所以向量i →+j →与k →−j →的夹角为120°，则向量i →+j →与k →−j →不共线，故选项D 错误．故选：BC ．14．（4分）（2020秋•荔湾区期末）在空间四边形OABC 中，E 、F 分别是OA 、BC 的中点，P 为线段EF 上一点，且PF ＝2EP ，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则下列等式成立的是（）A ．OF →=12b →+12c →B ．EP →=−16a →+16b →+16c →C ．FP →=−13a →+13b →+13c →D ．OP →=13a →+16b →+16c →【解题思路】根据空间向量基本定理进行分解即可．【解答过程】解：∵E 、F 分别是OA 、BC 的中点，∴OF →=12（OB →+OC →）=12OB →+12OC →=12b →+12c →，故A 正确， EF →=OF →−OE →=12b →+12c →−12a →，∵PF ＝2EP ，∴EP =13EF ，FP =23EF ，即EP →=13EF →=13（12b →+12c →−12a →）=−16a →+16b →+16c →，故B 正确，FP →=−23EF →=−23（12b →+12c →−12a →）=13a →−13b →−13c →，故C 错误，OP →=OE →+EP →=12a →−16a →+16b →+16c →=13a →+16b →+16c →，故D 正确．故选：ABD ．15．（4分）（2020秋•山东月考）设{a →，b →，c →}是空间的一组基底，则下列结论正确的是（） A ．a →，b →，c →可以为任意向量B ．对空间任一向量p →，存在唯一有序实数组（x ，y ，z ），使p →=x a →+y b →+z c →C ．若a →⊥b →，b →⊥c →，则a →⊥c →D ．{a →+2b →，b →+2c →，c →+2a →}可以作为构成空间的一组基底【解题思路】根据{a →，b →，c →}是空间的一组基底，利用空间向量基本定理，对选项中的命题判断正误即可．【解答过程】解：对于A ，{a →，b →，c →}是空间的一组基底，则a →，b →，c →是不共面的一组向量，不是任意向量，所以A 错误；对于B ，根据空间向量的基本定理知，对空间任一向量p →，存在唯一有序实数组（x ，y ，z ），使p →=x a →+y b →+z c →，所以B 正确；对于C ，由a →⊥b →，b →⊥c →，能得出b →垂直于a →与c →所确定的平面，但a →与c →不一定垂直，所以C 错误；对于D ，设x （a →+2b →）+y （b →+2c →）+z （c →+2a →）=0→，则（x +2z ）a →+（2x +y ）b →+（2y +z ）c →=0→；由向量相等的定义知，{x +2z =02x +y =02y +z =0，解得x ＝y ＝z ＝0，所以{a →+2b →，b →+2c →，c →+2a →}可以作为构成空间的一组基底，D 正确；故选：BD ．16．（4分）（2020秋•乳山市校级月考）给出下列命题，其中正确命题有（） A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量a →∥b →，则存在向量可以与a →，b →构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面D ．已知向量组{a →，b →，c →}是空间的一个基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}也是空间的一个基底【解题思路】直接利用向量的共线，向量的基底的定义判定A 、B 、C 、D 的结论．【解答过程】解：对于A ：空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，故A 正确；对于B ：已知向量a →∥b →，则不存在向量可以与a →，b →构成空间的一个基底，故B 错误；对于C ：由于点A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 共面，故C 正确；对于D ：已知向量组{a →，b →，c →}是空间的一个基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}，即{a →，b →，a →+c →}不共面，则可以是空间的一个基底，故D 正确．故选：ACD ．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）已知{a →，b →，c →}是空间的一个基底，求证：{a →+b →，b →+c →，c →+a →}可以构成空间的一个基底．【解题思路】假设a →+b →，b →+c →，c →+a →共面，则有a →+b →=x （b →+c →）+y （c →+a →），整理得（1﹣y ）a →=（x ﹣1）b →+（x +y ）c →，然后分y ＝1和y ≠1两类，结合空间向量基本定理进行讨论，均可推出a →+b →，b →+c →，c →+a →不共面，从而得证．【解答过程】证明：假设a →+b →，b →+c →，c →+a →共面，则有a →+b →=x （b →+c →）+y （c →+a →）， ∴（1﹣y ）a →=（x ﹣1）b →+（x +y ）c →，①若y ＝1，则0→=（x ﹣1）b →+（x +1）c →，∴向量b →与c →共线， ∴a →，b →，c →共面，与已知矛盾；②若y ≠1，则a →=x−11−y b →+x+y 1−y c →，∴a →，b →，c →共面，与已知矛盾．由①②知，a →+b →，b →+c →，c →+a →不共面，故{a →+b →，b →+c →，c →+a →}可以构成空间的一个基底．18．（6分）（2020秋•乐山期中）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，AB ＝4，AD ＝3，AA '＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA '＝∠DAA '＝60°，且点F 为BC '与B 'C 的交点，点E 在线段AC '上，有AE ＝2EC '．（1）求AC '的长；（2）将EF →用基向量AB →，AD →，AA′→来进行表示．设EF →=x AB →+y AD →+z AA′→，求x ，y ，z 的值．【解题思路】（1）AC′→=AB →+AD →+AA′→，利用数量积运算性质即可得出．（2）EF →=EC′→+C′F →=13AC′→−12BC′→，再利用平行六面体、空间向量基本定理即可得出．【解答过程】解：（1）AC′→=AB →+AD →+AA′→，AC′→2=AB →2+AD →2+AA′→2+2(AB →⋅AD →+AB →⋅AA′→+AD →⋅AA′→) =42+32+52+2(0+4×5×12+3×5×12)=85，∴AC′=√85．（2）EF →=EC′→+C′F →=13AC′→−12BC′→=13(AB →+AD →+AA′→)−12(AD →+AA′→)=13AB →−16AD →−16AA′→，∴x =13，y =z =−16．19．（8分）（2020秋•兴庆区校级期中）如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，a →，b →，c →为空间向量的一组基底，计算：（1）EF →⋅BA →；（2）|EG |．【解题思路】（1）利用数量积公式先求c →•a →的值，再根据EF →•BA →=（12c →−12a →）•（−a →）求得结果；（2）由EG →=EB →+BC →+CG →=−12a →+12b →+12c →，先平方，再开平方．【解答过程】解：（1）由题意，AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，则|a →|＝|b →|＝|c →|＝1，＜a →，b →＞=＜b →，c →＞=＜c →，a →＞=60°， ∴EF →⋅BA →=（12c →−12a →）•（−a →）=14；（2）EG →=EB →+BC →+CG →=−12a →+12b →+12c →，∴EG →2=14a →2+14b →2+14c →2−12a →•b →−12a →⋅c →+12b →⋅c →=12，∴|EG →|=√22，即|EG |=√22．20．（8分）（2020秋•成都期末）如图，已知平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1．（I ）若G 为△ABC 的重心，A 1M →=3MG →，设AB →=a ，AD →=b ，AA 1→=c ，用向量a 、b 、c 表示向量A 1M →；（II ）若平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1各棱长相等且AB ⊥平面BCC 1B 1，E 为CD 中点，AC 1∩BD 1＝O ，求证：OE ⊥平面ABC 1D 1．【解题思路】（I ）利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将AG →用基底表示，再在三角形A 1AG 中，将A 1M →用基底表示；（II ）连接C 1E ，AE ，由已知证明△C 1EA 为等腰三角形，从而OE ⊥AC 1，同理可证明OE ⊥BD 1，最后由线面垂直的判定定理证明结论【解答过程】解：（I ）依题意，A 1M →=34A 1G →=34(A 1A →+AG →) ∵G 为△ABC 的重心，∴AG →=23×12(AB →+AC →)=13(AB →+AC →)又∵AC →=AB →+AD →，∴A 1M →=34[A 1A →+13(AB →+AB →+AD →)]=34A 1A →+12AB →+14AD → =12a →+14b →−34c →（II ）证明：连接C 1E ，AE ，∵平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1各棱长相等且AB ⊥平面BCC 1B 1 ∴C 1E ＝AE ，∴△C 1EA 为等腰三角形，∵O 为AC 1的中点，∴OE ⊥AC 1，同理可证 OE ⊥BD 1，∵AC 1∩BD 1＝O ，∴OE ⊥平面ABC 1D 1． 21．（8分）已知在四面体P ﹣ABC 中，PA →=a →，PB →=b →，PC →=c →，G ∈平面ABC ．证明：G 为△ABC 的重心的充要条件是PG →=13（a →+b →+c →）【解题思路】先证明必要性，再证明充分性，利用向量三角形法则、向量共线定理、向量平行四边形法则即可得出．【解答过程】证明：如图所示，必要性：利用向量三角形法则、向量共线定理、向量平行四边形法则可得：PG →=PA →+AG →，AG →=23AD →，AD →=PD →−PA →，PD →=12(PB →+PC →)，代入化简可得：PG →=13（PA →+PB →+PC →）=13（a →+b →+c →）．再证明充分性：若PG →=13（PA →+PB →+PC →）=13（a →+b →+c →）．连接AG 并延长AG 与BC 相交于点D ，连接PD ．由三点C ，D ，B 共线，设PD →=λPB →+（1﹣λ）PC →，由三点A ，G ，D 共线，设PG →=μPA →+（1﹣μ）PD →， ∴PG →=μPA →+（1﹣μ）λPB →+（1﹣μ）（1﹣λ）PC →，代入PG →=13（PA →+PB →+PC →）=13（a →+b →+c →）．可得：PA →+PB →+PC →=3μPA →+3（1﹣μ）λPB →+3（1﹣μ）（1﹣λ）PC →， ∴3μ＝1，3（1﹣μ）λ＝1，3（1﹣μ）（1﹣λ）＝1，联立解得μ=13，λ=12．∴D 为线段BC 的中点．PG →=13PA →+23PD →=13PA →+23（PA →+AD →）=PA →+23AD →，可得：G 为△ABC 的重心．22．（8分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，点G 为△ABC 的重心，点M 在PG 上，且PM ＝3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段P A ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD →=m PA →，PE →=n PB →，PF →=t PC →，求证：1m+1n+1t为定值，并求出该定值．【解题思路】连接AG 并延长交BC 于点H ，由题意可令（PA →，PB →，PC →）为空间的一个基底，表示出PM →=14PA →+14PB →+14PC →以及PM →=（1﹣λ﹣μ）m PA →+λn PB →+μt PC →，根据对应关系得到1m +1n +1t为定值即可．【解答过程】证明：如图示：连接AG 并延长交BC 于点H ，由题意可令（PA →，PB →，PC →）为空间的一个基底，故PM →=34PG →=34（PA →+AG →）=34PA →+34•23AH →=34PA →+12•12（AB →+AC →）=34PA →+14（PB →−PA →）+14（PC →−PA →）=14PA →+14PB →+14PC →，连接DM ，因为点D ，E ，F ，M 共面，故存在实数λ，μ，使得DM →=λDE →+μDF →，即PM →−PD →=λ（PE →−PD →）+μ（PF →−PD →），故PM →=（1﹣λ﹣μ）PD →+λPE →+μPF →=（1﹣λ﹣μ）m PA →+λn PB →+μt PC →，由空间向量基本定理知14=（1﹣λ﹣μ）m ，14=λn ，14=μt ，故1m+1n+1t=4（1﹣λ﹣μ）+4λ+4μ＝4，为定值．。

线代证明

线代重要的证明1. 设A 是n 阶实方阵，且0A A '=。

证明0A =。

证明：设111212122212n n n n nn a a a a a a a a a A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= ，则112111222212n n n nnn a a a aa a a a a A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭'= 。

从而。

2221121122212222222120n n n n nn a a a a a a a a a A A ⎛⎫+++**⎪*+++*⎪= ⎪ ⎪ ⎪**+++⎝⎭'= 。

所以2222222221121112222120n n n n nn a a a a a a a a a +++=+++=+++= 。

因为ija 为实数，故ij a = （,1,2,,i j n =）。

即0A = 。

2..设12n a a A a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12,,,n a a a 互不相同。

证明与A 可交换的矩阵只能为对角矩阵。

证明：设与A 可交换的矩阵为111212122212n n n n nn b b b bb b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，由AB BA =得： 111112111112121221222221212222121122n n n n n n n n n n n nn n n n nn a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

即i ij j ija b a b =（,1,2,,i j n =）。

由于12,,,n a a a 互不相同，所以i j ≠时，0ij b =。

故1122200000n b b B b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭。

即B 为对角矩阵。

3. 证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。

n维三角不等式

n维三角不等式三角不等式是我们在几何学学习中接触最早、最基础、最简单的不等式之一，首先认识到的是：对于任意三个实数 $a,b,c$，都有：$a+b>c$。

这条结论可以解读为：三角形的任意两边之和大于第三边。

但是这个不等式是不够精确的，因为要求三个实数的任意组合都满足这个不等式，所以比较难以应用。

于是，为了能够应用到更加广泛的情况，这里介绍多维（n维）的三角不等式。

一、二维三角不等式对于任意三个实数 $a,b,c$，他们组成一个三角形的充要条件是：$a+b>c,b+c>a,c+a>b$。

根据这个条件，我们可以得到三角不等式的一般形式：$|a-b|\leq c\leq a+b$。

也就是说，三角形三边之间任意两边之差的绝对值不超过第三边的长度，第三边的长度不超过任意两边之和。

二、三维三角不等式对于任意三个向量 $\mathbf{a}$,$\mathbf{b}$,$\mathbf{c}$，他们组成一个三角形的充要条件是：$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}\neq\mathbf{0}$，其中，$\mathbf{0}$ 为零向量。

对于任意三维向量 $\mathbf{a}$,$\mathbf{b}$,$\mathbf{c}$，他们组成一个平面三角形，由这个三角形的三边长可以得到如下三角不等式：$|\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}|\leq|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|+|\mathbf{c}|$。

也就是说，平面三角形三个向量之和的模不超过三个向量模的和。

这里和二维情况下有所不同的是，本质上还是三边之和不小于第三边的概念，只不过三边可以理解为这里的三个向量。

三、n维三角不等式对于任意 $n$ 个向量$\mathbf{a}_1$,$\mathbf{a}_2$...,$\mathbf{a_n}$，它们组成一个 $n$ 维中的简单多边形，如果这 $n$ 个向量的和$\mathbf{s}=\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+...+\mathbf{a_n}$ 非零，那么有如下 $n$ 维三角不等式：$|\mathbf{s}|\leq|\mathbf{a}_1|+|\mathbf{a}_2|+...+|\mathbf{a_n}|$。

平面向量和正余弦定理压轴题

平面向量和正余弦定理压轴题一、平面向量和正余弦定理压轴题类型分析平面向量和正余弦定理在高中数学里那可是相当重要的部分呢。

平面向量有自己独特的运算规则，像向量的加法、减法、数乘还有点乘，这些运算在解决很多几何问题和物理问题的时候超级有用。

正余弦定理就更厉害了，它能让我们在知道三角形的一些边和角的关系之后，求出其他未知的边和角。

压轴题往往会把这两个知识点结合起来，考我们的综合运用能力。

比如说，可能会给出一个三角形，已知一些边的长度和角的大小，然后在这个三角形里再构建一些向量关系，让我们求某个向量的模或者向量之间的夹角，这个时候就得用正余弦定理先把三角形的一些未知元素求出来，再利用向量的运算规则去计算。

二、典型例题1. 在三角形ABC中，已知AB = 3，AC = 4，角A = 60度，向量AD = 1/3向量AB + 2/3向量AC，求向量AD的模。

首先呢，我们用余弦定理求出BC的长度。

根据余弦定理BC²=AB² + AC² - 2ABACcosA，把数值代入可得BC² = 3²+4²- 234cos60度=25 - 12 = 13，所以BC = 根号13。

然后，我们把向量AD = 1/3向量AB + 2/3向量AC两边平方，得到AD²=(1/3向量AB + 2/3向量AC)²=(1/9)AB²+(4/9)AB·AC+(4/9)AC²。

接着求AB·AC，AB·AC = AB AC cosA = 34cos60度 = 6。

把AB² = 9，AC² = 16，AB·AC = 6代入AD²的式子，得到AD²=(1/9)9+(4/9)6+(4/9)16 = 1 + 8/3+64/9 = 97/9，所以AD的模为根号(97/9)。

2. 在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 a = 5，b = 7，sinA = 3/5，且向量m=(sinB, - 1)，向量n=(2,cos2B)，向量m垂直向量n，求c的值。

向量组相关知识点总结

向量组相关知识点总结一、向量的定义和性质:1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，可以表示平移、位移、速度、加速度等物理量。

2. 向量的模：向量的大小称为模，通常用|AB|或||A||表示，表示点A到点B的距离。

3. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，通常用e表示，如i,j,k。

4. 向量的相等：向量的模和方向都相等时，称为相等向量。

5. 向量的相反：模相等，但方向相反的向量称为相反向量。

6. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。

7. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，用平行四边形法则或三角法则进行计算，例如A+B=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C。

8. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法，即A-B = A+(-B)。

9. 数乘：一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量，模的变化为原来的模与实数的绝对值的乘积，方向不变或相反。

二、向量组的线性相关性和线性无关性:1. 定义：给定向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为0的实数k1,k2,...,kn,使得k1v1+k2v2+...+knvn=0，则称向量组V线性相关。

否则称为线性无关。

2. 性质：a. 向量组中包含一个零向量，则向量组一定线性相关。

b. 向量组中向量个数大于向量的维数，则向量组一定线性相关。

c. 向量组中一个向量是另一个向量的线性组合，则向量组一定线性相关。

3. 判定方法：通过求解线性方程组，若方程组有非零解，则向量组线性相关；若方程组只有零解，则向量组线性无关。

4. 线性相关向量组的性质：如果一个向量组A的子集B线性相关，则向量组A一定线性相关。

5. 极大线性无关组：对于向量组V中的线性无关的向量组，如果再加入一个该向量组中的向量会使其变成线性相关，则称该向量组为极大线性无关组。

6. 基础向量组和坐标：对于线性无关的向量组V，可以通过线性组合得到空间内的所有向量，称为向量组V的基础向量组。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

WORD完美资料编辑专业整理分享 1．在中，，，则角等于（） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 1.【解析】将两个等式两边平方后再相加可得，

即，也即，由于，则或，又因，即，故，因此若，则，与三角形内角和定理不符，故，应选答案C。

3．在中,角、、所对的边分别为、、，若，则当角取最大值时，的周长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题设可得，即，由此可得

，所以，又，当且仅当，即时，，由正弦定理可得，而，故三角形的周长为，应选答案C。点睛：本题旨在考查诱导公式、两角和的正切公式等三角变换的知识及正弦定理、基本不等式等有关知识的综合运用。求解时先将题设条件翻译转化为三角形的内角的正切之间的关系，这是解答本题的关键和突破口，若转化成三角形边的关系则会走进死胡同。

另一个关键之处在于运用诱导公式构建关于变量的函数，求解该函数的最值则采用基本不等式进行求解。

4．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是（）试卷第2页，总16页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……

…

…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… A. B. C. D. 【答案】A

【解析】试题分析：，易得其单调增区间为，所以

，选A. 考点：三角函数图像变换与单调区间

5．将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的图像.若，则的最小值为（）

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由图像向左平移个单位得，再向上平移一个单位得，因所以或，所以时，

，其中,所以当时，最小值为，时，，其中,所以当时，最小值为，综上知，选B． 7．设分别是函数的导数，且满足，.若中，是钝角，则 A. B. C. D. 【答案】C WORD完美资料编辑专业整理分享【解析】因为在时成立，所以在为增函数，又因为为钝角，所以，则，所以，所以.故选C. 【点睛】解决本题的关键在于利用联想到导数的运算法则，进而构

造函数. 8．抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，

，则的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】D

【解析】由抛物线定义得所以由得,因此

所以，选D. 9．（）

A. B. C. D. 【答案】C

【解析】由于，即试卷第4页，总16页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……

…

…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… . 点睛：本题主要考查两角和的正切公式的变形，考查了化归与转化的数学思想方法.首

先注意到题目所给的两个角度的特殊关系，即.而题目涉及到正切的公

式，我们就联想到两角和的正切公式，变形为. 10．已知，在函数与的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则的值为（）

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】函数与的图象有交点，所以根据三角函数线可得出交点

都为整数，距离最短的两个交点的距离为，这两个交点在同一个周期内，

，故选：D．

点睛：本题属于易错题，距离最近的两个交点的距离为需要用两点间距离公式，不是

横轴距离；通过联立求得横坐标的值，利用数形结合得到最近时横坐标的差，构建的方程即可.

12．已知函数的一个零点是，是的图像的一条对称轴，则取最小值时，的单调增区间是（）

A. B. WORD完美资料编辑专业整理分享 C. D. 【答案】B

【解析】由条件得，，又因为，此时，又因为，由,故选B. 14．已知，且是函数的极值点，则的一条对称轴是（） A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由题意可得，，令，得；令，得；令，得，

所以函数的极值点是，即，得的一条对称轴是，当时，得是的一条对称轴，故选B. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值点，余弦函数的对称轴，属于基础题，首先

需要求出函数的极值点，进而求出值，再由余弦函数的性质，即可求出余弦函数的一条对称轴，因此正确求出函数的极值点是关键. 15．在等腰直角中，，在边上且满足：，若，则的值为（）

A. B. C. D. 【答案】A 试卷第6页，总16页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……

…

…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 【解析】，三点共线，由题意建立如图所示坐标系,设，则，直线的方程为 x+y=1，直线的方程为，

故联立解得, ，故，故 , ，故，

故，故故选：A. 16．在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中点，，，，则（）

A. B. C. D. 【答案】C WORD完美资料编辑专业整理分享【解析】由题意为的外心，为边上的中点，可得:， ∵，可得：， ∴，同理，∴，即； ∵，∴，又∵，∴，

∴，由余弦定理可得：，故选C.

点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用以及平面向量的数量积，具有一定的难度；为的外心为边上的中点，，可得：，三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上，

由点乘的几何意义：，同理，可求，再利用，求出，利用余弦定理可得的值． 19．如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为( )

A. B. C. D. 【答案】A 试卷第8页，总16页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……

…

…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 【解析】在中，，由正弦定理得

，即，解得．在中，∵，∴．故选A． 20．如下图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点

的坐标为若，则的值为（）

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】

∵点的坐标为，设， ∴，，即，， ∵，若，∴，则，则故选B. 点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助

角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于的表达式，设