第十章 对策论1

1 第十章 对策论基础 §10.1 概论 对策论又称博弈论，它是在竞争场合下，双方（或多方）如何针对对手采取策略的一种定量分析分析方法。在人类的活动中，这种竞争的场合是很多的，例如：军事上的战斗，政治上的较量，企业之间的市场竞争以及普通生活中的下棋，竞赛等等。就连孩子们之间的游戏也是最简单的对策，比如以手势进行的“锤头，剪刀，布”的游戏。在中国古代有个齐王塞马的故事，更是对策问题最典型的例子之一。这个例子说的是：战国时期，齐王有一天提出要与田忌塞马。田忌答应后，双方约定： （1）各自出三匹马； （2）从上，中和下三个等级中各出一匹； （3）每匹马都必须参加比赛，而且只能参加一次； （4）每次比赛双方各出一匹马，一共比赛三次； （5）每次比赛后，负者要付给胜者千金。 当时的情况是，三种不同级别的马，齐王的马要比田忌的同一级别的马要强些，所以从总体上来看齐王是要胜了。但是田忌的高一级的马要比齐王低一级的马要好。因此田忌的一个谋士给他出了个主意： （1）每次比赛先让齐王出马； （2）让田忌以上马对齐王的中马，中马对其下马，下马对其上马。 这样，总的比赛结果是，田忌赢得一千金，即 齐王 田忌 上 下 中 上 下 中 最初用数学方法来研究对策现象的是数学家E.Zermelo，见课本P305. 一 基本概念 不管是什么形式的对策，他们的共同特点是都包含三个的内容：局中人，策略集，赢得函数（或支付函数）。下面分别介绍。 1． 局中人 局中人是指在对策中有权决定自己行动方案的参加者。局中人可以是人，也可以是集体。在多人决策中，利益一致的伙伴关系被视为一个局中人。对局中人还有一个重要的假设：每个局中人都是有理智的，都不会发生疏忽大意的错误。 2． 策略与策略集 在一局对策中，每一个局中人都有一个可行的完整的行动方案，此方案不是某一步的行动方案，而是按计划执行的一个确定的方案，称为策略，如：在齐王塞马的例子中，用（上，中，下）表示的上马，中马，下马依此出场参赛的次序，就是一个完整的行动方案，或称为局中人的一个策略。这样的策略可能还有很多，如（上，下，中）；（中，上，下）；（中，下，上）等等。所有这些策略的总和称为局中人的策略集。用符号Si 表示局中人i的策略集合。 3． 局势 在一局对策中，每个局中人所出策略形成的策略组称为一个局势，一般用S表示。如：在齐王塞马的例子中，齐王出策略（上，中，下），田忌出策略（下，上，中），则这两个相对阵的策略所构成的策略组称为这一局对策的局势。如果有n个局中人，则n个局中人的策略形成的策略组S=（S1，S2，---，Sn），就称为一个局势。 2

4． 赢得函数（或支付函数） 当一个局势出现后，按事先的规定，可以计算局中人各自的得失。所以一局对策结束时，每一个局中人的得失是全体局中人所取定的一组策略的函数，此函数即称为赢得函数，用符号Hi 表示局中人i的赢得函数（或支付函数）。如：齐王塞马的例子中的一个局势，齐王的（上，中，下）对田忌的（下，上，中），按题设，齐王先一胜，后两败，田忌则先一败，后两胜。故按规定，齐王应支付田忌一千金（即齐王的赢得为负值）。由此可见，每个局势都有一定的得失。这个得失是局势的函数，因此被称为局中人的赢得函数。 5． 零和对策 如果在任一“局势”中，全体局中人的“得失”相加总是等于零，这个对策就叫做“零和对策” 6． 矩阵对策，指有限二人零和对策 矩阵对策的特点主要如下：①局中人只有两人；②每个局中人都有有限个可供选择的策略；③任一局势中，两个局中人的得失之和等于零。 二 对策模型及其例子 对策模型：一个对策模型就是由局中人，策略集合和赢得函数（或支付函数）这三部分组成，用符号

{1,2,,},,,(),iiGInSiIHSiI 来表示。 对策的进行过程是这样的，见课本P306 对策问题的例子很多，如前面提到的田忌塞马。下面再举几个例子，见课本P307. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 对策的种类很多，可以依据不通原则来进行分类。

动态对策 联合对策 对策 结盟对策 不结盟合作对策 静态决策 有限对策 不结盟对策 无限对策 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 对策的种类很多。在这些对策模型中，二人有限零和对策是一种比较简单的对策，也是到目前为止理论研究和求解方法方面都比较成熟的一类对策。这类对策的研究思路与理论是研究其它对策模型的基础，故本章主要介绍二人有限零和对策的基本理论和方法。

§10.2 矩阵对策的基本理论 一 矩阵对策的数学模型 以齐王塞马为例： 1． 齐王的策略共有六个 a1（上，中，下）；a2（上，下，中）； a3（中，上，下）； a4（中，下，上）； a5（下，中，上）； a6（下，上，中） 3

称为齐王的策略，记为S1={ a1, a2, „, a6} 2． 田忌的策略共有六个 β1（上，中，下）；β2（上，下，中）；β3（中，上，下）； β4（中，下，上）；β5（下，中，上）；β6（下，上，中） 称为田忌的策略，记为S2={β1, β2, „, β6} ai , βj 称为纯策略。 3． 齐王的赢得见下表1。同理可得田忌的赢得（作为练习） 4． 矩阵对策的数学表示 给定一个矩阵对策，局中人甲的纯策略集合为S1，局中人乙的纯策略集合为S2。局中人甲的赢得矩阵为A=（ aij ）。这时，我们把这个对策记为G G={Ⅰ，Ⅱ，S1，S2，A} 或 G={S1，S2，A}

齐王的赢得表1 （单位：千金） 赢 βj

得 ai β1 β2 β3 β4 β5 β6

a1 a2 a3 a4 a5 a5 3 1 1 -1 1 1 1 3 -1 1 1 1 1 1 3 1 -1 1 1 1 1 3 1 -1 1 -1 1 1 3 1 -1 1 1 1 1 3 二 最优纯策略 下面举一个例子来说明最优纯策略的概念与求解最优纯策略的思路： 现有一矩阵对策G={S1，S2，A}： S1={ a1, a2, a3, a4}，S2={β1, β2, β3}

321





6031019423816

4321

aaa

a

A

求双方的最优策略和赢得。 我们先来讨论一下对策的双方在对策时的思维过程。 从A矩阵得知，甲方的最大赢得是9，为此他必须选策略a3。而乙方会估计甲方出a3

的心理，故准备以β3作为对策。这样使甲不但得不到9，反而损失10。甲也考虑乙有可能

出β3的心理状态，故想以a4为对策，使乙不但得不到10，反而失去6„„，如此下去，总不会得到一个满意结果。 如果双方都是有理性的，都不会冒很大的危险，必然都会以“从最坏处着想，尽量争取最好的结果”这一思想作为决策的指导方针。这正是在不定型决策中的最大最小原则。因此对甲来说，每一个策略的最坏结果是：–8，2，–10，–3。在这些最坏情况中，最好的结果是2，即无论局中人乙出什么策略，局中人甲只要出a2参加对策，其结果就能保证收入不小于2。 4

依同理，对局中人乙来讲，每一个策略的最坏结果是：9，2，6。而在这些结果中，最好的结果是2（即支付2）。也就是说，无论甲选哪个策略，只要乙选β2参加对策就可以保证支付不大于2。 这时我们可以看到，对局中人甲和乙两人来说，最坏情况下的最好结果的绝对值是相等的。这时我们称a2为局中人甲的最优纯策略，β2为局中人乙的最优纯策略。（a2，β2）称为对策G={S1，S2，A}的最优局势。局中人甲在最优局势中的赢得称为G的值。 求最优纯策略的过程用数学公式表达如下：  对局中人甲来说，就是先对矩阵A的每一行取最小值： min{–6, 1, –8}=–8 min{3,2,4}=2 min{9, –1, –10}=–10 min{–3,0,6}=–3 再从这些最小值中取最大值： max{–8, 2, –10, –3}=2 由此可见，局中人甲的最优策略是a2。  而对局中人乙来说，是先对矩阵A的每一列取最大值： max{–6, 3 ,9, –3}=9 max{1, 2, –1, 0}=2 max{–8, 4, –10, 6}=6 再从这些最大值中取最小值： min{9, 2, 6}=2 由此可见，局中人乙的最优策略是β2。 以通式表示，设矩阵对策G={S1，S2，A}，S1={ a1, a2, „, am}，S2={β1, β2, „, βn}，

111212122212nm

mmmn

aaaaaaAaaa



对局中人甲的最优策略是： )min(maxijjia

对局中人乙的最优策略是： )(maxminiijja

定义 设有矩阵对策G：G={S1，S2，A}，如等式)min(maxijjia=)(maxminiijja成立，记其值VG，则称VG为对策G的值。 如果这个点记为**,jia，则纯局势为（**,jia），使*maxijia=jija*min，则称（**,jia）

为对策G的鞍点或平衡局势，也称它是对策G在纯策略中的解。**,jia分别称为局中人甲和乙的最优纯策略。**GijVa为对策G的平衡局势的值 在上例中，VG=2，a2与β2分别为局中人甲和乙的最优纯策略，局势（a2，β2）为对策