2021年高三下学期第一次周末综合测试(理科数学)
山西省太原市2020~2021学年第一学期高三年级期末考试数学试卷(理科)答案
x2
2 1
0, y2
0,
令
y2
(
2) ，则
x2
z2
2, 4 2,
n
(2,
2,4
2 )
，
Q 二面角 A DF P 的大小为 45 ,
cos 45 cos m, n m n
3 2
2，
| m || n | 92 12 20 2
2 或 2 （舍去）. 3
21.解：（1）由题意得 f (x) (x 2)(aex 2) ， x R ，
的分布列为
2
3
4
5
6
P
1
1
5
1
1
4
3
18
9
36
…………10 分
E 2 1 3 1 4 5 5 1 6 1 10 . 4 3 18 9 36 3
20.（1）证明：连接 CD ，
…………12 分
PA PB 2 ， AB 2 ， D 为 AB 的中点，
∴ PD AB ， PD 1，
…………5 分
P( 2) 60 60 1 ， P( 3) 60 40 2 1 ，
120 120 4
120 120 3
P( 4) 60 20 2 40 40 5 ， P( 5) 40 20 2 1 ，
120 120 120 120 18
120 120 9
P( 6) 20 20 1 ， 120 120 36
a
a
令 f (x) 0 ，则 2 x ln 2 ， f (x) 在 (2, ln 2 ) 上递增；
a
a
③当 a 2e2 时，则 f (x) 2(x 2)(ex2 1) 0 ， f (x) 在 (,) 上递减；
2021届山西省太原市高三第二学期模拟考试(一)(一模)数学(理科)试卷【含答案】
2021届山西省太原市高三第二学期模拟考试(一)（一模）数学(理科)试卷(考试时间：下午3：00－5：00)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至4页，第II卷5至8页。
2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名考试编号填写在答题卡上。
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4.回答第II卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|2x<1}，则A∩B＝A.(－1，0)B.(－∞，1)C.(－1，1)D.(0，1)2.已知复数z满足z iz i-+＝i，则复数z＝A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i3.公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分51-0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则2a b1cos72-︒＝A.12B.2C.512D.44.函数f(x)＝x cosxx sinx⋅-的部分图象大致是5.在区间[－1，1]上任取一个实数k ，则使得直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点的概率是 A.32 B.22 C.33 D.126.已知梯形ABCD 中，AB//DC ，且AB ＝2DC ，点P 在线段BC 上，若5AP AB AD 6λ=+，则实数λ＝ A.34 B.23 C.13 D.127.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且{S n }是等差数列，给出以下结论：①{a n ＋S n }是等差数列；②{a n ·S n }是等比数列；③{a n 2}是等差数列；④n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，则其中正确结论的个数为 A.4 B.3 C.2 D.18.已知实数x ，y 满足x 3y 1303x 2y 1102x y 50+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若不等式x ＋my ＋1≤0恒成立，则实数m 的取值范围是 A.(0，14] B.[－4，－12] C.(－∞，－12] D.(－∞，－4] 9.已知a ＝2ln3π，b ＝3ln2π，c ＝2ln π3，则下列结论正确的是 A.b<c<a B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c10.已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝BC ＝BD ＝CD ＝AD ＝4，二面角A －BD －C 的余弦值为13，点E 在棱AB 上，且BE ＝3AE ，过E 作三棱锥A －BCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为 A.103π B.3π C.3πD.3411.已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F(12，0)的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，点M 是线段AB 的中点，以AB 为直径的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，若AF 2FB =，则sin ∠MPQ＝ A.59 B.37 C.911 D.51312.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的图象关于x ＝－3π对称，f(6π)＝0，f(x)在[3π，1124π]上单调递增，则ω的所有取值的个数是 A.3 B.4 C.1 D.2太原市2021年高三年级模拟考试(－～)数学试卷(理科) 第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
广西南宁市2021届高三下学期第一次适应性测试数学(理)试题
B．{1, 0}
C．{1, 0,1}
1 2i
2．复数
的虚部是（ ）
1i
3
A．
2
1 B．
2
C． 1 2
3．若
cos
3
3 5
，则
sin
6
（
）
A． 4 5
B．- 3 5
5
4． x 2 的展开式中， x2 的系数是（
3
C．
5
）
D．{1,0,1, 2} D． 3
2 4
D．
5
A． 4
B． 8
4
l1
:
3 4
x
y
1 20Βιβλιοθήκη ，即3x4
y
+
2
=
0
；
直线 l1 的方程为 3x 4 y + 2 = 0 或 x 2 .
故选：C. 【点睛】
易错点点睛：本题考查过圆外一点的圆的切线方程的求解，解决此类问题采用待定系数法，
利用圆心到直线距离等于半径来进行求解；易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢根
的情况出现. 8．D 【分析】
C．10
D． 20
5．已知直线 l ，两个不同的平面 和 .下列说法正确的是（ ）
A．若 l ， ，则 l //
B．若 l // ， ，则 l
C．若 l // ， l // ，则 //
D．若 l ， // ，则 l //
6．记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 a3 2, S4 7 ，则数列an 的通项公式 an
留整数).
附：对于一组数据 x1, y1 , x2 , y2 ,, xn , yn ，其回归直线方程 y bˆx aˆ 的斜率和
北京市丰台区2021-2022学年高三下学期综合练习(一) 数学试题
北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学2022.03第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（）A.{|11}x x -<<B.{|11}x x -<≤ C.{|22}x x -<< D.{|22}x x -<≤【1题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义计算即可.【详解】∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，∴{|22}A B x x ⋃=-<≤.故选：D.2.已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（）A.1x ∀>，210x ->B.1x ∀>，210x -≤C.1x ∃>，210x -≤D.1x ∃≤，210x -≤【2题答案】【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.【详解】解：已知命题p ：1x ∃>，210x ->，则p ⌝为：1x ∀>，210x -≤.故选：B.3.若复数i z a b =+（a ，b 为实数）则“0a =”是“复数z 为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【3题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数判断即可.【详解】解：根据复数的概念，当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数，反之，当复数i z a b =+z 为纯虚数时，0a =且0b ≠所以“0a =”是“复数z 为纯虚数”的必要不充分条件故选：B4.已知圆22:20C x x y -+=，则圆心C 到直线3x =的距离等于（）A.4B.3C.2D.1【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】求出圆心的坐标，即可求得圆心C 到直线3x =的距离.【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，故圆心C 到直线3x =的距离为132-=.故选：C.5.若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（）A.15 B.14C.158 D.78【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等比数列定义和通项公式可得1a ，然后由前n 项和公式可得.【详解】因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q --===--.故选：C6.在△ABC中，cos 23B a b ===,,，则A ∠=（）A.6π B.3π C.56π D.6π或56π【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】先求出sin B ，再借助正弦定理求解即可.【详解】由7cos 4B =得3sin 4B ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，233sin 4A =，解得1sin 2A =，又a c <，故A C ∠<∠，6A π∠=.故选：A.7.在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A.19种 B.20种 C.30种D.60种【7题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有3620C =种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有20119-=种.故选：A8.已知F 是双曲线22:148x y C -=的一个焦点，点M 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||OM MF =，则△OMF 的面积为（）A.32B.322C. D.6【8题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等腰三角形的性质结合渐近线方程得出点00(,)M x y 的坐标，再求面积.【详解】不妨设F 为双曲线C 的左焦点，点00(,)M x y 在渐近线y =上，因为2,a b c ===，||||OM MF =，所以0x =，0y =，即△OMF 的面积12⨯=.故选：C9.已知函数()32,,3,x x a f x x x x a-<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.(,1)-∞- C.[1,)+∞ D.(1,)+∞【9题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得.【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-，作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值()12f =-，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.10.对任意*m ∈N ，若递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m ，且12100n a a a +++= ，则n 的最小值为（）A.8B.9C.10D.11【10题答案】【答案】C 【解析】【分析】先由条件得出2n a n ≤，进而结合等差数列前n 项和列出不等式，解不等式即可.【详解】由递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m 可知2n a n ≤，又12100n a a a +++= ，故2462100n ++++≥ ，即()221002n n +≥，解得14012n -≤或14012n -≥，又*n ∈N ，故n 的最小值为10.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()f x 2lg x x -+的定义域是_________.【11题答案】【答案】{|02}x x <≤【解析】【详解】∵函数()f x lg x∴要使函数有意义，则20{x x -≥>∴02x <≤∴函数()f x lg x 的定义域为{}02x x <≤故答案为{}02x x <≤12.已知向量(2,3)a =- ，(,6)b x =-．若a b∥，则=x ______．【12题答案】【答案】4【解析】【分析】利用两向量共线的条件即求.【详解】∵向量(2,3)a =-，(,6)b x =-，a b∥，∴()()2630x -⨯--=，解得4x =.故答案为：4.13.设函数()f x 的定义域为[]0,1，能说明“若函数()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，则函数()f x 在[]0,1上单调递增“为假命题的一个函数是__________.【13题答案】【答案】213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，可以构造在定义域为[]0,1上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案.【详解】根据题意，要求函数()f x 的定义域为[]0,1，在[]0,1上的最大值为()1f ，但()f x 在[]0,1上不是增函数，可以考虑定义域为[]0,1上，先减后增的函数的二次函数，函数213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈符合，故答案为：213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）.14.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，则F 的坐标为______；设点M 在抛物线C 上，若以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，则||FM =______．【14题答案】【答案】①.(1,0)②.5【解析】【分析】由题可得()1,0F ，设(),M x y ，结合条件可得240x y -+=，24y x =，进而可得4x =，即得.【详解】∵抛物线2:4C y x =，∴()1,0F ，设(),M x y ，则24y x =，又以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，∴2201001y x --⋅=---，即240x y -+=，又24y x =，∴22404y y -+=，解得4y =，4x =，∴||415FM =+=.故答案为：(10),；5.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形；②直线11B D 到平面CMN 的距离是22；③存在点P ，使得11=90B PD ∠︒；④△1PDD 面积的最小值是6．其中所有正确结论的序号是______．【15题答案】【答案】①③【解析】【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④.【详解】对于①，如图直线MN 与11C B 、11C D 的延长线分别交于11,M N ，连接11,CM CN 分别交11,BB DD 于22,M N ，连接22,MM NN ，则五边形22MM CN N 即为所得的截面图形，故①正确；对于②，由题可知11//MN B D ，MN ⊂平面CMN ，11B D ⊄平面CMN ，∴11//B D 平面CMN ，故点1B 到平面CMN 的距离即为直线11B D 到平面CMN 的距离，设点1B 到平面CMN 的距离为h ，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2可得，3,CM CN MN ===，11722CMNS = ，∴11117173326B CMN CMN V S h h -=⋅=⨯= ，111111123323C B MN B MN V S CC -=⋅=⨯⨯= ，∴由1B CMN V -=1C B MN V -，可得h =所以直线11B D 到平面CMN 的距离是17，故②错误；对于③，如图建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,2,0,2,2,2,2,0,1,0,2B D C M ，设,01PC MC λλ=≤≤，∴()1,2,2PC MC λλ==-，又()2,2,0C ，()()112,0,2,0,2,2,B D ∴()2,22,2P λλλ--，()()11,22,22,2,2,22PB PD λλλλλλ=--=--，假设存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，∴()()()2112222220PB PD λλλλλ⋅=-+-+-= ，整理得291440λλ-+=，∴71319λ+=>（舍去）或7139λ=，故存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，故③正确；对于④，由上知()2,22,2P λλλ--，所以点()2,22,2P λλλ--在1DD 的射影为()0,2,2λ，∴点()2,22,2P λλλ--到1DD 的距离为：d =，∴当25λ=时，min 455d =，∴故△1PDD 面积的最小值是145452255⨯⨯=，故④错误.故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【16~17题答案】【答案】（1）()sin 2f x x =（2【解析】【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算ω，再计算ϕ即可；（2）先求出26x π+整体的范围，再结合单调性求最大值即可.【小问1详解】选择条件①②：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件②得()()f x f x -=-，所以(0)0f =，即sin 0ϕ=．解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=，所以()f x sin2x =．经检验0ϕ=符合题意．选择条件①③：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=．所以()f x sin2x =．【小问2详解】由题意得()sin2sin 23g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得3()sin 22)226g x x x x =+=+π．因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以当262x ππ+=，即6x π=时，()g x 17.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ，90DAB ∠=︒，12AD DC AB ==．以直线AB 为轴，将直角梯形ABCD 旋转得到直角梯形ABEF ，且AF AD ⊥．（1）求证：DF 平面BCE ；（2）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56？若存在，求出DPDF 的值；若不存在，说明理由．【17~18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）存在；13DP DF =【解析】【分析】（1）证明出四边形DCEF 为平行四边形，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：由题意得EF CD ‖，EF CD =，所以四边形DCEF 为平行四边形．所以DF CE ‖．因为DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以DF ‖平面BCE ．【小问2详解】线段DF 上存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56，理由如下：由题意得AD ，AB ，AF 两两垂直．如图，建立空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ，(0,0,1)F ．所以()0,1,1AE = ，()1,1,0BC =-，()1,2,0BD =- ，()1,0,1DF =- ．设()01DP DF λλ=≤≤ ，则()1,2,BP BD DP BD DF λλλ=+=+=--设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =，所以00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0,120.x y x y z λλ-=⎧⎨--+=⎩令x λ=，则y λ=，1z λ=+．于是(),,1n λλλ=+设直线AE 和平面BCP 所成角为θ，由题意得：sin cos ,n AE n AE n AEθ⋅==⋅56=，整理得：232270λλ-+=，解得13λ=或7λ=．因为01λ≤≤，所以13λ=，即13DP DF =．所以线段DF 上存在点P ，当13DP DF =时，直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56．18.为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X 为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a (098)a <<人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s ．当a 为何值时，2s 最小．（结论不要求证明）【18~20题答案】【答案】（1）1400（2）分布列见解析；期望为35（3）42a=【解析】【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；(3)由方差的意义可得.【小问1详解】由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000⨯．【小问2详解】由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为200110005=．用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．所以()030311640155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21311481155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()22311122155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3331113155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以X 的分布列为X0123P641254812512125112564481213()01231251251251255E x =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a=．19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 与直线4x =分别交于点M N ，．若||4MN ≤，求点P 横坐标的取值范围．【19~20题答案】【答案】（1）2214x y +=（2）8[05，【解析】【分析】（1）直接由条件计算,a b 即可；（2）设出点P 坐标，分别写出直线PA ，PB 的方程，表示出M N ，坐标，由||4MN ≤得到不等式，解不等式即可.【小问1详解】由题意得222243,2,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．【小问2详解】设(,)P m n （22m -<<），由已知得(2,0)A -，(2,0)B ，所以直线AP ，BP 的方程分别为(2)2n y x m =++，(2)2ny x m =--．令4x =，得点M 的纵坐标为62M n y m =+，点N 的纵坐标为22N ny m =-，所以62||22n nMN m m =-+-()2444n m m -=-．因为点P 在椭圆C 上，所以2214m n +=，所以2244m n -=-，即4||m MN n-=．因为4MN ||≤，所以44m n-≤，即22(4)16m n -≤．所以22(4)4(4)m m ---≤．整理得2580m m -≤，解得805m ≤≤．所以点P 横坐标的取值范围是8[0]5，．20.已知函数()f x =（1）当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（2）若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．【20~21题答案】【答案】（1）y x=（2）(3)+∞，【解析】【分析】（1）直接求导，由()1f x '=求出切点，写出切线方程即可；（2）求导后分类讨论确定函数的单调性，结合零点存在定理确定零点个数即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()1)f x x =≤，所以()f x '=令()1f x '=，解得0x =．因为(0)0f =，所以切点坐标为(00),．故切线方程为y x =．【小问2详解】因为2()3ag x =-()x a ≤，所以()g x '=令()0g x '=，解得23a x =．当0a ≤时，由x a ≤，得230a x a --≥≥，所以()0g x '≥，则()g x 在定义域(,]a -∞上是增函数．故()g x 至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，随x 变化()g x '和()g x 的变化情况如下表：故()g x 在区间2()3a -∞,上单调递增，在区间2()3aa ,上单调递减，当23a x =时，()g x 取得最大值2(3a g =．若03a <≤时，2()03a g =，此时()g x 至多有一个零点；若3a >时，2(03a g >，又2(0)()03ag g a ==-<，由零点存在性定理可得()g x 在区间2(0)3a ,和区间2()3aa ,上各有一个零点，所以函数()g x 恰有两个不同的零点，符合题意．综上所述，a 的取值范围是(3)+∞，．21.已知集合{12}S n = ,,,(3n ≥且*n N ∈），12{}m A a a a = ,,,，且A S ⊆．若对任意i j a A a A ∈∈,（1i j m ≤≤≤），当i j a a n +≤时，存在k a A ∈(1k m ≤≤)，使得i j k a a a +=，则称A 是S 的m 元完美子集．（1）判断下列集合是否是{12345}S =,,,,的3元完美子集，并说明理由；①1{124}A =,,；②2{245}A =,,．（2）若123{}A a a a =,,是{127}S = ,,,的3元完美子集，求123a a a ++的最小值；（3）若12{}m A a a a = ,,,是{12}S n = ,,,（3n ≥且*n N ∈）的m 元完美子集，求证：12(+1)2m m n a a a +++ ≥，并指出等号成立的条件．【21~23题答案】【答案】（1）1A 不是S 的3元完美子集；2A 是S 的3元完美子集；理由见解析（2）12（3）证明见解析；等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤【解析】【分析】（1）根据m 元完美子集的定义判断可得结论；（2）不妨设123a a a <<．由11a =，12a =，13a ≥分别由定义可求得123a a a ++的最小值；（3）不妨设12m a a a <<< ，有121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，此时该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．因此对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，由此可得证.【小问1详解】解：（1）①因为1235+=≤，又13A ∉，所以1A 不是S 的3元完美子集．②因为2245+=≤，且24A ∈，而55454425245+>+>+>+>+>，所以2A 是S 的3元完美子集．【小问2详解】解：不妨设123a a a <<．若11a =，则112a a A +=∈，123A +=∈，134A +=∈，与3元完美子集矛盾；若12a =，则114a a A +=∈，246A +=∈，而267+>，符合题意，此时12312a a a ++=．若13a ≥，则116a a +≥，于是24a ≥，36a ≥，所以123+13a a a +≥．综上，123a a a ++的最小值是12．【小问3详解】证明：不妨设12m a a a <<< ．对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，否则，存在某个(1)i i m ≤≤，使得1i m i a a n +-+≤．由12m a a a <<< ，得121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．所以121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．所以对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥．于是1211211212()()()()()(1)m m m m m m a a a a a a a a a a a a m n ---++++=+++++++++≥L L ．即12(1)2m m n a a a ++++≥L ．等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤．。
广东省燕博园2021届高三下学期3月新高考联考综合能力测试(CAT)(一)数学试题 Word版含答案
2021届高三年级综合能力测试（CAT ）（一）数学 （广东卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}5Z A x x =∈<，{|24}≥xB x =，则A B =（ ）A ．(2,5)B ．[2,5)C ．{2,3,4}D ．{3,4,5}2．已知点(4,9)A -，(6,3)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ） A ．(4)(6)(9)(3)61x x y y +-+-+= B ．(4)(6)(9)(3)0x x y y +-+-+= C ．(4)(6)(9)(3)61x x y y -+++-=D ．(4)(6)(9)(3)0x x y y -+++-=3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ） A ．y x x =B ．1y x x=+C ．x xy e e -=-D ．2log y x =4．已知正六边形ABCDEF 中， AB CD EF ++=（ ）A ．AFB ．BEC ．CDD ．05．若5(12)2(,)Q a b a b +=+∈，则a b +=（ ）A ．60B ．70C ．80D ．906．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”可得徵音， 徵音“益一”可得商音，商音“损一”可得羽音. 则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（ ）A ．23B ．89 C ．1627D ．64817．已知函数()sin()ωϕf x A x =+（A ，ω，ϕ均为正常数），相邻两个零点的差为2π-，对任意x ， 2()3π≥f x f ⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，则下列结论正确的是（ ） A ．(2)(2)(0)f f f <-<B ．(0)(2)(2)f f f <<-C ．(2)(0)(2)f f f -<<D ．(2)(0)(2)f f f <<-8．若函数21()xax f x e +=(e 为自然对数的底数)是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0≤aB ．1≤aC ．0a >D ．01≤≤a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000 t 生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表(单位：t) ．根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（ ）“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收垃圾 30 240 30 其他垃圾202060A ．厨余垃圾投放正确的概率为23B ．居民生活垃圾投放错误的概率为310C ．该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾D ．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为18000 10．函数()()R af x x a x=+∈的大致图像可能是（ ）ABCD11．已知方程22sin sin 21θθx y -=，则（ ） A ．存在实数θ，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为43π B ．存在实数θ，该方程对应的图形是平行于x 轴的两条直线C ．存在实数θ2D ．存在实数θ312．三棱锥V ABC -中，ABC △是等边三角形，顶点V 在底面ABC 的投影是底面的中心，侧面VAB ⊥侧面VAC ，则（ ）A ．二面角V BC A --的大小为3π B ．此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为3C ．点V 到平面ABC 的距离与VC 的长之比为33D ．此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为39π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．复数1i2iz +=-的虚部是 ．14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*1(2)N n n S S n +=∈，则 242n a a a +++= ．15．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其表面积与体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为 ，该圆锥的内切球体积为 ．（第一空 2 分，第二空 3 分)16．据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过 天，蝗虫数量会达到4000亿只．（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 满足：*1(1)22,N ≥n n a a n n -+=∈，13a =．（1）求证：数列ln(1{})n a -是等差数列， （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．（12分）已知等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为边BC 上的一点，90DAC ∠=︒，再从条件①、 条件②、条件③中选择两个作为已知，求ABD △的面积及BD 的长． 条件①6AB =； 条件②1cos 3BAC ∠=-； 条件③ 36CD =注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分．ABDC19．（12分）如图，在直角梯形AEFB 中，AE EF ⊥，且24BF EF AE ===，直角梯形11D EFC 可以通过直角梯形AEFB 以直角EF 为旋转轴得到． （1）求证：平面11C D EF ⊥平面1BC F ； （2）若二面角1C EF B --为3π，求直线1C E 与平面1ABC 所成角的正弦值． ABE FC 1D 120．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y (单位：3g /m ) 与样本对原点的距离x (单位：m ) 的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计理的值．（表中1i i u x =，9119i i u u ==∑）．（1）利用样本相关系数的知识，判断y a bx =+与y c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型?（2）根据（1）的结果回答下列问题： （i ）建立y 关于x 的回归方程；（ii ）样本对原点的距离20x =时，金属含量的预报值是多少?（3）已知该金属在距离原点m x 时的平均开采成本W （单位：元 ）与x ，y 关系为1000(ln )W y x =- (1100)≤≤x ，根据（2）的结果回答， x 为何值时，开采成本最大?附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n t s t s t s，其线性相关系数()()nii tt s s r --=∑其回归直线αβs t =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 121()()ˆ()βnii i nii tt s s tt ==--=-∑∑，ˆˆαβs t =-． 21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为B ，直线:10m x y --=过椭圆C 的右焦点F ，点B 到直线m的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 的左顶点为A ，M 是椭圆位于x 轴上方部分的一个动点，以点F 为圆心，过点M 的圆与x 轴的右交点为T ，过点B 作x 轴的垂线l 交直线AM 于点N ，过点F 作直线FE MT ⊥，交直线l 于点E ．求BE EN的值．22．（12分）已知函数()1ln x af x x-=-，R a ∈． （1）讨论()f x 的零点个数；（2）记方程ln 1x x =的根为0c ，如果关于x 的方程()f x a =有两个大于1的不等实数根，求a 的取值范围．2021届高三年级综合能力测试（CAT ）（一）数学 （广东卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}5Z A x x =∈<，{|24}≥xB x =，则A B =（ ）A ．(2,5)B ．[2,5)C ．{2,3,4}D ．{3,4,5}1．答案：C解析：{}5{4,3,2,1,0,1,2,3,4}A x x =∈<=----Z ，{|24}{|2}xB x x x ==≥≥， 所以{2,3,4}AB =．2．已知点(4,9)A -，(6,3)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ） A ．(4)(6)(9)(3)61x x y y +-+-+= B ．(4)(6)(9)(3)0x x y y +-+-+= C ．(4)(6)(9)(3)61x x y y -+++-= D ．(4)(6)(9)(3)0x x y y -+++-=2．答案：B解析：在圆上任取一点(,)P x y ，则AP BP ⊥，(4,9)(6,3)(4)(6)(9)(3)0AP BP x y x x y x y y ⋅=+-⋅-+=+-+-+=，当点P 与A 或B 重合时，上式仍然成立，所以圆的方程为(4)(6)(9)(3)0x x y y +-+-+=． 3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ） A ．y x x = B ．1y x x=+C ．x xy e e -=-D ．2log y x =3．答案：C解析：选项A ，y x x =的定义域为[0,)+∞，不关于原点对称，所以不是奇函数； 选项B ，1y x x=+是奇函数，但是在区间(0,1)上单调递减； 选项C ，设()xxf x e e -=-，定义域为R ，且()()xx f x ee f x --=-=-，()f x ∴为奇函数，又因为xy e =是增函数，xy e -=是减函数，所以()xxf x e e-=-在R 上单调递增；故C 正确．选项D ，2log y x =是偶函数．4．已知正六边形ABCDEF 中， AB CD EF ++=（ ）A ．AFB ．BEC ．CDD ．04．答案：D解析：如图，设正六边形的中心为O ，则EF OA =，CD BO =，所以0AB CD EF AB BO OA ++=++=．5．若5(12)2(,)Q a a b +=+∈，则a b +=（ ）A ．60B ．70C ．80D ．905．答案：B解析：52345(12)15210(2)10(2)5(2)(2)412922a b +=++⋅+⋅+⋅+=+=+，41a ∴=，29b =，70a b +=．6．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”可得徵音， 徵音“益一”可得商音，商音“损一”可得羽音. 则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（ ）A ．23B ．89 C ．1627D ．64816．答案：C 解析：1112421611133333327⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅-=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 7．已知函数()sin()ωϕf x A x =+（A ，ω，ϕ均为正常数），相邻两个零点的差为2π-，对任意x ， 2()3π≥f x f ⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，则下列结论正确的是（ ） A ．(2)(2)(0)f f f <-< B ．(0)(2)(2)f f f <<- C ．(2)(0)(2)f f f -<< D ．(2)(0)(2)f f f <<-7．答案：A解析：设函数()f x 的最小正周期为T ，则22T π=，T π∴=，22Tπω==， 当23x π=时，函数()f x 取得最小值，取 3.14π≈，则()f x 在[0.52,2.09]上单调递减，在[2.09,3.66]上单调递增，(2)(1.14)f f ∴-=，(0)(3.14)(1.04)f f f ==，(1.04)(1.14)(2)f f f >>，(0)(2)(2)f f f ∴>->，故选A8．若函数21()xax f x e +=(e 为自然对数的底数)是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0≤aB ．1≤aC ．0a >D ．01≤≤a8．答案：D解析：依题意可知212()0xax f x eax +--'=≤恒成立，2210ax ax ∴-+≥恒成立， 当0a =时，该式显然成立；当0a ≠时，201440a a a a >⎧⇒<⎨∆=-⎩≤≤． 综上可知，实数a 的取值范围是[0,1]．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000 t 生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表(单位：t) ．根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（ ）“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收垃圾 30 240 30 其他垃圾202060A ．厨余垃圾投放正确的概率为23B ．居民生活垃圾投放错误的概率为310C ．该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾D ．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为18000 9．答案：ABC解析：选项A ，厨余垃圾投放正确的概率为40024001001003=++，故正确；选项B ，居民生活垃圾投放错误的概率为100100303020203=100010+++++，故正确；可回收垃圾投放正确的概率为240424030305=++，其他垃圾圾投放正确的概率为6036020205=++，所以该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾，故C 正确； 选项D ，设1400x =，2100x =，3100x =，则200x =，方差22221[(400200)(100200)(100200)]200003s =-+-+-=，故D 错误． 10．函数()()R af x x a x=+∈的大致图像可能是（ ）ABCD10．答案：ABD解析：当0a =时，()f x x =，对应选项A ；当0a >时，当0x >时，()a f x x x =+为对勾函数的一部分，当0x <时，()af x x x =-+单调递减，对应选项B ；当0a <时，当0x >时，()a f x x x =+单调递增，当0x <时，()a a f x x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，其中a x x -为对勾函数的一部分，对应选项D ．故选ABD ． 11．已知方程22sin sin 21θθx y -=，则（ ） A ．存在实数θ，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为43πB ．存在实数θ，该方程对应的图形是平行于x 轴的两条直线C ．存在实数θD ．存在实数θ11．答案：CD解析：222sin sin cos 1x y θθθ-=⋅，选项A ，若该方程对应的图形是圆，则必有2cos 1θ-=，1cos 2θ=-，此时sin θ=，方程为223x y +=，此时圆的面积为3，故A 错误； 选项B ，要使该方程对应的图形是平行于x 轴的两条直线，则必有sin 0θ=，但此时sin 20θ=，方程不成立，故B 错误；若该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线，且双曲线的离心率为，则11sin 2sin cos θθθ=，解得1cos 2θ=，且sin θ=1=，故C 正确．c a =222a b c =+，可得2223b a =，可取212sin cos a θθ=-，21sin b θ=，2222cos 3b a θ=-=，解得1cos 3θ=-，sin 3θ=，此时方程为22139x y +=，故D 正确． 12．三棱锥V ABC -中，ABC △是等边三角形，顶点V 在底面ABC 的投影是底面的中心，侧面VAB ⊥侧面VAC ，则（ ） A ．二面角V BC A --的大小为3πBC ．点V 到平面ABC 的距离与VCD．此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为9π12．答案：BCD解析：将该三棱锥放在正方体当中，如图所示，设正方体的棱长为1，选项A ，取BC 中点D ，连接AD ，VD ，则ADV ∠即为二面角V BC A --的平面角，tan AV ADV DV ∠==3ADV π∠≠，故A 错误； 选项B ，此三棱锥的侧面积为1331122⨯⨯⨯=，底面积为242⨯=，，故B 正确；在ADV △中，过点V 作VE AD ⊥，垂足为E ，易证得VE ⊥平面ABC，13AV DVVE AD⋅===，所以C 正确； 此三棱锥的体积111111326V ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，外接球的半径R =，外接球的体积3243V R π==，所以12V V =V ABCDE三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．复数1i2iz +=-的虚部是 ． 13．答案：35解析：1i (1i)(2i)13i 2i (2i)(2i)5z ++++===--+，其虚部为35．14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*1(2)N n n S S n +=∈，则 242n a a a +++= ．14．答案：413n -解析：由*1(2)N n n S S n +=∈，可知数列{}n S 是首项为11S =，公比为2的等比数列，所以12n n S -=， 当1n =时，212S S =，即1212a a a +=，211a a ∴==，当2n ≥时，1122222n n n n n n S a S ----=-=-=，所以2124214144414413n n n n a a a --+++=+++==--． 15．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其表面积与体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为，该圆锥的内切球体积为．（第一空 2 分，第二空 3 分) 15．答案：，36π解析：设圆锥的底面半径为r，则高h =，母线长2l r =，根据题意可得2213r h rl r πππ=+，即3222233r r r r πππ=+=，解得r =，该三棱锥的内切球半径即为截面正三角形内切圆的半径，为133h ==，所以内切球的体积343363V ππ=⨯=． 16．据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过 天，蝗虫数量会达到4000亿只．（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）． 16．答案：54解析：设经过x 天，蝗虫数量xy a =（单位：亿只），则15x =时，10y =，所以1510a =，11510a =，1510x y ∴=，令15104000x =，则lg 40002lg 23 3.615x==+≈，15 3.654x =⨯=天． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 满足：*1(1)22,N ≥n n a a n n -+=∈，13a =．（1）求证：数列ln(1{})n a -是等差数列， （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．17．解析：（1）证明：（1）因为112(2,3,)n n a a n -+==，则 121n n a a -=-………………………1分所以1111122ln(1)ln(1)lnln ln 211n n n n n n a a a a a a ---------===--，2,3,n =，…………………………4分所以数列ln(1{})n a -是以首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列． ……………………………………5分（2）由（1）得1ln(1)ln(1)(1)ln 2ln 2nn a a n -=-+-=，…………………………………………7分 则21nn a =+………………………………………………………………………………………………8分所以12(12)2212n n n S n n +-=+=+-- (10)分18．（12分）已知等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为边BC 上的一点，90DAC ∠=︒，再从条件①、 条件②、条件③中选择两个作为已知，求ABD △的面积及BD 的长． 条件①6AB =； 条件②1cos 3BAC ∠=-； 条件③ 36CD =注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分．ABDC18．选择①②，因为AB AC =，6AB =，1cos 3BAC ∠=-， 所以,2BAC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，B C ∠=∠，2222?·cos 96BC AB AC AB AC BAC =+-∠=． 所以46BC =1cos 3sin sin 2BAC C B +∠===．……………………………………5分因为90DAC ∠=︒，所以1sin sin cos 23BAD BAC BAC π⎛⎫∠=∠-=-∠= ⎪⎝⎭．………………7分 在Rt ACD △中，236cos 1sin AC DC C C ===-9分所以6BD BC CD =-=…………………………………………………………………………10分所以ABD △的面积为1sin 322BD AB B ⨯⨯=12分 选择①③因为90DAC ∠=︒，AB AC =，6AB =，CD =所以cos cos AC B C DC ===…………………………………………………………………………5分 所以2222cos AB BC AC BC AC C =+-⋅⋅，即BC =9分所以BD BC CD =-=10分所以ABD △的面积为1sin 2BD AB B ⨯⨯=12分 选择②③因为AB AC =，1cos 3BAC ∠=-，所以sin sin C B ===………………………………………………………………5分因为90DAC ∠=︒，CD =·cos 6AC DC C ===……………………7分所以BC ==9分所以BD BC CD =-=10分所以ABD △的面积为1sin 2BD AB B ⨯⨯=12分 19．（12分）如图，在直角梯形AEFB 中，AE EF ⊥，且24BF EF AE ===，直角梯形11D EFC 可以通过直角梯形AEFB 以直角EF 为旋转轴得到． （1）求证：平面11C D EF ⊥平面1BC F ； （2）若二面角1C EF B --为3π，求直线1C E 与平面1ABC 所成角的正弦值． ABE FC 1D 119．（1）证明：在直角梯形AEFB 中，AE EF ⊥，且直角梯形11D EFC 是通过直角梯形AEFB 以直线EF 为轴旋转而得， ………………………………………………………………………………………………1分所以1D E EF ⊥．所以BF EF ⊥，1C F EF ⊥，………………………………………………………3分 又1BFC F F =，所以EF ⊥平面1BC F ………………………………………………………………4分又EF ⊂平面11C D EF ，所以平面11C D EF ⊥平面1BC F ．………………………………………………5分（2）解：由（1）可知BF EF ⊥，1C F EF ⊥，因为二面角1C EF B --为3π， 所以13C FB π∠=…………………………………………………………………………………………6分过点F 作平面AEFB 的垂线，如图，建立空间直角坐标系F xyz -．由24BF EF AE===，可得：(4,0,0)E ，1C ，(0,4,0)B ，(4,2,0)A ，所以(4,2,0)AB =-，1(0,2,C B =-，1(EC =-，……………………………………9 分设平面1ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则10n AB n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即42020x y y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则y =x =3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………11分 所以直线1C E 与平面1ABC所成角的正弦值为1138n EC n EC ⋅==⋅…………………12分20．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y (单位：3g /m ) 与样本对原点的距离x (单位：m ) 的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计理的值．（表中1i i u x =，9119i i u u ==∑）．（1）利用样本相关系数的知识，判断y a bx =+与y c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型?（2）根据（1）的结果回答下列问题： （i ）建立y 关于x 的回归方程；（ii ）样本对原点的距离20x =时，金属含量的预报值是多少?（3）已知该金属在距离原点m x 时的平均开采成本W （单位：元 ）与x ，y 关系为1000(ln )W y x =- (1100)≤≤x ，根据（2）的结果回答， x 为何值时，开采成本最大?附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n t s t s t s ，其线性相关系数()()niitt s s r --=∑其回归直线αβs t =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 121()()ˆ()βnii i nii tt s s tt ==--=-∑∑，ˆˆαβs t =-． 20．解析：（1）由题意知(,)i i x y 的线性相关系数为()()910.898iix x y y r --=≈∑，………1分(),i i u y 的线性相关系数为92()()0.996iiu u y y r --=≈-∑，…………………………………2分因为12r r <，故dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型……3分 (i)令1u x=，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于 ()()()919211.40ˆ100.14ii i ii uu y y duu ==---===--∑∑，ˆ97.90100.21100c y du=-=+⨯=， 所以y 关于u 的线性回归方程为ˆ10010yu =-，因此y 关于x 的回归方程为10ˆ100y x=-…………6分(ii) 由(i)知，20x =时，金属含量的预报值是10ˆ10099.520y=-=……………………………………8分 根据（2）的结果知，吸附物质储存成本W 的预报值10ˆ()1000(ln )1000100ln (1100)W W x y x x x x ⎛⎫==-=-- ⎪⎝⎭≤≤，………………………………9分 故 2210110ˆ()10001000(120)x W x x xx x-⎛⎫'=-=⋅ ⎪⎝⎭≤≤，令()0W x '=，得10x = ()W x 与()W x '在区间[1,100]的情况如下：11分所以，当10x =时， ()W x 取得最大值．故10x =时，开采成本最大．……………………………12分21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为B ，直线:10m x y --=过椭圆C 的右焦点F ，点B 到直线m 的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 的左顶点为A ，M 是椭圆位于x 轴上方部分的一个动点，以点F 为圆心，过点M 的圆与x 轴的右交点为T ，过点B 作x 轴的垂线l 交直线AM 于点N ，过点F 作直线FE MT ⊥，交直线l 于点E ．求BE EN的值．21．解析：（1）由题意可知(,0)B a ．因为直线:10m x y --=过椭圆C 的右焦点F ，所以点F 的坐标为(1,0)……………………………………………………………………………………1分因为点B 到直线m 2=．解得2a =．…………………………………2 分 又因为222a b c =+，可以解得23b =．……………………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…………………………………………………………………………4分 （2）由（1）可知(2,0)A -，因为直线FE MT ⊥，由题意可知EF 平分MFB ∠．所以点E 到直线MF 的距离d BE =．……………………………………………………………………5分 设直线AM 为(2)(0)y k x k =+>，则(2,4)N k ．设(2,)E t ，00(,)M x y ．由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(43)1616120k x k x k +++-=，所以0∆>，20216243k x k -=-+，所以2028643k x k -+=+，021243ky k =+．…………………………………7 分 ①当MF x ⊥轴时，01,x =此时 1,2k = 所以(2,2)N ． 因为EF 平分MFB ∠，所以4EFB π∠=，可得(2,1)E ，所以1BE EN=．………………………………8分②当MF 不与x 轴垂直时，此时12k ≠，0204114MF y k k x k ==--． 所以直线MF 的方程为24(41)40kx k y k +--=．……………………………………………………9分 因为点E 在直线MF 的右侧，所以28(41)40kx k t k +-->， 所以点E 到直线MF的距离2d ==284142kx k t k k +--=．所以2t k =．所以1BE EN=………………………………………11分综上，1BE EN=．…………………………………………………………………………………………12 分22．（12分）已知函数()1ln x af x x-=-，R a ∈． （1）讨论()f x 的零点个数；（2）记方程ln 1x x =的根为0c ，如果关于x 的方程()f x a =有两个大于1的不等实数根，求a 的取值范围．22．（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，且ln ()ln x a xf x x--=．令()ln m x x a x =--，则()f x 的零点个数等价于()m x 在(0,1)(1,)+∞的零点个数…………1分由于11()1x m x x x-'=-=，所以()m x 在区间(0,1)单调递减，区间(1,)+∞单调递增，且min ()(1)1m x m a ==-……………………………………………………………………………………3分 所以当1a ≤时，()0m x ≥恒成立，即()f x 的零点个数为0；…………………………………………4分当1a >时，注意到1111ln 0a a a a m a e e e e⎛⎫⎛⎫=--=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)0m <， ()ln 220a a a a m e e a e e a ea a =--=->->，从而()f x 的零点个数为2．………………………5分（2）解：由题意可知22ln ln 1()(ln )(ln )x a ax x x x f x x x ---+'==， 因为当2max{,}x e a >-时，ln 1ln 110ax x x-+>-->， 所以(),(1,)f x x '∈+∞不可能恒为负数……………………………………………………………………6分． 若()0f x '≥在区间(1,)+∞上恒成立，即当(1,)x ∈+∞时，ln 10ax x-+≥恒成立，即ln a x x x -≥恒成立．令()ln h x x x x =-，则()ln 0h x x '=-<，从而()h x 在区间(1,)+∞单调递减．又因为(1)1h =，所以当()0f x '≥在区间(1,)+∞上恒成立时，1a ≥……………………………………7分因为当1a <时，ln 1ax x -+不可能恒为0，所以(),(1,)f x x '∈+∞的值有正有负， 令()ln 1a g x x x =-+，则当1,(1,)a x <∈+∞时，221()0a x ag x x x x-'=-=>， 所以(),(1,)g x x ∈+∞是增函数．所以(),(1,)f x x '∈+∞有唯一零点，不妨设为0x ，……………………………………………………8分 如果关于x 的方程()f x a =有两个大于1的不等实数根，则0()f x a <， 因为00ln 10ax x -+=，所以00011ln x a x a x --=-<，即01x a <+． 所以ln(1)101a a a +-+>+，即1ln(1)1a a +>+……………………………………………………9分 因为方程ln 1x x =的根为0c ，所以0c e <，且01,c a <+即01c a -<．所以011c a -<<…………10分又因为取12101min ,ax x e -⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭时，112ln a x ->，所以1111120ln ln x a a a x x ---->->．取 122max 1,x a e ⎧⎫>+⎨⎬⎩⎭时 21,2ln x > ，所以2221120ln ln x a a x x --->->……………………11分 因此()f x 在0(1,)x ，0(),x +∞上各有且只有一个根，满足题意．所以a 的取值范围为0(1)1,c -……12分。
山东省2021高三下学期开学数学试卷(理科)(I)卷
山东省2021高三下学期开学数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·杭州模拟) 已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x| ＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（）A . {﹣1，0}B . {1}C . {﹣1，0，1}D . ∅2. （2分）(2017·大连模拟) 若i为复数单位，复数z= 在复平面内对应的点在直线x+2y+5=0上，则实数a的值为（）A . 4B . 3C . 2D . 13. （2分）学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元），其中支出在（单位：元）的同学有33人，其频率分布直方图如下图所示，则支出在（单位：元）的同学人数是（）A . 100B . 120C . 30D . 3004. （2分） (2018高三上·湖北期中) 下列四个结论：命题“ ，”的否定是“ ，”；若是真命题，则可能是真命题；“ 且”是“ ”的充要条件；，都有．其中正确的是A .B .C .D .5. （2分） (2019高三上·湖南月考) 如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P 使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）A . 2B .C .D .6. （2分） (2018高二上·霍邱期中) 设，满足约束条件，则的最小值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的的值为0，则输入的的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·焦作期中) 已知棱长都是2的直三棱柱的俯视图是一个正三角形，则该直三棱柱的主视图的面积不可能等于（）A . 4B . 2C .D . 39. （2分） (2019高二上·应县月考) 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A . （x－3）2＋（y－1）2＝1B . （x－2）2＋（y＋1）2＝1C . （x＋2）2＋（y－1）2＝1D . （x－2）2＋（y－1）2＝110. （2分）(2020·上饶模拟) 上海地铁号线早高峰时每隔分钟一班，其中含列车在车站停留的分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2019·泸州模拟) 已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A . 3B . 4C . 5D . 612. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共7分)13. （2分） (2019高三上·浙江月考) 在的展开式中，常数项为________，系数最大的项是________ ．14. （2分） (2019高二下·湖州期末) 已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ________， ________．15. （2分）（exlnx）′=________（）′=________16. （1分）(2017·亳州模拟) 已知双曲线，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，则该双曲线的离心率为________．三、解答题 (共8题；共80分)17. （10分） (2018高二上·宁德期中) 已知等差数列的前n项和为，且，，．（1）求通项；（2）求数列的前n项和的最小值．18. （15分）(2017·邯郸模拟) 某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．表1：男生身高频数分布表身高（cm）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）频数 2 5 1413 4 2表2：女生身高频数分布表身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）频数 1 7 12 6 3 1（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．19. （10分） (2019高二上·开福月考) 如图，在四棱锥中，，侧面底面 .（1）求证：平面平面；（2）若，且二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值.20. （10分） (2016高二上·黄骅期中) 已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B 两点，且 =﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．21. （15分） (2016高三上·清城期中) 设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22. （5分）(2017·江苏) 如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥P C，P为垂足．求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；（Ⅱ）AC2 =AP•AB．23. （10分） (2018高二下·河北期末) 在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为：（为参数），两曲线相交于两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，线段的中点为，求点到点距离 .24. （5分）设函数，f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式，f（x）≥5﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．参考答案一、一.选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题： (共4题；共7分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共80分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、考点：解析：。
2021届高三高中新课标第一次摸底测试数学(理科)试题 Word版含答案详解
2021届高中新课标高三第一次摸底测试理科数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区城内,写在试卷、草稿纸和答题卡,上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。
1.复数z 满足132z i i ⋅=+,则复数z 在复平面内对应的点的坐标为 A.(1,0) B. (0,1-) C.( 1-,0) D.(0, 1) 2.已知集合A ={}221x x y +=,集合B = {}2y y x =,则A B =A.[0,1]B.[- 1,1]C.[-1,0)D.[- 1,0] 3.抛物线22()y px p =>的焦点到双曲线221x y -=的渐近线的距离为22，则p = A. 4 B. 3 C. 2 D.14.我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本,制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是 A.样本中的男生数量多于女生数量B.样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C.对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D.对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数5.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读。
数学中有回文数,如343 ,12521等。
湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学下学期第一次适应性考试(一模)试题 理(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题理（含解析）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。
【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。
4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。
【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。
河南省滑县2024学年高三下学期第一次月考(数学试题-理)试卷
河南省滑县2024学年高三下学期第一次月考（数学试题-理）试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020212．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-3．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．1285．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A 2B ．2C ．1D 37．(),0F c -为双曲线2222:1x yE a b-=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A 在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且23100OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（ ） A 5B ．52C 5D ．58．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >9．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36B ．72C ．36-D ．36±10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个A ．170B ．10C ．172D ．1211．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦ 12．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）A ．512π B ．56π C ．6πD ．12π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三下学期双周适应性训练试题理科综合(1)
2021年高三下学期双周适应性训练试题理科综合（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分300分。
考试时间150分钟。
可能用到的相对原子质量：H:1 C:12 N:14 O:16 P:31 Cl:35．5 Br:80 I:127 Na:23 Mg:24 Al:27Cu:64第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．将一植物放在密闭的玻璃罩内，置于室外进行培养，用CO2浓度测定仪测得了该玻璃罩内CO2浓度的变化情况，绘成右图的曲线，下列有关说法正确的是（）①BC段较AB段CO2浓度增加减慢，是因为低温使植物呼吸作用减弱②CO2浓度下降从DE段开始，说明植物开始进行光合作用③FG段CO2浓度下降不明显,是因为气孔关闭，叶片对CO2的吸收减少④H点CO2浓度最低，说明此时植物对CO2的吸收最多，光合作用最强A．①② B．③④ C．①③ D．②④2．右图是高等动物细胞亚显微结构示意图，下列叙述错误的是A ．若⑦是糖蛋白（如干扰素），则该蛋白中的糖基与蛋白质分子的连接处是图中的②B ．若⑦是抗体，则⑦从内质网腔到细胞外共穿过4层生物膜C ．在图中的结构①和⑧中都能发生碱基互补配对D ．⑦可能是胰岛素3．右图能表示人体在某种环境条件发生变化时，内环境中某种激素的含量变化。
这种条件变化和激素分别是A ．气温升高 甲状腺激素B ．日照延长 性激素C ．寒冷刺激 生长激素D ．食物缺碘 促甲状腺激素释放激素4．在许多生物实验中都需要细胞作实验材料。
下列处于生活状态的细胞有 ①浸在0．3g/mL 的蔗糖溶液中的洋葱表皮细胞 ②解离后的洋葱根尖分生区细胞 ③放在9%的NaCl 溶液中的人的红细胞 ④放在清水中的黑藻叶片细胞 A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 5．下列有关细胞叙述正确的是（ ） A ．溶酶体内含有多种水解酶，能吞噬并杀死侵入细胞的病毒或病菌 B ．核糖体是蛋白质的“装配机器”，由蛋白质和mRNA 组成 C ．中心体在洋葱根尖分生区细胞有丝分过程中发挥重要作用 D ．酵母菌细胞不具有染色体，其代谢类型是异养兼性厌氧型 6．判断一个物种是否为群落中的优势种的指标是（ ） A ．在群落中作用最大的物种 B ．在群落中个体数量最多的物种 C ．占有最大生存空间的物种 D ．有最大生物量的物种 7．下列各项表达中正确的是（ ） A ．乙烯的结构简式为CH 2CH 2 B ．84g 碳酸镁和碳酸氢钠的混合物与足量盐酸反应生成CO 2的体积在标准状况下为22．4L C ．常温常压下28g 氮气所含电子数约为6．02×1024 D ．Cl —的结构示意图为 8．下列说法正确的是环境变化（）A．金属比非金属易失电子，所以金属可以置换非金属，而非金属不能置换金属B．变价金属一定是过渡元素C．不含金属元素的化合物也可能是离子化合物D．显酸性的溶液中溶质只能是酸或强酸弱碱盐9．下列溶液中，一定能大量共存的微粒组是（）A．pH=1的溶液中：K+、Cr2O2-7、CH3CH2OH、SO2-4B．含有大量Fe3+的溶液中：Al3+、Cu2+、Cl—、SO2-4C．加入Al能放出H2的溶液中：K+、NH+4、NO—3、Cl—D．滴加紫色石蕊试液变红的溶液中：K+、Ba2+、NO—3、F—10．下列化合物的一氯代物的数目排列顺序正确的是（）①CH3CH2CH2CH2CH2CH3 ②（CH3）2CHCH（CH3）2③（CH3）3CCH2CH3 ④（CH3）3CC（CH3）3A．①>②>③>④B．②>③=①>④C．③>②>④>①D．③=①>②>④11．下列各项正确的是12．已知两种弱酸的酸性：HA>HB，在常温下下列各项比较中正确的是（）A．两种溶液① 0．1mol/L HA溶液；②0．3mol/L HA溶液与0．1mol/L NaOH溶液等体积的混合液，c（H+）：①<②B．等物质的量浓度的HA溶液与NaB溶液等体积的混合液：2c（Na+）=c（A-）+c（B-）+c（HA）+c（HB）C．pH=9的三种溶液①NaB；②NH3·H2O；③NaOH，由水电离出的c（OH-）：①>②>③D．物质的量浓度相等的NaA与KB两溶液中：c（B-）> c（A-）13．向21．6g Fe粉和Cu粉的混合物中加入1L 1mol/L HNO3，充分反应，放出NO气体且金属有剩余。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年高三下学期第一次周末综合测试（理科数学）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
请将唯一正确答案的序号填在答
题卷的答案表中。
1．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
(A) (M ∩P) ∩s (B) (M ∩P)∪S
(C) (M ∩P) ∩C I S (D) (M ∩P)∪C I S
2．曲线关于( )
(A)直线轴对称 (B)直线y=-x 轴对称
(C)点中心对称 (D)点中心对称
3．函数在区间[a,b]上是增函数，且f(x ）=-M ，f(b ）=M ，
则函数在[a,b]上 ( )
(A)是增函数 (B)是减函数
(C)可以取得最大值M (D)可以取得最小值-M
4．若f(x)sinx 是周期为的奇函数，则f(x)可以是 ( )
(A) sinx (B) cosx (C) sin2x (D) cos2x
5．若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水 倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 ( )
(A) (B) 6cm (C) (D) 6.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则的值为
( )
(A) 1 (B)-1 (C) 0 (D) 2
7．直线截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为 ( )
(A) (B) (C) (D)
8．已知两点，给出下列曲线方程：
①4x+2y-l=O ②x 2+y 2=3 ③ ④
在曲线上存在点P 满足的所有曲线方程是 ( )
(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)②③④
二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分．
9．离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为的椭圆的标准方程为
10.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒
装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有
11．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，，
EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为
12.数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．
13.a、是两个不同的平面，m、n是平面a及之外的两条不同直
线，给出四个论断：
①mn ②a ③n ④ma
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认
为正确一个命题：
.
14.（坐标系与参数方程选讲选做题）以直角坐标系的原点为极点，
x轴的正半轴为极轴，
并在两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方程为，
它与曲线（α为参数）相交于两点
A和B，则= .
15.（几何证明选讲选做题）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，
过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，则AB=
三、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本题共15分）设函数.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期．
(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若，，且C为锐角，求sinA.
17.（本题共15分），如图，在三棱锥P- ABC中，
PA底面ABC，PA=AB，ABC= 600，BCA= 900，
点D，E 分别在棱PB，PC上，且DE∥BC
(Ⅰ)求证：BC平面PAC；
(Ⅱ)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值。
(Ⅲ)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由.
参考答案
一、选择题：每小题5分
二、填空题：每小题5分
9、 10、7 1l、；12、
13、或mn,ma，
14、 15、
16 (1）f(x)=cos(2x+)+sin2x=cos2xcos-sin2xsin+
所以函数f(x)的最大值为，最小正周期．
(2），所以,
因为C为锐角，所以,
又因为在△ABC中，，所以, 所以
17【解法1】(Ⅰ)PA底面ABC，PABC.
又BCA=900，ACBC.
BC平面PAC.
(Ⅱ)D为PB的中点，DE//BC，,
又由(Ⅰ)知，BC平面PAC，
DE平面PAC，垂足为点E．
DAE是AD与平面PAC所成的角，
PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，
△ABP为等腰直角三角形，,
在 Rt△ABC中, ABC= 600,,
在Rt△ADE中，
AD与平面PAC所成的角的正弦值为,
(Ⅲ) AE//BC，又由(Ⅰ)知，BC平面PAC，DE平面PAC,
又平面PAC，平面PAC，DEAE，DEPE，
AEP为二面角A-DE-P的平面角，
PA底面ABC，PAAC，PAC=900.
在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP=900，
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．
【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=a，由已知可
得A(O，0，0)，，P(0,0,a).
(Ⅰ),,
,BCAP．
又BCA=900，BCAC，BC平面PAC.
(Ⅱ)D为PB的中点，DE//BC，E为PC的中点，
又由(Ⅰ)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E．
DAE是AD与平面PAC所成的角，
.
AD与平面PAC所成的角的正弦值为.39130 98DA 飚38684 971C 霜(l!p-25820 64DC 擜y CW40470 9E16 鸖。