高考数学二轮复习 第一部分 专题二 三角函数、解三角.
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题二 三角函数、
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
首先利用辅助角公式将函数 y＝sin x－ 3cos x 化为正弦型函 数，再进行平移变换． ∵y＝sin x－ 3cos x＝2sin x－π3， ∴函数 y＝sin x－ 3cos x 的图象可由函数 y＝2sin x 的图象 向右平移π3个单位长度得到．
C．向上平行移动π3个单位长度
D．向下平行移动π3个单位长度
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
根据函数图象的平移规律求解． 把函数 y＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度 就得到函数 y＝sinx＋π3的图象．
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
2．(2016·高考全国Ⅲ卷)函数 y＝sin x－ 3cos x 的图象可由函数
考点二
考点一 考点二
由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式问题
试题 解析
3．(2015·高考陕西卷)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化
曲线近似满足函数 y＝3sinπ6x＋φ＋k，据此函数可知，这段时间 水深(单位：m)的最大值为( C )
考点三
A．5 C．8
B．6 D．10
考点三
考点一 考点二 考点三
试题
(1)f(x)＝2 3sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2 ＝2 3sin2 x－(1－2sin xcos x)＝ 3(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－ 3cos 2x＋ 3－1＝2sin2x－π3＋ 3－1， 由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2(k∈Z)， 所以 f(x)的单调递增区间是kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z) 或kπ－1π2，kπ＋51π2k∈Z.
高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第二讲 三角函数的图象与性质限时规范训练
第二讲 三角函数的图象与性质1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.答案：B2．(2019·某某亳州一中月考)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：由题意得函数的周期为T ＝2π，故可排除B ，D.对于C ，图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，代入解析式，不成立，故选A. 答案：A3．(2019·某某某某十校期末测试)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度．答案：B4．(2019·东北三省三校一模)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3解析：由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π.当k ＝0时，有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6.故选A.答案：A5．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( ) A ．2B.32 C ．1D.12解析：由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 故选A. 答案：A6．(2019·某某某某一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．1 B.π2C ．2D.π解析：∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：B7．(2019·某某平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π12B.x ＝π4C ．x ＝π3D.x ＝2π3解析：由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·ω＋φ＝0，又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π6·ω＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 移动后g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z)，所以满足条件的一条对称轴方程是x ＝π12，故选A.答案：A8．(2019·某某某某适应性统考)已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝π12解析：由题意知T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ. 又0<φ<π2，所以φ＝π3.答案：A9．(2019·某某某某3月模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，若f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的可能取值为( )A.23 B.2 C.143D.263解析：∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－π6＝－12，∴π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z.∵函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，∴ωx －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，ωπ2－π6，∴2π<ωπ2－π6≤3π，∴133<ω≤193，∴ω＝143或ω＝6.故选C.答案：C10．(2019·贺州一模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈R)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则函数f (x )取得最大值时x 的可能值为( )A.π6B.π5C.π3D.π2解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即函数f (x )在x ＝π6时取得最值，①当函数f (x )在x ＝π6时取得最大值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，满足题意， ②当函数f (x )在x ＝π6时取得最小值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，不满足题意， 综合①②得：函数f (x )取得最大值时x 的可能值为π6.故选A. 答案：A11．(2019·某某一模)若函数f (x )＝sinωx2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，则ω的取值X 围是( ) A ．(0,5)B.[1,5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92 解析：f (x )＝sinωx2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2＝12sin ωx ，当ωx ＝2k π＋π2，即x ＝2k π＋π2ω(k ∈Z)时函数取最大值，又函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，即有两种情况，一是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内只有一个极值点，二是函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内单调递增，所以有⎩⎪⎨⎪⎧π2≤ωπ2<5π2，－3π2<－ωπ3或⎩⎪⎨⎪⎧π2≥ωπ2，－π2≤－ωπ3，解得ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92或ω∈(－∞，1]，又∵ω>0，所以ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，故选C. 答案：C12．(2019·某某一模)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ，若f (x )最大值为G (θ)，最小值为g (θ)，则( )A ．∃θ0∈R ，使G (θ0)＋g (θ0)＝πB ．∃θ0∈R ，使G (θ0)－g (θ0)＝πC ．∃θ0∈R ，使|G (θ0)·g (θ0)|＝πD ．∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ＝cos θ·sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋12·cos 2x ＋12＝54＋sin θsin(2x ＋φ)＋12，所以G (θ)＝54＋sin θ＋12，g (θ)＝－54＋sin θ＋12， ①对于选项A ，G (θ0)＋g (θ0)＝54＋sin θ＋12－54＋sin θ＋12＝1，显然不满足题意，即A 错误，②对于选项B ，G (θ0)－g (θ0)＝54＋sin θ＋12＋54＋sin θ－12＝254＋sin θ∈[1,3]，显然不满足题意，即B 错误， ③对于选项C ，G (θ0)·g (θ0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ－12＝1＋sin θ∈[0,2]，显然不满足题意，即C 错误，④对于选项D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ)g (θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪154＋sin θ－12＋1∈[2，＋∞)，即∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π，故D 正确， 故选D. 答案：D13．(2019·某某模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R)的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：214．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.答案：π15．(2019·某某某某武邑中学模拟)将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ωx 的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则满足T 4≥π4，即T ≥π，即2πω≥π，所以0<ω≤2，即ω的最大值为2.答案：216．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③f (x )的图象可能过原点． 其中真命题的个数为________．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误； 对于③，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22，则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z)或πωx ＝2k π＋3π4(k ∈Z)，∴x ＝2k ＋14ω(k ∈Z)或x ＝2k ＋34ω(k ∈Z)，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得k ＝18∉Z ，即不存在这样的k 符合题意，③错误． 综上，没有真命题． 答案：0。
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
高考数学二轮复习 核心热点突破专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形
由
C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
由 sin A＝ 3sin B 及正弦定理得 a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23， 由此可得 b＝c，B＝C＝π6，A＝23π.
由②csin A＝3，解得 c＝b＝2 3，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 c＝2 3.
在△ABC
中，由正弦定理，得
sin
C＝c·sian
A＝7×84
7
3 ＝
3 2.
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝12absin C＝12×8×3× 23＝6 3.
选条件②：cos A＝18，cos B＝196，且 a＋b＝11. (1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝18，cos B＝196，
解 (从条件①②中任选一个即可源自 选条件①：c＝7，cos A＝－17，且 a＋b＝11. (1)在△ABC 中，由余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝（2×11－（a11）－2＋a）72×－7a2＝－17，解
得 a＝8.
(2)∵cos A＝－17，A∈(0，π)，∴sin A＝ 1－cos2A＝ 1－419＝473.
(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 tan φ＝ba.
2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理 在△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)； 变形：a＝2Rsin A，sin A＝2aR， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等. (2)余弦定理 在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝b2＋2cb2c－a2.
(新高考)高考数学二轮复习题型篇专题一三角函数与解三角形第三讲大题考法——解三角形课件
题型(二) 与解三角形有关的最值、范围问题
[典例] (2019·福州质检)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
为 a，b，c.若角 A，B，C 成等差数列，且 b＝ 23. (1)求△ABC 的外接圆直径； (2)求 a＋c 的取值范围． [解] (1)因为角 A，B，C 成等差数列，所以 2B＝A＋C， 又因为 A＋B＋C＝π，所以 B＝π3. 3 根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径 2R＝sinb B＝ 2 π＝1. sin 3
19 2.
2．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ccos B
＝(3a－b)cos C.
(1)求 sin C 的值；
(2)若 c＝2 6，b－a＝2，求△ABC 的面积．
解：(1)因为 ccos B＝(3a－b)cos C， 所以由正弦定理得 sin Ccos B＝(3sin A－sin B)cos C， 即 sin Ccos B＋sin Bcos C＝3sin Acos C， 所以 sin(B＋C)＝3sin Acos C， 因为 A＋B＋C＝π，所以 sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A， 则 sin A＝3sin Acos C.
法二：基本不等式法 由(1)知，B＝π3， b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3a＋2 c2＝ 14(a＋c)2(当且仅当 a＝c 时，取等号)， 因为 b＝ 23，所以(a＋c)2≤3，即 a＋c≤ 3， 又三角形两边之和大于第三边，所以 23<a＋c≤ 3， 所以 a＋c 的取值范围是 23， 3.
7 4.
(1)求 AC 的长；
(2)作 CD⊥BC，连接 AD，若 AD∶CD＝
2∶3，求△ACD 的面积．
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题1 三角函数与解三角形 专题1 三角函数与解三角形
y
α=r ,cos
x
α=r ,tan
y
α=x (x≠0)
名师点析 若|OP|=1,则 sin α=y,cos α=x.若 α∈
π
0,2
,则 sin α<α<tan α.
2.同角三角函数的基本关系
知识点
内容
(1)平方关系 cos2α+sin2α=1;
同角三角函数的基本关系
α
(2)商数关系 α =tan
2α
sin αcos α= 2
名师点析 由降幂公式开方并作角的代换得半角公式:
cos
2
=±
1+cos
2
, sin
2
=±
1-cos
2
, tan
2
=±
1-cos
1+cos
=
sin
1+cos
=
1-cos
.
sin
6.正弦、余弦定理
知识点
正弦
定理
余弦定理
及推论
函数
角函数式为将原式中的 x 分别变为 x+φ 和 x-φ.
的图
(4)三角函数辅助角公式:asin x+bcos x= 2 + 2 sin(x+φ),其中
象与
性质
a≠0,b≠0,sin φ=
2 + 2
,cos φ=
2 + 2
名师点析 正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距
-
=
5
3
D.
cos
,因为
2-sin
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形核心
核心考点4 解三角形的最值和范围问题多维题组·明技法角度1：三角形中的最值问题1. (2023·天津期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为S,2a ＋b ＝4，c (a ＋b －c )(sin A ＋sin B ＋sin C )＝6S ，CA →＝3CD →－2CB →，则|CD →|的最小值为( D )A ．2B ．223C ．3D ．233【解析】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为S,2a ＋b ＝4，c (a ＋b －c )(sin A ＋sin B ＋sin C )＝6S ，则c (a ＋b －c )(sin A ＋sin B ＋sin C )＝3ab sin C ，则c (a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3abc ，则a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，则C ＝π3，又CD →＝13CA →＋23CB →，则CD →2＝19CA →2＋49CB →2＋49CA →·CB →＝19b 2＋19(2a )2＋19(2a )b ＝19[(2a ＋b )2－(2a )b ]＝169－19(2a )b ≥169－19⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝43，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号，即|CD →|2的最小值为43，即|CD →|的最小值为233.故选D ． 2. (2023·柳州模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°，b ＝4，则△ABC 面积的最大值为( B )A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6【解析】 △ABC 中，B ＝60°，b ＝4，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝432＝83，所以a ＝83sin A ，c ＝83sin C ，故S △ABC ＝12ac sin B ＝34×643sin A sin C ＝1633sinA ·sin(120°－A )＝1633sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝1633⎣⎢⎡⎦⎥⎤34sin 2A ＋141－cos 2A ＝1633×12⎝ ⎛ 32sin 2A⎭⎪⎫－12cos 2A ＋12＝833⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2A －30°＋12，因为A ∈(0°，120°)，2A －30°∈(－30°，210°)，所以sin(2A －30°)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，所以△ABC 面积的最大值为833×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝4 3.故选B ．角度2：解三角形中的范围问题3. (2023·九龙坡区校级期中)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若cos B b＋cos C c ＝3sin A 3sin C ，且cos 2B ＋2cos 2B 2＝1，则a ＋c 的取值范围是( B ) A ．(3，23) B ．(3,23] C ．[3，23]D ．[3,23]【解析】 △ABC 中，由cos B b ＋cos C c ＝3sin A 3sin C ，得a 2＋c 2－b 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ＝a 3c ，∴2a 22ab ＝a 3，得b ＝3；∵cos 2B ＋2cos 2B 2＝1，∴2cos 2B ＋cos B －1＝0，∴解得cos B ＝12(cos B ＝－1舍去)，则B ＝π3.由正弦定理得asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，∴a ＝2sin A ，c ＝2sin C ；由A ＋B ＋C ＝π，得A ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－A ，且0<A <2π3.∴a ＋c ＝2sin A ＋2sin C ＝2sin A ＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A ＋32cos A ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵2π3－A <π2且A 为锐角，∴π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3，∴32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1，得3<23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤2 3.∴a ＋c 的取值范围是(3,23]．故选B ．4. (2023·临淄区校级期中)已知锐角三角形△ABC 的内角A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，且b ＝2a sin B ，则cos B ＋sin C 的取值范围为( C )A ．(1，3]B ．⎝⎛⎭⎪⎫32，3 C ．⎝⎛⎭⎪⎫32，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 【解析】 因为b ＝2a sin B ，由正弦定理可得，sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠0，故sin A ＝12，因为A 为锐角，故A ＝π6，由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2，0<5π6－B <π2，解得π3<B <π2，则cos B ＋sin C ＝cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－B ＝cos B ＋12cos B ＋32sin B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.故选C ．方法技巧·精提炼解三角形中的最值问题与范围问题的解法(1)利用基本不等式求得最大值或最小值；(2)将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．加固训练·促提高1. (2023·青秀区校级模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a 、b 、c ，D 是AB 上的三等分点(靠近点A )且CD ＝1，(a －b )sin A ＝(c ＋b )(sin C －sin B )，则a ＋2b 的最大值是( A )A ．2 3B ．2 2C ．2D ．4【解析】 由(a －b )sin A ＝(c ＋b )(sin C －sin B )，利用正弦定理可得：(a －b )a ＝(c ＋b )(c －b )，化为：a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，可得cos C ＝12，C ∈(0，π)，∴C ＝π3，∵D 是AB 上的三等分点(靠近点A )，∴CD →＝23CA →＋13CB →，两边平方可得：1＝49b 2＋19a 2＋49ab cos C ，整理可得：a 2＋4b 2＋2ab ＝9，∴(a ＋2b )2＝9＋2ab ≤9＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22，当且仅当a ＝2b ＝3时取等号，则a ＋2b ≤23，∴a ＋2b 的最大值是2 3.故选A ．2. (2023·孝感期中)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cosB －b cos 2A ＝c 且△ABC 外接圆半径为2，则a 2b ＋c的取值范围是( C )A ．[23，4)B ．[23，6)C ．[3，2)D ．[3，4)【解析】 依题意，a cos B －b cos 2A ＝c ，由正弦定理得sin A cos B －sin B (cos 2A －sin 2A )＝sin C ，sin A cosB －sin B (cos 2A －sin 2A )＝sin(A ＋B )，sin A cos B －sin B (cos 2A －sin 2A )＝sin A cosB ＋cos A sin B ，－sin B (2cos 2A －1)＝cos A sinB ，由于0<B <π，sinB >0，所以2cos 2A ＋cos A －1＝0，(2cos A －1)(cos A ＋1)＝0，由于0<A <π，所以cos A ＋1≠0，所以cos A ＝12，所以A 是锐角，且A ＝π3，所以a sin A ＝a 32＝2×2＝4，a ＝4×32＝2 3.a 2b ＋c＝23sin Asin B ＋sin C＝3×1sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝3×132sin B ＋32cos B ＝3×132sin B ＋12cos B ＝3×1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，由于三角形ABC 是锐角三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2，π>B ＋π3>π2，即π6<B <π2，所以π3<B ＋π6<2π3，所以32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，所以1≤1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6<23，3≤3×1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6<2，所以a 2b ＋c的取值范围是[3，2)．故选C ．。
2022年高考数学二轮复习专题二三角函数、解三角形 第1讲三角函数的图象与性质
4
π
+
4
π
x的图象向左平移 个单位，得到的图象的函数解析
4
π
B．y＝sin x－
4
π
D．y＝sin x＋
4
答案：C
π
π
解析：函数y＝sin x的图象向左平移 个单位，得到y＝sin (x＋ )的图象．
4
4
故选C.
2．要得到函数y＝cos
(
)
π
A．向右平移
6
π
C．向右平移
18
3x −
π
6
的图象，只需将y＝cos 3x的图象
4
答案：A
解析：f x ＝sin
故选A.
1
1
x＋cos x＝
3
3
2cos
1
x
3
π
−
4
＝ 2cos
1
3
x
3π
−
4
.
2．[2021·山东潍坊学情调研]将函数f(x)＝sin 2x +
移a(a>0)个单位得到函数g(x)＝cos
(
)
5π
A．
12
7π
B．
12
2x
π
+
4
41π
D．
24
答案：C
解析：由题意知，g(x)＝cos 2x
4
π
D．向右平移 个单位长度
12
3．设函数f x ＝sin ωx −
π
4
f 2 ＝0.则f x 的最小正周期为(
16
A．
9
1
C．
8
答案：A
B．16
9
高考数学二轮总复习-三角函数与解三角形专题突破课件
3 .
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
2．正弦定理和余弦定理是解 斜三角形的工具，是新课标高 考的热点之一，各种题型都有 可能出现．命题的重点主要有 两个方面： (幂公式、 辅助角公式是考查的重点． (2)利用正、余弦定理进行边 、角和面积的计算，三角形形 状的判断以及求有关参数的值 或范围，常与三角恒等变换综 合考查．
【知规则·规范解答】
——采点得分说明
(1)无化简过程，直接得出 f(x)＝2sin2x＋π6＋2.扣 4 分
(2)只要化简 f(x)表达式出错，其余下面各步均为 0 分
无解答过程，直接得出－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)扣 2 分
单调递增区间求解错误扣 3 分
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
第一部分 专题突破方略 专题一 三角函数与解三角形 第一讲 三角函数图象与性质
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
从 2017～2019 年全国卷可主要看出：
年份 卷别
考查内容及考题位置
三角函数图象与性质·T5 卷Ⅰ 三角函数的性质·T11
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卷Ⅰ
三角函数的最值·T16 解三角形·T17
解三角形·T6
2018
卷Ⅱ
三角函数的最值·T10 三角恒等变换·T15
二倍角·T4 卷Ⅲ 解三角形·T9
三角函数的图象·T15
卷Ⅰ
三角函数的图象·T9 解三角形·T17
2017
卷Ⅱ
三角函数的最值·T14 解三角形·T17
2023新教材高考数学二轮专题复习：三角函数与解三角形课件
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题， 一般利用S＝12ab sinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边
用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
巩固训练1 1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知b(2sin A－ 3cos A)＝a sin B. (1)求A；
2，则sin B＝ 22且π>B>0，可得B＝π4或B＝34π，
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
解析：由题设，a＝2，则b＝ 3，又B＝π4，
所以cos B＝a2+c2−b2＝1+c2＝ 2，整理得c2－2 2c＋1＝0，解得c＝ 2±1，满足
2ac
4c 2
题设．
由S△ABC＝12ac sin B＝ 22c， 所以，当c＝ 2＋1时S△ABC＝1＋ 22；当c＝ 2－1时S△ABC＝1－ 22.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小 为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－1π2，π6]时， 求函数g(x)的值域．
解析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin (2x－π3)的图象． 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x－π3)的图象． 当当当x44∈xx－－[－ππ33＝＝1π2－π3，时π2时，π6]时，函，函数4数gx(－xg)(取π3x∈)取得[－得最2最大3π 小值，值，π3]，最，最 大小值值为为3－，2， 故函数g(x)的值域为[－2， 3].
1.已知函数f(x)＝ 称轴间的距离为π2.