2020年江苏省常州市高二(下)期中数学试卷(理科)

第1页，共16页 期中数学试卷 题号 一 二 总分 得分

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 若复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则复数z的实部是______．

2. 已知，是空间两个单位向量，它们的夹角为60°，那么||=______．

3. 若复数z满足2z+=3-i，其中i为虚数单位，为z的共轭复数，则z在复平面内对应的点位于第______象限． 4. 设，是两个不共线的空间向量，若=2，=3，=k，且A，B，D三点共线，则实数k的值为______．

5. 若向量=（2，-1，2），=（-4，2，m），且与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为______． 6. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是______． 7. 如图，在正四面体P-ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，D是线段MN上一点，且ND=2DM，若

=x，则x+y+z的值为______．

8. 我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列{an}的前

n项和公式Sn=．类比得到正项等比数列{bn}的前n项积公式Tn=______．

9. 用数学归纳法证明等式：，则从到时左边应添加的项为_______． 10. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

∠BAC=90°，AA1=A1B1=A1C1=4，点E是棱CC1上一点，且异面直线A1B与AE所成角

的余弦值为，则C1E的长为______． 第2页，共16页

11. 德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为1、分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形．根据前6行的规律，第7行的左起第3个数为______．

12. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao）．已知在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．

13. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，M，

N分别为CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上且满

足=（λ∈R）．若平面PMN与平面ABC所成的二面角的平面角的大小为45°，则实数λ的值为______．

14. 如图所示的正方体是一个三阶魔方（由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD是上底面正中间一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为______． 第3页，共16页

二、解答题（本大题共6小题，共90.0分） 15. 已知i为虚数单位，复数z1=1-i，z2=3+ai（a∈R）．

（1）若z1+z2为实数，求z1z2的值；

（2）若为纯虚数，求|z2|．

16. 已知矩阵M=，N=． （1）求MN； （2）若曲线C1：x2-y2=1在矩阵MN对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．

17. 已知数列{an}满足a1=1，an+1＞an，（an-an-1）2=2（an+an-1

）-1，n≥2．

（1）求a2，a3，a4的值并猜想数列{an}的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．

18. 如图，在四棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，PA=AB=BC==2，点E，F分别是AB，PD的中点． （1）求证：EF∥平面PBC； （2）若点M为棱PC上一点，且平面EFM⊥平面PBC，求证：EM⊥PC 第4页，共16页

19. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都等于2．

（1）当点M是BC的中点时， ①求异面直线AB1和MC1所成角的余弦值； ②求二面角M-AB1-C的正弦值； （2）当点M在线段BC上（包括两个端点）运动时，求直线MC1与平面AB1C所成角的正弦值的取值范围．

20. （1）是否存在实数a，b，c，使得等式1•22+2•32+3•42+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）

对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值并给出证明；若不存在，请说明理由．

（2）求证：对任意的n∈N*，． 第5页，共16页 第6页，共16页

答案和解析 1.【答案】1

【解析】解：由（1+i）z=2i，得z=， ∴复数z的实部是1， 故答案为：1． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2.【答案】

【解析】解：∵； ∴； ∴． 故答案为：． 容易求出，，然后进行数量积的运算即可求出，从而得

出． 考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法． 3.【答案】四

【解析】【分析】 设z=a+bi（a，b∈R），代入2z+=3-i，利用复数相等的条件求得a，b的值得答案． 本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题． 【解答】 解：设z=a+bi（a，b∈R），

由2z+=3-i，得2a+2bi+a-bi=3a+bi=3-i， ∴a=1，b=-1． 则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，-1），所在的象限是第四象限． 故答案为：四． 4.【答案】4或-1

【解析】【分析】 本题考查向量减法，向量的数乘运算，共线向量和平面向量基本定理，属于基础题.

根据条件可求出，并且，根据A，B，D三点共线可得出

共线，从而存在实数λ，使得，这样便可得出，解出k即可． 【解答】 第7页，共16页

解：，且, ∵A，B，D三点共线, ∴共线,

∴存在实数λ，使, ∴, ∴, 解得k=4或-1． 故答案为4或-1． 5.【答案】{m|m＜5，且m≠-4}

【解析】【分析】 本题考查实数的取值范围的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

由与的夹角为钝角，得到=-8-2+2m＜0，且，由此能求出实数m的取值范围． 【解答】

解：∵向量=（2，-1，2），=（-4，2，m），且与的夹角为钝角，

∴=-8-2+2m＜0，且， 解得m＜5，且m≠-4， ∴实数m的取值范围为{m|m＜5，且m≠-4}． 故答案为{m|m＜5，且m≠-4}． 6.【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和

【解析】解：由反证法的定义得假设的内容为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和， 故答案为：存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和 根据反证法的定义对结论进行假设即可． 本题主要考查反证法的应用，结合反证法的定义和步骤是解决本题的关键．比较基础．

7.【答案】

【解析】解，依题意，=+=+=+=+=+

+，

所以x+y+z=++=． 故填：． 第8页，共16页

根据题意，=+=+=+=+=++，则x+y+z可求． 本题考查了空间向量的分解，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．本题属于基础题． 8.【答案】（b1bn）

【解析】【分析】 本题考查了数列递推关系、等比数列的性质、类比推理能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．正项等比数列{bn}的性质可得：bmbn=bpbq，其中m+n=p+q，m，n，p，q∈N*．倒序相乘即可得出．

【解答】 解：正项等比数列{bn}的性质可得：bmbn=bpbq，其中m+n=p+q，m，n，p，q∈N*． 前n项积公式Tn=b1b2•……•bn，Tn=bn•bn-1•……•b1，

∴=，可得：Tn=．

故答案为． 9.【答案】（k3+1）+（k3+2）++（k+1）3

【解析】【分析】 本题考查数学归纳法，属于简单题． 由数学归纳法可知n=k时，左端为1+2+3+…+k3，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+k3+（k3+1）+…+（k+1）3，从而可得答案．

【解析】 解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+n3=（n∈N*）时， 当n=1左边所得的项是1； 假设n=k时，命题成立，左端为1+2+3+…+k3， 则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+k3+（k3+1）+…+（k+1）3， ∴由n=k到n=k+1时需增添的项是（k3+1）+（k3+2）++（k+1）3

，

故答案为：（k3+1）+（k3+2）++（k+1）3． 10.【答案】1

【解析】【分析】本题考查利用空间向量求解空间角，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 以A1 为坐标原点，分别以A1B1，A1C1，A1A所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设C1E=a，求出与的坐标，由异面直线A1B与AE所成角的余弦值为列式求得a值． 【解答】以A1 为坐标原点，分别以A1B1，A1C1，A1A所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设C1E=a，又AA1=A1B1=A1C1=4， ∴A1（0，0，0），B（4，0，4），A（0，0，4），E（0，4，a），

，，